北师大九年级上第一次月考数学试卷含答案解析

2019-2019学年广东省东莞市寮步信义学校九年级（上）第一次月考
数学试卷
一、选择题
1．一元二次方程x2+3x﹣4=0的解是（）
A．x
1=1，x
2
=﹣4 B．x
1
=﹣1，x
2
=4 C．x
1
=﹣1，x
2
=﹣4 D．x
1
=1，x
2
=4
2．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
3．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=7
4．设一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数为x
1和x
2
，则下列结论正确的是（）
A．x
1+x
2
=2 B．x
1
+x
2
=﹣4 C．x
1
x
2
=﹣2 D．x
1
x
2
=4
5．方程x2﹣3x+6=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能够确定
6．若x=﹣1是方程ax2+bx+c=0的一个根，则a﹣b+c的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
7．方程x（x+3）=x+3的解是（）
A．x=0 B．x
1=0，x
2
=﹣3 C．x
1
=1，x
2
=3 D．x
1
=1，x
2
=﹣3
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
9．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为112m2，设小路宽为xm，那么x满足的方程是（）
A．2x2﹣25x+16=0 B．x2﹣25x+32=0 C．x2﹣17x+16=0 D．x2﹣17x﹣16=0
10．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）
A．10 B．12 C．16 D．20
二、填空题
11．方程x2=4x的解．
12．关于x的一元二次方程3x（x﹣2）=4的一般形式是．
13．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3=﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m= ．
15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式
16．解方程：x2+4x+1=0．
17．已知方程x2+4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值．
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）=2bx﹣c（1﹣x2）的两根相等，判断此三角形的形状．
四、解答题（二）
19．已知关于x的方程x2+kx﹣2=0的一个解是2．
（1）求k的值；
（2）求方程x2+kx﹣2=0的另一个解．
20．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
21．已知a是方程（）2﹣（）﹣2=0的根，÷（﹣）的值？
五、解答题（三）
22．已知斜边为10的直角三角形的两直角边a，b为方程x2﹣mx+3m+6=0的两个根．（1）求m的值；
（2）求直角三角形的面积和斜边上的高．
23．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1=y…①，
那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y
1=1，y
2
=4，
当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴；
当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴，
故原方程的解为，，，．
以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：
（1）x4﹣x2﹣6=0．（2）（x2+x）2+（x2+x）=6．
24．如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC=8m，BD=6m，动点M从A出发沿AC方向以2m/s匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以1m/s匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几
秒钟时，△MON的面积为？
2019-2019学年广东省东莞市寮步信义学校九年级（上）第一
次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一元二次方程x2+3x﹣4=0的解是（）
A．x
1=1，x
2
=﹣4 B．x
1
=﹣1，x
2
=4 C．x
1
=﹣1，x
2
=﹣4 D．x
1
=1，x
2
=4
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】原方程可运用二次三项式的因式分解法求解，求出方程的根后再判断各选项是否正确．【解答】解：x2+3x﹣4=0
（x﹣1）（x+4）=0
解得：x
1=1，x
2
=﹣4；
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
2．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【考点】一元二次方程的解．
【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，
∴4+2m+2=0，
∴m=﹣3．故选A．
【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（）
A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=7
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】利用配方法解已知方程时，首先将﹣3变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所求的式子．
【解答】解：x 2﹣2x ﹣3=0，
移项得：x 2﹣2x=3，
两边都加上1得：x 2﹣2x+1=3+1，
即（x ﹣1）2=4，
则用配方法解一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0时，方程变形正确的是（x ﹣1）2=4．
故选：B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
4．设一元二次方程x 2﹣2x ﹣4=0的两个实数为x 1和x 2，则下列结论正确的是（ ）
A ．x 1+x 2=2
B ．x 1+x 2=﹣4
C ．x 1x 2=﹣2
D ．x 1x 2=4
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0
（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则x 1+x 2=
，x 1x 2=．
【解答】解：这里a=1，b=﹣2，c=﹣4，
根据根与系数的关系可知：x 1+x 2=﹣=2，x 1•x 2==﹣4，
故选A
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．
5．方程x 2﹣3x+6=0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．不能够确定
