指派问题的匈牙利法
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文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四 人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时 间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
求解过程如下：
第一步，变换系数矩阵：
6 7 11 2 2
(cij
)
4 3
5 1
0 10 5 7 2 √
9 8 0 0 10
0 6 3 6 5 √
√
调整可行解
7 0 2 0 2
4
30
0
0
0 8 3 5 0
11 8 0 0 10
0 4 1 4 3
再圈零划零
7 0 2 0 2
4
300
0
0 8 3 5 0
0 0 3 0 3 1 6 0 2 0 3 2 0 0 3 2 0 2 3 0 0 4 4 0 6
0Ø ◎0 3 0Ø 3 1 6 0◎ 2 Ø0 3 2 0Ø 0◎ 3 2 Ø0 2 3 ◎0 ◎0 4 4 0Ø 6
0 1 0 5
2 0 4 4
2
6
0
0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
15
练习：
费 工作
用
人员
A
B
C
D
E
甲
7
5
9
8
11
乙
9
12
7
11
9
丙
8
5
4
6
8
丁
7
3
6
9
6
戊
4
6
7
5
11
7 5 9 8 11 5
9
12
7
11
9
11 8 0 0 10
0 4 1 4 3
得最优解
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
( xij
)
0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
1 0 0 0 0
另一最优解
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
(
xij
)
0 0
0 0
0 1
0 0
7
8 5 4 6 9 4
7
3
6
9
6
3
4 6 7 5 11 4
2 0 4 3 6 2 5 0 4 2 4 1 0 2 5 4 0 3 6 3 0 2 3 1 7
-1 -2
2 0 4 2 4 2 5 0 3 0 4 1 0 1 3 4 0 3 5 1 0 2 3 0 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
1 ◎0 3 1 3 √
2 6 ◎0 3 Ø0 √
4 2 Ø0 1 3 √ 3 Ø0 2 4 ◎0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
1 ◎0 3 1 3 √ 2 6 ◎0 3 Ø0 √ 4 2 Ø0 1 3 √ 3 Ø0 2 4 ◎0 √ ◎0 3 3 Ø0 5
1 0
1 0 0 0 0
最小时间（成本）min z=32
匈牙利算法示例
（二）、解题步骤： 指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，
当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求 解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算 的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是 匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于 能覆盖所有 0 元素的最少直线数。
9 10
8 4 4 1
5 9 8 2 2
4 5 9 0 0 1 5 4 2 0 9 3 3 7 6 0
4 5 4 0 0 1 0 4 2 0 4 3 3 7 1 0
第二步，试指派：
－5
4 5 4 ◎
◎ 1 Ø 4
2 ◎ 4 3
2 ◎0 4 2 4 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 ◎0 2 3 0Ø 5
2 ◎0 4 2 4 √ 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 √ ◎0 2 3 0Ø 5
√
(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至 少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列 的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性 少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行， 直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
（5）若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。
4 5 4 ◎ √
◎ 1 Ø 4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
√
√
3 4 3 ◎
◎ 1 Ø 5
2 ◎ 4 4
2
6
0
Ø
3 4 3 ◎
◎ 1 Ø 5
2 ◎ 4 4
2
6
◎
Ø
得到4个独 立零元素， 所以最优解 矩阵为：
3 4 3 0
j 1,2,, n
举例说明
1）表上作业法
2）匈牙利法
例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不 同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示， 问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？
工人1 工人2 工人3 工人4
任务1 2 15 13 4
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
2
3
00
0
0 10 5 7 2
9 8 0 0 10
0 6 3 6 5
圈零划零
5 0 2 0 2
2
3
00
0
0 10 5 7 2
9 8 0 0 10
0 6 3 6 5
打勾划线确定调整行和列
5 0 2 0 2
2
3
00
0
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线， 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m， 若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另 行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵， 以找到n个独立的0元素，为此转第四步。
l =m=4 < n=5
2 ◎0 4 2 4 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 ◎0 2 3 0Ø 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
确定调整行和列
在没有圈起的零所在行上打“√”； 在打“√”行中所有零所在的列打“√”； 在打“√”列中含有圈起零的行上打“√”， 反复执行2）和3）两步，直到不能打“√”为止； 用直线划去打“√”的列和不打“√”的行，没
有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整 列。
调整可行解的方法
第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后 打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元 素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
例一：
任务
人员
A
B
C
D
甲
2
15 13
4
乙 10
4
14 15
丙
9
14 16 13
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使 在(bij)的各行各列中都出现0元素，即
(1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。
第二步：进行试指派，以寻求最优解。
在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独 立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元 素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常 用的步骤为：
任务4 7 8 11 9
获得初始解：圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素 和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行 和每一列都含有零；
从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来， 并划去它所在行和所在列的其它零；
