湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(三)+教师版+数学(文)+Word版含解析
湖南师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期第三次月考数学(文)试卷
数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数21(1)z a a i =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. -1和1B. 1C. -1D. 02. 命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定是（ ）A. ()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+，B. ()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C. ()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D. ()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A. B.C. D.4. 若变量x ，y 满足约束条件3123xy x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则y z x =的最大值为（）A. 4B. 2C. 12D. 545. 古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着,,A B C 三根金铜石细柱，其中细柱A 上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A 柱上现有3个金盘（如图），将A 柱上的金盘全部移到B 柱上，至少需要移动次数为（ ）A. 5B. 7C. 9D. 116. 设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ） A. 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B. 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 C. 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 7. 已知直线l 过点(),0A a 且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）A.B. ±C. 2±D.8. 如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A. -45B. 13C. -13D. -379. 设0a b >>，且2ab =，则21()a a a b +-的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3D.4 的10. 已知函数221,10()1,01x x f x x x ⎧--≤<=⎨+≤<⎩，且满足(1)(1)0f x f x +--=，()1x g x x =-，则方程()()f x g x =在[3,5]-上所有实根的和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 611. 已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12. 已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( ) A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. [0,)+∞ D. (,0]-∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13. 九进制数2018化十进制数为________．14. 设F 1，F 2是双曲线C ，22221a x y b-=(a>0,b>0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________________.15. 设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，则n a =______.16. 把函数f (x )＝x 3－3x 的图象C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图象C 2，若对任意u ＞0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率. 18. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、cos 1B B -=，且1b =． （1）若512A π=，求c 的值； （2）设AC 边上的高为h ，求h 的最大值．19. 如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===．（1）求三棱锥A FGC -的体积；（2）求证：面GEF ⊥面AEF ．20. 已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，点在L 上． （1）求L 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与L 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21. 设函数2()(1)x f x xe a x =++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，试证明：函数()f x 有且仅有两个零点()1212,x x x x <，且122x x +<-．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⋅⎩（0a b >>，φ为参数），曲线1C 上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数3πϕ=．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，求221211ρρ+值．23. 已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围．。
湖南省师大附中2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题
绝密★启用前 湖南省师大附中2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A.[3，+∞） B.（3，+∞） C.（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( ) A.b c a << B.c b a << C.c a b << D.b a c << 4．若平面区域30,{230,230x y x y x y +-≥--≤-+≥夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A.5 5．函数e 4x y x =的图象可能是（ ）…………外…………○………○…………订…………○………线…………○……※※※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………内…………○………○…………订…………○………线…………○……A. B. C. D. 6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.97．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.289B.1024……○…………_______班级：__________……○…………8．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =（ ） A.8+ B.843- C.12 D.4 9．点A 、B 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB =，若M A B ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为 A.3 C.2 10．如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ） A.2 C.2+ 11．已知函数()22ln f x x x =-与()()()sin 0g x x ωϕω=+>有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的()g x = A.sin 22x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.sin 22x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.sin 2x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.sin 2x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ） B.2 C.3D.0……………………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．定积分0=⎰____________. 14．在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列(){}11n n a --的前21项和为_________. 15．若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B 为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__________ 16．点M 为棱长是1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________ 三、解答题 17．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c a B b --= （1） 求sin sin C A 的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：…………外…………装…………○……线…………○……※※要※※在※※装※※…………内…………装…………○……线…………○…… (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足~(218,140)X N ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19．如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥平面ABCD ，且E A E D =，O 是线段AD 的中点，过E 作直线//l AB ，F 是直线l 上一动点.（1）求证：OF BC ⊥；（2）若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B OFC --的余弦值.20．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点F 为()0,1.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线:2l y x =-于M ，N 两点，求MN 的最小值. 21．已知函数()2ln f x x x =. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =； （3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有()ln 215ln 2g t t <<. 22． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角； （2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-. （I ）解不等式()1f x x +…； （Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++….参考答案1．A【解析】因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.2．A【解析】【分析】通过c ＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c 的值不一定小于0，判断必要性即可．【详解】已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”时，函数与x 轴有两个交点，所以“0x R ∃∈，使()00f x <”成立.而“0x R ∃∈，使()00f x <”.即20x bx c ++<，所以240b c ∆=->，即24b c >， c 不一定有0c <，如2320x x ++<.综上，函数()2f x x bx c =++.则“0c <”是“0x R ∃∈，使()00f x <”的充分不必要条件； 故选A .【点睛】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力． 3．A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为4233log 8log 222a ===，0.40.4log 8log 10b =<=，0.40.53222c =<=<， 所以b c a <<，故选：A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1.4．B【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由230{30x y x y -+=+-=得(1,2)A ，由230{30x y x y --=+-=得(2,1)B ，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即AB ==B ．考点：线性规划．5．C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当1x =时，14ey =<，排除A ； 当x →+∞时，4xex→+∞，排除D ．故应选C ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．A 【解析】试题分析：根据程序框图：；++； ；当．当 时，；当 时，；当 时，；当时，，所以选A ．考点：1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以，又，找到各项满足条件的即可．7．C 【解析】 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可. 【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…，易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．C 【解析】由题意1122OM OA OB =+，则2232115115322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又圆的半径为4，4AB =，则,OA OB 两向量的夹角为π3．则4OA OB ⋅=，224OA OB ==，所以12OC OM ⋅=．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.9．D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .∵动点M 满足2MA MB==22251639a a x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭. ∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，∴142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a =2b =，2=. 故选D . 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题． 10．D 【解析】试题分析：将1ABA ∆翻折到与四边形11A BCD 同一平面内，1AP D P +的最小值为1D A ，在11D AA ∆中1111131,1,4A D AA AA D π==∠=，由余弦定理可得1AD =考点：1.翻折问题；2.空间距离 11．C 【解析】 【分析】利用导数研究函数f （x ）的最值，利用f （x ）与g （x ）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论． 【详解】因为()22ln f x x x =-为偶函数，所以当0x >时，()22ln f x x x =-，则()()()21122x x f x x x x+-'=-=，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，()()min 11f x f ==，所以当0x <时，()()min 11f x f =-=，所以()g x的最大周期是2. 所以22T πω==，ωπ=，又()g x 恰好在1x =和1x =-处取得最大值1，故2πϕ=-，故选C . 【点睛】本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查了三角函数的性质的应用，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】利用函数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ． 【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多). 13．4π【解析】 【分析】根据定积分的几何意义即可求出． 【详解】令0)y y =≥，则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，所以⎰表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.故答案为4π 【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题． 14．21 【解析】 【分析】设公差为d （d ＞0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d ，进而得到等差数列{a n }的通项，再由并项求和即可得到所求和． 【详解】公差d 大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，可得()11212121a d a d +-+=，即11a =，由1a ，31a -，65a +成等比数列，可得()()231615a a a -=+，即为()2121155d d +-=++，解得2d =（负值舍去），则()12121n a n n =+-=-，*n N ∈， 所以数列(){}11n n a --的前21项和为123419202113573739412104121a a a a a a a -+-++-+=-+-++-+=-⨯+=.故答案为21. 【点睛】本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题． 15．2 【解析】 【分析】由对称可知f （x ）＝﹣2在（0，+∞）上有两解，分离参数得a ＝x 3﹣6x 2+9x ﹣2，作出函数图象，根据解的个数得出a 的范围． 【详解】由题意可知32692x x x a -+-+=-在()0,∞+上有两解，即32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，设()32692g x x x x =-+-，则()23129g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或3x =.∴当01x <<时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，当3x >时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在[)1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，∴当1x =时，()g x 取得极大值()12g =，当3x =时，()g x 取得极小值()32g =-. 作出()g x 的函数图象如图所示：∵32692a x x x =-+-在()0,∞+上有两解，∴2a =. 故答案为2 【点睛】本题考查了函数的单调性与极值计算，根的个数与函数图象的关系，属于中档题．16【解析】 【分析】取1BB 的中点H ，连接CH ，可证得NB ⊥平面DCH ，由题意，点M 的轨迹是内切球O 的球面与平面DCH 相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的半径R =由题意，取1BB 的中点H ，连接CH ，则CH NB ⊥，DC NB ⊥，∴NB ⊥平面DCH ，∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的球面相交得到的小圆，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长是∴O 到平面DCH 的距离为d =，截面圆的半径r ==所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长25r π=.故答案为5【点睛】本题考查了学生的空间想象力，求出点M 的轨迹是关键，属于中档题．17．（1）sin 2sin C A = （2【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案。
湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(三)数学(文)含解析
湖南师大附中2019届高三月考试卷(三)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛12x ，x ≥1，则满足A ∩B ＝B 的集合B 可以是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，12 B ．{x |－1≤x ≤1} C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12 D ．{x |x ＞0}2．已知角α的终边上有一点P (2，4)，则sin （π－α）2cos （α－2π）的值为( )A ．2B ．－12C ．－1D ．13．已知命题p ：m ＝－2；命题q ：直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直．则命题p 是命题q 成立的( )A ．充要条件B ．既非充分又非必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件 4．已知各项不为0的等差数列{}a n 满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{}b n 是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2·b 8·b 11等于( )A ．1B ．2C ．8D ．45．对满足不等式组⎩⎨⎧x ＋1≥0x ＋y －4≤0x －y ≤0的任意实数x 、y ，则z ＝x 2＋y 2－4x 的最小值( )A ．－2B ．0C ．1D ．66．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是边BC 上一点，AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，则AB 的长为( )A.562 B.522 C ．2 2 D.4637．在区间[0，4]上随机地选取一个数t ，则方程x 2－tx ＋3t －8＝0有两个正根的概率为( )A.13B.23C.12D.148．下列函数中，y 的最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝2（x 2＋3）x 2＋2C ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)D ．y ＝e x ＋4e －x 9．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，B 1C 、C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为45°、60°，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的体积为( )A.776π B.73π C.473π D.76π 11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1→＝2BF 1→，则双曲线C 的离心率为( )A.32＋1 B.3＋1 C.33＋1 D.3＋1212．定义在R 上的奇函数f ()x 对任意x 1，x 2()x 1≠x 2都有f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0.若x ，y 满足不等式f ()x 2－2x ≤－f ()2y －y 2，则当1≤x ≤4时，y －2xx ＋y的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－12选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知4号，20号，28号，36号，44号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是__ __．14．在△ABC 中，||AB →＝4，||AC →＝3，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，则AE →·(AB →－AC →)的值为_ _．15．过点()2，1且在x 轴上截距是在y 轴上截距的两倍的直线的方程为__ _． 16．小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”．有甲、乙、丙3个柱子，甲柱子上有n (n ≥3)个盘子，从上往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这n 个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上游戏结束，在移动过程中每次只能够移动一个盘子，甲、乙、丙3个柱子都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为a n ，则：(1)a 3＝__ __；(2)当n ≥3时，a n ＋1，a n 的关系可表示为_ _．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85.(1)计算甲班7位学生成绩的方差s2；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班，乙班各一人的概率．18．(本小题满分12分)如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB＝1，BC＝2，E为BC的中点．(1)证明：PE⊥DE；(2)如果异面直线AE与PD所成的角的大小为π3，求PA的长及三棱锥A－PED的体积．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1＝－2，a n ＋1＋3S n ＋2＝0(n ∈N *)． (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)是否存在整数对(m ，n )，使得等式a 2n －m ·a n ＝4m ＋8成立？若存在，请求出所有满足条件的(m ，n )；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 有一个内接的平行四边形，其一组对边分别过椭圆C 的左右两焦点F 1和F 2，求这个平行四边形面积的最大值．设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)． (1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(三)语文试卷
湖南师大附中2019届高三月考试卷语文本试题卷共10页。
时量150分钟，满分150分。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
道法自然的智慧赵建永“道法自然”是道家的核心理念，也是中国哲学追求的理想境界。
汤一介指出，道家以自然主义为价值取向，在“自然的和谐”基础上，推展出“人与自然的和谐”，进而有“人与人的和谐”，以达成“自我身心的和谐”。
道家的价值取向与历史唯物主义揭示的人类文化演进顺序相似，即在人与自然关系基础上解决人与社会关系的问题，进而使人的心灵需求得以妥善解决。
儒家的人文主义价值取向，则从“自我身心的和谐”出发，依次推导出“人与人的和谐”“人与自然的和谐”“自然的和谐”。
如此，儒道两种不同的价值取向，相反相成，互补互促，形成了中国传统文化的主体架构。
“道法自然”出自《老子》第二十五章：“人法地，地法天，天法道，道法自然。
”这是说，人的活动效法地，地的运动效法天，天的运转效法“道”，“道”的运行效法自身。
它揭示了人之所以应该效法“道”，是因为“道”具有“自然无为”的特性，体现着宇宙秩序的和谐。
“道”本指道路，引申为本源、道理、法则诸义。
总体来说，“道”就是万事万物生长发展的原动力和规律，顺之则昌，逆之则亡。
道家以“自然为宗”，崇尚“自然”是其根本特点。
冯友兰指出，道家学说可用“复归自然”一言以蔽之。
据汤用彤考察，“自然”一词本为形容词，“自”指本身，“然”指如此。
“自然”就是相对于人为而言的一种自发的、天生而然的状态。
“自然”后来才用作名词，具有了自然界、物理定律和本心自性等多层含义。
“自然”的今义，从形而上角度看，是指客观规律；从形而下角度看，则包括原生态的自然界、由人类与自然相互影响而生成的人化自然。
“道法自然”引发的环境伦理，旨在倡导一种善待自然、师法自然、遵循自然之道的理性态度，要求从自然界学习人类生存发展之道，自觉维护生态和谐。
湖南师大附中2019届高三上学期第一次月考数学(文)答案(PDF版)
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2019届湖南师大附中高三上学期月考试卷(二) 教师版 数学(文)(解析版)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(二)数 学(文科)★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，N ＝{x|2x ＜2}，则M ∩N ＝( C ) A ．[－1，3] B ．(－∞，1) C ．[－1，1) D ．(1，3]【解析】M ＝[－1，3]，N ＝(－∞，1)，，故M ∩N ＝[－1，1)．故选C. 2．若2i 2＋ai ＝b ＋4i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝( D ) A. －2 B ．－1 C ．0 D ．2【解析】由复数相等得：a ＝4，b ＝－2，a ＋b ＝2，故选D.3．已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0” ②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则非p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 其中真命题个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由题可知，①正确，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确. 故选C.4．设正项等比数列{}a n 的前n 项的和为S n ，且a n ＋1a n<1，若a 3＋a 5＝10，a 1·a 7＝16，则S 4＝( B )A ．60或152B ．60 C.152D ．120【解析】由等比数列{}a n 是单调递减数列，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2，q ＝12，所以a 1＝32，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝60 ，故选B.5．如图所示，在三棱锥D －ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( D )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一条直角边是CD ，另一条直角边为△ABC 的边AB 上的中线，所以其侧视图面积为S ＝12×2×2＝2，故选答案D.6．已知平面上不重合的四点P 、A 、B 、C 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，且AB →＋AC →＋xAP →＝0，那么实数x 的值为( B )A ．2B ．－3C ．4D ．5【解析】由题可知，根据向量的减法有，AB →＝PB →－PA →，AC →＝PC →－PA →，于是有(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)＝xPA →，故(－x －2)PA →＋PB →＋PC →＝0，又因为PA →＋PB →＋PC →＝0，所以－x －2＝1，即x ＝－3.故选B.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( A )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】根据定理：c b ＝sin Csin B <cos A ，那么sin C ＝sin Bcos A ，根据A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A＋B)，所以sin(A ＋B)<sin Bcos A ，整理为：sin Acos B<0 ，三角形中sin A>0，所以cos B<0，那么π2<B<π.故选A.8．某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S 的值是2，则判断框内可填写( B ) A ．i ≤2015 B ．i ≤2016 C ．i ≤2017 D ．i ≤2018【解析】由程序框图，初始值S ＝2，i ＝1. 循环一次后，S ＝－3，i ＝2； 循环两次后，S ＝－12，i ＝3；循环三次后，S ＝13，i ＝4；循环四次后，S ＝2，i ＝5； 循环五次后，S ＝－3，i ＝6； …依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.如果i ≤2 015，则循环结束S ＝13；如果i ≤2 016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2 016”. 故选B. 9．函数f ()x ＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( B )【解析】由题意得，f ()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x1＋e x ·cos x ，所以f ()－x ＝1－e －x1＋e －x ·cos(－x)＝e x－11＋ex ·cos x ＝－f(x)，所以函数f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1，则f ()1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 1－1cos1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 1＋e cos 1<0，故选B.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，直线x ＝a 2c 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( D )A. (0，22] B. (0，12) C. [2－1，1) D. [12，1) 【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等．而|FA|＝a 2c －c ＝b 2c ，因为|PF|∈[a －c ，a ＋c]，所以b 2c∈[a －c ，a ＋c]．即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ac －c 2≤a 2－c 2，a 2－c 2≥ac ＋c2⎩⎨⎧ca≤1，c a ≤－1或c a ≥12，又e ∈(0，1)，故e ∈[12，1)，故答案选D.11．在体积为43的三棱锥S －ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，SA ＝SC ，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是( B )A.823πB.92πC.272π D ．12π【解析】△ABC 外接圆圆心为AC 中点D ，连接SD ，则由平面SAC ⊥平面ABC 及SA ＝SC ，知SD ⊥平面ABC ，且球心O 在SD 上，则13S △ABC ×SD ＝43，解得SD ＝2.设三棱锥S －ABC 外接球半径为R ，则R＝OS ＝OB ，所以在Rt △ODB 中，OB 2＝BD 2＋OD 2，即R 2＝(2)2＋(2－R)2，解得R ＝32，故所求球的体积为V ＝43πR 3＝92π，故选B.12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e ，y ＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数y i (i ∈N *，1≤i ≤10)，其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为( A ) A. 35(e －1) B. 45(e －1) C. 12(e －1) D. 23(e －1) 【解析】由表可知，向矩形区域⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤e ，0≤y ≤1内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为610＝35. 因为矩形区域的面积为e －1，所以曲边三角形面积的近似值为35(e －1)，选A.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知cos (α－π2)＝45且α∈(π2，π)，则t an(α－π4)＝__7__．【解析】由已知得，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，tan (α－π4)＝tan α－11＋tan α＝（－43）－11＋（－43）＝7.14．对于实数a 和b ，定义运算a*b ＝⎩⎨⎧a （b ＋1），（a ＞b ），b （a ＋1），（a ＜b ），则式子ln e 2*⎝⎛⎭⎫19－12的值为__9__．【解析】因为a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （b ＋1），（a ＞b ），b （a ＋1），（a ＜b ），而ln e 2＝2<⎝⎛⎭⎫19－12＝3，所以ln e 2*⎝⎛⎭⎫19－12＝3×(2＋1)＝9. 15．已知函数f(x)＝x α的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2019＝．【解析】由函数f(x)＝x α的图象过点(4，2)得：4α＝2，α＝12，从而f(x)＝x ；∴a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，从而S 2019＝(2－1)＋(3－2)＋…＋2020－2019＝2020－1.16．设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是__[32e，1)__．【解析】f(x)<0e x (2x －1)<ax －a ，记g(x)＝e x (2x －1)，则题意说明存在唯一的整数x 0，使g(x)的图象在直线y ＝ax －a 下方，g ′(x)＝e x (2x ＋1)，当x<－12时，g ′(x)<0，当x>－12时，g ′(x)>0，因此当x ＝－12时，g(x)取得极小值也是最小值g(－12)＝－2e －12，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0，直线y ＝ax －a 过点(1，0)且斜率为a ，故⎩⎪⎨⎪⎧－a>g （0）＝－1，g （－1）＝－3e －1≥－a －a ，3解得2e≤a<1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)为增强市民的环保意识，某市政府向社会征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中挑选了100名，按年龄(单位：岁)分为5组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，其频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计这100名志愿者的平均年龄；(Ⅱ)现指定第3组中某3人，第4组中某2人，第5组中某1人，共6名志愿者参加某项宣传活动．活动结束后，从这6人中随机抽取2人介绍经验，求第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率．【解析】(Ⅰ)在频率分布直方图中，从左至右各小矩形的面积分别是0.05，0.35，0.3，0.2，0.1.(2分) 下底边中点值分别是22.5，27.5，32.5，37.5，42.5.(4分)因为22.5×0.05＋27.5×0.35＋32.5×0.3＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝32.25. 由此估计，这100名志愿者的平均年龄为32.25岁．(6分) (Ⅱ)设“第4组中至少有一名志愿者被抽中”为事件A ， 记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1.(7分)则从6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)共有15种．(9分)其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名被抽中的取法有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)共有9种．(11分)所以P(A)＝915＝35，故第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率为35.