河南省南阳市第一中学高三数学上学期第八次考试试题文(含解析)(2021年整理)

河南省南阳市第一中学 2018 届高三数学上学期第八次考试试题 文（含解析）
河南省南阳市第一中学 2018 届高三数学上学期第八次考试试题 文（含解析）
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河南省南阳市第一中学 2018 届高三数学上学期第八次考试试题 文（含解析）
南阳一中 2015 级高三第八次考试 文数试题
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1。

设
，
，则 ( )
A.
B。

C。

D。

【答案】A
【解析】
,
故选 A.
2. 已知集合
，
A。

B。

C。

D.
【答案】C
【解析】
故选 C。

3。

设等差数列 的前 项和为 ，且
，则
A。

8 B。

12 C。

16 D。

20
【答案】B
【解析】由题，等差数列 中，
则 故选 B。

4。

抛物线
的焦点到准线的距离是（ )
,则
()
（）。

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A。

B. 1 C。

D.
【答案】D
【解析】
,
，所以抛物线的焦点到其准线的距离是 ，故选 D.
5. 设集合
，函数
，在 中任取一个元素,则函数 一定有意
义的概率为( ）
A.
B。

C。

D。

【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，故 一定有意义的概率为
，选 D。

6。

函数
的大致图象是( )
A。

B。

C。

D.
【答案】C
【解析】
，则函数在
上单调递增,在
和
上单调递减，
且
故选 C
7。

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位:cm)，可得这个几何
体的体积是( )
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A.
B。

C。

D.
【答案】A
【解析】如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形, 是直角梯形，
，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即 平面
所以几何体的体积为：
故选 A．
【点睛】本题考查几何体的三视图,几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的
关键．
8。

已知函数
的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数
的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，则在下列区间中使
是减函数的是( ）
A。

B。

C。

D.
【答案】B
【解析】∵函数 f（x）=sinωx﹣ cosωx（ω＞0）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于
，
函数 f（x）=sin4x﹣ cos4x=2sin（4x﹣ )；
若将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位得到函数 y=g（x）=2sin（4x+ ）的图象．
令 2kπ+ ≤4x+ ≤2kπ+ ，可得
k∈Z，当 k=0 时,
故函数 g（x）的减区间为 。

故答案为 B 。

9。

下图是求样本
平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )
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A。

B。

C。

D.
【答案】D
【解析】由题目要求可知:该程序的作用是求样本
平均数 ，
由于“输出 ”即为平均数,循环体的功能是求各样本的平均值，
故应为。

故选 D.
10. 若函数 满足
且
的最小值为 4,则实数 的值为( )
A. 1 B。

2 C。

3 D. 【答案】C
【解析】
由约束条件作出可行域（如图），当目标函数
经过可行域
内的点
时, 取得最小值，即
，解之得
故选 C.
11. 过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点，与抛物线准线交于 点，若 是 的
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中点，则
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(）
A. 8 B。

9 C。

10 D。

12
【答案】B
【解析】如图，设 在准线上的射影分别为 ，且设
，直线 的倾斜角为 。

则。

所以
，。

由抛物线焦点弦长公式
可得
.选 B.
或：由
得
,得直线方程与抛物线联立进而可解得
，
于是。

故选 B
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
为抛物线
上一点，由定义易得
；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为
，则弦长为
可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方
程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
12. 已知函数
有三个不同的零点,则实数 的取值范围为（ )
A.
B。

C。

D.
【答案】A
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【解析】
函数
有三个不同的零点等价于方程
有三个不同的实根，当 时，
设
，则 为减函
数,
当 时，
设
,则
当时
当
时，
故 在 上单调递增，在
上单调递减；。

.。

..。

...。

.。

.
分别画出
与
的图像如图所示，由题意得
，故选 A
二、填空题(每题 5 分，满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知向量
，
，若 ，则 的最小值为____________。

【答案】6
【解析】试题分析：∵ ，∴
，即
，
∴
，当且仅当 时取等号,
∴ 的最小值为 6。

考点：向量垂直的充分条件、基本不等式.
14. 在
中,能使
成立的 的取值集合是____________.
【答案】
【解析】在△ABC 中，A∈（0，π)，∴sinA＞ 成立的充分必要条件是 ．
答案为： 。

