非光滑多目标规划的最优性条件

第六章多目标最优化方法

v 12.对长江航运有无影响：U12(x) v 方案xi完成运输任务对长江航运有无干扰
影响，有影响为2，无影响为1。 v 13.外来物资的装卸次数：U13(x) v 方案xi运输外来物资至坝址的装和卸总次
数。
v 以上各指标及方案的值详见表3（运输系统决策分析技术经济指标表）
v 6.4.4 决策意见
v
U9(x)=U1(x)/Q(x) 效益投资比
v 式中Q(x)为交通运输方案xi担负的总货运量(吨)
v 10．运输系统职工总人数：U10(x) (人) v 方案xi完成运输系统运行管理的职工总人数
（反映管理的难易、繁简）。
v 11.运输工具能源消耗费用：U11(x)(万元)
v 方案xi完成商品材料、砂石料和客运、总运量消耗的能源费用。
员） v 2. 目标函数 v (1) 总的投资最省； v (2) 工期最短； v (3) 生产均衡，不均系数小，施工高峰强度小； v (4) 工程质量优，良率最高； v (5) 能源及原材料消耗最少；
v (6) 劳力及机械设备用量最少。 v 显然目标间存在矛盾，彼长此短，无一
方案全面最优，只能整体最优。 v 6.1.3 多目标决策的一般数学表达式 v 设有m个约束条件，k个目标函数，
表3 运输系统决策分析技术经济指标表
v 表42 火车轮渡直达两岸(杨家湾设码头) v 加权多指标决策对比优序数矩阵的计算
序数法，排出如表44，从该表44中的aij'排出加权多目标优序数决策矩阵如表45中Ki'的大小为序，其决策顺序应为
v
x3 → x4 → x2 → x1
v 铁路公路水运火车轮渡
v 建议对三峡工程施工对外交通运输方案
做决策时，应采用铁路为主，水运与公路为辅的方案，就铁路工程本身，应采用铁二院推荐的姜家庙电力机车牵引方案见表46 。

一类变结构动态系统的非光滑最优性条件

２０１３年９月
Ｓｅｐｔ．，２０１３
运筹学学报
ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
第１７卷第３期
ｖＯ１．１７Ｎｏ．３
一
类变结构动态系统的非光滑最优性条件木
ｓｈｏｗｎｔｈａｔ，ｉｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅＣＯｎｔｒｏｌｖａｒｉａｂｌｅ，ｔｈｅａｄｊｏｉｎｔｖａｒｉ —
ｔｈｅＨａｍｉｌｔｏｎｉａｎｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．Ａｔｌａｓｔ．ｏｎｅｅｘａｍｐｌｅｉｓｇｉｖｅｎｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｅｉｃｆｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｖａｒｉａｂｌｅｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍｓ．ｎｏｎｓｍｏｏｔｈａｎａｌｙｓｉｓ
ＬＩＬｉｈｕａＩ，２，十ＧＡＯＹａｎＩＷＡＮＧＧｅｘｉａ２
ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．ｎｏｎ — ｓｍｏｏｔｈｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｅｖｅｎｔ — ｄｒｉｖｅｎｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｂｙｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇａｎｅｗｔｉｍｅｖａｒｉａｂｌｅ．ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃａｌｏｐｔｉｍａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｗｉｔｈｖａｒｉａｂｌｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｒｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｉｎｔｏｃｌａｓｓｉｃａｌｏｐｔｉｍａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｉｉｆｅｒｅｎｔｉａｌａｎｄｃｌａｓ — ｓｉｃａｌｏｐｔｉｍａｌｔｈｅｏｒｙ．ｎｅｃｅｓｓａｒｙｏｐｔｉｍＭｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆＦｒ６ｃｈｅｔｓｕｐｅｒｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｆｏｒｔｈｉｓｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓｏｍｅｅｘｉｓｔｉｎｇｒｅｌｅｖａｎｔｒｅｓｕｌｔｓ．Ｉｔｉｓ

一类非光滑广义不变凸多目标优化的Mond-Weir对偶

ｏｆｅｈｅｆｒｔＭｏｎ — ｅｒｄＷｉｄｕｌａｍｏｄ１Ｔｈｅｅ．ｗｅｋａｄｕｌｔｔｏｒｍａｓｒｇｕａｉｙｈｏｅａｉｙｈｅｅｎｄｔｏｎｄｌｔｔｅｒｍａｅｌｏｒａｓｐｏｄｄｒｖｉｅ．
Ｖ０Ｉ３ＮＯ．．３４ＡｔｇＯ１ｌ．２２
一
类非光滑广义不变凸多目标优化的ＭｏｄＷｅｒ偶ｎ — ｉ对
金鉴禄
’ ０１；３０２
（．春工业大学基础科学学院，吉林长春１长
Ｍｏｎ－ｅｉｄａｌｙｆｒａｃａｓｏｏ－ｍｏｔｅｅｒｉｅｎｅｄ－Ｗｒｕｉｏｌｓｆｎｎ－ｔｓｏｈｇｎａｌｄｉｖｘｚ
ｍｕｔｏｊｃｉｅｏｔｚｔｎｌ— ｂｅｔｐｉａｉｉｖｍｉｏ
ＪＮｉｎｌＩＪａ —ｕ，ＬＩＤｏｇｓｅｇ，ＬＵｉｇ，ＬＩＱｉｇｈａｎ —ｈｎＪｎＵｎ — ｕｉ
（＿ｃｏｌｆＢａｉｃｅｃｓ１ＳｈｏｓｃＳｉｎｅ，ＣｈｎｃｕｎＵｎｖｒｉｆＴｅｈｏｏｙ，Ｃｈａｇｈｎ１０１，Ｃｈｎ；ｏａｇｈｉｅｓｔｏｃｎｌｇｙｎｃｕ３０２ｉａ
ｃｕ．ｄ．ｎ＊联系人：庆怀（９１，，族，ｃｔｅｕｃ．刘１６一）男汉吉林长春人，春工业大学教授，士，要从事最优化理论与算法长博主研究，ｍａ：ｕｈ１５１６ｃｒ．Ｅ— ｉｌｑ６９＠２．ｏｌｉｎ