(12分)18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ)求三棱锥F －DEC 的体积；(Ⅱ)在线段CD 上是否存在一点G ，使得平面EFG ⊥平面PDC ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)过点P 作AD 的垂线PH ，垂足为H. 又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PH 平面PAD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PH ⊥平面ABCD.连接HC ，(2分)∵E 为PC 中点，∴三棱锥E －FDC 的高h ＝12PH ，又PA ＝PD ＝22AD 且AD ＝2，∴PH ＝1，∴h ＝24＝12，(4分) ∴三棱锥F －DCE 的体积是V F －DCE ＝V E －FDC ＝13S △DFC ·h ＝13×2×2×12×12＝16.(6分)(Ⅱ)在线段CD 上存在一点G 为CD 的中点时，使得平面EFG ⊥平面PDC ，理由如下：(7分) ∵底面ABCD 是边长为2的正方形，∴CD ⊥AD, 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面PAD ，(9分) 又EF ∥PA ，∴CD ⊥EF ， 取CD 中点G ，连接FG ，∵F 为AC 中点，∴FG ∥AD ， 又CD ⊥AD ，∴FG ⊥CD ，又FG ∩EF ＝F ，∴CD ⊥平面EFG ，(11分) 又CD平面PCD ，∴平面EFG ⊥平面PCD.(12分) 19．(本小题满分12分) 已知数列{}b n 满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{}b n 的前n 项和． (Ⅰ)求证数列{b n －12}是等比数例，并求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)如果对任意n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n ≥2n －5恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：当n ＝1时，2b 1＝7，b 1＝72.(1分)当n ≥2时，S n ＋b n ＝n ＋132，① S n －1＋b n －1＝（n －1）＋132， ②由①－②得2b n －b n －1＝12，所以⎝⎛⎭⎫b n －12＝12⎝⎛⎭⎫b n －1－12，(4分) 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列，所以b n －12＝⎝⎛⎭⎫b 1－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n －1， 即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫12n －1＋12.(6分) (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得：S n ＝n ＋132－b n ＝n ＋132－3⎝⎛⎭⎫12n －1－12＝n ＋122－3⎝⎛⎭⎫12n －1.(7分)不等式12k 12＋n －2S n≥2n －5，化简得k ≥(2n －52n )max ，对任意n ∈N *恒成立．(8分)设c n ＝2n －52n ，则c n ＋1－c n ＝2n －32n ＋1－2n －52n ＝－2n ＋72n ＋1.当n ≥3.5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，当1≤n ＜3.5时，c n ＋1＞c n ，c n 为单调递增数列，(10分) 所以n ＝4时，c n 取得最大值316，(11分) 所以，要使k ≥2n －52n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥316.(12分)20．(本小题满分12分)设A 、B 分别为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0) 的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为1.(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)已知椭圆C 2：x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m>n>0)的焦点与双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左右顶点重合，且离心率为12.直线l ：y ＝kx －4交椭圆C 2于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由题意知a ＝2，焦点坐标为(±4＋b 2，0)一条渐近线为y ＝b2x ，即bx －2y ＝0，焦点到渐近线的距离为1. 即4＋b 2·b b 2＋4＝1，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得双曲线C 1的顶点F(±2，0) ， ∵ 椭圆C 2的焦点与双曲线C 1的顶点重合， ∴椭圆C 2半焦距c ＝2, m 2－n 2＝c 2＝4. ∵椭圆C 2的离心率为12，∴2m ＝12m ＝4，n ＝23，∴椭圆C 2的方程为：x 216＋y 212＝1.(6分)设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1 ，得(4k 2＋3)x 2－32kx ＋16＝0.由Δ>0(－32k)2－4×16(4k 2＋3)>0k>12或k<－12. ①(7分) 由韦达定理得：x 1＋x 2＝32k 4k 2＋3，x 1x 2＝164k 2＋3.(8分)∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA →·OB →>0，(9分) OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝y 1y 2＋x 1x 2＝(kx 1－4)·(kx 2－4)＋x 1x 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝(k 2＋1)×164k 2＋3－4k ×32k4k 2＋3＋16 ＝16（4－3k 2）4k 2＋3>0 －233<k<233②(11分)由①、②得实数k 的范围是－233<k<－12或12<k<233.(12分)21．(本小题满分12分) 已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝aln x.(Ⅰ)若曲线y ＝f ()x －g ()x 在x ＝1处的切线的方程为6x －2y －5＝0，求实数a 的值；(Ⅱ)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1、x 2，都有h ()x 1－h ()x 2x 1－x 2>2恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)由y ＝f ()x －g ()x ＝12x 2－aln x ，得y′＝x －ax ，由题意，1－a ＝3，所以a ＝－2.(2分) (Ⅱ)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋aln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h ()x 1－h ()x 2x 1－x 2>2，设x 1>x 2，则h ()x 1－h ()x 2>2()x 1－x 2，即h ()x 1－2x 1>h ()x 2－2x 2恒成立，问题等价于函数F ()x ＝h ()x －2x ，即F ()x ＝12x 2＋aln x －2x 在()0，＋∞为增函数．(4分)所以F′()x ＝x ＋ax－2≥0在()0，＋∞上恒成立，即a ≥2x －x 2在()0，＋∞上恒成立，所以a ≥()2x －x2max＝1，即实数a 的取值范围是[)1，＋∞.(6分)(Ⅲ)不等式f′()x 0＋1f′()x 0<g ()x 0－g′()x 0等价于x 0＋1x 0<aln x 0－a x 0，整理得x 0－aln x 0＋1＋ax 0<0.设m ()x ＝x －aln x ＋1＋ax，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(8分)由m′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2.因为x>0，所以x ＋1>0，即令m′()x ＝0，得x ＝1＋a. ①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增， 只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)② 当1<1＋a ≤e ，即0<a ≤e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －aln(1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<aln(a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln(a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t ≤e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(10分) ③ 当1＋a>e ，即a>e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减， 只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1.综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(12分)请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中2019届高三第一次月考数学文试卷及答案
湖南师大附中2019届高三月考试卷数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝16－x －x 2的定义域是(A)A.()－3，2B.()－∞，－3∪()2，＋∞C.[]－3，2D.(]－∞，－3∪[)2，＋∞【解析】解不等式6－x －x 2>0得(x －2)(x ＋3)<0x ∈()－3，2.选A.2．已知复数z ＝21－i，给出下列四个结论：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数z －＝－1＋i ；④z 的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，z －＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，选B.3．已知命题p ：若a >||b ，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是(A) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．“綈q ”为假命题【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选择A.4．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，CA →＝3CE →，则DE →＝(D) A.34b －13a, B.512a －34b ， C.34a －13b, D.512b －34a ， 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋13CA →＝34(AC →－AB ）→－13AC →＝512b －34a .选D.5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.6．与直线2x －y ＋4＝0的平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是(D) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0【解析】设P (x 0，y 0)为切点，则切点的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，∴x 0＝1.由此得到切点(1，1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.7．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)A.25B.110C.910D.15 【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，故选D.8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数(A) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，令k ＝0，π12≤x ≤7π12.故函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选A. 9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为(C)A ．(1，2)∪(3，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(1，2)【解析】令2e x －1>2()x <2，解得1<x <2.令log 3()x 2－1>2()x ≥2，解得x 为()10，＋∞，不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)，故选C.10.执行如图所示的程序框图，若输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为(D)A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.375【解析】模拟程序的运行，可得a ＝1，b ＝2，c ＝0.3执行循环体，m ＝32，不满足条件f (m )＝0，满足条件f (a )f (m )＜0，b ＝1.5，不满足条件|a －b |＜c ，m ＝1.25，不满足条件f (m )＝0，不满足条件f (a )f (m )＜0，a ＝1.25，满足条件|a －b |＜c ，退出循环，输出a ＋b2的值为1.375.故选D.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，则下列结论正确的是(A)A ．S 2 018＝2 018，a 2 011<a 8B ．S 2 018＝2 018，a 2 011>a 8C ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≤a 8D ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≥a 8【解析】设f (x )＝x 3＋2 018x ，则由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )是奇函数．由f ′(x )＝3x 2＋2 018>0知函数f (x )＝x 3＋2 018x 在R 上单调递增．因为(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，所以f (a 8－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1，得a 8－1＝－(a 2 011－1)，即a 8＋a 2 011＝2，且a 2 011<a 8，所以在等差数列{a n }中，S 2 018＝2 018·a 1＋a 2 0182＝2 018·a 8＋a 2 0112＝2 018.故选A.12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2.当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数， 且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如右图所示． 当x >0时，由f (x )<0，得g (x )<0，由图知x >1， 当x <0时，由f (x )<0，得g (x )>0，由图知－1<x <0，∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故答案选B.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A B A D A D D A C D A B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知α为锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为__15°或75°__． 【解析】因为a ∥b ，34×13－cos α×sin α＝0sin 2α＝12，故α为15°或75°.14．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ、μ∈R }所表示的区域的面积是__43__．【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知，〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2，0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1，得|3x －y |＋|2y |≤2 3.作出可行域，如右图阴影部分所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.15．在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__．【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.16．在平面几何里，已知直角△SAB 的两边SA ，SB 互相垂直，且SA ＝a ，SB ＝b 则AB边上的高h ＝aba 2＋b2；拓展到空间，如图，三棱锥S －ABC 的三条侧棱SB 、SB 、SC 两两相互垂直，且SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则点S 到面ABC 的距离h ′＝__abca 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2__．【解析】把结论类比到空间：三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA SH ⊥平面ABC ，且SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则点S 到平面ABC 的距离h ′＝abca 2b 2＋b 2c 2＋c 2a2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝mc (m >0)．(1)当m ＝3时，若B ＝π6，求sin (A －C )的值；(2)当m ＝2时，若c ＝2，求△ABC 面积最大值． 【解析】(1)∵a ＋b ＝3c ，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ，∴sin A ＋12＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝3⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ，4分 化简得12sin A ＋32cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝12，∴A ＋π3＝5π6，即A ＝π2，∴C ＝π3，∴sin (A －C )＝sin π6＝12.6分(2)∵c ＝2，∴a ＋b ＝22，∴b ＝22－a ，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12ab ，8分∴S △ABC ≤12ab ＝12a (22－a )＝－12a 2＋2a ，10分∴当a ＝2时，－12a 2＋2a 取最大值1，此时a ＝b ＝2，c ＝2满足C ＝π2，∴△ABC 面积最大值为1.12分18.(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)设∠PDA ＝30°，∠BAD ＝60°，求直线BF 与平面P AC 所成的角的大小．【解析】(1)证明：设AC ∩BE ＝O ，连接OF 、EC .∵E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， ∴四边形ABCE 为菱形.2分 ∴O 为AC 的中点.3分又F 为PC 的中点，在△P AC 中，可得AP ∥OF .4分 又OF 平面BEF ，AP 平面BEF .5分 ∴AP ∥平面BEF .6分(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC .∴四边形BCDE 为平行四边形，∴BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥CD ，∴AP ⊥BE . ∵四边形ABCE 为菱形，∴BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP 、AC 平面P AC ，∴BE ⊥平面P AC . ∴直线BF 与平面P AC 所成的角为∠BFO .8分不妨设AP ＝2，∵∠PDA ＝30°，∴AE ＝12AD ＝2，又∵四边形ABCE 为菱形，∠BAD ＝60°，∴OB ＝1，∵Rt △BOF 中，OF ＝12AP ＝1，OB ＝1，∴∠BFO ＝45°.11分故直线BF 与平面P AC 所成的角的大小为45°.12分 19．