2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试题

2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试
题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡对应的位置.
1.已知集合，，则集合的子集个数为（）
A. 4
B. 8
C.16
D.32
【解析】，，，的子集个数为.故选：C
2.一个扇形的面积为，弧长为，则这个扇形的中心角为（）
A. B. C. D.
【解析】设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r，则由题意得θr=5π，θr2=15π，解得 r=6，θ=．故选：D．
3.已知角终边经过点，则（）
A. B. C. D.
解∵角的终边经过点，∴，，∴
.故选：D
4.要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos （2x﹣）的图象上所有点（ D ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.下列函数，最小正周期为的是（ B ）
A. B. C. D.
6．已知且，则函数与函数
在同一坐标系中的图象可能是（）
A. B. C. D.
【解析】解：且，所以函数与函数
在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断
7.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是 B
A． B．
C． D．
8.已知，，则的值域为（ C ）A．B．C．D．
9.如果，那么的值为（ C ）
A． B. C. D.
10.已知函数，，，，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【解析】函数关于直线轴对称，且在上单调递增，在上单调递减，=，
，
又，在上单调递减，∴.故选：A 11.函数（且）的自变量与函数值的一组近似值为
2
0.301
则函数的一个零点存在区间是（）
A. B. C. D.
【解析】由表格易知：，∴在定义域上单调递增，，
,
∴函数的一个零点存在区间是.故选：C
12.已知函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【解析】由于，
在当时，第一个最大值出现在，第一个最小值出现在，
第二个最大值出现在，
由于函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以：，所以且，解得：且，
故的取值范围是．故选C．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡对应的位置.
13.已知函数满足，则
____________.（其中为自然对数的底数，为常数）
【解析】由题意可得：，得：，，
故答案为：1
14.已知，则__________.
【解析】∵，又，∴
.故答案为：2
15.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已
知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.
(1)当秒时点离水面的高度_________；
(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函
数,则此函数表达式为_______________ .
【解析】本题考查了三角函数模型的应用,体现了数学建模核心素养.
1秒时,水轮转过角度为,
在中,,；
在中,,,
此时点离开水面的高度为；
2由题意可知,,设角是以Ox为始边,为终边的角,由条件得,其中；
将,代入,得,；所求函数的解析式为
．
16.已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知，计算下列各式的值．
(1)；
(2).
【解析]由题易得：
（1）原式
（2）原式
18.（本小题满分12分）已知函数
（1）求它的振幅、最小正周期、初相；
（2）求函数的单调区间；
（3）画出函数在上的图象．
解：（1）对于函数，振幅，最小正周期=，初相为．
（2）函数的单调递增区间为；单调减区间为.
（3）用五点法画出函数在上的图象：
由，可得，
列表：
画图：
19. （本小题满分12分）某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.
（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
【解析】（1）若用模拟函数1：，则有，解得，
即，当时，．
若用模拟函数2：，则有，解得
，即，
当时，．所以选用模拟函数1较好．
（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当
时，生产量远大于他的最高限量；
模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好．当时，，所以预测6月份的产量为万件.
20.（本小题满分12分）已知函数
.直线，是图象的任意两条对称轴,且的最小值为.
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图
象,若关于的方程在区间上有且只有一个实数解,求实数的取值范围.
解:(1),由题意知,最小正周期,所以,所以
.
(2)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象.所以
令,因为,所以.
在区间上有且只有一个实数解,即函数与
在区间上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知，所以.故实数的取值范围为.
21.（本小题满分12分）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若在上有零点，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数
，
因为，所以，
当时，即时，则时，取得最小值；当时，即时，则时，
所以取得最小值；
当时，即时，则时，取得最小值．
综上可得，．
(2)∵，∴，由，可得，
当时，此等式不成立．故有，，
令，则，显然函数在上单调递增，
故当时，；当趋于1时，趋于正无穷大，故．22.（本小题满分12分）已知函数（）
(1)当时，求的值域.
(2)若存在区间，使在上值域为，求的取值范围.
解：(1)当时，，
(2)因为，的值域为，而在上单调递增，
所以，即存在使，
即方程有两个不同的根，即有两个不同的根令，即方程有两个不同的正数根，即
2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试
题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡对应的位置.
