河南省许昌四校高二数学下学期第一次考试试题 理

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许昌市四校联考高二下学期第一次考试
理科数学试卷
考试时间：120分钟，分值：150分
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定（ ）
A ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-
B ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=-
C ．
()0,,ln 1
x x x ∀∈+∞≠-
D ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-
2．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为 （ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
3．数列{}n a 、{}n b 满足*2()n a n b n N =∈，则“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也必要条件
4．如图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别
为1234e e e e ﹑﹑﹑，其大小关系为（ ） A ．1234e e e e <<< B ．2134e e e e <<< C ．1243e e e e <<< D ．2143e e e e <<<
5．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点()01
，F ，离心率为2
1
，则椭圆C 的方程是（ ） A.14322=+y x B. 15422=+y x C. 12422=+y x D. 13
42
2=+y x 6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯
角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的 宽度BC 等于（ ）
A ．1)m
B ．1)m
C ．1)m
D ．1)m
7．在ABC ∆中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 8．如图，正三棱柱ABC －A
1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为AB ，AA 1，
A 1C 1的中点，则
B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )．
A.
35 B. 5
6
9．如图，已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，
点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6
,12[π
πα∈，则该
双曲线离心率e 的取值范围为（ ）
A ．]32,3[+
B ．]13,2[+
C ．]32,2[+
D ．]13,3[+
10.设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则xy 的最大值为（ ）
A.
252 B. 492
C. 12
D. 14 11.下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①命题“x R ∃∈，使得013<+x ”的否定是“x R ∀∈，都有013>+x ”．
②双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 中，F 为右焦点，A 为左顶点，点),0(b B 且
0=⋅→
→BF AB ，则此双曲线的离心率为
2
1
5+． ③在△ABC 中，若角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，若cos2B+cosB+cos （A-C ）=1，则 a 、c 、b 成等比数列．
④已知,a b 是夹角为120的单位向量，则向量a b λ+与2a b -垂直的充要条件是
4
5
=
λ． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 12.设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做
22x x -+ 的上确界．若,a b R +∈，且1a b +=，则122a
b
-
-
的上确界为（ ）
A ．5-
B ．4-
C ．
9
2
D ．92
-
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13.若命题“()2
,110x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14.已知(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ． 15.等差数列{}{}n n a b ，的前n 项和分别为n n S T 、，若
n n T S =132+n n
，则11
11b a =_________ 16.已知a b >，且1ab =，则22
a b a b
+-的最小值是_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分10分）
A
A 1
B
1
C
C 1
在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
已知命题:p “存在021)1(2,2
≤+-+∈x m x R x ”，命题q ：“曲线182:2
221=++
m y m
x C 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线11
:
2
22=--+-t m y t m x C 表示双曲线” （1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围。

19.(本小题满分12分)
如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥. （Ⅰ）证明：1AB AC =;
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒
=∠601CBB ,BC AB =,求二面角1
11C B A A --的余弦值. 20．（本小题满分12分）
已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为)1,0(F ， （1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 作直线l 交抛物线于B A ,两点，若直线BO AO ,分别与直线2-=x y 交于N M ,两点，求||MN 的取值范围． 21．（本小题满分12分）
设n S 是数列}[n a 的前n 项和，)2(21,12
1≥⎪⎭
⎫
⎝⎛
-==n S a S a n n n ． （1）求}{n a 的通项； （2）设1
2+=
n S b n
n ，求数列}{n b 的前n 项和n T ． 22．（本小题满分12分）
如图，已知双曲线
的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆
相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为．(1)求k的取值范围，并求的最小值；
(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗？证明你的
结论．
高二理科数学参考答案
1．C ：根据存在性命题的否定为全称命题，所以命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定为命题“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”，故选C ．
2．B 因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2
sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A =，所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形.此类问题关键在于掌握正弦定理和三角恒等变换，准确运算是关键.