多目标优化方法

多目标优化方法多目标优化是指在多个冲突的目标之间寻求最佳平衡的过程。

在实际问题中，往往存在多个目标之间相互制约和矛盾，因此需要采用多目标优化方法来找到最优解。

本文将介绍几种常见的多目标优化方法，并分析它们的优缺点。

首先，传统的多目标优化方法之一是加权和方法。

该方法将多个目标线性组合为一个综合目标，通过赋予不同的权重来平衡各个目标之间的重要性。

然后，将这个综合目标作为优化目标进行求解。

加权和方法简单直观，易于实现，但在实际问题中往往存在权重选择困难的问题，且无法充分考虑到各个目标之间的相互影响。

其次， Pareto 最优解方法是另一种常见的多目标优化方法。

该方法通过寻找 Pareto 最优解集来解决多目标优化问题。

Pareto最优解集是指在多个目标下无法再改善的解集，即不存在其他解能在所有目标上都优于它们。

Pareto 最优解方法能够充分考虑到各个目标之间的权衡关系，但在实际求解过程中，由于 Pareto 最优解集通常是非凸的，因此求解较为困难。

另外，演化算法也被广泛应用于多目标优化问题的求解。

演化算法是一类基于生物进化原理的启发式优化算法，如遗传算法、粒子群算法等。

这些算法通过种群的进化和迭代来搜索多目标优化问题的 Pareto 最优解集。

演化算法能够有效克服传统优化方法中的局部最优解问题，但在求解复杂多目标优化问题时，算法的收敛速度和搜索能力仍然是一个挑战。

除了上述方法外，近年来，深度学习在多目标优化问题中也展现出了强大的潜力。

深度学习模型能够学习复杂的目标函数映射关系，并通过端到端的训练来求解多目标优化问题。

然而，深度学习模型的训练和调参过程相对复杂，且对数据量和计算资源要求较高。

综上所述，多目标优化方法各有优劣，选择合适的方法取决于具体的问题特点和求解需求。

在实际应用中，可以根据问题的复杂程度和求解精度的要求来灵活选择不同的方法，并结合问题的特点进行调整和改进。

希望本文介绍的多目标优化方法能够为相关领域的研究和实践提供一定的参考和帮助。

多目标最优化方法

多目标最优化方法多目标最优化方法是一种用于解决具有多个目标函数的优化问题的方法。

在传统的单目标优化中，目标函数只有一个，需要寻找一个解使得该目标函数最小化或最大化。

而在多目标优化中，有多个目标函数需要最小化或最大化，这些目标函数通常是相互冲突的，即改变一个目标函数的值会影响其他目标函数的值。

多目标最优化方法的目标是通过找到一组解，使得这组解在多个目标函数上都具有较好的性能。

因此，在多目标最优化中，我们不能再使用单一的度量来衡量一个解的优劣，而是需要使用一种综合度量来评估一个解相对于其他解的优劣。

在多目标最优化方法中，最常用的方法之一是帕累托前沿（Pareto Frontier）方法。

帕累托前沿是一条曲线，该曲线上的每个点都表示在多个目标函数上都达到最优的解，这些解被称为非支配解（Non-dominated Solutions）。

在帕累托前沿上，没有任何一个解可以在所有的目标函数上都比其他解更好。

求解多目标最优化问题的常用方法之一是使用进化算法。

进化算法是一类通过模拟自然进化过程来求解问题的优化算法。

其中最常用的进化算法是遗传算法。

遗传算法通过模拟自然界中基因的交叉、变异和选择过程，逐步改进当前的解，并且通过适应度函数来评估一个解的优劣。

除了遗传算法之外，粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）、模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）和蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）等进化算法也可以应用于解决多目标最优化问题。

进化算法的基本思想是通过维护一组解的种群，并通过模拟自然进化过程来不断改进种群中的解。

具体来说，进化算法包括以下几个步骤：1.初始化种群：随机生成一组解作为初始种群。

2.选择操作：根据适应度函数，选择一部分解作为父代，用于产生下一代的解。

3.变异操作：对选中的解进行变异操作，引入一定的随机性，以增加种群的多样性。

非光滑准不变凸规划的最优性条件与对偶定理

ｆｎｔｎ．而研究准不变凸函数在不可微情况下的性质的文献甚少．中刻划了准不变凸函数在局部ｕｃｏ）然ｉ文
Ｌｓｈｔ条件下的若干性质，论了一类目标函数和约束函数均为Ｌｐｃｉ准不变凸函数的数学规划问题取ｉｃｉｐｚ讨ｉｈｚｓｔ得极值的充分条件和ＭｏｄＷｅ型对偶理论．ｎ．ｉｒ
ＸＵｉｈｎ一．ＬＵａ．ａｇＹ．ｏｇＩＳｎｙｎ
（．Ｓｈｏｆｃｅｃ，ＸｉｉｎＵ］．ｉａ７１０１ｈｎ１ｃｏｌｉｎｅｏＳｄａｎｖ，Ｘｎ０７，Ｃｉａ；
２ｅｔｆａｉｉｎｅａｃａｇＵｉ．ａｃａｇ３０２．Ｄｐ．ｏｓＳｅｃ，Ｎｎｈｎｎｖ，Ｎｎｈｎ３０９，Ｃｉ）Ｂｃｃｈｎａ
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２Ｏ０２年ｌＯ月第２９卷第５期
西安电子科技大学学报（自然科学版）
Ｋ）瓜ＮＡ，ＯＦＸ Ⅱ）ＩＩＬ．９Ｎｏ５Ｊ２．
性函数在局部Ｌｐｈｚ件下的若干性质；目标函数和不等式约束函数为局部ＬｐｈｔＢ准不变凸函ｉｉ条ｃｓｔ当ｉｉ．ｃｓｚ数。等式约束函数为局部Ｌｐｈｚ．线性函数时，出了相应的优化问题的最优性充分条件，立了而ｉｓｉ准ｃｔＢ给建局部Ｌｐｃｉ－不变凸规划的Ｍｎ．．型对偶定理．ｉｈｔＢ准ｓｚｏｄＷｅｒ关键词：准不变凸函数；ｉｃｉＬｐｈｔｓｚ函数；行解；优解可最中图分类号：１４１；２４Ｏ７．３０２文献标识码：Ａ文章编号：０１４Ｏ２０）５０９．４１０．Ｏ（０２０．６８０２

一类非光滑条件下的最优化算法

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第２卷第３ＪｕｎｌｏｕａｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｏｒａｆＷｈｎＵｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ
（ａｓｏｔｔｏｃｅｃＴｒｎｐｒａｉｎＳｉｎｅ＆Ｅｎｉｅｒｎｇｎｅｉｇ）
种广义梯度．推广以上所述的算法如下．设Ｇ为映Ｒ” 有限维空问ｙ上的局部Ｉｐ到 — ｉｓｈｔｃｉｚ映射，为映ｙ到Ｒ的局部Ｉｐｃｉｓｈｚｉｚ函数，
解
ａｎｒｉ（（）Ｇ）
∈ Ｘ
… ｌ ——厂— ———— 一Ｕ，坦。——１Ｘ——Ｘ —一一。㈩ｌ— ｍ。ｌｉ— ｉ＿＋一—ｌ —１＿
此处
＜
（１）
∈ Ｇ（，（，）．由ｙ）ｙ ∈ ，是
Ｉｂｕｇ中值定理所得，符合Ｇ（一Ｇ（）．ｏｒｅ即）一
ｍｉ（（）ｎＧ）
∈ Ｘ
下面就收敛性给出有关的定理及其证明．定理１令，的假设同上，式（）立，Ｇ且２成
则对给定的｛Ｅ，］｛ｃＬ（，构造的九｝ｏ１，Ｂ｝ｙ）
令｝Ｅ，］｛ｃＬ（ ” Ｙ）ｏｃｏ１，Ｂ｝Ｒ，， ∈Ｘ，设
对给定的Ｂ，可找到使ｘ－ ∈Ｘ，足Ｉ，Ｖ满
（（＋Ｂ一））Ｇ（）≤
（（Ｂ — ））Ｇｚ＋（）（）３