1.已知集合，，则集合的子集个数为（）
A. 4
B. 8
C.16
D.32
【解析】，，，的子集个数为.故选：C
2.一个扇形的面积为，弧长为，则这个扇形的中心角为（）
A. B. C. D.
【解析】设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r，则由题意得θr=5π，θr2=15π，解得 r=6，θ=．故选：D．
3.已知角终边经过点，则（）
A. B. C. D.
解∵角的终边经过点，∴，，∴.故选：D 4.要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（ D ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.下列函数，最小正周期为的是（ B ）
A. B. C. D.
6．已知且，则函数与函数在同
一坐标系中的图象可能是（）
A. B. C. D.
【解析】解：且，所以函数与函数在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断
7.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是 B
A． B．
C． D．
8.已知，，则的值域为（ C ）
A．B．C．D．
9.如果，那么的值为（ C ）
A． B. C. D.
10.已知函数，，，，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【解析】函数关于直线轴对称，且在上单调递增，在上单调递减，=，，
又，在上单调递减，∴.故选：A
11.函数（且）的自变量与函数值的一组近似值为
2
0.3010
则函数的一个零点存在区间是（）
A. B. C. D.
【解析】由表格易知：，∴在定义域上单调递增，
，,
∴函数的一个零点存在区间是.故选：C
12.已知函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【解析】由于，
在当时，第一个最大值出现在，第一个最小值出现在，
第二个最大值出现在，
由于函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以：，所以且，解得：且，
故的取值范围是．故选C．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡对应的位置.
13.已知函数满足，则____________.（其中为自然对数的底数，为常数）
【解析】由题意可得：，得：，，
故答案为：1
14.已知，则__________.
【解析】∵，又，∴.故答案
为：2
15.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按
逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始
计算时间.
(1)当秒时点离水面的高度_________；
(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函数,则此函数表达式为
_______________ .
【解析】本题考查了三角函数模型的应用,体现了数学建模核心素养.
1秒时,水轮转过角度为,
在中,,；
在中,,,
此时点离开水面的高度为；
2由题意可知,,设角是以Ox为始边,为终边的角,由条件得
,其中；
将,代入,得,；所求函数的解析式为
．
16.已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知，计算下列各式的值．
(1)；
(2).
【解析]由题易得：
（1）原式
（2）原式
18.（本小题满分12分）已知函数
（1）求它的振幅、最小正周期、初相；
（2）求函数的单调区间；
（3）画出函数在上的图象．
解：（1）对于函数，振幅，最小正周期=，初相为．
（2）函数的单调递增区间为；单调减区间为
.
（3）用五点法画出函数在上的图象：
由，可得，
列表：
画图：
19. （本小题满分12分）某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量
（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
【解析】（1）若用模拟函数1：，则有，解得
，
即，当时，．
若用模拟函数2：，则有，解得，即，
当时，．所以选用模拟函数1较好．
（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；
模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好．当时，，所以预测6月份的产量为
万件.
20.（本小题满分12分）已知函数.直线，
是图象的任意两条对称轴,且的最小值为.
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍,
纵坐标不变,得到函数的图象,若关于的方程在区间上有且只有一个实数解,求实数的取值范围.
解:(1),由题意知,最小正周期,所以,所以.
(2)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象.所以
令,因为,所以.
在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知
，所以.故实数的取值范围为. 21.（本小题满分12分）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若在上有零点，求的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数，
因为，所以，
当时，即时，则时，取得最小值；
当时，即时，则时，
所以取得最小值；
当时，即时，则时，取得最小值．
综上可得，．
(2)∵，∴，由，可得，
当时，此等式不成立．故有，，
令，则，显然函数在上单调递增，
故当时，；当趋于1时，趋于正无穷大，故．
22.（本小题满分12分）已知函数（）
(1)当时，求的值域.
(2)若存在区间，使在上值域为，求的取值范围.
解：(1)当时，，
(2)因为，的值域为，而在上单调递增，所以，即存在使，
即方程有两个不同的根，即有两个不同的根令，即方程有两个不同的正数根，即。