3．C ：当数列{}n a 是公差为d 的等差数列时，11222
n n a d n a n b b --==，
所以数列{}n b 是等比数列；当数列{}n b 是公比为q 的等比数列时，1112122,log 2
n
n n n a a a n n n a n b q a a q b -----===∴-=，所
以数列{}n a 是等差数列；因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充要条件．
4．A ：根据椭圆越扁离心率越大可得到1201e e <<<
根据双曲线开口越大离心率越大得到341e e <<∴可得到1234e e e e <<<
5．D ：由题意可知2
11,232
c c e a b a ===∴=∴=，所以方程为13422=+y x 6． C.：120AC =，60sin 75
AB =
，sin 30sin 45AB BC
=
，所以
sin 4560120(1)sin30sin(3045)
AB BC =
==+.选C
7．B ：由()()3a b c b c a bc +++-=可得2
2
()3b c a bc +-=即222b c a bc +-=，又由余弦定理可得2222cos bc A b c a =+-，所以2cos bc A bc =即1
cos 2
A =，因为(0,)A π∈，所以60A =︒，选
B ．
8．A 如图，取AB 的中点E ，建立如图所示空间直角坐标系E －xyz .
则E (0,0,0)，F (－1,0,1)，B
1(1,0,2)，A 1(－1,0,2)，C 1(0
2)，G 122⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
∴1B F ＝(－2,0，－1)
，EF ＝(－1,0,1)，FG ＝12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )
，由01022
nEF x z nFG x y z ⎧-+=⎪⎨+
+=⎪⎩＝，
＝，
得z x
y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1
1)，设B 1F 与平面GEF 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，1B F 〉|＝
11nB F n B F
＝
35
9．B ：在ABF Rt ∆中，,2OF c AB c =∴=，2sin ,2cos AF c BF c αα∴==，
||2|cos sin |2BF AF c a αα∴-=-=，|)4
cos(|21
|sin cos |1πααα+=
-==
∴a c e ， ,12
54
3
,6
12
ππ
απ
π
απ
≤
+
≤∴
≤
≤
]2
2
,213[|)4cos(|2],21,426[
)4
cos(-∈+-∈+
∴παπ
α， ]13,2[+∈∴
e ，故选B ．
10．A 画出可行域如图
在△ABC 区域中结合图象可知当动点在线段AC 上时xy 取得最大
此时2x ＋y ＝10
xy ＝
12（2x ·y ）≤21225
(
)222
x y += 当且仅当x ＝
52，y ＝5时取等号，对应点（5
2
，5）落在线段AC 上， 故最大值为
252
11．B ：①不正确，该命题的否定应是“x R ∀∈，都有310x +≥”； ②正确,
()(),0,,0F c A a -,()(),,,AB a b BF c b ∴==-,20AB BF ac b ∴⋅=-=,即
()2
2
0ac c a --=,2
10c c
a a
⎛⎫⇒--= ⎪⎝⎭,即210e e --=,解得12e ±=（舍负）； ③不正确,
()()()22cos2cos cos 12sin cos cos 12sin 2sin sin 1
B B A
C B A C A C B A C ++-=--++-=-+=,2sin sin sin B A C ⇒= ,由正弦定理可得2b ac =,则三边长,,a b c 成等比数列； ④
正
确
,
向
量
a b
λ+与
2a b
-垂直则
(
)()
()()221212212202a b a b a a b b λλλλλ⎛⎫
+⋅-=+-⋅-=+-⨯--= ⎪⎝⎭
54λ⇒=．
综上可得正确命题的个数是3个,故C 正确． 12．D ：⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++-=--
b b a a
b a b a 222221⎪⎭⎫
⎝⎛++-=b a a b 2225，由基本不等式得b a
a b 22+b
a a
b 222⋅
≥ 29225221-≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+-≤--
∴b a ，故答案为D ． 13．
13a -≤≤：命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”的否定是
“()2
,110x R x a x ∀∈+-+≥”为真命题，即2
(1)40a ∆=--≤，解得13a -≤≤．
考点：命题的真假判定；一元二次不等式的应用．
14．3：由题意可设：c ma nb =+，则1329635233m n m m n n m n λλ=-=⎧⎧⎪⎪
=-+⇒=⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩
考点：向量共线 15．
21
32：等差数列的性质．∵在等差数列中2121?n n S n a -=-（），∴21121S a =，∴211121
T b =，
∴
21212121
S T =
．又∵231n n S n T n =+，∴1111b a
＝2132． 16
．
：因为
a b >，所以0a b ->，又1ab =，则
()()22222
a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+---
≥=2
a b a b
-=-
时等号成立，故所求最小值为． 17．【解析】（Ⅰ）由2asinB=b ，利用正弦定理得：2sinAsinB=
sinB ，
∵sinB≠0，∴sinA=，-------3分
