临沂市名校2020年高二下数学期末调研试题含解析

临沂市名校2020年高二下数学期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数(
)2
~N 11,2x ，若某班共有54名学生，则这
个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为 （ ） （附：()0.6827P X μσμσ-<≤+=） A ．6 B ．7
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：现利用正态分布的意义和2σ原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于13的概率，即可求解得到其人数．
详解：因为其中数学考试成绩X 服从2(11,2)X
N 正态分布，
因为()0.6827P X μσμσ-<≤+=，即(112112)0.6827P X -<≤+= 根据正态分布图象的对称性，可得10.6827
(112)0.158652
P X -≥+=
=， 所以这个班级中数学考试成绩在13分以上的人数大约为540.158659⨯≈人，故选C ．
点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题．
2．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：
则有（ ）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．
参考公式:()()()()()
2
2
=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++
A ．97.5%
B ．99%
C ．99.5%
D ．99.9%
【答案】C 【解析】 【分析】
根据2×2列联表，求出k 的观测值2K ，结合题中表格数据即可得出结论. 【详解】 由题意，可得：
222
()50(2015105)25
8.3337.879()()()()302025253
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握
认为经常使用手机对数学学习成绩有影响. 故选C. 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题. 3．已知函数ln ()x
f x x
=，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等的实根，则m 的取值范围是（ ） A ．1
(,)e e -∞- B ．1(,)e e
-∞- C ．1
(,)e e
-+∞
D ．1(,)e e
-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数讨论函数()f x 的性质后可得方程()t f x =至多有两个解．因为()()1
f x m f x -
=有三个不同的解，故方程1t m t
-=有两个不同的解1t t =，2t
t =且110,t e ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()21,0t e
⎧⎫∈-∞⋃⎨⎬⎩⎭
，最后利用函数
()21g t t mt =--的图像特征可得实数m 的取值范围．
【详解】
()2
1ln 'x
f x x
-=
， 当0x e <<时，()'0f x >，()f x 在()0,e 上为增函数； 当x e >时，()'0f x <，()f x 在(),e +∞上为减函数； 所以()f x 的图像如图所示：
又1x >时，()0f x >，又()f x 的值域为1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
，
所以当0t ≤或1
t e
=时，方程()t f x =有一个解， 当1
0t e <<
时，方程()t f x =有两个不同的解， 所以方程1t m t
-=即210t mt --=有两个不同的解()12110,,,0t t e e ⎛⎫⎧⎫∈∈-∞⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭
⎩⎭
，
令()2
1g t t mt =--，故()0010
g g e ⎧<⎪⎨⎛⎫
> ⎪⎪⎝⎭
⎩ ，解得1m e e <-，故选B ． 【点睛】
复合方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦的解的个数问题，其实质就是方程组()()g t m
t f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
的解的个数问题，后者可先利用
导数等工具刻画()f x 的图像特征，结合原来方程解的个数得到t 的限制条件，再利用常见函数的性质刻画()g t 的图像特征从而得到参数的取值范围．
4．若方程2210ax x -+=在区间（-1,1）和区间（1,2）上各有一根,则实数a 的取值范围是( ) A ．31a -<< B ．
3
14
a << C ．334
a -<<
D ．3a <-或34
a >
【答案】B 【解析】 【分析】
函数f （x ）＝2
21ax x -+在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则()()()()110
120f f f f ⎧-⎪⎨⎪⎩
＜＜，
解得即可． 【详解】
∵函数f （x ）＝ax 2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，
∴()()()()110
120f f f f ⎧-⎪⎨⎪⎩＜＜，
即()()(
)()3101430a a a a ⎧+-⎪⎨--⎪⎩＜＜，
解得34
＜a ＜1， 故选B ． 【点睛】
本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．
5．在复平面内，复数1
1i
z =+，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数1
1i
z =+，计算z ，再计算对应点的象限. 【详解】 复数11-1111+1(1)(1-)2222
i z i z i i i i =
==-⇒=++ 对应点为：11
(,)22
故答案选A 【点睛】
本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力. 6．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
112
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．
考点：概率问题
7．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2
π
)单调递增的是 A ．f(x)=│cos 2x│ B ．f(x)=│sin 2x│ C ．f(x)=cos│x│
D ．f(x)= sin│x│
【解析】 【分析】
本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择． 【详解】
因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2
π，在区间(,)42ππ
单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图
象，由图象知，其周期为
2
π，在区间(,)42ππ
单调递减，排除B ，故选A ．
【点睛】
利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数； 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9
C ．18
D ．27
【答案】D 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=
∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()
272
a a S ⨯+=
=
9．是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 试题分析：设
，依题意有
，故
.
考点：复数概念及运算．
【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.
10．己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足
PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A ．
21
2
B 21
C ．
51
2
D 51
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得
1PN PA
m
=
，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。

