2019-2020学年高中数学课时作业21平面向量数量积的物理背景及其含义新人教A版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学课时作业21平面向量数量积的物理背景
及其含义新人教A版必修4
| 基础牢固 |(25分钟， 60 分)
一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)
1．已知a·b＝－ 122， | a| ＝ 4，a和b的夹角为135°，则 | b| ＝ ()
A．12 B ．3
C．6D．33
剖析： a· b＝| a|| b|cos135°＝－12 2，又 | a| ＝ 4，解得 | b| ＝ 6.
答案： C
2．已知向量a，b满足 | a| ＝ 2， | b| ＝ 3，a·(b－a) ＝－ 1，则a与b的夹角为 ()ππ
A. 6
B.4
ππ
C. 3
D.2
剖析：因为 | a| ＝2，a·(b－a) ＝－ 1，
所以a·( －) ＝·－a2＝· － 22＝－ 1，
b a a b a b
所以 a· b＝3.又因为 | b| ＝3，设a与b的夹角为θ，
·b31
则 cos θ＝a＝＝ .
a||
|b|2×32
π
又θ∈[0 ，π] ，所以θ＝3 .
答案： C
3．若向量
a 与
b
的夹角为60°， |
b
| ＝4，(
a
＋2 ) ·( －3 ) ＝－ 72，则向量
a
的模是
b a b
()
A．2 B ．4
C．6 D ．12
剖析： ( a＋ 2b) ·(a－ 3b) ＝a2－a·b－ 6b2
＝| a| 2－| a| ·|b|cos60 °－ 6| b| 2
＝| a| 2－2| a| － 96＝－ 72.
∴|a|2－2| a|－24＝0.
解得 | a| ＝ 6 或 | a| ＝－ 4( 舍去 ) ．
答案： C
→→
4．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 4，则AB·AC＝ ()
A．－16 B ．－8
C．8 D．16
→4
剖析：设∠ CAB＝θ，∴|AB|＝cosθ，
→ →→→4
AB· AC＝| AB|·|AC|·cosθ＝cosθ·4cosθ＝16.
答案： D
→→→→→5．如图，在△中，⊥ ，＝ 3 ， || ＝1，则·＝ ()
ABC AD AB BC BD AD AC AD
A． 2 3 B.
3 2
3
C. 3
D.3
→
剖析：设 | BD| ＝x，
→
则| BC|＝3x，
→→→→→ → →
AC· AD＝( AB＋ BC)· AD＝ BC· AD →→1
＝ | BC| ·|AD|cos ∠ADB＝ 3x·1·x＝ 3.答案： D
二、填空题 ( 每题 5 分，共 15 分)
6．若向量
a 的方向是正南方向，向量
b
的方向是北偏东60°方向，且 | | ＝ || ＝1，
a b
则( － 3a) ·(a＋b) ＝ ________.
剖析：设 a 与 b 的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a)·(a＋ b)＝－3| a|2－3a· b＝－
1 3
3－3×1×1×cos120°＝－ 3＋3×2＝－2.
答案：－3 2
7．已知 |a| ＝5，|| ＝8，a与b的夹角为 60°，则b在a方向上的射影的数量等于
b
________．
剖析： ||cos〈，〉＝ 8cos60°＝ 4，所以b在a方向上的射影的数量等于 4.
b a b
答案： 4
→→
8．若四边形ABCD是边长为1 的菱形，∠BAD＝60°，则 | DC＋BC| ＝ ________.
→ →剖析：∵四边形 ABCD是边长
为 1 的菱形，∠BAD＝60°，∴∠DCB＝60°，∴|DC＋BC| 2→→→→→→
＝| DC| 2＋ |BC|2＋2DC· BC＝12＋12＋2×1×1cos∠ DCB＝3，∴|DC＋ BC|＝ 3.
答案：3
三、解答题 ( 每题 10 分，共20 分)
9．已知 | a| ＝4，| b| ＝ 8，a与b的夹角是 60°，计算：
(1)(2a＋ b)·(2 a－b)；
(2)|4a－2b|.
) 2－2
剖析： (1)(2a＋b) ·(2a－ )＝(2a
b b
2222
＝ 4| a| －| b|＝4×4－8 ＝ 0.
22
(2) ∵|4 a－ 2b| ＝ (4 a－ 2b)
22
＝16×4－16×4×8×cos60°＋ 4×8
∴|4 a－ 2b| ＝ 16.
10．已知 | | ＝ 2|
b | ＝ 2，且向量
a
在向量
b
方向上的投影为－ 1.
a
(1) 求a与b的夹角θ；
(2) 求 ( a － 2b ) · b ；
(3) 当 λ 为何值时，向量 λ a ＋ b 与向量 a － 3b 互相垂直？ 剖析： (1) 由题意知 | a | ＝ 2， | b | ＝ 1.
又 a 在 b 方向上的投影为 | a |cos θ ＝－ 1，
1 2π ∴cos θ ＝－ 2，∴ θ ＝ 3 .
(2) 易知 a · b ＝－ 1，则 ( a － 2b ) · b ＝a · b － 2b 2＝－ 1－ 2＝－ 3.