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 1≠a 2，当n ∈N ＋时，恒有S n ＝pna n (p 为常数)． (1)求常数p 的值；(2)当a 2＝2时，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝4（a n ＋2）a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <74.【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，∴a 1＝pa 1，p ＝1或a 1＝0，当p ＝1时，S n ＝na n 则有S 2＝2a 2a 1＋a 2＝2a 2a 1＝a 2与已知矛盾， ∴p ≠1，只有a 1＝0.2分当n ＝2时，由S 2＝2pa 2a 1＋a 2＝2pa 2，∵a 1＝0又a 1≠a 2，∴a 2≠0，∴p ＝12.4分(2)∵a 2＝2，S n ＝12na n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，6分(n －2)a n ＝(n －1)a n －1a nn －1＝a n －1n －2，∴a n n －1＝a 21a n ＝2n －2.8分 当n ＝1时，a 1＝2×1－2＝0也适合，∴a n ＝2n －2.9分(3)b n ＝4（a n ＋2）a n ＋1＝1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n .10分当n ＝1，2时，显然成立，当n ≥3时有∴T n <1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝74－1n <74.12分 20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，设点F 1、F 2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 、P 为椭圆C 上三点，满足OP →＝35OA →＋45OB →，记线段AB 中点Q 的轨迹为E ，若直线l ：y ＝x ＋1与轨迹E 交于M 、N 两点，求|MN |.【解析】(1)由已知得2c ＝4，b ＝2，故c ＝2，a ＝2 2.∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OP →＝35OA →＋45OB →，∴OP →＝⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2， ∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.5分 ∵点P 在椭圆C 上，∴18⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 22＋14⎝⎛⎭⎫35y 1＋45y 22＝1， ∴925⎝⎛⎭⎫x 218＋y 214＋1625⎝⎛⎭⎫x 228＋y 224＋2425⎝⎛⎭⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1， 即925＋1625＋2425⎝⎛⎭⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即x 1x 28＋y 1y 24＝0.6分 令线段AB 的中点坐标为Q (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.7分∵A 、B 在椭圆C 上，∴⎩⎨⎧x 218＋y 214＝1，x 228＋y 224＝1，8分x 21＋x 228＋y 21＋y 224＝2， ∴（x 1＋x 2）2－2x 1x 28＋（y 1＋y 2）2－2y 1y 24＝2.∵x 1x 28＋y 1y 24＝0，∴（2x ）28＋（2y ）24＝2，即Q 点的轨迹E 的方程为x 24＋y 22＝1.9分联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋1，得3x 2＋4x －2＝0.设M (x 3，y 3)、N (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝－43，x 3·x 4＝－23.10分故|MN |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝453.12分第(2)问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分． 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝2x ＋ax 3，a 为实常数． (1)求g (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行．【解析】(1)g ′(x )＝3ax 2＋2，1分当a ≥0时，g ′(x )>0故g (x )的单调增区间为(－∞，＋∞).3分当a <0时，令g ′(x )≥0得－－23a ≤x ≤－23a，g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－－23a ，－23a ，g (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－∞，－－23a ，⎣⎡⎦⎤－23a ，＋∞.5分(2)当a ＝－1时，f ′(x )＝e x －e －x ，g ′(x )＝2－3x 2，x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行． 即x 0∈(0，1)使得f ′(x 0)＝g ′(x 0)，且f (x 0)≠g (x 0)，6分令h (x )＝f ′(x )－g ′(x )＝e x －e －x －2＋3x 2，h (0)＝－2<0，h (1)＝e －1e－2＋3>0，∴x 0∈(0，1)使得f ′(x 0)＝g ′(x 0).7分∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，63时g ′(x )>0，当x ∈(63，1)时g ′(x )<0，∴所以g (x )在区间(0，1)的最大值为g ⎝⎛⎭⎫63，g ⎝⎛⎭⎫63＝469<2.9分而f (x )＝e x ＋e －x ≥2e x e －x ＝2，10分∴x ∈(0，1)时f (x )>g (x )恒成立，∴f (x 0)≠g (x 0)．从而当a ＝－1时，x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行．12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin αy ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(2)若曲线N 和曲线M 有公共点，求t 的取值范围．【解析】(1)由x ＝3cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3得x ∈[－2，2]， 又∵x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1， 所以曲线M 的普通方程为y ＝x 2－1，x ∈[－2，2]．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ， 即ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 的直角坐标方程为x ＋y ＝t .4分(2)若曲线M 、N 有公共点，则当曲线N 过点(2，3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t y ＝x 2－1得x 2＋x －t －1＝0，Δ＝1＋4(1＋t )＝0t ＝－54.综上所述，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－54，5.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝||3x ＋2.(1)解不等式f (x )<4－||x －1；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若||x －a －f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)不等式f (x )<4－||x －1即为||3x ＋2<4－||x －1.当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4无解．综上所述，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12.5分 (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋m n ＋nm≥4， 令g (x )＝||x －a －f (x )＝||x －a －||3x ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a ，所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤40<a ≤103.。
湖南师大附中2019届高三月考试卷数学[文科]试题[教师版]
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炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(六) 数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{} |x ||x <1，N ＝{} |y y ＝2x，x ∈M ，则集合M∩N＝(B)A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[)1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 D.[)1，＋∞ 【解析】由M ＝{} |x ||x <1得：M ＝{}x |－1<x<1，N ＝{} |y y ＝2x，x ∈M 得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12<y<2，则M∩N＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B. 2．已知复数z ＝4＋bi1－i ()b∈R 的实部为－1，则b ＝(C) A ．－5 B ．5 C ．6 D ．－6【解析】由z ＝4＋bi 1－i ＝()4＋bi ()1＋i （1－i ）()1＋i ＝4－b ＋()4＋b i 2的实部为－1，得4－b2＝－1，得b ＝6.故选C.3．下列说法中正确的是(D)A ．若分类变量X 和Y 的随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小B ．对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 间的这种非确定关系叫做函数关系C ．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D ．若分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【解析】函数关系中自变量x 和因变量y 是确定关系，故B 错．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，故C 错．随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越大，观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小．故A 错，D 正确．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝(A)A.310 B.13C.18D.19【解析】由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝a 1＋d 2a 1＋5d ＝13a 1＝2d ，且d≠0，所以S 6S 12＝2a 1＋5d 2（2a 1＋11d ）＝9d30d＝310.故选A.5．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为(B)A ．0B ．11C ．22D ．88【解析】开始循环，m ＝209，n ＝121，第一次循环：r ＝88，m ＝121，n ＝88，不满足条件；第二次循环：r ＝33，m ＝88，n ＝33，不满足条件；第三次循环：r ＝22，m ＝33，n ＝22，不满足条件；第四次循环：r ＝11，m ＝22，n ＝11，不满足条件；第五次循环：r ＝0，m ＝11，n ＝0，满足条件；结束循环，输出结果为m ＝11.答案选B.6．下面四个推理，不属于演绎推理的是(C) A ．因为函数y ＝sin x ()x∈R 的值域为[]－1，1，2x －1∈R ，所以y ＝sin ()2x －1()x∈R 的值域也为[]－1，1B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C ．在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a∥b，b ∥c 则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【解析】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理．7．已知f ()x 满足对x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，且x≥0时，f ()x ＝e x＋m(m 为常数)，则f ()－ln 5的值为(B)A ．4B ．－4C ．6D ．－6【解析】由题意f ()x 满足对x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，即函数f ()x 为奇函数，由奇函数的性质可得f ()0＝e 0＋m ＝0，∴m ＝－1则当x≥0时，f ()x ＝e x－1，∵ln 5>0故f ()－ln 5＝－f ()ln 5＝－()e ln 5－1＝－4，选B.8．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝(B)A.31010B.1010 C.510 D.515【解析】由图象知∠DEA＝π4，tan ∠CEB ＝12，所以有tan ∠CED ＝tan (∠DEA－∠CEB)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－∠CEB ＝1－tan ∠CEB 1＋tan ∠CEB ＝13，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED ＝1010，选B.9．若实数数列：－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，则圆锥曲线x 2＋y2a 2＝1的离心率是(D)A.13或10B.10或223C.223D.10 【解析】因为－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，所以a 22＝－1×(－81)＝81，a 2＝－9(等比数列的奇数项同号)，所以圆锥曲线的方程为x 2－y 29＝1，其中a ＝1，b ＝3，c ＝1＋9＝10，离心率为e ＝ca＝10，故选D.10．若函数f(x)＝2x＋a2x ＋1为奇函数，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧aln x ，x>0，e ax ，x ≤0，则不等式g(x)>1的解集是(A)A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪(0，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞【解析】因为函数f(x)＝2x＋a2x ＋1为奇函数，∴f(0)＝0，∴a ＝－1，∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，x>0，e －x ，x ≤0，所以不等式g(x)>1的解集为x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .故答案选A.11．四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为(A)A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【解析】由三视图可知，该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥P －ABCD ，其中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，该四棱锥外接球的球心为PC 的中点O ，由直观图可知O 到线段EF 的距离为a 2，球的半径R ＝3a2，所以，直线EF 被球面所截得的线段长为2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2a ＝22，即a ＝2，R ＝3a 2＝3，所以该球的表面积为S ＝4πR 2＝12π，故选A. 12．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，设h(x)＝f(f(x))－c ，其中c ∈(－2，2)，函数y ＝h(x)的零点个数(D)A ．8B ．11C ．10D ．9【解析】f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，1和－1是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，所以有1＋(－1)＝－2a 3，1×(－1)＝b 3，求得a ＝0，b ＝－3，所以f(x)＝x 3－3x ，若令f(x)＝t ，则h(x)＝f(t)－c ，考查方程f(x)＝d ，d ∈(－2，2)的根的情况，因为f(－2)－d ＝－2－d<0，f(－1)－d ＝2－d>0，函数f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)＝d 在(－2，－1)内有唯一零点，同理可以判断f(x)＝d 在(－1，1)，(1，2)内各有唯一的零点，所以得到方程f(x)＝d ，d ∈(－2，2)的根有3个；再看函数y ＝h(x)的零点，当c∈(－2，2)时，f(t)＝c 有三个不同的根x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3∈(－2，2)，而f(x)＝t 有三个不同的根，所以函数y ＝h(x)有9个零点．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__1和3__．【解析】先从丙说可得丙拿的是1和2，或1和3，再由乙说的可得乙拿的是2和3，再从甲说的可得甲拿的是1和3.14．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C 的方程为__(x －2)2＋(y ＋3)2＝5__．【解析】∵圆C 与y 轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上．又∵已知圆心在直线2x －y －7＝0上，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，2x －y －7＝0，解得x ＝2，∴圆心C 为(2，－3)，∴半径r ＝|AC|＝22＋[－3－（－4）]2＝5.∴所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.故答案为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.15．已知锐角△ABC 的外接圆半径为33BC ，且AB ＝3，AC ＝4，则BC ＝．【解析】设△ABC 的外接圆半径为R ，BC sin A ＝2R ，∴sin A ＝BC 2R ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3，∴BC2＝32＋42－2×3×4cos π3＝13，∴BC ＝13.16．已知O 为三角形ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠BAC ＝120°，若AO →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋6y 的最小值为．【解析】∵AO →＝xAB →＋yAC →，∴AO →·AB →＝xAB →2＋yAB →·AC →4a 2x －2y ＝2a 2①，同理AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC→2－2x ＋4a 2y ＝2a 2②，联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a 2＋13a2，y ＝a 2＋23，∴3x ＋6y ＝2a 2＋1a 2＋2a 2＋4＝6＋2a 2＋1a2≥6＋22a 2·1a 2＝6＋22，当且仅当2a 2＝1a2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1214时，等号成立，即3x ＋6y 的最小值是6＋2 2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)在等比数列{}a n 中，已知a 4＝8a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{}||a n －4的前n 项和S n .