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】把a=1，b=﹣3，c=6代入△=b 2﹣4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=6，
∴△=b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×6=﹣15＜0，
所以方程没有实数根．
故选C ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
6．若x=﹣1是方程ax 2+bx+c=0的一个根，则a ﹣b+c 的值为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．0
D ．无法确定
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据x=﹣1是方程ax 2+bx+c=0的一个根，直接代入方程求出a ﹣b+c 的值即可．
【解答】解：∵x=﹣1是方程ax 2+bx+c=0的一个根，
∴a ×（﹣1）2+b ×（﹣1）+c=a ﹣b+c=0．
故选；C ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，根据定义直接代入求出是解题关键．
7．方程x （x+3）=x+3的解是（ ）
A ．x=0
B ．x 1=0，x 2=﹣3
C ．x 1=1，x 2=3
D ．x 1=1，x 2=﹣3
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式（x+3），然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【解答】解：原方程可化为：x （x+3）﹣（x+3）=0
即（x ﹣1）（x+3）=0
解得x 1=1，x 2=﹣3
故选D ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
8．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值是（ ）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法．
【分析】方程没有实数根，则△＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知，△=4﹣4m＜0，
∴m＞1
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为112m2，设小路宽为xm，那么x满足的方程是（）
A．2x2﹣25x+16=0 B．x2﹣25x+32=0 C．x2﹣17x+16=0 D．x2﹣17x﹣16=0
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．
【解答】解：设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）=112，
整理得：x2﹣17x+16=0．
故选C．
【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
10．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（ ）
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【考点】菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】边AB 的长是方程x 2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x 的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．
【解答】解：∵解方程x 2﹣7x+12=0
得：x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD 的周长为4×4=16．
故选C ．
【点评】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
二、填空题
11．方程x 2=4x 的解 x 1=0，x 2=4 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x ，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【解答】解：原方程变为
x 2﹣4x=0
x （x ﹣4）=0
解得x 1=0，x 2=4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
12．关于x 的一元二次方程3x （x ﹣2）=4的一般形式是 3x 2﹣6x ﹣4=0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）．
【解答】解：方程3x （x ﹣2）=4去括号得3x 2﹣6x=4，移项得3x 2﹣6x ﹣4=0，原方程的一般形式是3x 2﹣6x ﹣4=0．
【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
13．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣1=0有一根为0，则m= ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程即可求得m 的值．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣1=0有一根为0，
∴x=0满足关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣1=0，且m ﹣1≠0，
∴m 2﹣1=0，即（m ﹣1）（m+1）=0且m ﹣1≠0，
∴m+1=0，
解得，m=﹣1；
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数a 2+2b ﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3=﹣9，现将实数（m ，﹣3m ）放入其中，得到实数4，则m= 7或﹣1 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】新定义．
【分析】根据公式a 2+2b ﹣3，可将（m ，﹣3m ）代入得出m 2+2×（﹣3m ）﹣3=4，解方程即可．
【解答】解：根据题意得，m 2+2×（﹣3m ）﹣3=4，
解得m 1=7，m 2=﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式
16．解方程：x2+4x+1=0．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
【解答】解：∵a=1，b=4，c=1，
∴△=42﹣4×1×1=16﹣4=12＞0，
∴，
∴．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
17．已知方程x2+4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值．
【考点】根的判别式．
【分析】由于方程有两个相等的实数根，故根的判别式为0，解关于m的方程即可解答．
【解答】解：∵方程x2+4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4×1×（m﹣1）=0，
解得m=5．
【点评】本题考查了根的判别式：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）=2bx﹣c（1﹣x2）的两根相等，判断此三角形的形状．