非光滑复合广义凸多目标规划的最优性条件

本文对向量值函数定义了复合Ｑｐ不变凸函数和ｓ６不变凸函数，并且对其构成的不可微多目标－一
规划给出了最优性条件．
设ＱＣＲ，ＣＲ别是具有内部的闭凸锥．考虑复合多目标规划问题：Ｓ ”分
ｒｐｎｎ（（）＝（Ｆ（） …，（ｐ）、、ｆｌＩＦ）ｉ厂（），Ｆ（），）
Ａｓｒｃ：ｈｏｐｓｅＱｐｉｖｘｖｃｒｕｃｏｎｏｐｓｅＳ８ｉｖｘｖｃｒｕｃｏｒｉｔｄｃｄｂｔｔＴｅｃｍｏｉ－ｎｅｅｔｎｔｎａｄｃｍｏｉ－ｅｅｔｎｔｎａｅｎｒｕｅ，ａｔｏｆｉｔｎｏｆｉｏ
ｗｉｒａｐｉｏｓｏｔｃｍｏｉｕｔｂｅｔｅｐｏｒｍｉｇｔｅｏｔｌｙｃｎｉｏｓｆｏｓｏｈｃａｅｐｌｄｔｎｎｍｏｏｐｓｅｍｌｏｊｃｉｒｇａｍｎ，ｈｐｉｉｏｄｔｎｎｍｏｔｈｅｏｈｔｉｖｍａｔｉｏｎｈ
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第４６卷
第５期
吉林大学学报（理学版）
Ｖｏ．６Ｎｏ５１４．
２００８年９月
ＪＵＮＬＯＩＩＮＶＲＩＹ（ＣＥＣＤＴＯ）ＯＲＡＦＪＬＮＵＩＥＳＴＳＩＮＥＥＩＩＮ
ｃｍｐｓｅＱｐｉｅｎ－ｉｖｘｍｕｉｂｃｖｒｇａｉｇｒｂａｎｄａｄｐｏｅ．ｏｏｉ－ｎｘａｄＳ８ｎｅｈｏｊｔｅｐｏｒｔｖｅｉｍｍｎｓａｅｏｔｉｅｎｒｖｄ

具有广义B-凸函数的非光滑多目标规划的鞍点理论

，
Ｈ０）６，［）Ｖ ∈ （）＜（）（一（］ｘＸ・＋），
（３）
定义２设．５
Ｒ是一局部连通集，ＸＲ称为在 ∈ 处是连通＿ ” ｆ：伪凸的，如果存在一函数
ｂ： × ＸＸＲ，满足
，
Ｈ
ｘ
（）０６，）ｂ，），Ｖ∈ ・ｏ）（（（）ｘＸ＋ｘ（）
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第３卷第５３期
ＪｒｌｉｅｒｓｔｏｔｏｉｅｔｒｌｉｎｅＥｄｔｎｔｓＮ・ＳｉｏｉｏｕｎａｏｆＳｏｕｈｅｔＵｎｖｉｙｆｒＮａｉｎａｌｉａｕａｃｅｃｔｗｓ
这类函数的多目标规划的最优ｌ条件．生本文借助已提出的一类广义Ｂ一凸函数，得到了非光滑多目标规划的一些鞍点结论．
２定义
定义２１Ｊ设．Ｒ称为是局部连通集（Ｃ）如果对于每对点Ｘ，，Ｌ，Ｘ∈ 都存在一个最大正数
一
凸函数，并且给出了关于这些函数的可微规划的最优性条件和对偶性结论．张晨科和王行愚在文献［中将３］
可微的一凸函数推广到了局部Ｌｐｃｉｉｈｔｓｚ函数，同时在Ｃａｅ广义梯度的基础上，了一类广义的一ｌｋｒ定义凸函数，
并得到了一类非光滑规划的最优性条件和对偶性理论．作者在文献［中定义了一类连通凸函数，４］并讨论了
收稿日期：２０．５２０７０．４作者简介：常健（９５）女，陕西榆林人，延安大学讲师１７一，基金项目：陕西省教育厅专项科研基金（６Ｋ１２０Ｊ５）

G-(F,ρ)凸性下的非光滑多目标分式规划的最优性条件

＋）一（ｐｄ））】（五２，
＝
Ｆｘ；＋Ｆ（，一）（，ｇ（）ｘ；（卢）
）ｆ）（ｘＪ（未．－（ ≥Ｆ，；）＋）
＋（）】（）一（ｐｄ）ｉ２，
Ｆ，ｇ（一））（；）（
在这篇文章中，考虑如下多目标分式规划：
ｃｉ，，）Ｍｎ … ｍ（，
ｓｔｈ）＝（，，） … ，）ｓ０．．（ｈ（ｈ（，ｈ（）），
常数ｋ和ｚ的一个邻域使得对任何，Ｙ∈Ｎ有：）一，Ｊ， ≤后Ｉ一ｌ）ＩＩ则称实值函数一Ｒ是局部Ｌｓｉ的，ｉｃｔ其ｐｈｚ
作者简介：罗
勇（９４）男，１６一，湖南吉首人，吉首大学讲师。
４
）：一Ｒ为在Ｘｏ ∈Ｘ处是Ｇ一（，）Ｆｐ凸的，若存在函数ｄｏＸ — 及实数Ｐ∈ ，：Ｘ × ｏＲ使得对
ＶｘｏＶ ∈Ｘ和 ∈ｏ（，ｆ）有
其中一Ｒ，，ｉ，，，：ｇ：Ｒ一尺＝１２ … Ｐ和
：一Ｒ√＝１２，，是局部Ｌｐｃｉ， … ｍ，ｉｓｈｚ函数。假ｔ
定对所有 ∈Ｒ，ｇ（）＞ｉ，，，．０，：１２ … Ｐ并记可行
中Ｉ・０为中的范数。
罗勇，元金２姚
（１吉首大学师范学院；吉首大学数学与计算机科学学院，南吉首４６０）２湖１００
摘
要：Ｇ一（ｐ）在Ｆ，凸性条件下，究了一类非光滑多目标分式规划问题的最优性条件，出并研给