【解析】(1)设数列{}a n 的公比为q ，则a 4＝a 1·q 3＝8a 1.∴q ＝2，2分 又a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即2()a 2＋1＝a 1＋a 3，∴a 1＝2，4分∴a n ＝2n.6分(2)当n ＝1时，a 1－4＝－2<0，∴S 1＝2，8分 当n≥2时，a n －4≥0.∴S n ＝2＋()a 2－4＋...＋()a n －4＝2＋22＋ (2)－4()n －1＝2()1－2n1－2－4()n －1＝2n ＋1－4n ＋2.11分又当n ＝1时，上式也满足．∴当n∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.12分 18．(本题满分12分)如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD⊥平面ACD ，连接AB 、BE ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD ；(2)若EF∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积． 【解析】(1)证明：∵AC＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°. ∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ACD＝30°.∴CD ＝2 3.∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE·CD·cos 30°＝4，∴DE ＝2，则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC.又∵平面BCD⊥平面ACD ，平面BCD∩平面ACD ＝CD ，DE 平面ACD ， ∴DE ⊥平面BCD.6分(2)∵EF∥平面BDG ，EF 平面ABC ，平面ABC∩平面BDG ＝BG ，∴EF ∥BG. ∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH⊥CD 于H.∵平面BCD⊥平面ACD ，∴BH ⊥平面ACD. 由条件得BH ＝32，S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC·CD·sin 30°＝3，∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.12分19．(本题满分12分)某种鸟类属于国家一级保护鸟类，其产卵数与鸟舍的温度有关．为了确定下一个时间段鸟舍的控制温度，研究小组需要了解鸟舍的时段控制温度x(单位：℃)对鸟的时段产卵数y(单位：枚)和时段投入保护性成本z(单位：万元)的影响．为此该研究小组选取了7个鸟舍的时段控制温度x i (i ＝1，2，3，…，7)和产卵数y i (i ＝1，2，3，…，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图的散点图及一些统计量的值.其中k i ＝ln y i ，k －＝17 i ＝17k i .(1)根据散点图判断y ＝bx ＋a 与y ＝c 1ec 2x 哪一个适宜作为鸟的时段产卵数y 关于鸟舍的时段控制温度x 的回归方程？(给出判断即可，可不必说明理由)；(2)根据(1)的判断及表中数据，建立y 与x 的回归方程；(3)已知时段投入保护性成本z 与x ，y 的关系为z ＝e －2.5y －0.01x ＋10.①鸟舍的时段控制温度x ＝28 ℃时，鸟的时段产卵数及时段投入保护性成本的预报值是多少？(结果保留2位小数)②当x∈(20，36)时，说明时段投入保护性成本的预报值的变化趋势．附：(1)对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.参考数据：【解析】(1)由散点图可以判断，y ＝c 1ec 2x 适宜作为鸟的时段产卵数y 关于鸟舍的时段控制温度x 的回归方程.2分(2)由题意知k ＝ln y ，设k 关于x 的线性回归方程为k ＝dx ＋c(d ＝c 2，c ＝ln c 1)．因为d ^＝错误!＝错误!＝0.25，错误!＝错误!－错误!错误!＝3.60－0.25×27.40＝－3.25，4分 所以k 关于x 的线性回归方程为k ^＝0.25x －3.25，c 2＝0.25，c 1＝e －3.25＝0.04， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝0.04e 0.25x.6分(3)①由(2)知，当x ＝28时，鸟的时段产卵数的预报值y ^＝0.04e 0.25×28＝0.04e 7＝0.04×1 096.63＝43.8652≈43.87，时段投入保护性成本z 的预报值z ^＝e －2.5×43.8652－0.01×28＋10＝0.08×43.8652－0.28＋10≈13.23.9分 ②由(2)知，z ^＝e －2.5y ^－0.01x ＋10＝0.04e 0.25(x －10)－0.01x ＋10， 所以z ^′＝0.01e 0.25(z －10)－0.01＝0.01[e 0.25(x －10)－1]，所以当x>10时，z ^′>0，此时函数为单调递增函数，故当x∈(20，36)时，时段投入保护性成本的预报值随着温度的升高而增大.12分20．(本题满分12分)如图，设双曲线C 1：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端点．已知C 1的离心率为233，且△ABF 的面积S ＝1－32.(1)求双曲线C 1的方程；(2)设抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与C 2相切于点P ，与C 2的准线相交于点Q.试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知c a ＝233，即2a ＝3c ，则4a 2＝3c 2，即4a 2＝3(a 2＋b 2)，得a ＝3b ，c ＝2b.2分又12(c －a)b ＝1－32，则(2b －3b)b ＝2－3，得b ＝1.4分 从而a ＝3，c ＝2，所以双曲线C 1的方程为y 23－x 2＝1.5分(2)由题设，抛物线C 2的方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2.7分由y ＝18x 2，得y′＝14x.设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，18x 20，则直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20.联立y ＝－2，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2.9分假设存在定点M(0，m)满足题设条件，则MP →·MQ →＝0对任意点P 恒成立． 因为MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，18x 20－m ，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2－m ， 则x 20－162－(m ＋2)(18x 20－m)＝0，即2－m 8x 20＋m(m ＋2)－8＝0对任意实数x 0恒成立.11分 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，m （m ＋2）－8＝0，即m ＝2.故以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点M(0，2).12分21．(本题满分12分)已知f(x)＝e x ，g(x)＝－x 2＋2x ＋a ，a ∈R . (1)讨论函数h(x)＝f(x)g(x)的单调性；(2)记φ(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x<0，g （x ），x>0，设A(x 1，φ(x 1))，B(x 2，φ(x 2))为函数φ(x)图象上的两点，且x 1<x 2.①当x>0时，若φ(x)在A ，B 处的切线相互垂直，求证：x 2－x 1≥1；②若在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)h(x)＝e x (－x 2＋2x ＋a)，则h′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]2分 当a ＋2≤0即a≤－2时，h ′(x)≤0，h(x)在R 上单调递减；3分当a ＋2>0即a>－2时，h ′(x)＝－e x[x 2－(a ＋2)]＝－e x(x ＋a ＋2)(x －a ＋2)，此时h(x)在(－∞，－a ＋2)及(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2)上是单调递增的；5分(2)①g′(x)＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2， 则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1故：x 2－x 1＝12[(－2x 1＋2)＋(2x 2－2)]≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号.8分法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1，x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1，当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）x 1＝12时取等号.8分②要在点A ，B 处的切线重合，首先需在点A ，B 处的切线的斜率相等，而x<0时，φ′(x)＝f′(x)＝e x∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1，即A(x 1，ex 1)，B(x 2，－x 22＋2x 2＋a)．A 处的切线方程是：y －ex 1＝ex 1(x －x 1)y ＝ex 1x ＋ex 1(1－x 1)，B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a)＝(－2x 2＋2)(x －x 2)即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，10分据题意则⎩⎪⎨⎪⎧ex 1＝－2x 2＋2ex 1（1－x 1）＝x 22＋a 4a ＋4＝－ex 1(ex 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0)，设p(x)＝－e x(e x＋4x －8)，x<0，p ′(x)＝－2e x(e x＋2x －2)， 设q(x)＝e x ＋2x －2，x<0q ′(x)＝e x＋2>0在(－∞，0)上恒成立， 则q(x)在(－∞，0)上单调递增q(x)<q(0)＝－1<0，则p′(x)＝－2e x (e x＋2x －2)>0p(x)在(－∞，0)上单调递增，则p(x)<p(0)＝7，再设r(x)＝e x＋4x －8，x<0，r ′(x)＝e x＋4>0r(x)在(－∞，0)上单调递增r(x)<r(0)＝－7<0，则p(x)＝－e x (e x＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立， 即当x∈(－∞，0)时p(x)的值域是(0，7)． 故4a ＋4∈(0，7)－1<a<34，即为所求.12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(三)理科数学(PDF教师版)
数 ! 学! 理科 "
命题人# 朱海棠!贺祝华!张天平!欧阳普 审题# 高三数学备课组
时量# " $ %分钟!!!满分# " & %分
一$ 选择题# 本大题共 " 每小题 & 分% 共' 在每小题的四个选项中% 只有一项是符合题目要 $ 小题% % 分% 求的! 已知复数"( $ ) % 则下列结论中正确的是 ! " " ! $ * + " ) * $ 为纯虚数 . /( $ +" 的虚部为* " " "(! " ) * ," " ! " $ " ! * $ % % % 故选 +! & 解析' 由已知% % 则" 的虚部为" "( ! " " (槡 $ "( $ *为纯虚数% "( " ! * ) $ * ( " ) * " " " " ) *! " ! * $ ! ) 的充分不必要条件% 则$ 的取值范围是 若( ! ) 是( 设##% ," #! $ $#" #) #! $ % " $ ! % " " $ ! * % ! " % ,! !0% ! 1 $ )0" . !0% ! 1 $ )0" &+ &! ! % " + % * +! 1 $ /! 1 $ ! % 解得# & 解析' 由 #! $ $#" $! " #$ $) " ! " $ " $ " $ % 解得#% 由# ) #! $ % "或#$! $ ! % $ 又( ! ) 是( ) 的充分不必要条件% " #! $ $#" # ) #! $ % " " $ % 或 % 即 % 或 故选 ,$! " $) " $ $( $ $'! 1 ! 2 " '! ' % % % % % % 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐 已知集合 %(, & &(, " $ '( , " 1 3 1 ! 标% 则确定的不同点的个数为 ! " + ,' . 1 $ +1 1 /1 3 " " 1 % % 但集合 &$ & 解析' 不考虑限定条件确定的不同点的个数为 + + , 1 ' ' 中有相同元素" $ 1 1( 由& % % 三个数确定的不同点的个数只有三个 % 故所求的个数为 故选 +"" 1 ' ! 1 ( 1 1个 % $ $ 给出下列3个命题# ! " 设( . )$ * 表示不同的直线% 3 ! $ 表示不同的平面% % 且 % 则 . 若 ) ( ) ( ) * * % 且 )) 则( ( % ) . 若 )) % % 则( ( ( ( ) *% *. + + ( ))) 若+ % 且*) % 则 )) ()% ( *% ( ! + ( + ( 若+ 其中正确命题的个数是 ," .$ +1 /3 故命题为假. 在命题的条件下% 三条 & 解析' 易知命题正确. 在命题的条件下% 直线(可能在平面 内% 直线可以相交于一点% 故命题为假. 在命题中% 由+ 由*, % % 得 * 知% *, ( ) ( 且*, % 及*) + 同理*) % 故 )) % 命题正确! 故选 .*))% ( ( % #) 1 1 % ( +! . 且#) % 则实数 )( % ! " 若实数#% #! 1 % + $ & ! ' + 满足不等式组+! + 的最大值为# % / #!) " % ( +) ,! $ .! " +" /$ 则+(! & 解析' 令"( "的直线在+ 轴上的截距! #) #) "% " 表示斜率为! +% 因此#!) 所以 )( 故选 +当" 最大值为#时% #) " 过点%% " ( %过点 %% " ! +(! +)
2019师大附中高三月考(三)理数
! ! % 的图像 0 2 # #$ # # # 则实数 ) 的取值范围是!!!!! 上至少存在一对关于# 轴对称的点% 题为必考题 % 每个试题考生都必须作答! 第# $ 考生根据 # # 2 题为选考题% 要求作答 !
! ) ( "
三$ 解答题 # 共5 解答应写出文字说明$ 证明过程或演算步骤! 第! $分 ! 5 # !
! 一" 必考题 # 共' $分 ! ! 本小题满分! ! 5 ! #分"
4 % 在0% 设角 %$ $ % 已知 ( $% & ' 中% &$ ' 的对边分别为$$ . 4 ( # ! " % 且 > 9 6'% ! ( . !
! 求角 % 的大小, " ! 若$( % 求 0% # & ' 的面积- 的最大值! "
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! 且各个元件能否正常工作相互独立% 那么该 超过!# $ $小时的概率为 % 2 部件的使用寿命超过" $ $小时的概率为!!!!!
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理科数学试题! 附中版" 共 "页" 3 页! !第!
! 本小题满分! ! % ! #分" 如图 % 在四棱锥 90% 侧面 9 & ' : 中% % :) 底面 侧棱 9 底面 % % & ' :% %(9 :(槡 #% & ' : 是直角 其中 & 梯形! '(% :% % & )% :% % : (# % &( # & '( # ! ! " 求证 # 平面 9 ' :) 平面 9 % &, ! 线段 9 使得二面角 ;0 : 上是否存在点;% " #% 槡 如存在% 试确定这个点的位置, 如 2
2019届湖南师范大学附属中学高三上学期第四次月考数学(文)试卷及答案解析
【点睛】
求离心率的常用方法有以下两种：
三、解答题
17．已知函数 , 的最大值是2,且在 处的切线与直线 平行.
(1)求 的值；
(2)先将 的图象上每点的横坐标缩小为原来的 ,纵坐标不变,再将其向右平移 个单位得到函数 的图象,已知 , ,求 的值.
18．如图,已知三棱柱 的侧棱垂直于底面, ,点 分别是 和 的中点.
(1)证明： 平面 ；
112.45
82.50
3947.71
566.85
(1)求 关于 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)；
(2)某同学认为方程 更适合作为 关于 的回归方程模型,他求得的回归方程是 .经调查,该地11岁男童身高的中位数为 ,与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？
(3)从6岁～10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演(假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高).再从这5位男童中任挑选两人表演“二重唱”,则“二重唱”男童身高满足 的概率是多少？
9．设定义域为 的函数 ,若 ,则关于 的方程 的不同实数根共有
A．4个B．5个C．7个D．8个
10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体的体积为
A． B． C． D．
11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放,甲、乙两人计划前去自习,其中甲连续自习2小时,乙连续自习3小时.假设这两人各自随机到达图书馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是
A．若 , ,且 ,则
B．若 ,则
C．若 , , ,则
D．若 ,,则
3．已知 在双曲线 的渐近线上,则该双曲线的离心率为
湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)(教师版) 数学(文)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)数 学(文科)本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{} |x ||x <1，N ＝{} |y y ＝2x，x ∈M ，则集合M ∩N ＝(B)A.⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[)1，＋∞B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D.[)1，＋∞ 【解析】由M ＝{} |x ||x <1得：M ＝{}x |－1<x<1，N ＝{} |y y ＝2x，x ∈M 得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪12<y<2，则M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫12，1，故选B.2．已知复数z ＝4＋bi1－i ()b ∈R 的实部为－1，则b ＝(C) A ．－5 B ．5 C ．6 D ．－6【解析】由z ＝4＋bi 1－i ＝()4＋bi ()1＋i （1－i ）()1＋i ＝4－b ＋()4＋b i 2的实部为－1，得4－b2＝－1，得b＝6.故选C.3．下列说法中正确的是(D)A ．若分类变量X 和Y 的随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小B ．对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 间的这种非确定关系叫做函数关系C ．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D ．若分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【解析】函数关系中自变量x 和因变量y 是确定关系，故B 错．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，故C 错．随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越大，观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小．故A 错，D 正确．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝(A)A.310B.13 C.18 D.19【解析】由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝a 1＋d 2a 1＋5d ＝13a 1＝2d ，且d ≠0，所以S 6S 12＝2a 1＋5d 2（2a 1＋11d ）＝9d 30d ＝310.故选A.5．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为(B)A ．0B ．11C ．22D ．88【解析】开始循环，m ＝209，n ＝121，第一次循环：r ＝88，m ＝121，n ＝88，不满足条件；第二次循环：r ＝33，m ＝88，n ＝33，不满足条件；第三次循环：r ＝22，m ＝33，n ＝22，不满足条件；第四次循环：r ＝11，m ＝22，n ＝11，不满足条件；第五次循环：r ＝0，m ＝11，n ＝0，满足条件；结束循环，输出结果为m ＝11.答案选B.6．下面四个推理，不属于演绎推理的是(C)A ．因为函数y ＝sin x ()x ∈R 的值域为[]－1，1，2x －1∈R ，所以y ＝sin ()2x －1()x ∈R的值域也为[]－1，1B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C ．在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c ，将此结论放到空间中也是如此D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【解析】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理．7．已知f ()x 满足对x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，且x ≥0时，f ()x ＝e x ＋m(m 为常数)，则f ()－ln 5的值为(B)A ．4B ．－4C ．6D ．－6【解析】由题意f ()x 满足对x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，即函数f ()x 为奇函数，由奇函数的性质可得f ()0＝e 0＋m ＝0，∴m ＝－1则当x ≥0时，f ()x ＝e x －1，∵ln 5>0故f ()－ln 5＝－f ()ln 5＝－()e ln 5－1＝－4，选B.8．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝(B)A.31010B.1010C.510 D.515【解析】由图象知∠DEA ＝π4，tan ∠CEB ＝12，所以有tan ∠CED ＝tan(∠DEA －∠CEB)＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－∠CEB ＝1－tan ∠CEB 1＋tan ∠CEB ＝13，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED ＝1010，选B.9．若实数数列：－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，则圆锥曲线x 2＋y 2a 2＝1的离心率是(D)A.13或10B.10或223C.223D.10 【解析】因为－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，所以a 22＝－1×(－81)＝81，a 2＝－9(等比数列的奇数项同号)，所以圆锥曲线的方程为x 2－y 29＝1，其中a ＝1，b ＝3，c ＝1＋9＝10，离心率为e ＝ca＝10，故选D.10．若函数f(x)＝2x ＋a2x ＋1为奇函数，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧aln x ，x>0，e ax ，x ≤0，则不等式g(x)>1的解集是(A)A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎫－1e ，0∪(0，1) C.⎝⎛⎭⎫－1e ，1 D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 【解析】因为函数f(x)＝2x ＋a2x ＋1为奇函数，∴f(0)＝0，∴a ＝－1，∴g(x)＝⎩⎨⎧－ln x ，x>0，e －x，x ≤0，所以不等式g(x)>1的解集为x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，1e .故答案选A.11．四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为(A)A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【解析】由三视图可知，该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥P －ABCD ，其中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，该四棱锥外接球的球心为PC 的中点O ，由直观图可知O 到线段EF 的距离为a 2，球的半径R ＝3a2，所以，直线EF 被球面所截得的线段长为2R 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝2a ＝22，即a ＝2，R ＝3a 2＝3，所以该球的表面积为S ＝4πR 2＝12π，故选A.12．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，设h(x)＝f(f(x))－c ，其中c ∈(－2，2)，函数y ＝h(x)的零点个数(D)A ．8B ．11C ．10D ．9【解析】f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，1和－1是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，所以有1＋(－1)＝－2a 3，1×(－1)＝b3，求得a ＝0，b ＝－3，所以f(x)＝x 3－3x ，若令f(x)＝t ，则h(x)＝f(t)－c ，考查方程f(x)＝d ，d ∈(－2，2)的根的情况，因为f(－2)－d ＝－2－d<0，f(－1)－d＝2－d>0，函数f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)＝d 在(－2，－1)内有唯一零点，同理可以判断f(x)＝d 在(－1，1)，(1，2)内各有唯一的零点，所以得到方程f(x)＝d ，d ∈(－2，2)的根有3个；再看函数y ＝h(x)的零点，当c ∈(－2，2)时，f(t)＝c 有三个不同的根x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3∈(－2，2)，而f(x)＝t 有三个不同的根，所以函数y ＝h(x)有9个零点．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__1和3__．【解析】先从丙说可得丙拿的是1和2，或1和3，再由乙说的可得乙拿的是2和3，再从甲说的可得甲拿的是1和3.14．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C 的方程为__(x －2)2＋(y ＋3)2＝5__．【解析】∵圆C 与y 轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上．又∵已知圆心在直线2x －y －7＝0上，∴联立⎩⎨⎧y ＝－3，2x －y －7＝0，解得x ＝2，∴圆心C 为(2，－3)，∴半径r ＝|AC|＝22＋[－3－（－4）]2＝ 5.∴所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.故答案为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.15．已知锐角△ABC 的外接圆半径为33BC ，且AB ＝3，AC ＝4，则BC ＝． 【解析】设△ABC 的外接圆半径为R ，BC sin A ＝2R ，∴sin A ＝BC 2R ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3，∴BC 2＝32＋42－2×3×4cos π3＝13，∴BC ＝13.16．已知O 为三角形ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠BAC ＝120°，若AO →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋6y 的最小值为．【解析】∵AO →＝xAB →＋yAC →，∴AO →·AB →＝xAB →2＋yAB →·AC→4a 2x －2y ＝2a 2①，同理AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC →2－2x ＋4a 2y ＝2a2②，联立①②，可得⎩⎨⎧x ＝2a 2＋13a 2，y ＝a 2＋23，∴3x ＋6y ＝2a 2＋1a 2＋2a 2＋4＝6＋2a 2＋1a2≥6＋22a 2·1a 2＝6＋22，当且仅当2a 2＝1a2a ＝⎝⎛⎭⎫1214时，等号成立，即3x ＋6y 的最小值是6＋2 2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)在等比数列{}a n 中，已知a 4＝8a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{}||a n －4的前n 项和S n .【解析】(1)设数列{}a n 的公比为q ，则a 4＝a 1·q 3＝8a 1.∴q ＝2，2分 又a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即2()a 2＋1＝a 1＋a 3，∴a 1＝2，4分 ∴a n ＝2n .6分(2)当n ＝1时，a 1－4＝－2<0，∴S 1＝2，8分 当n ≥2时，a n －4≥0.∴S n ＝2＋()a 2－4＋…＋()a n －4＝2＋22＋…＋2n －4()n －1＝2()1－2n1－2－4()n －1＝2n ＋1－4n ＋2.11分又当n ＝1时，上式也满足．∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.12分 18．(本题满分12分) 如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连接AB 、BE ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积．【解析】(1)证明：∵AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°.∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°.∴CD ＝2 3. ∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE·CD·cos 30°＝4， ∴DE ＝2，则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC.又∵平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE 平面ACD ， ∴DE ⊥平面BCD.6分(2)∵EF ∥平面BDG ，EF 平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，∴EF ∥BG. ∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH ⊥CD 于H.∵平面BCD ⊥平面ACD ，∴BH ⊥平面ACD. 由条件得BH ＝32，S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC·CD·sin 30°＝3，∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.12分19．(本题满分12分)某种鸟类属于国家一级保护鸟类，其产卵数与鸟舍的温度有关．为了确定下一个时间段鸟舍的控制温度，研究小组需要了解鸟舍的时段控制温度x(单位：℃)对鸟的时段产卵数y(单位：枚)和时段投入保护性成本z(单位：万元)的影响．为此该研究小组选取了7个鸟舍的时段控制温度x i (i ＝1，2，3，…，7)和产卵数y i (i ＝1，2，3，…，7)的数据，对数据初步处理其中k i ＝ln y i ，k －＝17 i ＝17k i .(1)根据散点图判断y ＝bx ＋a 与y ＝c 1ec 2x 哪一个适宜作为鸟的时段产卵数y 关于鸟舍的时段控制温度x 的回归方程？(给出判断即可，可不必说明理由)；(2)根据(1)的判断及表中数据，建立y 与x 的回归方程；(3)已知时段投入保护性成本z 与x ，y 的关系为z ＝e －2.5y －0.01x ＋10. ①鸟舍的时段控制温度x ＝28 ℃时，鸟的时段产卵数及时段投入保护性成本的预报值是多少？(结果保留2位小数)②当x ∈(20，36)时，说明时段投入保护性成本的预报值的变化趋势．附：(1)对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu ＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.参考数据：【解析】(1)12y 关于鸟舍的时段控制温度x 的回归方程.2分(2)由题意知k ＝ln y ，设k 关于x 的线性回归方程为k ＝dx ＋c(d ＝c 2，c ＝ln c 1)．因为d ^＝错误!＝错误!＝0.25，错误!＝错误!－错误!错误!＝3.60－0.25×27.40＝－3.25，4分所以k 关于x 的线性回归方程为k ^＝0.25x －3.25，c 2＝0.25，c 1＝e －3.25＝0.04， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝0.04e 0.25x .6分(3)①由(2)知，当x ＝28时，鸟的时段产卵数的预报值y ^＝0.04e 0.25×28＝0.04e 7＝0.04×1 096.63＝43.8652≈43.87，时段投入保护性成本z 的预报值z ^＝e －2.5×43.8652－0.01×28＋10＝0.08×43.8652－0.28＋10≈13.23.9分 ②由(2)知，z ^＝e －2.5y ^－0.01x ＋10＝0.04e 0.25(x －10)－0.01x ＋10， 所以z ^′＝0.01e 0.25(z －10)－0.01＝0.01[e 0.25(x －10)－1]，所以当x>10时，z ^′>0，此时函数为单调递增函数，故当x ∈(20，36)时，时段投入保护性成本的预报值随着温度的升高而增大.12分20．(本题满分12分)如图，设双曲线C 1：y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端点．已知C 1的离心率为233，且△ABF 的面积S ＝1－32.(1)求双曲线C 1的方程；(2)设抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与C 2相切于点P ，与C 2的准线相交于点Q.试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知c a ＝233，即2a ＝3c ，则4a 2＝3c 2，即4a 2＝3(a 2＋b 2)，得a ＝3b ，c ＝2b.2分又12(c －a)b ＝1－32，则(2b －3b)b ＝2－3，得b ＝1.4分从而a ＝3，c ＝2，所以双曲线C 1的方程为y 23－x 2＝1.5分(2)由题设，抛物线C 2的方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2.7分由y ＝18x 2，得y′＝14x.设点P ⎝⎛⎭⎫x 0，18x 20，则直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20.联立y ＝－2，得Q ⎝⎛⎭⎫x 20－162x 0，－2.9分 假设存在定点M(0，m)满足题设条件，则MP →·MQ →＝0对任意点P 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎫x 0，18x 20－m ，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－162x 0，－2－m ，则x 20－162－(m ＋2)(18x 20－m)＝0，即2－m 8x 2＋m(m ＋2)－8＝0对任意实数x 0恒成立.11分 所以⎩⎨⎧2－m ＝0，m （m ＋2）－8＝0，即m ＝2.故以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点M(0，2).12分21．(本题满分12分)已知f(x)＝e x ，g(x)＝－x 2＋2x ＋a ，a ∈R . (1)讨论函数h(x)＝f(x)g(x)的单调性；(2)记φ(x)＝⎩⎨⎧f （x ），x<0，g （x ），x>0，设A(x 1，φ(x 1))，B(x 2，φ(x 2))为函数φ(x)图象上的两点，且x 1<x 2.①当x>0时，若φ(x)在A ，B 处的切线相互垂直，求证：x 2－x 1≥1； ②若在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)h(x)＝e x (－x 2＋2x ＋a)，则h′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]2分 当a ＋2≤0即a ≤－2时，h ′(x)≤0，h(x)在R 上单调递减；3分当a ＋2>0即a>－2时，h ′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]＝－e x (x ＋a ＋2)(x －a ＋2)， 此时h(x)在(－∞，－a ＋2)及(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2)上是单调递增的；5分(2)①g′(x)＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2， 则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1故：x 2－x 1＝12[(－2x 1＋2)＋(2x 2－2)]≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号.8分法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1，x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1，当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）x 1＝12时取等号.8分②要在点A ，B 处的切线重合，首先需在点A ，B 处的切线的斜率相等， 而x<0时，φ′(x)＝f′(x)＝e x ∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1， 即A(x 1，ex 1)，B(x 2，－x 22＋2x 2＋a)．A 处的切线方程是：y －ex 1＝ex 1(x －x 1)y ＝ex 1x ＋ex 1(1－x 1)，B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a)＝(－2x 2＋2)(x －x 2)即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，10分据题意则⎩⎪⎨⎪⎧ex 1＝－2x 2＋2ex 1（1－x 1）＝x 22＋a4a ＋4＝－ex 1(ex 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0)，设p(x)＝－e x (e x ＋4x －8)，x<0，p ′(x)＝－2e x (e x ＋2x －2)，设q(x)＝e x ＋2x －2，x<0q ′(x)＝e x ＋2>0在(－∞，0)上恒成立， 则q(x)在(－∞，0)上单调递增q(x)<q(0)＝－1<0， 则p′(x)＝－2e x (e x ＋2x －2)>0p(x)在(－∞，0)上单调递增， 则p(x)<p(0)＝7，再设r(x)＝e x ＋4x －8，x<0， r ′(x)＝e x ＋4>0r(x)在(－∞，0)上单调递增r(x)<r(0)＝－7<0， 则p(x)＝－e x (e x ＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立， 即当x ∈(－∞，0)时p(x)的值域是(0，7)． 故4a ＋4∈(0，7)－1<a<34，即为所求.12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中2019届高三月考试卷(3)文数答案
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湖南师大附中2019届高三月考试卷数学[文科]试题[教师版]
