安徽省合肥市中学2024届高三最后一卷数学试题含答案

合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）
（考试时间：150分钟满分：120分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.
2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
第I 卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量()()
2,3,1,3a b ==-
，则
2a b -=
（）A.2 B.3
C.4
D.5
【答案】D 【解析】
【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.
【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，
故选：D.
2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（
）
A.13i 22+
B.
13i 22-C.13i
22
-- D.13i
22
-+【答案】A 【解析】
【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.
【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13
i 1i 1i 1i 222
z ----=
===-++-，所以13
i 22
z =
+.故选：A.
3.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为
2
3
，焦距为，则该椭圆的方程为（）
A.221
3x y += B.2
219
x y +=C.221
97
x y += D.22
1
3628
x y +=【答案】C 【解析】
【分析】根据离心率和焦距可得3
a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2
b ，即可得方程.
【详解】由题意可知：2
32c a c ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，可得3a c =⎧⎪⎨
=⎪⎩，则2
927b =-=，所以该椭圆的方程为22
197
x y +=.
故选：C.
4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）
A.1
B.
2
3
或-1 C.23-
D.23
-
或1【答案】D 【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.
【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2
312a a q ==，
12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，
故12q =
或1,3
q =-
当1
2q =时，431a a q ==；当1,3
q =-432
3a a q ==-；
42
3
a ∴=-或1.
故选：D
5.已知α为三角形的内角，且15
cos 4
α-=
，则sin 2α=（
）
A.
14
-+ B.
14 C.
38
- D.
354
-【答案】B 【解析】
【分析】利用降幂公式得到答案.
【详解】因为α为三角形的内角，1cos 4
α=
，
所以
sin 2α==
1
4
+==
=
.故选：B
6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（
）
A.36种
B.48种
C.54种
D.64种
【答案】A 【解析】
【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.
【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3
2
1
1
3
34233A A A A A 36-=种，故选：A.
7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，
且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（
）
A.
13π3
B.16π
C.
52π3
D.20π
【答案】C 【解析】
【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.
【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使1
3
FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，
易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，
所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，
因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，
又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE
又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，
因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，
又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，
所以O 即为四棱锥外接球的球心，
因为133
OE FG PG ==
=
，2AE =，
所以3R OA ====所以223952
4π4π)π33
S R ==⋅=，故选：C.
8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫
⎛⎫∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（
）
A.
2
B.
C. D.【答案】C 【解析】
【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫
-+-
⎪⎝⎭
的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，
由于曲线2:2x C y p
=，则x y p '
=，
所以在A 点的切线方程为1
11()x y y x x p
-=
-，同理在B 点的切线方程为2
22()x y y x x p
-=
-，
由于N 点是两切线的交点，所以1
01012
0202()()x y y x x p
x y y x x p
⎧
-=-⎪⎪
⎨
⎪-=-⎪⎩
，
则AB l 为()000000()2xx x
y y x x y y y x x p y y p p
-=
-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0
tan x k p α==，设
2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=
+(
)21k k k k k k -⎛⎫
==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭
''
当且仅当k =时“=”成立，故选：
C.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
则下列命题正确的有（）
A.年收入的均值为4.3
B.年收入的方差为1.2
C.年收入的上四分位数为5
D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆy
x a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】
【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定
义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
4.37
y ++++++==，故A
正确；
对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y
2.9
3.3 3.6
4.4 4.8
5.2 5.9()
2
y y - 1.96
1
0.49
0.01
0.25
0.81
2.56
所以年收入的方差2
1.9610.490.010.250.81
2.567.08
1.277
s ++++++=
=≠，故В错误；
对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，
所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数1234567
47
++++++=
=x ，即样本中心点为()4,4.3，
所以0.5 4.30.523ˆ4.a
y x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.
10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（
）
A.当2ω=时，5
π24
x =
是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12
min
πx x -=，则12
ω=
C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移
π
6
个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】BD 【解析】
【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5
π24
x =
代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，
求出π26
x ω+的
范围，再确定区间右端点π
2π6
ω+的范围，从而求出ω的范围.
【详解】()1cos 211
π1sin2=cos 2=sin 222222
62
x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=
-+-+-
⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462
f x x ⎛
⎫=+
- ⎪⎝
⎭，所以55ππ1
1πsin 24662
2f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，所以5
π24
x =
不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以
22π2π
ω
=，又因为0ω>，所以1
2ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π
6
个单位后，
得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+
+-=++- ⎪ ⎢⎝
⎭
⎝
⎭⎣
⎦，假设()g x 为偶函数，则πππ
π362
k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Z
k ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦
，令()π1
=sin 2062
f x x ω⎛
⎫+
-= ⎪⎝
⎭，则π1sin 262
x ω⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，故D 正确.故选：BD.