一类多目标半无限规划的最优性条件

西北大学学报（自然科学版）２１４月，４０２年第２卷第２，ｐ．２１，ｏ．２Ｎ．期Ａｒ，０２Ｖ１，ｏ２４ＪｕａｏＮａｗｓＵｉｒｉＮｔａＳｉｃｄｔｎｏｒｌｆｏｈｅｔｎｅｓｙ（ａｒｌｃｅｅＥｉｏ）ｎｖｔｕｎｉ
（ｃｏｌｆｔｅａｃｎｏｐｔｃｎｅＹｎａｎｖｒｔ，ａｎ７６０，ｈａＳｈｏｏＭａｍｔｓｄＣｍｕｅＳｉｃ，ａｎＵｉｓｙＹｎａ１００Ｃｉ）ｈｉａｒｅｅｉｎ
Ａｓｒｃ：ｍＴｂｉｔｅｏｔｌｙｃｎｉｏｓｆｌｓｏｈｏｊｃｖｅ－ｆｉｒｇａｍｉｇｉｃ — ｂｔｔＡｉａｏｏｔｎｈｐｉｉｏｄｔｎｃｓｆａｍａｔｉｏａａｍｕｉｅｔｅｓｍｉｎｎｔｐｏｒｍｎ，ｎｌｂｉｉｉｅｕ
一
类多目标半无限规划的最优性条件
冯强，荣波王
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７６０）１００
摘要：目的
给出一类多目标半无限规划的最优性条件，包括Ｆｉ —ｏｎ条件和Ｋｈ —ｕｋｒ件。ｒｚｈｔＪｕｎＴｃｅ条
ｐｅｄｑａｉＣ，，ｄ－ｔｅｃｎｅｅｎｄｂｓｇＫｄｒｃｏａｄｒａｉ，ｔｐｉｌｙｃｎｉｏｓａｏｔｓｕｏｕｓ（ＯＰ，）Ｉｙ－ｏｖｘｉｄｆｅｙｕｉ —ｉｔｎｌｅｉｔｅｈｏｔｉｏｄｔｎｂｕＬ－ｐｓｉｎｅｉｖｖｅｍａｔｉ

一类非光滑分布参数系统的可辨识性及最优性条件

ｔｍａｉｙｃｎｉｉｎｓｉｌｏｄｔｏｔ
Ｃｈｉｓｂｒｒａｓｉｃｔｏ０２１４ｎｅｅＬｉａｙＣｌｓｆａｉｎ３．ｌ
２１ａｈｍａｉｓＳｂｅｔＣｌｓｉｃｔｏ３３．３１００Ｍｔｅｔｃｕｊｃａｓｆａｉｎ９Ｂ０９Ｅ２ｌ
中图分类号Ｏ２１４３．数学分类号９Ｂ０９Ｅ１３３，３２
ＩｅｔｆｃｔｏｆｒＡｏｎ．ｏｏｈＤｉｔｉｔｄｄｎｉａｉｎｏＮｉ．Ｓｍｔｓｒｂｕｅ
ＰａａｅｅｙｓｅｎｄＩｓＯｐｔｍａｉｙｒｍｔｒＳｔｍａｔｉｌｔＣｏｎｄｉｉｎｓｔｏ
ｔｍｐｅａｕｅｆｌｆｔａｓｏｍｅｓｅｒｔｒｅｄｏｒｎｆｒｒ．ｉＫｅｙｗｏｒｏ－ｍｏｔｉｔｉｕｅａａｅｅｙｔｍ，ａａｅｅｄｎｉｃｔｏ，ｐｄｓｎｎｓｏｈｄｓｒｂｔｄｐｒｍｔｒｓｓｅｐｒｍｔｒｉｅｔｆａｉｎｏ・ｉ
白乙拉吕巍十２
摘要变压器温度场参数辨识问题是一种分片光滑的分布参数辨识问题，以流速为辨
识参数，对传质传热的一类分布参数系统参数辨识问题，明了系统最优参数的存在性针证和控制参数为最优的必要条件，为变压器温度场的数值模拟研究提供了理论基础．关键词非光滑分布参数系统，参数辨识，最优性条件

几种非光滑规划的最优性鞍点与对偶性（基础数学专业优秀论文）

几种非光滑规划的最优性、鞍点与对偶性基础数学专业研究生李向有指导老师张庆祥教授摘要本文讨论了两种多目标非光滑规戈【ｊ和一种非光滑半无限规划的最优性、鞍点、对偶性问题，即（１）在Ｂ．预不变凸函数和广义类凸函数的基础上，定义了一类广义类次Ｂ．预不变凸函数，然后讨论了广义类次Ｂ预不变凸函数的一些有用性质，并对涉及这类函数的多目标规划问题的最优性，鞍点，对偶性，进行了研究，得出一些重要的结果。

（２）在ｊ类不变凸函数的基础上，引入Ｋ不变凸函数，构造了一类％，Ｊ类不变凸函数，然后讨论了这类函数的最优性条件，对偶性条件，在更弱的凸性下，获得一些重要的结果．（３）在如凸函数的基础上，定义了一类局凸函数，研究了关于此类函数的规划问题，讨论了涉及这类凸性函数的半无限规划的最优性条件，鞍点条件，对偶性条件，得出一些最优充分性条件，鞍点条件，对偶性条件。

总之，本文在理论上拓宽了凸函数类和非光滑问题的最优性条件和对偶性结果，在更弱的凸性下，得到一些重要的结果．关键词：广义类次Ｂ一预不变凸函数耳不变凸函数％不变凸函数最优性鞍点答辩日期；２６。

争年６月）；日指导教师签名：乡次灰番ｊＯｐｔｉｍａｌｉｔｙ，Ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄＤｕａｌｉｔｙｆｏｒＳｅｖｅｒａｌＫｉｎｄｓｏｆＮｏｎｓｍｏｏｔｈＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍｓＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ，ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｄｕａｌｉｔｙｏｆｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｎｏｎｓｍｏｏｔｈｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇａｎｄｏｎｅｋｉｎｄｏｆｎｏｎｓｍｏｏｔｈｓｅｍｉ．ｉｎｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．ｔｈａｔｉｓ（１）Ａｃｌａｓｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂ—Ｂ—ｐｒｅｉｎｖｅｘ—ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｄｅｆｉｎｄｅｄＢａｓｅｄｏｎＢ—ｐｒｅｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂｃｏｎｖｅｘ—ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｓｏｍｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ，ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔｓａｎｄｓｃａｌａｒｌａｇｒａｎｇｅｄｕａｌｉｔｙａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｉｎｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂ—Ｂ－ｐｒｅｉｎｖｅｘ—ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ａｎｄｓｏｍｅｉｍ—ｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．（２）Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆｉｒｓｔｃｌａｓｓｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｖ－ｐｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｃｌａｓｓｏｆＥ—Ｐｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｄｅｆｉｎｅｄ．Ａｎｄｏｐｔｉｍａｌｉｔｙａｎｄｄｕａｌｉｔｙｏｆｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄｍａｎｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｗｅｅｋｅｒｃｏｎｖｅｘ．（３）ＡｃｌａｓｓｏｆＥ—ＰｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｄｅｆｉｎｅｄｂａｓｅｄｏｎＥｂ—ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓＴｈｅｉｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｉｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ａｎｄｄｕａｌｉｔｙｏｆｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａｎｄｓｅｖｅｒａｌｏｐｔｉｍａｌｓｕｆｆｉｅｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓａｄｄｌｅ—ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｄｕａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｎａｌｌ，ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｄｕａｌｉｔｙｒｅｓｕｌｔｓｏｆｎｏｎｓｍｏｏｔｈｏｐ—ｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｅｏｂｌｅｍｓａｒｅｅｘｔｅｎｄｅｄｔｈｅｏｒｅｔｉｃｌｌｙ，ａｎｄｍａｎｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｗｅｅｋｅｒｃｏｎｖｅｘ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂ—Ｂ—ｐｒｅｉｎｖｅｘ－ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓＥ—ＰｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓＶ—Ｐ一，ｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓＯｐｔｉｍａｌｉｔｙＤｕａｌｉｔｙＷｒｉｔｔｅｎｂｙＸｉａｎｇｙｏｕＬＩＤｉｒｅｃｔｅｄｂｙＰｒｏｆ．ＱｉｎｇｘｉａｎｇＺＨＡＮＧ知识水坝@pologoogle为您整理创新性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