【考点】根的判别式．
【分析】方程a（1+x2）﹣2bx+c（1﹣x2）=0的两根相等，即△=0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
【解答】解：原方程整理得（a+c）x2﹣2bx+a﹣c=0，
因为两根相等，
所以△=b2﹣4ac=（﹣2b）2﹣4×（a+c）×（a﹣c）=4b2+4c2﹣4a2=0，
即b2+c2=a2，
所以△ABC是直角三角形．
【点评】此题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．△ABC的三边长满足b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理可知，此三角形是直角三角形．
四、解答题（二）
19．已知关于x的方程x2+kx﹣2=0的一个解是2．
（1）求k的值；
（2）求方程x2+kx﹣2=0的另一个解．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】将x=2代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．然后利用根与系数的关系求得方程的另一个根即可；
【解答】解：（1）将x=2代入关于x的方程x2+kx﹣2=0，
得：4+2k﹣2=0
解得：k=﹣1，
（2）设方程的另一个根为a，
则2a=﹣2，
解得a=﹣1，
故方程的另一个根为﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解集根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
20．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
【解答】解法一：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为X 米，
根据题意，得（20﹣x ）（32﹣x ）=540．
整理得x 2﹣52x+100=0．
解得x 1=50（不合题意，舍去），x 2=2．
答：道路宽为2米．
解法二：原图经过平移转化为图2．
设道路宽为x 米，
根据题意，20×32﹣（20+32）x+x 2=540
整理得x 2﹣52x+100=0．
解得x 1=50（不合题意，舍去），x 2=2．
答：道路宽为2米．
【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
21．已知a 是方程（）2﹣（）﹣2=0的根，÷（﹣）的值？
【考点】分式方程的解；分式的混合运算．
【分析】先根据已知条件利用换元法求出=2或﹣1，再将分式化简，并代入得出结论．
【解答】解：（）2﹣（）﹣2=0，
把x=a代入得：（）2﹣﹣2=0，
设=b，则原方程变形为：b2﹣b﹣2=0，
解得：b
1=2，b
2
=﹣1，
∴=2或﹣1，
÷（﹣），
=÷（﹣），
=÷，
=•，
=，
当=2或﹣1时，原式=2或﹣1．
【点评】本题考查了分式方程和分式的混合运算，本题运用了整体代入的思想，并与换元法相结合，求出一个分式的值，而不是方程的解x；在分式的化简中，分解因式是基础，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式，并注意运算顺序》
五、解答题（三）
22．已知斜边为10的直角三角形的两直角边a，b为方程x2﹣mx+3m+6=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求直角三角形的面积和斜边上的高．
【考点】根与系数的关系；三角形的面积．
【分析】（1）先根据一元二次方程的根与系数的关系得出a+b=m，ab=3m+6，再由勾股定理可得关于m的方程，解之可得求m的值；
（2）根据（1）中m的值可得原方程，解之即可知直角三角形两直角边，进一步计算可得答案．
【解答】解：（1）∵a，b是方程x2﹣mx+3m+6=0的两个根，∴a+b=m，ab=3m+6，
∵a2+b2=c2，
∴（a+b）2﹣2ab=102，
∴m2﹣6m﹣112=0，
∴m
1=﹣8，m
2
=14．
又∵a+b=m＞0，
∴m=14；
（2）原方程可化为x2﹣14x+48=0，
∴x
1=8，x
2
=6．
当a=6，b=8，c=10时，
直角三角形的面积为×6×8=24，
斜边上的高为=．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及勾股定理、解方程的能力，熟练掌握根与系数的关系求得m的值是解题的关键．
23．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，
设x2﹣1=y…①，
那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y
1=1，y
2
=4，
当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴；
当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴，
故原方程的解为，，，．
以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：
（1）x4﹣x2﹣6=0．（2）（x2+x）2+（x2+x）=6．
【考点】换元法解一元二次方程．
【专题】阅读型．
【分析】阅读题目理解清“换元法”的解法，然后按这种方法解答．
【解答】解：（1）x 4﹣x 2﹣6=0
设x 2=y ，则原方程可化为
y 2﹣y ﹣6=0，解得y 1=3，y 2=﹣2（舍去），
当y=3时，x 2=3，∴x=±
∴原方程的解为x=±
；
（2）（x 2+x ）2+（x 2+x ）=6
设x 2+x=y ，则原方程可化为
y 2+y=6，解得y 1=﹣3（舍去），y 2=2，
当y=2时，x 2+x=2，解得x 1=﹣2，x 2=1，
所以原方程的解为x 1=﹣2，x 2=1．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
24．如图，菱形ABCD 中，AC ，BD 交于O ，AC=8m ，BD=6m ，动点M 从A 出发沿AC 方向以2m/s 匀速直线运动到C ，动点N 从B 出发沿BD 方向以1m/s 匀速直线运动到D ，若M ，N 同时出发，问出发后几
秒钟时，△MON 的面积为？
【考点】一元二次方程的应用；菱形的性质．
【专题】几何动点问题．
【分析】根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分当x ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上、当2＜x ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上和当x ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上三种情况分别讨论．
【解答】解：设出发后x 秒时，
（1）当x ＜2时，点M 在线段AO 上，点N 在线段BO 上．（4﹣2x ）（3﹣x ）=；
解得x 1=
，x 2= ∵x ＜2，
∴
；
（2）当2＜x ＜3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段BO 上，（2x ﹣4）（3﹣x ）=；
解得
；
（3）当x ＞3时，点M 在线段OC 上，点N 在线段OD 上，（2x ﹣4）（x ﹣3）=；
解得x 1=s 或x 2=
s ．
综上所述，出发后
或s 或时，△MON 的面积为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．。