15。

给出下列四个命题：
①“若 为
的极值点,则
"的逆命题为真命题;
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②“平面向量 , 的夹角是钝角”的充分不必要条件是
；
③若命题
，则
；
④函数
在点 处的切线方程为 .
其中真命题的序号是________.
【答案】④
【解析】①“若 为
的极值点，则
"的逆命题为：若
，则 为
的极值点；
这是个假命题，因为导函数的变号零点才是极值点；故原命题为假；②“平面向量 ， 的夹角
是钝角"的必要不充分条件是
；故原命题为假；③若命题
，则
或者 ；
故原命题为假;④函数
在点 处的切线方程为 ,
，
.
故.是正确的。

故答案为:④。

16。

已知 为数列 的前 项和,且
,若
，
，
给定四个命题①
；②
;③
；④。

则上述四个命题中真命题的序号为____.
【答案】②④
【解析】构造函数
为奇函数,且单调递增,依题意有
又
由题意知
若
，则
，故数列 为等差数列，且公差 故 故①错误；
故②正确；
而此时，
不成立，故③错误；
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,故④成立。

即答案为②④
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17。

设函数
.
(1）求 的对称轴方程；
(2）已知
中,角 的对边分别是 ,若
，
，求 的最小值.
【答案】(1)
.（2)1
【解析】试题分析：(1）先由二倍角公式得到函数表达式为
,再由函数图像得到对
称轴；（2）由
，可得
，进而得到角 A，再由余弦定理得到
根据表达式得到最终结果。

解析：
（1)∵
，
由
得 的对称轴方程为
.
（2)由
，可得
.
由
,可得 .
在
中，由余弦定理，得
，
由
知
，当
时 取最大值,此时 取最小值 1
18。

某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况,从学校的 2000 名学生中随机抽取
50 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 60 分到 140 分之间(满分 150 分)，将统计结果
按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，…,第八组
，如图是按上述分组方
法得到的频率分布直方图的一部分。

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（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； (2)估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)； （3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取 2 名,求他们的分差小于 10 分 的概率. 【答案】(1）见解析；(2）97(分）.(3） . 【解析】试题分析：（1）根据所有频率之和等于 1 求出第七组的频率，然后绘图即可；（2）利 用平均数计算公式计算即可；（3）一一列举所有满足从中任取 2 人的所有基本事件,找到分差 小于 10 分的基本事件,利用概率公式计算即可．
试题解析:(1)由频率分布直方图知第七组的频率 f7＝1－(0。

004＋0.012＋0。

016＋0.03 ＋0。

02＋0.006＋0.004)×10＝0.08。

直方图如图．
（2）估计该校的 2 000 名学生这次考试的平均成绩为: 65×0.04＋75×0。

12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0。

06＋125×0。

08＋135×0。

04＝97（分）. （3)第六组有学生 3 人，分别记作 A1，A2，A3，第一组有学生 2 人，分别记作 B1,B2，则从中任
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取 2 人的所有基本事件为(A1，B1），（A1，B2），(A2,B1),（A2，B2)，（A3,B1）,(A3，B2),(A1,A2）,(A1,A3)，
(A2，A3)，（B1，B2），共 10 个．分差大于 10 分表示所选 2 人来自不同组，其基本事件有 6 个：
(A1，B1）,(A1，B2），(A2,B1),(A2，B2)，(A3，B1），(A3，B2)，所以从中任意抽取 2 人，分差小于
10 分的概率 P＝ ＝ 。

19. 如图,在四棱椎
中，
， 平面 ， 平面 ,
，，.
(1）求证：平面
平面 ；(2)在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求
出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) 见解析;(2) 见解析。

【解析】试题分析：(1）先得到线面垂直， 平面 ,又因为 平面 ，进而得到面面
垂直；（2）在线段 上存在一点 ，且 ，使 平面 ，接下来构造平行四边形证明线
面平行即可。