非光滑凸情形Adam 型算法的最优个体收敛速率

DOI : 10.11992/tis.202006046非光滑凸情形Adam 型算法的最优个体收敛速率黄鉴之1，丁成诚1，陶蔚2，陶卿1（1. 中国人民解放军陆军炮兵防空兵学院信息工程系，安徽合肥 230031; 2. 中国人民解放军陆军工程大学指挥控制工程学院，江苏南京 210007）l 1摘要：Adam 是目前深度神经网络训练中广泛采用的一种优化算法框架，同时使用了自适应步长和动量技巧，克服了SGD 的一些固有缺陷。

但即使对于凸优化问题，目前Adam 也只是在线学习框架下给出了和梯度下降法一样的regret 界，动量的加速特性并没有得到体现。

这里针对非光滑凸优化问题，通过巧妙选取动量和步长参数，证明了Adam 的改进型具有最优的个体收敛速率，从而说明了Adam 同时具有自适应和加速的优点。

通过求解范数约束下的hinge 损失问题，实验验证了理论分析的正确性和在算法保持稀疏性方面的良好性能。

关键词：机器学习；AdaGrad 算法；RMSProp 算法；动量方法；Adam 算法；AMSGrad 算法；个体收敛速率；稀疏性中图分类号：TP181 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2020)06−1140−07中文引用格式：黄鉴之, 丁成诚, 陶蔚, 等. 非光滑凸情形Adam 型算法的最优个体收敛速率[J]. 智能系统学报, 2020, 15(6):1140–1146.英文引用格式：HUANG Jianzhi, DING Chengcheng, TAO Wei, et al. Optimal individual convergence rate of Adam-type al-gorithms in nonsmooth convex optimization[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2020, 15(6): 1140–1146.Optimal individual convergence rate of Adam-type algorithms innonsmooth convex optimizationHUANG Jianzhi 1，DING Chengcheng 1，TAO Wei 2，TAO Qing 1(1. Department of Information Engineering, Army Academy of Artillery and Air Defense of PLA, Hefei 230031, China; 2. Command and Control Engineering, Army Engineering University of PLA, Nanjing 210007, China)Abstract : Adam is a popular optimization framework for training deep neural networks, which simultaneously employs adaptive step-size and momentum techniques to overcome some inherent disadvantages of SGD. However, even for the convex optimization problem, Adam proves to have the same regret bound as the gradient descent method under online optimization circumstances; moreover, the momentum acceleration property is not revealed. This paper focuses on nonsmooth convex problems. By selecting suitable time-varying step-size and momentum parameters, the improved Adam algorithm exhibits an optimal individual convergence rate, which indicates that Adam has the advantages of both adaptation and acceleration. Experiments conducted on the l 1-norm ball constrained hinge loss function problem verify the correctness of the theoretical analysis and the performance of the proposed algorithms in keeping the sparsity.Keywords : machine learning; AdaGrad algorithm; RMSProp algorithm; momentum methods; Adam algorithm; AMS-Grad algorithm; individual convergence rate; sparsityAdam 是目前深度学习中广泛采用的一种优化算法[1]。