【详解】
由题意知，由对称性不妨设P 点在y 轴的右侧，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则根据则抛物线的定义，可得PN PB =，
PA m PB =
1PN PA
m
∴= 设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，与2
4x y =联立，得2440x kx -+=，
令216160k ∆=-=，解得1k =± 可得(2,1)P ， 又
此时点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上
∴双曲线的实轴22(21)a PA PB =-=-
21,1a c ∴=-=
21e ∴=+
故答案选B 。

【点睛】
本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想。

11．将函数()f x 的图象向左平移6
π
个单位后得到函数()g x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（ ）
A ．()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（x ∈R ）
B ．()sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（x ∈R ） C ．()sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
（x ∈R ）
D ．()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（x ∈R ） 【答案】A 【解析】
设()()sin g x x ωϕ=+，由()g x 的图像可知，函数的周期为5ππ2π4π,2126πT ω⎛⎫
=-===
⎪⎝⎭
，所以
()()sin 2g x x ϕ=+，将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得ππsin 1,36ϕω⎛⎫
+== ⎪⎝⎭
，所以()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向右平移
π6后得到()πππsin 2sin 2666f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-
+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 12．已知,S T 是两个非空集合，定义集合{}
,S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A ．T B ．S
C ．S T ⋂
D ．S T ⋃
【答案】C
【分析】
根据定义集合{}
,S T x x S x T -=∈∉分析元素特征即可得解. 【详解】
因为{}
,S T x x S x T -=∈∉表示元素在S 中但不属于T ，那么()S S T --表示元素在S 中且在T 中即
S T ⋂，故选C.
【点睛】
本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题, 二、填空题：本题共4小题 13．若(
)2
1,X N σ
~，()120.2P X <<=，()300.25P X -<<=，则
()()015P X P X <<->=_____.
【答案】0.15 【解析】
由题意可得：()()120.2,300.25P X P X <<=-<<=， 则：()()50.50.20.250.05P X >=-+=，
()()()()0151250.20.050.15P X P X P X P X <<->=<<->=-=.
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.
14．如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_____．
【答案】22e
【解析】 【分析】
互为反函数的图象关于直线y x =对称，所以两个阴影部分也关于直线对称.利用面积分割和定积分求出上部分阴影面积，再乘以2得到整个阴影面积.
如图所示，连接AC ，易得(1,),(0,1),(1,0)A e B C ，
1
2()2()2x S S S e e dx ∴=⨯-=⨯-=⎰阴影矩形曲边梯形，
2
2P e ∴=
. 【点睛】
考查灵活运用函数图象的对称性和定积分求解几何概型，对逻辑思维能力要求较高.本题在求阴影部分面积时，只能先求上方部分，下方部分中学阶段无法直接求.
15．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则
AB ="______________________."
【答案】
【解析】 【分析】 【详解】
解：过点（3， 0）且与极轴垂直的直线方程为 x=3，曲线ρ=1cosθ 即 ρ2=1ρcosθ， 即 x 2+y 2=1x ，（x-2）2+y 2=1． 把 x=3 代入 （x-2）2+y 2=1 可得 3，故316．已知向量(2,,3)a λ=，(4,2,)b μ=-（λ，μ为实数），若向量a ，b 共线，则λμ+的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】
根据向量a ，b 共线，结合两向量的坐标，列出方程组求解，即可得出结果. 【详解】
因为量(2,,3)a λ=，(4,2,)b μ=-共线， 所以存在实数t ，使得a tb =，
则有2423t
t t λμ
=⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，解得：16λμ=-⎧⎨=⎩，
因此5λμ+=. 故答案为：5. 【点睛】
本题主要考查由空间向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图，在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如右表所示：
年龄 关注度非常高的人数 [15,25) 15
[25,35) 5
[35,45) 15
[45,55) 23
[55,65)
17
（Ⅰ）由频率分布直方图，估计这100人年龄的中位数和平均数；
（Ⅱ）根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异？
（Ⅲ）按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人，再从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少．
参考数据：
【答案】 (1)45;42(2) 不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两
会”的关注度存在差异.(3)
8
15
P=.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图，可直接得到中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求和，可求出平均数；
（2）先由题意完善列联表；根据
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，结合数据求出2
K，再由临界值表，
即可得出结果；
（3）先由分层抽样，得到任选的6人中，年龄在25岁以下的有4人，设为A、B、C、D；年龄在25岁到35岁之间的有2人，设为M、N，用列举法分别列举出总的基本事件以及满足条件的基本事件，基本事件个数比，即为所求概率.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得，45两侧的频率之和均为0.5，
所以估计这100人年龄的中位数为45（岁）；
平均数为x200.2300.1400.2500.3600.242
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）；
（2）由频率分布直方图可知，45岁以下共有50人，45岁以上共有50人.
列联表如下：
∴2
2
100(35104015) 1.333 3.84175255050
K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异.
（3）年龄在25岁以下的人数为0.021010020⨯⨯=人， 年龄在25岁到35岁之间的人数为0.011010010⨯⨯=人
按分层抽样的方法在这30人中任选六人，其中年龄在25岁以下的有4人，设为A 、B 、C 、D ；年龄在25岁到35岁之间的有2人，设为M 、N ，
从这六人中随机选两人，有AB 、AC 、AD 、AM 、AN 、BC 、BD 、BM 、BN 、CD 、CM 、CN 、
DM 、DN 、MN 共15种选法，而恰有一人年龄在25岁以下的选法有AM 、AN 、BM 、BN 、CM 、
CN 、DM 、DN 共8种，
∴“从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下”的概率是815
P = 【点睛】
本题主要考查由频率分布直方图求中位数与平均数、独立性检验，以及古典概型等，熟记中位数与平均数的计算方法，独立性检验的基本思想，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.
18．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t ϕ
ϕ=-+⎧⎨=⎩
（t 为参数），[0,)ϕπ∈，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 极坐标方程为4cos ρθ=. （1）若直线l 与圆C 相切，求ϕ的值；
（2）已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，记点A 、B 相应的参数分别为1t ，2t ，当212t t =时，求AB 的长.
【答案】（1）6
π=ϕ或56π
；（2．
【解析】
分析：（1）消元法解出直线l 的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 的直角坐标方程，直线l 与圆C 相切，则r d =。

