抛物线复习(几个常见结论及其应用)

抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2
124
p x x =，212y y p =-。

证明：因为焦点坐标为F(
2
p
,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p y k x =-，
由2
()22p y k x y px
⎧=-⎪⎨⎪=⎩
得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242
12
1222244y y p p x x p p p =⋅==。

当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2
p x =，则1y p =，2y p =-，∴2
12y y p =-，同上也有：2124p x x =。

例：已知直线AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF
+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+
，22
p
BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2
124
p x x =。

则：212
121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =22
2()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α
=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2
p y k x =- 由2()22p y k x y px ⎧
=-
⎪⎨
⎪=⎩
得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k
+=，212y y p =-，
∴12AB y -==222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。

易验证，结论对斜率不存在时也成立。

（2）由（1）：AB 为通径时，90α=，2
sin α的值最大，AB 最小。

例：已知过抛物线2
9y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。

解：由结论二，12=
29
sin α
（其中α为直线AB 的倾斜角），
则sin 2α=±
，所以直线AB 倾斜角为3
π或23π。

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

已知AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN
证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线，
垂足分别为M 、P 、N ，连结AP
、BP 。

由抛物线定义：AM AF =，BN BF =，
∴111
()()222
QP AM BN AF BF AB =+=+=，
∴以AB 为直径为圆与准线l 相切
（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ， ∴∠AFM=∠MFO 。

同理，∠BFN=∠NFO ，
∴∠MFN=
1
2
（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1
2
MP NP FP MN ===，
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB ∴以MN 为直径为圆与焦点弦AB 相切。

结论四：若抛物线方程为2
2(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。

反之也成立。

证明：设直线AB 方程为:(2)y k x p =-，由 2(2)
2y k x p y px
=-⎧⎨=⎩得， △>0，12x x k +=，12x x b =-
∵AO ⊥BO ，∴AO ⊥BO ∴22
121212121212()()(1)()0x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b +=+++=++++=
将12x x k +=，12x x b =-代入得，1b =。

∴直线AB 恒过定点（0，1）。

121112AOB S x x ∆=
-⨯==≥ ∴当且仅当k=0时，AOB S ∆取最小值1。

结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2
22x pt y pt =⎧⎨=⎩
，，设抛物线2
2x py =上动点P 坐标为2
(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然2
22OP
pt k t pt
==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． 例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段
AB 长为，求P 的值．
解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，
，，，则112A OA t k ==，1
2B OA OB
t k k ==-=-． A B ，的坐标分别为(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，
．AB =
∴==．2p =∴．
练习：
1. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，
则
11
p q
+= 【解析：化为标准方程，得21(0)x y a a =
>，从而1
2p a
=．取特殊情况，过焦点F 的弦PQ 垂直于对称轴，则PQ 为通径，即12PQ p a ==，从而1
2p q a ==，故114a p q +=】
2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴．证明直线AC 经过原点O ．
【证明：抛物线焦点为02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
．设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，，则212y y p =-． B C x ∵∥轴，且点C 在准线1
2CO p k y =； 又由2
112y px =，得111
2AO y p
k x y =
=
， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】 3.已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线方程是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．
【解：设()P x y ，
．
整理，得222880x y xy x y +---=，此即为所求抛物线的方程．
抛物线的对称轴应是过焦点(11)F ，且与准线20x y ++=垂直的直线，因此有对称轴方程y x =． 设对称轴与准线的交点为M ，可求得(11)M --，，于是线段MF 的中点就是抛物线的顶点，坐标是(00)，】
备选
1.抛物线的顶点坐标是(10)A ，，准线l 的方程是220x y --=，试求该抛物线的焦点坐标和方程． 解：依题意，抛物线的对称轴方程为220x y +-=．
设对称轴和准线的交点是M ，可以求得6255M ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，．设焦点为F ，则FM 的中点是A ，故得焦点坐标为4255F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 再设()P x y ，是抛物线上的任一点，
22444120x y xy x y ++--=，即
为所求抛物线的方程．
例2 已知A B ，为抛物线24x y =上两点，且OA OB ⊥，求线段AB 中点的轨迹方程．
解析：设OA k t =，1OB OB OA k t
⊥⇒=-，
据t 的几何意义，可得2244(44)A t t B t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，，，．
设线段中点()P x y ，，则222214142214142.
2x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪
⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
，
消去参数t 得P 点的轨迹方程为22(4)x y =-．
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