一类非光滑多目标规划问题的最优性条件

一类非光滑多目标规划问题的最优性条件周轩伟【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2016(031)001【总页数】10页(P63-72)【关键词】非光滑多目标规划; 广义Abadie约束规格; 广义Farkas引理; 最优性必要条件【作者】周轩伟【作者单位】浙江树人大学基础部浙江杭州310015【正文语种】中文【中图分类】O221.6考虑下列的非光滑多目标规划问题：（MPP）其中f =（f1，···，fp）: Rn→Rp，g =（g1，···，gm）: Rn→Rm. f和g是Rn上的可微多目标函数，ϕ=（ϕ1，···，ϕp）: Rn→Rp是Rn上有限值K-凸函数；K，K1分别是Rp，Rm中的尖闭凸锥且intK /=∅，intK1/=∅，C是Rn 中的凸子集.对问题（MPP），当ϕi（x）= s（x|Di）（i = 1，···，p），其中s（x|Di）是Rn 中的紧子集Di（i = 1，···，p）的支撑函数，C是Rn的开子集时，文［1-2］给出了问题（MPP）的最优性条件和对偶定理. 当ϕi（x）=（xTBx）1/2，其中B 是n×n对称半正定矩阵，f是Rn上的可微函数，C = Rn，p = 1时，文［3］首先提出了问题（MPP），并在满足一种较复杂的约束规格条件下，得到了该问题的最优性必要条件.然后，文［4］证明了Slater约束规格蕴含前文中的约束规格.后来，文［5］将文［3］的问题推广到分式规划.文［6-7］再将该问题推广到极小极大分式规划.在文［3］的约束规格下，文［6-7］给出了相应的最优性必要条件.在这些必要条件的基础上，上述论文也讨论了最优性充分条件或Wolfe型对偶.在问题（MPP）中，当K = Rp+，K = Rm+和C = Rn时，文［8］在问题（MPP）满足Kuhn-Tucker约束规格或Arrow-Hurwicz-Uzawa约束规格（［9］）时，得到了弱有效解的Kuhn-Tucker型必要条件.当C⊂Rn为一般凸集，p = 1时，文［10］引进了广义的Kuhn-Tucker约束规格和广义的Arrow-Hurwicz-Uzawa约束规格，得到了最优解的Kuhn-Tucker型必要条件.当C⊂Rn为一般凸集，p＞1时，文［11］在文［10］的约束规格下，得到了Pareto弱有效解的Kuhn-Tucker型必要条件.本文研究了非光滑多目标规划问题（MPP）.其目标函数为锥凸函数与可微函数之和，约束条件是锥约束.在满足广义Abadie约束规格下，利用广义Farkas引理和多目标函数标量化，给出了这一类多目标规划问题的锥弱有效解最优性必要条件.本文将文［10］和［11］的结果从Pareto弱有效解推广到锥弱有效解，并且将有限个不等式约束推广到锥约束.由于锥约束相当于无限个不等式约束，因此本文的结果是文［10］和［11］的结果在多目标规划中的本质推广.本文中的定理3.1和定理3.2是文［11］中定理3.1和定理3.2的推广.给出本文涉及的基本概念，定义和引理.定义2.1 设S是Rn中的非空子集，点x0∈clS.设点列｛xk｝⊂S，xk→x0（k→+∞），正数数列｛tk｝，tk→+∞（k→+∞）.若极限d =）存在，则称d是点x0处关于S的切向量.集合T（S，x0）=称为是S在x0处的切锥.定义2.2设K⊂Rn.若则称K为凸锥.若0∈K，则称K为尖锥.设，称K∗为K的对偶锥.设C是Rn的子集，affC表示C的仿射包，riC表示C的相对内部，其中U是Rn中的单位球.定义2.3设X =｛x∈Rn|g（x）∈-K1｝，g在x∗∈X∩C满足广义Abadie约束条件，若其中定义2.4 设K⊂Rn是具有非空内部的尖凸锥，x0∈Rn.若x∄D，使得则称x0为多目标规划（MPP）的K-弱有效解，其中D =｛x∈C|g（x）∈-K1｝. 定义2.5设K⊂Rn是具有非空内部的闭凸锥，若∀x1，x2∈Rn，以及λ∈［0，1］均有则称f（x）为K-凸函数.设h :是凸函数，其共轭函数定义为其中domh =｛x|h（x）＜+∞｝.集合epih=称为h的上图象.引理2.1［3］设C是Rn的凸子集，假若riC /=∅，（affC）\（riC）/=∅，则对于任意的x∗∈（clC）\（riC），有在满足广义Abadie约束条件下，给出多目标规划问题（MPP）的锥弱有效解最优性必要条件. 记引理3.1 若x∗是（MPP）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，并且对任意的x，y∈Rn有‖ϕ（x）-ϕ（y）‖≤L‖x - y‖（L＞0）.如果Z（x∗）∩riC /=∅，则广义不等式组在riC内无解.证假设存在¯x∈riC满足（1），则¯x∈Z（x∗）即¯x∈Z（x∗）∩riC.因为g在x∗处满足广义Abadie约束条件，由其定义有所以存在xk⊂X∩（affC）和｛tk｝⊂R+，tk→+∞（k→+∞）使得下面分两种情况证明:存在k1，当k≥k1时，xk∈riC.当x∗∈riC时.由ri（riC）= riC，aff（riC）= affC，知所以存在¯ε＞0使得（x∗+¯εU）∩（affC）⊂riC.因为xk→x∗，于是知存在k1，当k≥k1时有xk∈x∗+¯εU，从而xk∈riC.当x∗∈C\riC⊂clC\riC时，假设结论不成立，即不存在k1，当k≥k1时，xk∈riC，则存在序列｛ki｝，ki→+∞（i→+∞）使得xki∈affC\riC，则由（2）式，有tki （xki-x∗）→¯x - x∗（i→+∞），从而¯x - x∗∈T（（affC）\（riC），x∗）.由引理2.1，对于x∗∈clC\riC有又因为¯x - x∗∈T（（affC）\（riC），x∗），所以¯x - x∗/∈（riC -｛x∗｝），即¯x /∈riC，矛盾.所以由上述证明可知，存在k1，当k≥k1时，xk∈riC.由于¯x满足（1）式，可知¯x /= x∗.由（2）式知，存在k2使得k≥k2，tk≥1.由于ϕ（x）是Rn上的K-凸函数，所以∀u∈［0，1］有从而有因为tk≥1（k≥k2）有有令因为对任意的x，y∈Rn有所以又由得由上式和（3）式知，当k≥k2时有又¯x满足广义不等式组（1）有▽f（x∗）T（¯x - x∗）+ϕ（¯x）-ϕ（x∗）∈-intK.于是存在k3使得当k≥k3时，有由（4）式，（5）式得因为εk→0（k→+∞），故存在k4，当k≥k4时有，取¯k = max｛k1，k2，k3，k4｝，则当k≥¯k时，有即因为xk∈X∩C（k≥¯k），所以（6）式与x∗是（MMP）的K-弱有效解矛盾，从而广义不等式组（1）在riC内无解.引理3.2 设D⊂Rn为凸集，K⊂Rp为凸锥，且intK /=∅，f（x）∈Rp为K-凸函数.若广义不等式组无解，则存在λ∈K∗\｛0｝，使得∀x∈D，有先证明Y为凸集.设则存在x1∈D，x2∈D，有由于K为凸集，故intK为凸集，因此现在因为f（x）为K-凸函数，以及intK为凸锥，故由µ1+ f（x1）∈-intK，µ2+ f（x2）∈-intK，不妨设α＞0，1 -α＞0，故从而有因此由于D为凸集，故因此故Y为凸集.下面用凸集分离定理证明本引理的结论.因为无解，故0 /∈Y .因为Y为凸集，由凸集分离定理，存在λ∈Rp\｛0｝，使得∀µ∈Y，有证记由于∀¯µ∈-intK，∀α＞0和∀x∈D有故因此，∀α＞0有即∀α＞0有因此必有即故在（7）式中令α→0，得知∀x∈D，有引理3.3 （广义Farkas引理）设C是Rn的凸子集，F : C→R是在C上的凸函数.同时假设分别为给定的向量和标量.设A =（a1，···，ap），b =（b1，···，bp）T，K⊂Rp为闭凸锥，若S∩riC /=∅以及∪λ∈K∗epi（λTG）∗是Rp×R中的闭集，其中并且F（x）≥0，∀x∈S∩C.则存在µ∈K∗，使得证考虑Rn×R的凸子集A1和A2，定义如下：利用假设条件∀x∈S∩C都有F（x）≥0，可知A1和A2不相交，而A1是凸集且ri（A1）/=∅，A2是一个闭凸集.因此，根据文［12］的命题3.5.1，存在向量（ξ，β）∈｛Rn×R｝\｛0｝，使得根据A1的定义，可知β≥0，否则（8）式的右边就可以减少到负无穷.现在证明β＞0.采用反证法，假设β= 0.令¯x∈S∩riC，令¯w满足（¯x，¯w）∈A1，由（8）可得从而线性函数ξTy在A1上的最小值可以在点（¯x，¯w）取得，且由于¯x∈riC，故点（¯x，¯w）是A1的一个相对内点.因此，根据文［13］的命题B.19（a），ξTy在A1上是常数，但这与（9）式矛盾，这一矛盾是由β= 0的假设引起的.因此，必有β＞0，且通过将（ξ，β）归一化，可以假设β= 1 .利用S的定义及（8）式，得到由于S非空，上式左边的线性规划问题具有有限的最优值，故该问题具有最优解x∗.因为是Rp×R中的闭集，由文［14］的推论3.1可知，存在λ∈K∗使得即由上式可得因此，因为λ∈K∗，Ax∗- b∈-K，所以结合（11）式和（12）式，得到由（11）式和（13）式得由（10）式，（11）式和（14）式得，或等价地这就证明了所需要的结论.定理3.1 若x∗是（MPP）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，并且对任意的如果中的闭集，其中，那么存在λ∈使得证由引理3.1，知在riC内无解.显然Z（x∗）∩riC是非空凸集，由引理3.2，知存在λ∈K∗\｛0｝，使得在riC内无解.由引理3.3，知存在µ∈K∗1，使得因为riC /=∅且C为凸集，所以在（17）式中，令x = x∗，则有µTg（x∗）≥0.又因为从而有所以，µTg（x∗）= 0，于是（16）式成立，代入（17）式，有即从而（15）成立.定理得证.考虑下列的问题：（MPP1）其中f和g是Rn上上的可微多目标函数，ϕ（x）=（ϕ1，···，ϕp）: Rn→Rp是Rn上有限值K-凸函数，h =（h1，···，hr）: Rn→Rr是Rn上有限值K2-凸函数；K，K1，K2分别是Rp，Rm，Rr的尖闭凸锥且intK /=∅，intK1/=∅，intK2/=∅.定理3.2 若x∗是（MPP1）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，h是Rn上有限值K2-凸函数，并且对任意的x，y∈Rn有如果Z（x∗）∩｛x∈Rn|h（x）∈-intK2｝/=∅，∪λ∈K∗epi（λT¯G）∗是Rp×R 中的闭集，其中那么存在使得证设由条件知｛x∈Rn|h（x）∈-intK2｝/=∅.又有K2是Rp的尖闭凸锥且intK2/=∅，容易证明并且条件）等价于存在v∈K∗2使得= 0.所以，由定理3.1知，存在使得注3.1在定理3.1和定理3.2中用到的条件中的闭集”，是广义Farkas引理成立的正则性条件，有时称为“闭锥条件”，该条件在文［14-19］均有详细讨论.在无限维空间中，该条件为“是弱*闭的”.特别地，在有限维空间中，当¯G是Rn→ Rp的线性映射显然是闭集.因此，在有限个不等式约束条件中，“闭锥条件”自然成立.注3.2在定理3.1中用到的条件“Z（x∗）∩riC /=∅”，即不等式在riC中有解.因为C是凸集，所以riC /=∅.例如:设则显然Z（x∗）∩riC = C /=∅.文［10］和文［11］都用到了条件“Z（x∗）∩riC /=∅”，文［13］在第507-510页上详细讨论该条件的必要性.MR Subject Classification: 90C32【相关文献】［1］Yang Xinmin，Yang Xiaoqi，Teo K L. Higher-order generalized convexity and duality in nondifferentiable multiobjective mathematical programming［J］. J Math Anal Appl，2004，297: 48-55.［2］Bae D B，Kim D S. Optimality and duality theorems in nonsmooth multiobjective optimization［J］. Fixed Point Theory and Appl，2011，2011: 42.［3］Mond B. A class of nondifferentiable mathematical programming problems［J］. J Math Anal Appl，1974，46: 169-174.［4］Mond B，Schechter M A. On a constraint qualification in a nonlinear programming problems［J］. New Res Logic Quart，1976，23: 611-613.［5］Aggarwal S A，Saxena P C. A class of fractional functional programming problems ［J］. New Zealand Oper Res，1979，7: 79-90.［6］Singh C. Optimality conditions for fractional minimax programming［J］. J Math Anal Appl，1984，100: 409-415.［7］Lai Hangchin，Liu Jianchuan，Tanaka K. Necessary and sufficient conditions for minimax fractional programming［J］. J Math Anal Appl，1999，230: 311-328.［8］Luo Hezhi，Wu Huixian. K-T necessary conditions for a class of nonsmooth multiobjective programming［J］. OR Transactions，2003，7: 62-68.［9］Mangsarian O L. Nonlinear Programming［M］. New York: McGraw-Hill Book Company，1969.［10］Xu Zengkun. Constraint qualifications in a class of nondifferentiable mathematical programming problems［J］. J Math Anal Appl，2005，302: 282-290.［11］Wu Huixian and Luo Hezhi. Necessary optimality conditions for a class ofnonsmooth vector optimization problems［J］. Acta Math Appl Sinica（English Series），2009，25（1）: 87-94.［12］Bertsekas D P，Nedi´c A，Ozdaglar A E. Convex Analysis and Optimization［M］. Belmont，MA：Athena Scientific，2003.［13］Bertsekas D P. Nonlinear Programming，2nd Ed.［M］. Belmont，MA：Athena Scientific，2004.［14］Jeyakumar V，Lee G M. Complete characterizations of stable Farkas'lemma and coneconvex programming duality［J］. Math Prog，Ser A，2008，114: 335-347.［15］Bot R I，Wanka G. An alternative formulation for a new closed cone constraint qualification［J］. Nonlinear Anal Theory Methods Appl，2006，64（6）: 1367-1381. ［16］Dinh N，Jeyakumar V，Lee G M. Sequential Lagrangian conditions for convex programs with applications to semidefinite programming［J］. J Optim Theory Appl，2005，125: 85-112.［17］Gwinner J. Results of Farkas type［J］. Numer Funct Anal Optim，1987，9: 471-520. ［18］Jeyakumar V，Lee G M，Dinh N. Characterization of solution sets of convex vector minimization problems［J］. Eur J Oper Res，2006，174: 1380-1395.［19］Gwinner J，Pomerol J C. On weak* closedness，coerciveness，and inf-sup theorems［J］. Arch Math，1989，52: 159-167.。