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2019届高三月考试卷(六) 数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{} |x ||x <1，N ＝{} |y y ＝2x，x ∈M ，则集合M∩N＝(B)A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[)1，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 D.[)1，＋∞【解析】由M ＝{} |x ||x <1得：M ＝{}x |－1<x<1，N ＝{} |y y ＝2x，x ∈M 得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12<y<2，则M∩N＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故选B. 2．已知复数z ＝4＋bi1－i ()b∈R 的实部为－1，则b ＝(C) A ．－5 B ．5 C ．6 D ．－【解析】由z ＝4＋bi 1－i ＝()4＋bi ()1＋i （1－i ）()1＋i ＝4－b ＋()4＋b i 2的实部为－1，得4－b2＝－1，得b ＝6.故选C.3．下列说法中正确的是(D)A ．若分类变量X 和Y 的随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小B ．对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 间的这种非确定关系叫做函数关系C ．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D ．若分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【解析】函数关系中自变量x 和因变量y 是确定关系，故B 错．相关系数r 2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，故C 错．随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越大，观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小．故A 错，D 正确．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝(A)310 B.13C.18D.19【解析】由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝a 1＋d 2a 1＋5d ＝13a 1＝2d ，且d≠0，所以S 6S 12＝2a 1＋5d 2（2a 1＋11d ）＝9d30d＝310.故选A.5．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为(B)A ．0B ．11C ．22D ．88【解析】开始循环，m ＝209，n ＝121，第一次循环：r ＝88，m ＝121，n ＝88，不满足条件；第二次循环：r ＝33，m ＝88，n ＝33，不满足条件；第三次循环：r ＝22，m ＝33，n ＝22，不满足条件；第四次循环：r ＝11，m ＝22，n ＝11，不满足条件；第五次循环：r ＝0，m ＝11，n ＝0，满足条件；结束循环，输出结果为m ＝11.答案选B.6．下面四个推理，不属于演绎推理的是(C) A ．因为函数y ＝sin x ()x∈R 的值域为[]－1，1，2x －1∈R ，所以y ＝sin ()2x －1()x∈R 的值域也为[]－1，1B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C ．在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a∥b，b ∥c 则a ∥c，将此结论放到空间中也是如此D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【解析】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理．7．已知f ()x 满足对x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，且x≥0时，f ()x ＝e x＋m(m 为常数)，则f ()－ln 5的值为(B)A ．4B ．－4C ．6D ．－6【解析】由题意f ()x 满足对x ∈R ，f ()－x ＋f ()x ＝0，即函数f ()x 为奇函数，由奇函数的性质可得f ()0＝e 0＋m ＝0，∴m ＝－1则当x≥0时，f ()x ＝e x－1，∵ln 5>0故f ()－ln 5＝－f ()ln 5＝－()e ln 5－1＝－4，选B. 8．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝(B)A.31010B.1010 C.510 D.515【解析】由图象知∠DEA＝π4，tan ∠CEB ＝12，所以有tan ∠CED ＝tan (∠DEA－∠CEB)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－∠CEB ＝1－tan ∠CEB 1＋tan ∠CEB ＝13，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED ＝1010，选B.9．若实数数列：－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，则圆锥曲线x 2＋y2＝1的离心率是(D)A.13或10B.10或223C.223D.10 【解析】因为－1，a 1，a 2，a 3，－81成等比数列，所以a 22＝－1×(－81)＝81，a 2＝－9(等比数列的奇数项同号)，所以圆锥曲线的方程为x 2－y 29＝1，其中a ＝1，b ＝3，c ＝1＋9＝10，离心率为e ＝ca＝10，故选D.10．若函数f(x)＝2x＋a2x ＋1为奇函数，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧aln x ，x>0，e ax ，x ≤0，则不等式g(x)>1的解集是(A)A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪(0，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫－1e ，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞【解析】因为函数f(x)＝2x2x ＋1为奇函数，∴f(0)＝0，∴a ＝－1，∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，x>0，e －x ，x ≤0，所以不等式g(x)>1的解集为x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1e .故答案选A.11．四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为(A)A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【解析】由三视图可知，该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥P －ABCD ，其中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，该四棱锥外接球的球心为PC 的中点O ，由直观图可知O 到线段EF 的距离为a 2，球的半径R ＝3a2，所以，直线EF 被球面所截得的线段长为2R 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 22＝2a ＝22，即a ＝2，R ＝＝3，所以该球的表面积为S ＝4πR 2＝12π，故选A. 12．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，设h(x)＝f(f(x))－c ，其中c ∈(－2，2)，函数y ＝h(x)的零点个数(D)A ．8B ．11C ．10D ．9【解析】f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，1和－1是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，所以有1＋(－1)＝－2a 3，1×(－1)＝b 3，求得a ＝0，b ＝－3，所以f(x)＝x 3－3x ，若令f(x)＝t ，则h(x)＝f(t)－c ，考查方程f(x)＝d ，d ∈(－2，2)的根的情况，因为f(－2)－d ＝－2－d<0，f(－1)－d ＝2－d>0，函数f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)＝d 在(－2，－1)内有唯一零点，同理可以判断f(x)＝d 在(－1，1)，(1，2)内各有唯一的零点，所以得到方程f(x)＝d ，d ∈(－2，2)的根有3个；再看函数y ＝h(x)的零点，当c∈(－2，2)时，f(t)＝c 有三个不同的根x 1，x 2，x 3，且x 1，x 2，x 3∈(－2，2)，而f(x)＝t 有三个不同的根，所以函数y ＝h(x)有9个零点．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__1和3__．【解析】先从丙说可得丙拿的是1和2，或1和3，再由乙说的可得乙拿的是2和3，再从甲说的可得甲拿的是1和3.14．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C 的方程为__(x －2)2＋(y ＋3)2＝5__．【解析】∵圆C 与y 轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上．又∵已知圆心在直线2x －y －7＝0上，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，2x －y －7＝0，解得x ＝2，∴圆心C 为(2，－3)，∴半径r ＝|AC|＝22＋[－3－（－4）]2＝5.∴所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.故答案为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.15．已知锐角△ABC 的外接圆半径为33BC ，且AB ＝3，AC ＝4，则BC ＝．【解析】设△ABC 的外接圆半径为R ，BC sin A ＝2R ，∴sin A ＝BC 2R ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3，∴BC2＝32＋42－2×3×4cos π3＝13，∴BC ＝13.16．已知O 为三角形ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠BAC ＝120°，若AO →＝xAB →＋yAC →，则3x ＋6y 的最小值为．【解析】∵AO →＝xAB →＋yAC →，∴AO →·AB →＝xAB →2＋yAB →·AC →4a 2x －2y ＝2a 2①，同理AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC→2－2x ＋4a 2y ＝2a 2②，联立①②，可得⎧x ＝2a 2＋13a2，y ＝a 2＋23，∴3x ＋6y ＝2a 2＋1a 2＋2a 2＋4＝6＋2a 2＋1a2≥6＋22a 2·1a 2＝6＋22，当且仅当2a 2＝1a2a ＝⎝⎛⎭⎪⎫1214时，等号成立，即3x ＋6y 的最小值是6＋2 2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)在等比数列{}a n 中，已知a 4＝8a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{}||a n －4的前n 项【解析】(1)设数列{}a n 的公比为q ，则a 4＝a 1·q 3＝8a 1.∴q ＝2，2分又a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即2()a 2＋1＝a 1＋a 3，∴a 1＝2，4分∴a n ＝2n.6分(2)当n ＝1时，a 1－4＝－2<0，∴S 1＝2，8分当n≥2时，a n －4≥0.∴S n ＝2＋()a 2－4＋...＋()a n －4＝2＋22＋ (2)－4()n －1＝2()1－2n1－2－4()n －1＝2n ＋1－4n ＋2.11分又当n ＝1时，上式也满足．∴当n∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.12分 18．(本题满分12分)如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD⊥平面ACD ，连接AB 、BE ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD ；(2)若EF∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积．【解析】(1)证明：∵AC＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°. ∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ACD＝30°.∴CD ＝2 3.∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE·CD·cos 30°＝4，∴DE ＝2，则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC.又∵平面BCD⊥平面ACD ，平面BCD∩平面ACD ＝CD ，DE 平面ACD ，∴DE ⊥平面BCD.6分(2)∵EF∥平面BDG ，EF 平面ABC ，平面ABC∩平面BDG ＝BG ，∴EF ∥BG. ∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH⊥CD 于H.∵平面BCD⊥平面ACD ，∴BH ⊥平面ACD. 由条件得BH ＝32，S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC·CD·sin 30°＝3，∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.12分19．(本题满分12分)某种鸟类属于国家一级保护鸟类，其产卵数与鸟舍的温度有关．为了确定下一个时间段鸟舍的控制温度，研究小组需要了解鸟舍的时段控制温度x(单位：℃)对鸟的时段产卵数y(单位：枚)和时段投入保护性成本z(单位：万元)的影响．为此该研究小组选取了7个鸟舍的时段控制温度x i (i ＝1，2，3，…，7)和产卵数y i (i ＝1，2，3，…，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图的散点图及一些统计量的值.其中k i ＝ln y i ，k －＝17 i ＝17k i .(1)根据散点图判断y ＝bx ＋a 与y ＝c 1ec 2x 哪一个适宜作为鸟的时段产卵数y 关于鸟舍的时段控制温度x 的回归方程？(给出判断即可，可不必说明理由)；(2)根据(1)的判断及表中数据，建立y 与x 的回归方程；(3)已知时段投入保护性成本z 与x ，y 的关系为z ＝e －2.5y －0.01x ＋10.①鸟舍的时段控制温度x ＝28 ℃时，鸟的时段产卵数及时段投入保护性成本的预报值是多少？(结果保留2位小数)②当x∈(20，36)时，说明时段投入保护性成本的预报值的变化趋势．附：(1)对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.参考数据：【解析】(1)由散点图可以判断，y ＝c 1ec 2x 适宜作为鸟的时段产卵数y 关于鸟舍的时段控制温度x 的回归方程.2分(2)由题意知k ＝ln y ，设k 关于x 的线性回归方程为k ＝dx ＋c(d ＝c 2，c ＝ln c 1)．因为d ^＝错误!＝错误!＝0.25，错误!＝错误!－错误!错误!＝3.60－0.25×27.40＝－3.25，4分所以k 关于x 的线性回归方程为k ^＝0.25x －3.25，c 2＝0.25，c 1＝e －3.25＝0.04，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝0.04e 0.25x.6分(3)①由(2)知，当x ＝28时，鸟的时段产卵数的预报值y ^＝0.04e 0.25×28＝0.04e 7＝0.04×1 096.63＝43.8652≈43.87，时段投入保护性成本z 的预报值z ^＝e －2.5×43.8652－0.01×28＋10＝0.08×43.8652－0.28＋10≈13.23.9分②由(2)知，z ^＝e －2.5y ^－0.01x ＋10＝0.04e 0.25(x －10)－0.01x ＋10，所以z ^′＝0.01e 0.25(z －10)－0.01＝0.01[e0.25(x －10)－1]，所以当x>10时，z ^′>0，此时函数为单调递增函数，故当x∈(20，36)时，时段投入保护性成本的预报值随着温度的升高而增大.12分20．(本题满分12分)如图，设双曲线C 1：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端点．已知C 1的离心率为233，且△ABF 的面积S ＝1－32.(1)求双曲线C 1的方程；(2)设抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与C 2相切于点P ，与C 2的准线相交于点Q.试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知c a ＝233，即2a ＝3c ，则4a 2＝3c 2，即4a 2＝3(a 2)，得a ＝3b ，c ＝2b.2分又12(c －a)b ＝1－32，则(2b －3b)b ＝2－3，得b ＝1.4分从而a ＝3，c ＝2，所以双曲线C 1的方程为y 23－x 2＝1.5分(2)由题设，抛物线C 2的方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2.7分由y ＝18x 2，得y′＝14x.设点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，18x 20，则直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)，即y ＝14x 0x －18x 20.联立y ＝－2，得Q ⎝⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2.9分假设存在定点M(0，m)满足题设条件，则MP →·MQ →＝0对任意点P 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0，18x 20－m ，MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2－m ，则x 20－162－(m ＋2)(18x 20－m)＝0，即x 20＋m(m ＋2)－8＝0对任意实数x 0恒成立.11分所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，m （m ＋2）－8＝0，即m ＝2.故以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点M(0，2).12分21．(本题满分12分)已知f(x)＝e x ，g(x)＝－x 2＋2x ＋a ，a ∈R . (1)讨论函数h(x)＝f(x)g(x)的单调性；(2)记φ(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x<0，g （x ），x>0，设A(x 1，φ(x 1))，B(x 2，φ(x 2))为函数φ(x)图象上的两点，且x 1<x 2.①当x>0时，若φ(x)在A ，B 处的切线相互垂直，求证：x 2－x 1≥1；②若在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)h(x)＝e x (－x 2＋2x ＋a)，则h′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]2分当a ＋2≤0即a≤－2时，h ′(x)≤0，h(x)在R 上单调递减；3分当a ＋2>0即a>－2时，h ′(x)＝－e x[x 2－(a ＋2)]＝－e x(x ＋a ＋2)(x －a ＋2)，此时h(x)在(－∞，－a ＋2)及(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2)上是单调递增的；5分(2)①g′(x)＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2，则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1故：x 2－x 1＝12[(－2x 1＋2)＋(2x 2－2)]≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号.8分法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1，x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1，当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）x 1＝12时取等号.8分②要在点A ，B 处的切线重合，首先需在点A ，B 处的切线的斜率相等，而x<0时，φ′(x)＝f′(x)＝e x∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1，即A(x 1，ex 1)，B(x 2，－x 22＋2x 2＋a)．A 处的切线方程是：y －ex 1＝ex 1(x －x 1)y ＝ex 1x ＋ex 1(1－x1)，B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a)＝(－2x 2＋2)(x －x 2)即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，10分据题意则⎩⎪⎨⎪⎧ex 1＝－2x 2＋2ex 1（1－x 1）＝x 22＋a 4a ＋4＝－ex 1(ex 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0)，设p(x)＝－e x(e x＋4x －8)，x<0，p ′(x)＝－2e x(e x＋2x －2)，设q(x)＝e x ＋2x －2，x<0q ′(x)＝e x＋2>0在(－∞，0)上恒成立，则q(x)在(－∞，0)上单调递增q(x)<q(0)＝－1<0，则p′(x)＝－2e x (e x＋2x －2)>0p(x)在(－∞，0)上单调递增，则p(x)<p(0)＝7，再设r(x)＝e x＋4x －8，x<0，r ′(x)＝e x＋4>0r(x)在(－∞，0)上单调递增r(x)<r(0)＝－7<0，则p(x)＝－e x (e x＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立，即当x∈(－∞，0)时p(x)的值域是(0，7)．故4a ＋4∈(0，7)－1<a<34，即为所求.12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