解析：
(1）证明:因为 平面 ， 平面 ,所以
，又因为
，
，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面
平面 .
(2)结论：在线段 上存在一点 ，且 ，使 平面 .
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解：设 为线段 上一点，且 ，过点 作
交 于 ,则
.
因为 平面 ， 平面 ，所以。

又因为
,所以
，
，所以四边形 为平行四边形，则。

又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。

20。

已知椭圆
，
， 为椭圆的两个焦点， 为椭圆上任意一点,且
， 构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为 3。

(1）求椭圆 的方程;
(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ,且
，求
出该圆的方程.
【答案】(1）
.(2) 见解析。

【解析】试题分析:（1）由题知
得到
，进而得到离心率，再根据三个
参数的关系得到最终结果；（2）先由圆的切线的性质得到
，再由垂直关系得到
，联立直线和椭圆得到二次方程,由韦达定理得到
解析：
(1）由题知
，即
，得 ①
进而证得结果。

又由 ,得 ②,且
，综合解得
.
∴椭圆 的方程为。

(2)假设以原点为圆心， 为半径的圆满足条件。

（i)若圆的切线的斜率存在,并设其方程为
，则
,
①
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由
消去 ，整理得
，设
，
，有
,又∵
，∴
，
即
，化简得
.②
由①②求得 ，所求圆的方程为。

（ii)若 的斜率不存在，设
,则
，∵
,
∴
，有
， ,代入
,得 ,此时仍有。

综上，总存在以原点为圆心的圆
满足题设条件.
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一
次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转
化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是
弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21。

已知函数
（其中 为常数且 ）在 处取得极值。

（1)当 时，求 的极大值点和极小值点；
（2)若 在 上的最大值为 1，求 的值.
【答案】(1) 的极大值点为 ，极小值点为 1.（2） 或 ..
【解析】试题分析：（1）对函数求导得到导函数，根据导函数的零点和导函数的正负得到函数
的极值；（2)分 ，
， 三种请况分析函数的单调性和最值，分别求出参数值，和
前者情况取交集即可。

解析：
（1)因为
，所以
.
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因为函数
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在 处取得极值，
,当 时, ，
，
， 随 的变化情况如下表： 1
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以 的单调递增区间为 和
，单调递减区间为 .
所以 的极大值点为 ,极小值点为 1.
（2）因为。

令
得 ， ，因为 在 处取得极值，所以
，
(i)当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 上的最大值为 ，令 ,解得 。

（ii)当 时，
，
①当 时， 在 上单调递增， 上单调递减, 上单调递增,
所以最大值 1 可能在 或 处取得，而
，
所以
，解得
;
②当
时， 在区间 上单调递增, 上单调递增， 上单调递增，所以最大值 1
可能在 或 处取得,而
，所以
，解得
，与
矛盾；
③当
时， 在区间 上单调递增,在 上单调递减，
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所以最大值 1 可能在 处取得，而
,矛盾,
综上所述，
或.
点睛：本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函
数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求
参的问题，常用方法有：变量分离,参变分离,转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使
得函数最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

22. 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为
，曲线 的参数方程为
（ 为参数），
.
（1)求曲线 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？
(2）设曲线 与曲线 的交点为 ， ，当
时，求 的值。

【答案】(1） 见解析;(2）。

【解析】【试题分析】（1）运用直角坐标与极坐标之间的互化关系求解；(2）依据题设借助直
线参数方程的几何意义分析求解：
（1) 由
得
，该曲线为椭圆.
（2）将
代入
得
，由直线参数方程的几何意义,设
，
，
，
,
所以
，从而
，由于
，所以
.
23。

已知函数
的最小值为 .
（1)求 的值；
（2)设实数 满足
，证明:。

【答案】（1） .(2） 见解析。

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【解析】试题分析： 写出分段函数,求得 在
上单调递增，在 上单调递减，即可
求出 的值； 计算
，利用基本不等式即可得出结论。

解析：（1）∵
∴在
上单调递增，在
（2)由（1)知，
∵
，∴
∴
上单调递减，∴ 的最小值为
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。