非光滑半无限多目标优化问题的最优性充分条件

非光滑半无限多目标优化问题的最优性充分条件
杨玉红;李飞
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2017(38)5
【摘要】研究了一个非光滑半无限多目标优化问题(简记为SIMOP),并讨论了它的最优性条件.首先,通过对目标函数和约束函数的某种组合赋予Clarke F-凸性假设,获得了SIMOP(弱)有效解的最优性充分条件.接下来,用Chankong-Haimes方法建立了此SIMOP的一个标量问题并得到了这个标量问题的最优性充分条件.【总页数】13页(P526-538)
【关键词】半无限多目标优化;(弱)有效解;最优性条件;Clarke;F-凸性
【作者】杨玉红;李飞
【作者单位】内蒙古大学数学科学学院;长江师范学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O221.6
【相关文献】
1.一类非光滑多目标分式半无限规划的最优性条件 [J], 杨宏;张巍
2.一类非光滑多目标半无限规划的最优性条件 [J], 冯强;王荣波
3.一类非光滑分式半无限规划ε-最优性充分条件 [J], 张庆祥;李钰;谷江波
4.非光滑半无限规划的最优性充分条件和( )-最优性条件 [J], 张庆祥
5.一类一致Fb,ε-对称凸非光滑分式半无限规划ε-最优性充分条件 [J], 李丽;张庆祥;徐叶红
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多目标优化方法及实例解析