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炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(三)数 学(文科)命题人：王朝霞 洪利民 钱华 审题人：文科数学备课组本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎭⎫y ＝⎝⎛12x，x ≥1，则满足A ∩B ＝B 的集合B 可以是(C) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12 B ．{x |－1≤x ≤1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12 D ．{x |x ＞0} 【解析】∵x ≥1，∴0＜y ＝⎝⎛⎭⎫12x ≤⎝⎛⎭⎫121＝12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0＜y ≤12.则满足A ∩B ＝B 的集合B A ，故B 可以是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x <12.故选C. 2．已知角α的终边上有一点P (2，4)，则sin （π－α）2cos （α－2π）的值为(D)A ．2B ．－12C ．－1D ．1【解析】sin （π－α）2cos （α－2π）＝sin α2cos α＝tan α2，又因为角α终边上有一点P (2，4)，所以tanα＝2，所以原式＝22＝1，故选D.3．已知命题p ：m ＝－2；命题q ：直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直．则命题p 是命题q 成立的(D)A ．充要条件B ．既非充分又非必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件【解析】因为l 1⊥l 2，则2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，解得m ＝3或－2，故选D. 4．已知各项不为0的等差数列{}a n 满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{}b n 是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2·b 8·b 11等于(C)A ．1B ．2C ．8D ．4【解析】∵a 6＋a 8－a 27＝0，∴2a 7－a 27＝0，∴a 7＝2，∴b 7＝2，∴b 2b 8b 11＝b 3b 7b 11＝b 37＝8，故选C.5．对满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋y －4≤0x －y ≤0的任意实数x 、y ，则z ＝x 2＋y 2－4x 的最小值(A)A ．－2B ．0C ．1D ．6【解析】：∵z ＝x 2＋y 2－4x 表示点(x ，y )到点(2，0)的距离的平方减去4，故z 的最小值等于点(2，0)到直线x －y ＝0的距离的平方减去4.z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||222－4＝－2，故选A.6．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是边BC 上一点，AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，则AB 的长为(A)A.562B.522C ．2 2 D.463【解析】由余弦定理得cos C ＝1114，sin C ＝5314，在△ABC 中，由正弦定理得AB ＝562，故选A.7．在区间[0，4]上随机地选取一个数t ，则方程x 2－tx ＋3t －8＝0有两个正根的概率为(A)A.13B.23C.12D.14【解析】方程x 2－tx ＋3t －8＝0有两个正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2>0x 1x 2>0 t ≥8或83＜t ≤4，又t ∈[0，4]，则所求概率为P ＝13，故选A.8．下列函数中，y 的最小值为4的是(D)A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝2（x 2＋3）x 2＋2C ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) D ．y ＝e x ＋4e －x 【解析】y ＝x ＋4x ，当x >0时y ≥4；当x <0时y ≤－4，故A 错误；y ＝2（x 2＋3）x 2＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋2.设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t 易知函数在t ∈[2，＋∞)时单调递增，所以y ≥32，故B 错误；设t ＝sin x (0<x <π)则y ＝t ＋4t (0<t ≤1)，易知函数在t ∈(0，1]上单调递减，所以y ≥5，故答案C 错误；y ＝e x ＋4e －x ≥4，故选D.9．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有(A)A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【解析】作出两个函数的图象如下，∵函数y ＝f (x )的周期为2，在[－1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数，∴函数y ＝f (x )在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y ＝|lg x |，在区间(0，1]上为减函数，在区间[1，＋∞)上为增函数，且当x ＝1时y ＝0；x ＝10时y ＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选A.10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，B 1C 、C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为45°、60°，则长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的体积为(A)A.776πB.73πC.473πD.76π【解析】∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，B 1C 、C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为45°、60°，∴BC ＝DD 1＝3，∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为7，可得半径R ＝72，因此，该长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球的体积为V ＝43πR 3＝776π，故选A.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1→＝2BF 1→，则双曲线C 的离心率为(B)A.32＋1 B.3＋1 C.33＋1 D.3＋12【解析】由AF 1→＝2BF 1→可知：B 为AC 之中点．∴BF 2⊥AC ，∴||F 1F 2＝2c ，||BC ＝c ，||BF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝c 3c －c 2＝23－1＝3＋1.故选B.12．定义在R 上的奇函数f ()x 对任意x 1，x 2()x 1≠x 2都有f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0.若x ，y 满足不等式f ()x 2－2x ≤－f ()2y －y 2，则当1≤x ≤4时，y －2x x ＋y的取值范围是(D)A.⎣⎡⎭⎫－3，－12B.⎣⎡⎦⎤－3，－12 C.⎣⎡⎭⎫－5，－12 D.⎣⎡⎦⎤－5，－12 【解析】设x 1<x 2，则x 1－x 2<0.由f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )为减函数．又因为y ＝f (x )为奇函数，所以f (x 2－2x )≤－f (2y －y 2)＝f (y 2－2y )，所以x 2－2x ≥y 2－2y ，即(x －y )(x ＋y －2)≥0.因为y －2x x ＋y ＝1－3x x ＋y＝1－31＋y x，而在条件⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋y －2）≥01≤x ≤4下，易求得y x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以1＋y x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以31＋y x∈⎣⎡⎦⎤32，6，所以1－31＋y x∈⎣⎡⎦⎤－5，－12，即y －2x x ＋y ∈⎣⎡⎦⎤－5，－12，故选D. 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知4号，20号，28号，36号，44号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是__12__．【解析】根据系统抽样的概念，所取的6个样本的编号应成等差数列，故所求编号为12.14．在△ABC 中，||AB →＝4，||AC →＝3，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，则AE →·(AB →－AC →)的值为__72__．【解析】AE →·(AB →－AC →)＝(AD →＋DE →)·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＋DE →·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝12×(16－9)＝72.15．过点()2，1且在x 轴上截距是在y 轴上截距的两倍的直线的方程为__x －2y ＝0或x ＋2y －4＝0__．【解析】截距都为零时直线过原点，斜率为k ＝12，直线为x －2y ＝0，当截距不为零时，设方程为x 2a ＋ya＝1，代入点()2，1得a ＝2，所以方程为x ＋2y －4＝0.16．小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”．有甲、乙、丙3个柱子，甲柱子上有n (n ≥3)个盘子，从上往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这n 个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上游戏结束，在移动过程中每次只能够移动一个盘子，甲、乙、丙3个柱子都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为a n ，则：(1)a 3＝__7__；(2)当n ≥3时，a n ＋1，a n 的关系可表示为__a n ＋1＝2a n ＋1__． 【解析】(1)易求a 3＝23－1＝7；(2)当n ≥3时，要将n 个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上，只需将上面n －1个盘子转移到丙柱子上，最少需要移动a n －1次，再将最大的那个盘子转移到乙柱子上，最少需要移动1次，最后将丙柱子上的n －1个盘子移动到乙柱子上，最少需要移动a n －1次，即a n ＝2a n －1＋1次，所以a n ＋1＝2a n ＋1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85.(1)计算甲班7位学生成绩的方差s 2；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班，乙班各一人的概率． 【解析】(1)∵甲班学生的平均分是85， ∴92＋96＋80＋80＋x ＋85＋79＋787＝85，∴x ＝5.3分则甲班7位学生成绩的方差为 s 2＝17[]()－62＋()－72＋()－52＋02＋02＋72＋112＝40.6分(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E .从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()A ，B ，()A ，C ，()A ，D ，()A ，E ，()B ，C ，()B ，D ，()B ，E ，()C ，D ，()C ，E ，()D ，E .8分其中两人均来自甲班(或乙班)共有4种情况：()A ，B ，()D ，C ，()E ，D ，(C ，E ).10分 记“甲班，乙班各一人”为事件M ，则P ()M ＝1－410＝35，故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班，乙班各一人的概率为35.12分18．(本小题满分12分)如图，P A ⊥平面ABCD ，矩形ABCD 的边长AB ＝1，BC ＝2，E 为BC 的中点． (1)证明：PE ⊥DE ；(2)如果异面直线AE 与PD 所成的角的大小为π3，求P A 的长及三棱锥A －PED 的体积．【解析】(1)证明：连接AE ，由AB ＝BE ＝1，得AE ＝2，1分 同理DE ＝2，AE 2＋DE 2＝4＝AD 2，由勾股定理逆定理得∠AED ＝90°，DE ⊥AE 3分 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥DE ，又P A ∩AE ＝A ，∴DE ⊥平面P AE ，5分∴PE ⊥DE .6分(2)取P A 的中点M ，AD 的中点N ，连MC ，NC ，MN ，AC ，∵NC ∥AE ，MN ∥PD ，∴∠MNC 的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小，即∠MNC ＝2π3或π3.(或者由观察可知，∠MNC ＝2π3，不需分类讨论)设P A ＝x ，则NC ＝2，MN ＝1＋x 24，MC ＝5＋x 24.若∠MNC ＝2π3，由cos ∠MNC ＝1＋x 24＋2－5－x 2421＋x24·2＝－12，得P A ＝2.9分 ∴V A －PDE ＝V P －DAE ＝13×12×2×2×2＝23.10分若∠MNC ＝π3，由cos ∠MNC ＝1＋x 24＋2－5－x 2421＋x24·2＝12，显然不适合题意.11分 综上所述，P A ＝2，三棱锥A －PED 的体积为23.12分19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1＝－2，a n ＋1＋3S n ＋2＝0(n ∈N *)． (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)是否存在整数对(m ，n )，使得等式a 2n －m ·a n ＝4m ＋8成立？若存在，请求出所有满足条件的(m ，n )；若不存在，请说明理由．【解析】(1)当n ≥2时，(a n ＋1－a n )＋3(S n －S n －1)＝0， 即(a n ＋1－a n )＋3a n ＝0，a n ＋1＝－2a n (n ≥2)，2分 另由a 2＝－2a 1得a n ＋1＝－2a n ，所以数列{a n }是首项为－2，公比为－2的等比数列，3分∴a n ＝(－2)n .4分(2)把a n ＝(－2)n 代入a 2n －m ·a n ＝4m ＋8中得(－2)2n －m ·(－2)n ＝4m ＋8， m ＝（－2）2n －8（－2）n ＋4，∴m ＝（－2）2n －16＋8（－2）n＋4＝(－2)n －4＋8（－2）n ＋4，6分 要使m 是整数，则须有8（－2）n＋4是整数，∴(－2)n ＋4能被8整除，7分 当n ＝1时，(－2)n ＋4＝2，8（－2）n ＋4＝4，此时m ＝－2，8分当n ＝2时，(－2)n ＋4＝8，8（－2）n ＋4＝1，此时m ＝1，9分当n ＝3时，(－2)n ＋4＝－4，8（－2）n ＋4＝－2，此时m ＝－14，10分当n ≥4，|(－2)n ＋4|≥20，8（－2）n ＋4不可能是整数，11分综上所述，所求满足条件的整数对有(－2，1)，(1，2)，(－14，3).12分 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 有一个内接的平行四边形，其一组对边分别过椭圆C 的左右两焦点F 1和F 2，求这个平行四边形面积的最大值．【解析】(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为3，∴依题意⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ∶c ＝2∶3∶1，bc ＝3，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 23＝1.4分(2)设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x ＝ty ＋1与椭圆交于A ，B 两点，则⎩⎨⎧x ＝ty ＋1，3x 2＋4y 2＝12，整理，得：(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 由韦达定理，得：y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，6分∴|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝144t 2＋1443t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4，∴S △OAB ＝S △OF 2A ＋S △OF 2B ＝12×|OF 2|×|y 1－y 2|＝6t 2＋13t 2＋4，椭圆C 的内接平行四边形面积为S ＝4S △OAB ＝24t 2＋13t 2＋4，10分令m ＝1＋t 2≥1，则S ＝f (m )＝243m ＋1m，注意到S ＝f (m )在[1，＋∞)上单调递减，∴S max ＝f (1)＝6， 当且仅当m ＝1，即t ＝0时等号成立． 故这个平行四边形面积的最大值为6.12分 21．(本小题满分12分) 设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)．(1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.【解析】(1)f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x ⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x ＋2)，1分 当a ＝12时，由f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0，所以f (x )在R 上单增递增；2分当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a ；由f ′(x )＜0，得－1a＜x ＜－2，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，－2上单调递减.4分 当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a 或x ＜－2，由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜－1a，∴f (x )在(－∞，－2)和⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2，－1a 上单调递减.6分 (2)证明：∵x ＝1时，f (x )有极值，∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0，∴a ＝－1，7分∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)，f ′(x )＝－e x (x －1)(x ＋2).8分 由f ′(x )＞0，得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2，1]上单增.9分 ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos θ，sin θ∈[0，1]，10分∴||f （cos θ）－f （sin θ）≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。