11.已知函数()()e ,ln x
f x
g x x ==-，则下列命题正确的有（
）
A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e
≤-
B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2e
a =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值
D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】
【分析】对于A ：原题意等价于ln x
a x ≤-
在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x
=->，利用导数求其最值，
结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：
()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为
ln ,,e m m m ，进而可得结果.
【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln x
a x
≤-
，可知原题意等价于ln x
a x
≤-
在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2
ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；
可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e e
h x h ≤=-，所以1a e
≤-，故A 正确；
对于选项B ：因为()e x
f x =，则()e x
f x '=，
设切点为(
)0
0,e
x P x ，则切线斜率()0
=e
x k f x '=，
可得切线方程为()0
00e
e x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，
由题意可得()0
00e e 11
x
x a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，
显然2e a =不满足上式，故B 错误；
对于选项C ：例如1a =，构建()()e x
h x f x x x =-=-，则()e 1x
h x '=-，
令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；
构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x x
ϕ-=-
+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，
可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：
设交点为()()
,M m h m ，易知01m <<，
由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点
()(),M m h m ，即()a h m =.
因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.
令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.
所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .
因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合{}2
20A x x x =∈--≤N
∣，集合(){}
2
2
210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.
【答案】0或1【解析】
【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.
【详解】由题意可知：{}{
}
{}2
20120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=N
N ∣∣，(){}
{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，
因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.
13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】
【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.
【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆
()2
224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.
当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.
根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20
kx y k --+=
圆心到直线的距离为d =
，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2
222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
可得，2
2
2
22⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.
14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.
①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭
；②211a b c ⎛⎫
∈ +⎝⎭
；③2b c a +⎫∈⎪⎭
；④2
b c a ⎛+∈ ⎝；
⑤a ∞⎫
∈+⎪⎪⎭
.【答案】⑤【解析】
【分析】依题意可得
sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos a
b c A
=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2
2
2
0cos a b c A
+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.
【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos A
B C A
=+，由正弦定理可得
cos a
b c A
=+，所以2222
2cos a b c bc A
=++，又222
2cos bc A b c a +-=，所以()()
2
2222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A
=++=+++-，
所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭
，
因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，
所以22
2
0cos a b c A
+-=，()
222
cos a b c A =+，
又b c ≠，所以222b c bc +>，所以(
)2
22
2
22cos 2cos a b c
A bc A b
c a =+>=+-，
所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭
.故答案为：⑤
【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2
2
2
0cos a b c A
+-=，再由基本不等式
得到(
)2
22
2
22cos 2cos a b c
A bc A b
c a =+>=+-.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1A
B 上的动点.
（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；
（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3
，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析
（2）PB =【解析】
【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，11
11AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；
（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13
EB =
，结合线面夹角
可得13
EB =
，进而可得结果.【小问1详解】
因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111A
C D
D ⊥，
四边形1111D C B A 为正方形，则11
11AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】
设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB
，
可知11A BC V
是以边长为
113
4
A BC S =
⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=
，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233
EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，
则111
3
sin 3EB PB PB θ===
，可得1PB =，
在1BPB △中，由余弦定理得，2
2
2
111π
2cos
4
PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，
即224PB =+-
，解得PB =.
16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.
（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）
（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464
【解析】
【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；
（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】
记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()1
20.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，
由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：
()()12C 0.20.20.80.20.25
82,30.104130.10413
P X P X ⨯⨯⨯⨯======
，所以X 的数学期望()5834
23 2.6131313
E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】
由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，
则()()(
)
()2
3
21110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦
()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤
=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()2234
0.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤
=+-+-+-+-⎣⎦
0.048.6160.34464=⨯=，
所以乙胜的概率0.34464.17.()()e
x a
f x a -=∈R .
（1）若()f x 的图象在点()()
00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝
⎦
【解析】
【分析】（1）求得()e
x a
f x -'=，得到()00e
x a
f x -='且()00e
x a
f x -=，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x a
g x x -=-，当0a ≤时，符合题
意；若0a >，求得()e
cos x a
g x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合
()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进
而求得a 的取值范围.
【小问1详解】由函数()e x a
f x -=，可得()e x a
f x -'=，
所以()00e
x a
f x -='且()00e
x a
f x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为(
)
00e
,x a
A x -因为()f x 的图象在点()()
00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0e
x a x a
x ---=-，解得01x =.