(3) ∵ λ a ＋ b 与 a －3b 互相垂直，
2
2
∴(λa ＋ b ) ·(a －3b ) ＝ λ a －3λ a · b ＋b · a － 3b
4
∴ λ ＝ 7.
| 能力提升
|(20
分钟，
40 分)
→
→ 11．(2015 ·高考四川卷
→
→ → → ) 设四边形
→ →
ABCD
为平行四边形， | AB | ＝ 6，| AD | ＝ 4. 若点
M ， N
满足 BM ＝ 3MC ， DN ＝ 2NC ，则
AM · NM ＝ ( A ．20 B ．15
)
C ．9
D ．6
剖析： 以下列图，由题设知：
→ ＝ → ＋ → ＝ →
＋3→
，
AM AB BM AB 4AD
→ ＝ 1→
－
1→ ，
NM 3AB 4AD
→ →
→
3→ 1→ 1→ 1 → 2
－
3 →
2 1→ → 1
→ →
所以 AM · NM ＝ AB ＋
AD · AB － AD ＝ | AB |
| AD | ＋ AB · AD － AB · AD
4 3 4 3
16
4 4
13
＝ 3×36－ 16×16＝ 9.
答案： C
→ →
12．已知圆 O 是△ ABC 的外接圆， M 是 BC 的中点， AB ＝ 4，AC ＝2，则 AO ·AM ＝ ________.
剖析： ∵ 是 的中点，∴ →＝ 1(
→＋→ ) ，又 O 是△ 的外接圆圆心，∴ → ·→
＝
M BC
AM 2 AB AC ABC AB AO → → 1 → 2 →→1→ 2
→ → 1→→→
| AB || AO |cos ∠ BAO ＝ | AB |
＝ 8，同理可得 AC ·AO ＝ | AC | ＝ 2，∴ AM · AO ＝ ( AB ＋ AC ) ·AO ＝
2
2
2
1→ → 1
→
→
2AB · AO ＋ 2AC · AO ＝ 4＋ 1＝ 5.
答案： 5
13．已知 | a | ＝ 1， a · b ＝ 1
，( a － b ) ·(a ＋ b ) ＝ 1，求：
2
2
(1) a 与 b 的夹角；
(2) a －b 与 a ＋ b 的夹角的余弦值．
1 剖析： (1) ∵(a －b ) ·(a ＋b ) ＝ 2， ∴||
2 －|
b
| 2＝1 .
a
2
∵| | ＝ 1，∴|
| ＝
2
1 2
||－＝ .
a
b
a
2
2
设 a 与 b 的夹角为 θ ，则
1
cos θ＝ a · b ＝ 2 2
，
| a || b | ＝ 2
2
1× 2
∵ 0°≤ θ ≤180°，∴ θ＝45°.即 a ，b 的夹角为 45°.
2 a 2 · ＋
b 2 1
(2)∵(－ ) ＝ － 2 ＝ ，
a b a b
2
∴| － | ＝ 2 .
a b
2
2
2
2
5
∵(a ＋b ) ＝ a ＋ 2a ·b ＋b ＝ 2，
10 ∴|a ＋b | ＝ 2 .
设 a －b 与 a ＋ b 的夹角为 α，则
1
cos α＝
a － b
a ＋b
＝
2 5
| a －b || a ＋ b |
210 ＝ .
5
2
×
2
5
即所求余弦值为
5
.
→
→
14．在四边形 ABCD 中，已知 AB ＝9， BC ＝ 6， CP ＝ 2PD .
→ →
(1) 若四边形 ABCD 是矩形，求 AP · BP 的值；
→ → → →
(2) 若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AP · BP ＝ 6，求 AB 与AD 夹角的余弦值． → →
剖析： (1) 因为四边形
ABCD 是矩形，所以 AD · DC ＝ 0，
→
→
→
1→→2→
2→ 由 CP ＝ 2PD ，得 DP ＝3DC ， CP ＝ 3CD ＝－ 3DC .
→ → → → → →
所以 · ＝ ( ＋ )·(＋ )
AP BP
AD DP
BC CP
→
1
→
→ 2→
＝
AD ＋ DC ·
AD － DC
3
3
→ 2
1→
→
2→
2
2
＝ AD － 3AD · DC － 9DC ＝36－ 9×81＝ 18.
→ →
→
→1→→1→
(2) 由题意， AP ＝ AD ＋ DP ＝ AD ＋ 3DC ＝ AD ＋ 3AB ，
→ → → →
2→→2→
BP ＝ BC ＋CP ＝ BC ＋3CD ＝ AD － 3AB ，
→
→ → 1→
→
2→
所以 AP · BP ＝ · ＋ －
3AB AD 3AB
AD → 2 1→ → 2→
2
＝ － · －
9AB
AD 3AB AD
1
→
→
1
→
→
＝ 36－ 3AB · AD － 18＝ 18－ 3AB · AD .
→ →
又 AP ·BP ＝ 6，
1→ →
所以 18－ 3AB ·AD ＝ 6，
→ →
所以 AB · AD ＝ 36，
→ → → →
又 AB ·AD ＝ | AB | ·|AD |cos θ＝9×6×cos θ ＝ 54cos θ ，
2
所以 54cos θ ＝36，即 cos θ ＝ 3.
→ →
2
所以 AB 与 AD 夹角的余弦值为
.
3。