反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。 得到初始解。
判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。
变量是
1, 第i个工人做第j件事 xij 0， 第i个工人不做第j件事
则数学模型如下
nm
min z
cij xij
j1 i1
n
xij
1,i 1,2,, m
j1
m
xij
1, j 1,2,, n
i1 xij 0,1; i 1,2,, m;
3
7
1
Ø
找到 3 个独立零元素
但 m =3 <n=4
第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：
4 5 4 ◎ √
◎ 1 Ø 4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
√
√
独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3<n=4；
第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线 覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打√各行都减 去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进 行试指派：
(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加 圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记 作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考 虑别人了。
(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作 ◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ．
(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都 被圈出和划掉为止。
指派问题
指派问题是一种特殊的整数规划问题 一、问题的提出
设有m个工人，能做n件事，但效率不 同，并规定每个工人做且只能做一件事， 每件事有且只能有一个工人做，问应该如 何安排他们的工作，使花费的总时间（成 本）最少或效率最高？
二、指派问题的数学模型
设第i个工人做第j件事的时间是 cij ，决策
在调整行中寻找最小的元素，将它作为调 整量；
将调整行各元素减去调整量，对调整列中 各元素加上调整量。
再次执行“圈零”和“划零”的操作，并 循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n 为止。
匈牙利法解例3.3
时间矩阵 2 10 3 7
15
4
14
8
13 14 16 11
丁
2
10 4 14 15 4
9 14 16 13 9
7
8
11
9
7
0 13 11 2
6 0 10 11
0 5 7 4
0 1
4
2
0 13 11 2
6 0 10 11
0 5 7 4
0
1
4
2
42
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
0Ø 13 7 ◎0 6 0◎ 6 9 0◎ 5 3 2 0Ø 1 0◎ Ø0
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
例二、有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
√√
√
l =m=4 < n=5
1 ◎0 3 1 3 √
2 6 ◎0 3 Ø0 √
4 2 Ø0 1 3 √ 3 Ø0 2 4 ◎0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
0 0 3 0 3 1 6 0 2 0 3 2 0 0 3 2 0 2 3 0 0 4 4 0 6
（xij
)
0 0
1 0
0 0
0 1
1 0 0 0
最小总时间为22。
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9
8
9
6
6
6
7 17 12 14 9
15 14 6 6 10
4 10 7 10 9
减去最小元素
5 0 2 0 2
4
7
13
9
各行各列减去最小元素后得
0 11
8 0
0 9
5 4
2 3 4 0
0
3
8
5
圈零划零
0 8 0 5
11 0 9 4
2 3 4 0
0
3
8
5
得最优解
将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得 最优解如下
0 0 1 0
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
求解过程如下：
第一步，变换系数矩阵：
6 7 11 2 2
(cij
)
4 3
5 1
0 10 5 7 2 √
9 8 0 0 10
0 6 3 6 5 √
√
调整可行解
7 0 2 0 2
4
30
0
0
0 8 3 5 0
11 8 0 0 10
0 4 1 4 3
再圈零划零
7 0 2 0 2
4
300
0
0 8 3 5 0
0 0 3 0 3 1 6 0 2 0 3 2 0 0 3 2 0 2 3 0 0 4 4 0 6
0Ø ◎0 3 0Ø 3 1 6 0◎ 2 Ø0 3 2 0Ø 0◎ 3 2 Ø0 2 3 ◎0 ◎0 4 4 0Ø 6
0 1 0 5
2 0 4 4
2
6
0
0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
15
练习：
费 工作
用
人员
A
B
C
D
E
甲
7
5
9
8
11
乙
9
12
7
11
9
丙
8
5
4
6
8
丁
7
3
6
9
6
戊
4
6
7
5
11
7 5 9 8 11 5
9
12
7
11
9
11 8 0 0 10
0 4 1 4 3
得最优解
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
( xij
)
0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
1 0 0 0 0
另一最优解
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
(
xij
)
0 0
0 0
0 1
0 0
7
8 5 4 6 9 4
7
3
6
9
6
3
4 6 7 5 11 4
2 0 4 3 6 2 5 0 4 2 4 1 0 2 5 4 0 3 6 3 0 2 3 1 7
-1 -2
2 0 4 2 4 2 5 0 3 0 4 1 0 1 3 4 0 3 5 1 0 2 3 0 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
1 ◎0 3 1 3 √
2 6 ◎0 3 Ø0 √
4 2 Ø0 1 3 √ 3 Ø0 2 4 ◎0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
1 ◎0 3 1 3 √ 2 6 ◎0 3 Ø0 √ 4 2 Ø0 1 3 √ 3 Ø0 2 4 ◎0 √ ◎0 3 3 Ø0 5
1 0
1 0 0 0 0
最小时间（成本）min z=32
匈牙利算法示例
（二）、解题步骤： 指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，
当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求 解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算 的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是 匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于 能覆盖所有 0 元素的最少直线数。
9 10
8 4 4 1
5 9 8 2 2
4 5 9 0 0 1 5 4 2 0 9 3 3 7 6 0
4 5 4 0 0 1 0 4 2 0 4 3 3 7 1 0
第二步，试指派：
－5
4 5 4 ◎
◎ 1 Ø 4
2 ◎ 4 3
2 ◎0 4 2 4 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 ◎0 2 3 0Ø 5
2 ◎0 4 2 4 √ 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 √ ◎0 2 3 0Ø 5
√
(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至 少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列 的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性 少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行， 直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