【小问2详解】
任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)e
si ,0,n x a
g x x x -=∈-+∞，
若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x a
g x x x -=-≥-≥，符合题意；
若0a >，可得()e
cos x a
g x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，
当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π
2π0e 10,e
02a a
g g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭
''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛
⎫∈⊆ ⎪⎝
⎭
，使得()000e cos 0x a
g x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '
<，()g x 在()00,x 递减，
当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x a
g x x x x -=-=-≥，
所以0π04x <≤
，此时，00lncos x a x -=
，可得00πlncos ln 42
a x x =-≤-，即πln2042
a <≤
+；当πx >时，()πln 2142
e sin e
1e
1e 10x x a
x a
g x x ---=-≥-≥-≥->，
因而πln2042
a <≤
+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,
42∞⎛⎤-+ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
18.已知双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>
的上焦点为(，下顶点为A
，渐近线方程是y =，
过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线2
3
y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；
（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.
【答案】（1）22
1
42
-=y x （2）证明见解析（3
）5
.
3
⎛ ⎝【解析】
【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2
:3PQ y kx =+
，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22
836N x x y =+，
最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -
，根据r =k 的范围即可.
【小问1详解】
由题，222a
c a b c b
=
=+=，解得224,2a b ==，
所以C 的方程为22
142
-=y x .
【小问2详解】
（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22
142-=y x ，
化简整理得()
22
4322039k x kx -+-
=，有()
22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪
⎪⎛⎫
=--->⎨ ⎪⎝⎭
⎪
⎪>⎩
，解得21629k <<，且()()
1212222243243239,223292k k x x x x k k k
k -+====----，112
:2y AP y x x +=
-，令23y =得11836M x x y =+，同理22
836N x x y =+，
()()
121212128864
3636922x x x x BM BN y y y y =
⨯=++++()()()121221212
126464
864
922939x x x x y y k x x k x x =
=
+++++()
()()
2
22
2329264
16
328464
99
399232k k k k k k -=
=
⋅
+⋅+--，2216
2339
BO BA ⎛⎫=
⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.
（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，
ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫
⇔+=∈ ⎪⎝⎭
tan tan 1αβ⇔=1
OM AN k k ⇔=
设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22
142
-=y x ，化简整理得
()
224322039k x kx -+-=，有()
22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪
⎪⎛⎫
=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩
解得21629k <<，
(
)
(
)12122232
4,92
32
k
x x x x k k =-
+=-
--，
112
:2y AP y x x +=
-，令23y =得11836M x x y =+，同理22
836N x x y =+，
12
12
22
,4OM AN AQ y y k k k x x ++=
==()212121212121212
88864223339444OM AN
kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()
()
2
2
22
328464
3992321
32492k
k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+
--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
所以,,,M N O A 四点共圆
.
【小问3详解】
设圆心为T ，则1T y =-，
121
21212
4448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫
⎪+==+=+ ⎪
++ ⎪
++⎝
⎭
()()()()
()()
221212221212223284822392324438643284643339399232k
k kx x x x k k k k k x x k x x k k k k
⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为
21629k <<
，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代
入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，
1
n
i i x T ==∑（T 为常数）
，1
1n i n
i i n
x x T x T x -==--∑.如果函
数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：
()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
∑∑.（1）判断()1x
f x x
=
-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,i
i x y i n T =
= ，证明：111111n n
y y n -≤---；（3）求n
n
x T x -的最小值.
【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析
（2）证明见解析（3）()
5128221n
n --.
【解析】
【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；
（2）根据凸函数的性质得，()11
111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫
≥ ⎪--⎝
⎭∑∑；将1
1n i n i i n
x x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到
()1
1
1n n
i i n y f y y -==-∑
；加上111
1n n
i i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的
不等式，变形后即可得出结论.
（3）设i i x y T
=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入
1n n
y y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.
证明：由题知，()22
(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43
(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，
所以()f x 在()0,1上为凸函数.
【小问2详解】证明：因为i i x y T =
()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x T
T T =======∑∑∑，由题知1
1n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x T
T x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝
⎭∑∑，所以1111
11111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y y
y -===-=-∑∑，
所以1(11111))111(11(11
)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()
1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =
∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))
n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111
n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111
n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =
()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111
n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤
--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，
当2n =时，120n y -+≤，12
n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212
y y ==时，等号成立，当3n ≥
时，(
)()
34342222n n n y n n ---+≤≤--，
所以
1n n n n x y T x y =≥
--
2
2
(5128)(34)(24)
4128
n n n n n
n n
--++-+-
=
-+
()
2
2
288(22
412821
n n n n
n n n
-+-+--
==
-+-
，
当且仅当
()()
121
1
1221
n
n
y n
y y y
n n n
-
-
=====
---
时，等号成立，
当2
n=时，最小值为1，满足上式，
所以n
n
x
T x-的最小值是()
51282
21
n
n
-
-
.
【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键
是将n
n
x
T x-转化为1
n
n
y
y-，利用第2问的结论，求出n
y的最小值.。