又A 为锐角， 则A=
；--------5分
（Ⅱ）由余弦定理得：a 2
=b 2
+c 2
﹣2bc•cosA，即36=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2
﹣3bc=64﹣3bc ， ∴bc=
，又sinA=
，--------8分 则S △ABC =bcsinA=
．--------10分
18．：解：（1）若p 为真：02
1
24)1(2
≥⨯
⨯--=∆m 1分 解得1-≤m 或3≥m 2分
若q 为真：则⎩
⎨⎧>++>0828
22m m m 3分
解得24-<<-m 或4>m 4分 若“p 且q ”是真命题，则⎩⎨
⎧>-<<-≥-≤4
2431m m m m 或或 6分
解得24-<<-m 或4>m 7分 （2）若s 为真，则0)1)((<---t m t m ，即1+<<t m t 8分 由q 是s 的必要不充分条件，
则可得}1|{+<<t m t m ≠⊂24|{-<<-m m 或}4>m 9分
即⎩⎨
⎧-≤+-≥2
14
t t 或4≥t 11分
解得34-≤≤-t 或4≥t 12分
19．：（I ）连接1BC ，交1B C 于O ，连接AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥．又
1B O CO =,故1AB AC =．------4分
（II ）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为BC AB =，
BOA BOC ∆≅∆．故O A O B ⊥，从而1OA OB OB ，，两两垂直．以O 为坐标原点，OB 的
方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．
z y
O
A
A 1
B
B 1
C
C 1
因为0
160CBB ∠
=，所以1C B B ∆为等边三角
形．又
AB BC =,
则A ，(1,0,0)B
，1
B ，(0,
C ．
1AB =
,11(1,0,3A B AB ==-,11(1,3
B C BC ==--． 设(,,)n x y z =是平面11AA B
的法向量，则1110,0,
n AB n A B ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,
0,
y z x z -=⎨⎪-=⎪⎩所以可取
(1,3,n =．
设m 是平面111A B C 的法向量，则1111
0,
0,
m A B
m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩同理可取(1,3)m =．
则1
c o s ,7
n m n m n m
⋅<>=
=
． 所以二面角111C B A A --的余弦值为1
7
-------------------------12分
20：（1）设抛物线的方程为22x py =，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A ()11,x y ，B ()22,x y ，直线AB 的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M ，N 的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围
试题解析：(1) 焦点为)1,0(F ，122
p p =∴=，所以y x 42=---4分 (2)设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB 的方程为1+=kx y 代入y x 42=得0442=--kx x ，
4,42121-==+x x k x x ，14||221+=-k x x ---------6分 由211-==⎩⎨⎧x y x x y y 得148x x M -=，同理2
48x x N -=，所以||2||N M x x MN -=＝|
34|1282-+k k ，令0,34≠=-t t k ，则43+=t k ，-----------8分 则2582516)535(2216252
2||22≥++=++=t t t MN ，范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,258------12分
21.：（1）2,212≥∴⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=n S a S n n n 时，⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=-21)(12n n n n S S S S ， 整理得，2112111=-⇒
=----n n n n n n S S S S S S ，∴数列}1{n s 是以2为公差的等差数列，其首项为111
=S ．----------4分 ⎪⎩⎪⎨⎧≥---==-=∴-=⇒-+=∴2,)32)(12(21,1122,121)1(21121n n n n S S a n S n S n n n n ----------6分
（2）由（1）知，⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=+-=+=12112121)12)(12(112n n n n n S b n n ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-=∴)121121()7151()5131()311(21n n T n
1
2)1211(21+=+-=∴n n n T n ．--------------12分 22 (1)∵l 与圆相切，∴1＝∴m 2＝1＋k 2
，①---2分 由得， ∴ ∴，∴，故k 的取值范围为(－1，1)．----4分 由于， ∴， ∵∴当时，取最小值为2．----6分 (2)由已知可得，的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， ∴，，-------8分 ∴＝= ＝＝ ＝＝， 由①，得
，--------10分 ∴＝＝－(3＋2)为定值．-----12分。