（2）将直线1C 的参数方程为代入圆2C 的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。

利用t 的几何意义求解问题。

详解：（1）圆C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=，
将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得()()22
cos 4sin 4t t ϕϕ-+=， 即为2
8cos 120t t ϕ-+=，
因为直线l 与圆C 相切，所以()2
8cos 4120ϕ∆=-⨯=， 所以3cos 2ϕ=
或3
cos 2
ϕ=-，[)
0,ϕπ∈，所以6πϕ=或56π；
（2）将2x tcos y tsin ϕϕ
=-+⎧⎨=⎩代入圆C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=，
得122
12
88cos 12012t t cos t t t t ϕ
ϕ+=⎧-+=⇒⎨⋅=⎩，
又122t t =，所以222
23864cos 54212t cos t ϕϕ=⎧⇒=⎨=⎩ 2
27cos 32ϕ⇒=， ()
2
1212124AB t t t t t t =-=
+- 264cos 4126ϕ=-⨯=.
点睛：将直线1C 的参数方程为代入圆2C 的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。

利用t 的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法。

注意1PM t =
2PN t =，要去绝对值符号，需判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负。

19．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.
()1求证：平面ACG ⊥平面BCE ； ()2若3AB BC =
，求二面角B CA G --的余弦值.
【答案】()1证明见解析；()221
7
. 【解析】 【分析】
()1推出CB AB ⊥，从而CB ⊥平面ABEF ，进而得出CB AG ⊥，再得出AG BE ⊥，从而AG ⊥平面
BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE ；
()2以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B CA G --的余弦值.
【详解】 解：()1证明：平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，
平面ABCD
平面ABEF AB =.
∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥.
在菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，可知ABE △为等边三角形，G 为BE 中点，
∴AG BE ⊥.
BE CB B =，∴AG ⊥平面BCE .
AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .
()2由()1知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG ，AF ，AD 两两垂直，
以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.
设2AB =，则23
3
BC =，()0,0,0A ，(
)
3,0,0G
，233,1,C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，(
)
3,1,0B -.
设(),,m x y z =为平面ABC 的法向量，
由00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30
2330x y x y z ⎧-=⎪⎨-+
=⎪⎩
， 取()
1,3,0m =，同理可求平面ACG 的法向量()
0,2,3n =，
∴2321cos ,727
m n m n m n
⋅=
=
=⨯，
即二面角B CA G --的余弦值等于
21
7
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题.
20．（12分）某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门
课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ0 1 2 3
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求，
的值；
(Ⅲ)求数学期望ξ。