（5）若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指 派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。
4 5 4 ◎ √
◎ 1 Ø 4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
√
√
3 4 3 ◎
◎ 1 Ø 5
2 ◎ 4 4
2
6
0
Ø
3 4 3 ◎
◎ 1 Ø 5
2 ◎ 4 4
2
6
◎
Ø
得到4个独 立零元素， 所以最优解 矩阵为：
3 4 3 0
j 1,2,, n
举例说明
1）表上作业法
2）匈牙利法
例 有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不 同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示， 问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？
工人1 工人2 工人3 工人4
任务1 2 15 13 4
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
2
3
00
0
0 10 5 7 2
9 8 0 0 10
0 6 3 6 5
圈零划零
5 0 2 0 2
2
3
00
0
0 10 5 7 2
9 8 0 0 10
0 6 3 6 5
打勾划线确定调整行和列
5 0 2 0 2
2
3
00
0
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线， 这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m， 若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另 行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵， 以找到n个独立的0元素，为此转第四步。
l =m=4 < n=5
2 ◎0 4 2 4 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 ◎0 2 3 0Ø 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
确定调整行和列
在没有圈起的零所在行上打“√”； 在打“√”行中所有零所在的列打“√”； 在打“√”列中含有圈起零的行上打“√”， 反复执行2）和3）两步，直到不能打“√”为止； 用直线划去打“√”的列和不打“√”的行，没
有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整 列。
调整可行解的方法
第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后 打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元 素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵 的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
例一：
任务
人员
A
B
C
D
甲
2
15 13
4
乙 10
4
14 15
丙
9
14 16 13
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使 在(bij)的各行各列中都出现0元素，即
(1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。
第二步：进行试指派，以寻求最优解。
在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独 立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元 素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常 用的步骤为：
任务4 7 8 11 9
获得初始解：圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素 和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行 和每一列都含有零；
从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来， 并划去它所在行和所在列的其它零；
反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。 得到初始解。
判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。
变量是
1, 第i个工人做第j件事 xij 0， 第i个工人不做第j件事
则数学模型如下
nm
min z
cij xij
j1 i1
n
xij
1,i 1,2,, m
j1
m
xij
1, j 1,2,, n
i1 xij 0,1; i 1,2,, m;
3
7
1
Ø
找到 3 个独立零元素
但 m =3 <n=4
第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：
4 5 4 ◎ √
◎ 1 Ø 4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
√
√
独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3<n=4；
第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线 覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打√各行都减 去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进 行试指派：
(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加 圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记 作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考 虑别人了。
(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作 ◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ．
(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都 被圈出和划掉为止。
指派问题
指派问题是一种特殊的整数规划问题 一、问题的提出
设有m个工人，能做n件事，但效率不 同，并规定每个工人做且只能做一件事， 每件事有且只能有一个工人做，问应该如 何安排他们的工作，使花费的总时间（成 本）最少或效率最高？
二、指派问题的数学模型
设第i个工人做第j件事的时间是 cij ，决策
在调整行中寻找最小的元素，将它作为调 整量；
将调整行各元素减去调整量，对调整列中 各元素加上调整量。
再次执行“圈零”和“划零”的操作，并 循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n 为止。
匈牙利法解例3.3
时间矩阵 2 10 3 7
15
4
14
8
13 14 16 11
丁
2
10 4 14 15 4
9 14 16 13 9
7
8
11
9
7
0 13 11 2
6 0 10 11
0 5 7 4
0 1
4
2
0 13 11 2
6 0 10 11
0 5 7 4
0
1
4
2
42
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
0Ø 13 7 ◎0 6 0◎ 6 9 0◎ 5 3 2 0Ø 1 0◎ Ø0
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
例二、有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
√√
√
l =m=4 < n=5
1 ◎0 3 1 3 √
2 6 ◎0 3 Ø0 √
4 2 Ø0 1 3 √ 3 Ø0 2 4 ◎0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
0 0 3 0 3 1 6 0 2 0 3 2 0 0 3 2 0 2 3 0 0 4 4 0 6
（xij
)
0 0
1 0
0 0
0 1
1 0 0 0
最小总时间为22。
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9
8
9
6
6
6
7 17 12 14 9
15 14 6 6 10
4 10 7 10 9
减去最小元素
5 0 2 0 2
4
7
13
9
各行各列减去最小元素后得
0 11
8 0
0 9
5 4
2 3 4 0
0
3
8
5
圈零划零
0 8 0 5
11 0 9 4
2 3 4 0
0
3
8
5
得最优解
将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得 最优解如下
0 0 1 0