对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：
max(min)Z CX s.t. AX b
式中：
X 为n 维决策变量向量； C 为k×n 矩阵，即目标函数系数矩阵； B 为m×n 矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m 维的向量，即约束向量。
多目标规划的非劣解
max(min)Z F ( X )
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
max i i
i1
i ( x1, x2,xn ) gi (i 1,2,, m)
式中， i 应满足：
k
i 1
i 1
向量形式： max T
s.t. ( X ) G
方法二罚款模型（理想点法）
i12
n
i
f d d f (i 1,2,, K )
i
i
i
i
式中：
di+ 和 di－分别表示与 fi 相应的、与fi* 相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
pl表示第l个优先级；
lk+、lk-表示在同一优先级 pl 中，不同目标的正、
负偏差变量的权系数。
三目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。
另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

多目标最优化

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每级的人数不超过定编规定的人数：
1. 10 - 10*0.1 + x1 ≤ 12
2. 3.
12 - x1 + x2 ≤ 15 15 - x2 + x3 ≤ 15
一、三级的升级面不大于现有人数的20%，但尽可能多提：
二级提升、 x1 ≤ 12*0.2 即 x1 ≤ 2.4
三级提升、 x2 ≤ 15*0.2 即 x2 ≤ 3
30
三、目标规划的求解
主要思想：化成单目标问题，多阶段求解
m i n z P1d 3 P2 ( 2d1 3d 2 ) P3 d 4
x1 x1 5 x1 x1

x2 3 x2 x2 源自 d1 d2
d1 d2

10 4 56 12
fi(x) ＝ bi
fi(x)＋ d－－d＋＝ bi
d－＋ d＋
18
例2
引例的目标规划模型：
1.原材料供应受严格限制 2x1 + x2 ≤11 硬约束
2.产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量 x1 ≤ x 2
即 x1 － x2 ≤ 0
x1－x2 ＋ d1－－d1＋＝0
极小化
d1＋
19
3.充分利用设备有效台时，不加班 x1＋2x2 ＝ 10 极小化 x1＋2x2 ＋ d2－－d2＋＝10 4.利润额不小于56元 8x1＋10x2 ≥ 56 极小化 8x1＋10x2＋d3－－d3＋＝56 d 3－
d d
3 4
d d
3 4
x1 , x 2 , d i , d i 0,
7
1961年，查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.w.CooPer)提出目标规划(goal programming)，得到广泛重视和较快发展。目标规划在处理实际决策问题时，承认各项决策要求 (即使是冲突的)的存在有其合理性；在作最终决策时，不强调其绝对意义上的最优性。因此，目标规划被认为是一种较之线性规划更接近于实际决策过程的决策工具。

非光滑多目标规划解的必要条件

非光滑多目标规划解的必要条件
刘三明
【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1995(000)004
【摘要】ＦｉｎｔｚＪｏｈｎ型和Ｋｕｈｎ－Ｔｕｋｅｒ型的必要条件一直是最优化理论中引起人极大兴趣的问题。

本文利用右上Ｄｉｎｉ导数，引入集合在一点的收敛向量的概念，建立了非光滑多目标规划中的ＦｒｉｔｚＪｏｈｎ型和Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｈｋｅｒ型的必要条件。

【总页数】1页(P76)
【作者】刘三明
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O221.2
【相关文献】
1.具有Fuzzy约束的非光滑多目标规划的Fuzzy有效解的充分必要条件 [J], 邹水木
2.非光滑多目标规划的Kuhn-Tucker充分条件及必要条件 [J], 孙清灋;赵福安;陈培鑫
3.非光滑非凸多目标规划的有效解和真有效解 [J], 刘日华;邱根胜
4.一类非光滑多目标规划的K-T必要条件 [J], 罗和治;吴惠仙
5.某些半无限多目标规划的弱有效解和有效解的充分和必要条件 [J], 林棋桐;赵礼峰
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非光滑不变凸多目标的最优性条件的开题报告

非光滑不变凸多目标的最优性条件的开题报告1. 研究背景随着社会经济的发展，多目标优化问题在现实生活以及各个领域中得到了广泛的应用。

在工程领域中，多目标优化问题特别是非光滑不变凸多目标优化问题具有很广泛的应用，如机械设计、控制系统设计、通信网络优化等方面。

同时，由于多目标优化问题的特殊性质，其最优性条件的研究是非常重要的。

2. 研究目的本文旨在探究非光滑不变凸多目标优化问题的最优性条件，具体地，研究其最优解的存在性、唯一性和可行解的极大解的关系等方面的问题。

3. 研究内容本文将以非光滑不变凸多目标优化问题为基础，对其最优性条件进行深入研究。

首先，介绍多目标优化问题的基本概念和常见的解法。

然后，探究不变凸问题的最优性条件及其基本特性。

接着，介绍非光滑问题的基本概念以及非光滑函数的特性。

最后，结合不变凸问题和非光滑问题的特点，分析非光滑不变凸多目标优化问题的最优性条件，包括存在性、唯一性和可行解与极大解之间的关系等方面。

4. 研究意义研究非光滑不变凸多目标优化问题的最优性条件对于解决现实生活中的多目标优化问题具有很大的帮助。

首先，能够为工程领域的设计和优化提供有效的依据和方法。

其次，对于优化算法的改进和发展也具有重要的指导意义，有助于提高算法的搜索效率和精度。

5. 研究方法本研究将采用文献综述和理论分析相结合的方法，主要利用计算数学、凸分析、非光滑优化等相关理论进行分析和研究，结合实际问题进行应用和验证。

6. 预期结果本研究预期可以得到非光滑不变凸多目标优化问题的最优性条件及其基本特性，可以为多目标优化问题的求解提供参考和帮助。

同时，预期可以为优化算法的改进和发展提供指导和借鉴，有助于提高算法的搜索效率和精度。

7. 研究难点本研究的难点主要在于非光滑不变凸多目标优化问题的特殊性质，以及其最优性条件的推导和证明。

同时，需综合凸分析、非光滑优化等多个领域的理论知识进行深入研究，难度较大。

8. 参考文献[1] Wang, M., Liu, G. (2018). Multi-objective Optimization of Non-smooth Convex Optimization Problems Based on Normal Constraint. Journal of Mathematical Research with Applications, 38(1), 105-111.[2] Li, J. (2019). A Nonoverlapping Domain Decomposition Method for Non-smooth Convex Optimization Problems. Journal of Optimization Theory and Applications, 181(1), 305-326.[3] Wang, Y., Liu, Y., Bi, J. (2020). Multi-Objective Optimization with Non-smooth and Non-convex Constraints. IEEE Access, 8, 79181-79194.[4] Deng, M., Chen, J., Zhao, L. (2021). A New Method for Solving Non-smooth Convex Multi-objective Optimization Problems. Applied Mathematical Modelling, 96, 734-745.。