【答案】（I），（II），.（III）
【解析】
(1)可根据其对立事件来求：其对立事件为：没有一门课程取得优秀成绩.
(2)
建立关于p、q的方程，解方程组即可求解.
(3)先算出a,b的值，然后利用期望公式求解即可.
事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知
，，
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
，
（II）由题意知
整理得，由，可得，.
（III）由题意知
=
=
=
21．已知实数a＞0且a≠1．设命题p：函数f（x）＝log a x在定义域内单调递减；命题q：函数g（x）
＝x2﹣2ax+1在（1
2
，+∞）上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．
【答案】
1
1
2
a a
⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
【解析】
【分析】
先分别求得p，q为真时的a的范围，再将问题转化为p，q一真一假时，分类讨论可得答案．【详解】
∵函数f（x）＝log a x在定义域内单调递减，∴0＜a＜1．
即：p：{a|0＜a＜1}．
∵a＞0且a≠1，∴￢p：{a|a＞1}，
∵g（x）＝x2﹣2ax+1在（1
2
，+∞）上为增函数，∴a
1
2
≤．
又∵a＞0且a≠1，
即q：{a|0＜a
1
2≤}．
∴￢q：{a|a
1
2
＞且a≠1}．
又∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴“p真q假”或“p假q真”．
①当p真q假时，{a|0＜a＜1}∩{a|a
1
2
＞且a≠1}＝{a|
1
2
＜a＜1}．．
②当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|0＜a
1
2
≤}＝∅，
综上所述：实数a的取值范围是：{a|1
2
＜a＜1}．
【点睛】
本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别求得命题p，q为真时的参数的范围是解决本题的关键，考查分类讨论的思想，比较基础．
22．2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促销全天交易数据显示，天猫年中促销当天全天下单金额为1592亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了6月18日100名网购者的网购情况，
得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4.
网购金额(元) 频数频率
(]
0,500 5 0.05
(]
500,1000x p
(]
1000,150015 0.15
(]
1500,200025 0.25
(]
2000,250030 0.3
(]
2500,3000y q
合计100 1
x y p q的值，再将图中所示的频率分布直方图绘制完整；
(Ⅰ)先求出,,,
(Ⅱ)对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下(含2000元)的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？
网龄3年以上网龄不足3年总计
购物金额在2000元以上35
参考数据：
参考公式：
()
()()()()
2
2,
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
其中n a b c d
=+++.
（Ⅲ）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在(]
2000,2500和(]
2500,3000两组所抽中的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求(]
2000,2500组获得现金奖的数学期望.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．（Ⅲ）1.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在(2500，3000]的频率为0.4−0.3=0.1，由此再结合频率分布直方图与频率分布表可分别求得,,,
x y p q的值。

再由数据补全频率分布直方图。

(Ⅱ)先补全2×2列联表，由表中数据求得K2 5.56>5.024
≈。

（Ⅲ）在(2000，2500]组获奖人数X为0，1，2，求得概率及期望。

【详解】
（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，
所以网购金额在(2500，3000]的频率为0.4−0.3=0.1，
即q=0.1，且y=100×0.1=10，
从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图2所示．
（Ⅱ）相应的2×2列联表为：
由公式K 2=
()
()()()()
()2
2
1003520405 5.5640607525
n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯=
≈++++⨯⨯⨯，
因为5.56>5.024，
所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．
（Ⅲ）在(2000，2500]和(2500，3000]两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，则(2000，2500]组获奖人数X 为0，1，2，
且()()021*********C C C C 01C C P X P X ====，， ()20
62
28
C C 2C P X ==，
故(2000，2500]组获得现金奖的数学期望()026228C C 0C E X =⨯+10001162
28C C C ⨯+200020
6228
C C C ⨯=1．
【点睛】
本题综合考查频数分布表、频率分布直方图、补全2×2列联表、卡方计算及应用、随机变量分布列及期望，需要对概念公式熟练运用，同时考查学生的运算能力。