一类广义凸函数非光滑规划问题的混合对偶
一类非光滑分式优化问题的最优性条件和对偶
一类非光滑分式优化问题的最优性条件和对偶
非光滑分式优化问题的最优性条件和对偶，是优化技术中的一种关键思想，在求解复杂优化问题时，引用优化条件与无偏估计有着不可或缺的重要作用。
非光滑分式优化问题是指目标函数和约束条件中，至少有一个函数不具备高阶连续导数，具体表现为不存在解析解。
针对这类问题，一般可以采用Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件作为求解依据，具体而言，遵循以下思想：
1. 最优性条件：在加上拉格朗日乘子法和焦散乘子法以确保约束条件都得到满足的情况下，对目标函数求偏导数，然后将对自变量求导的结果置为0，从而获得该问题的最优性条件。
2. 对偶条件：准备一组拉格朗日乘子与约束不等式之间的乘法关系，然后将最优性条件中的部分变量代入乘法关系，就可以求出我们想要的对偶条件。
应用该优化原理，可以使特殊问题变得更加有活力，性质更为复杂，而这些问题都可以通过拉格朗日乘子和焦散乘子法通过最优性条件和对偶条件来解决，从而得到满足约束条件的全局最优解，进而为潜在应用带来无限可能性。
总之，非光滑分式优化问题的最优性条件和对偶，是优化技术中解决复杂优化问题的重要原理，其正确理解和运用，会为潜在应用带来巨大社会经济效益。
(h,φ)-方向导数与(h,φ)-次梯度
(h,φ)-方向导数与(h,φ)-次梯度黄建明;云莲英【摘要】首先根据Ben-Tal广义代数运算定义了一类(h,ψ)-方向导数并得到了它的一些基本性质,然后在(h,ψ)-方向导数概念的基础上定义了(h,ψ)-次梯度与正则弱(h,ψ)-Lipschitz函数,讨论了它们的一些相关性质.从得到的结果可以看出:(h,ψ)-方向导数与(h,ψ)-次梯度推广了以往的广义方向导数与次梯度的概念,且能够互相刻画彼此的性质;对于某些函数无法用Clarke广义梯度研究时,可以用(h,ψ)一次梯度来研究;正则弱(h,ψ)-Lipschitz函数的概念推广了可微函数与凸函数概念.【期刊名称】《丽水学院学报》【年(卷),期】2008(030)002【总页数】5页(P13-17)【关键词】Ben-Tal广义代数运算;方向导数;次梯度;正则弱(h,ψ)-Lipschitz函数【作者】黄建明;云莲英【作者单位】台州职业技术学院,计算机工程系,浙江,台州,318000;台州职业技术学院,计算机工程系,浙江,台州,318000【正文语种】中文【中图分类】O2210 引言众所周知，在实际生活中或最优化理论研究过程中遇到的越来越多的问题所涉及的函数已经没有经典意义下的导数或微分，所以对非光滑分析的研究，特别是对导数、微风概念的拓广以及相关性质的研究，有着非常重要的理论和实际意义。
许多学者的研究促进了这一领域的发展：如Rockafellar[1],Aubin[2],Clarke[3],刘三阳[4],张玉忠[5]。
同样，(h,φ)-凸性函数在最优化理论研究中也起着至关重要的作用，张庆祥[6]，徐义红，刘三阳[7]，Xu Yihong[8]等都在这一方面作了深入的研究。
本文致力于对非光滑广义(h,φ)-凸性函数与规划的研究，定义一类适合广义(h,φ)-凸性函数的次梯度。
从得到的结果可以看出：本文定义的(h,φ)-方向导数是张玉忠[5]与徐义红[9]中定义的方向导数的推广，也是徐义红[10]中定义的方向导数的推广，它克服了[10]中定义的方向导数仅仅适合(h,φ)-凸函数，而不适合广义(h,φ)-凸性函数的缺陷，也克服了张庆祥[6]中定义的方向导数不能刻画次梯度的缺陷。
非凸不可微多目标规划问题的混合对偶性
ｎｃ ａｈ空问 上的局部 Ｌｐｃ ｉ ｉｓｈｕ实值函数 ． 可微 多 目标 规 划 的 对 偶 性 理 论 研 究 相 对 比 较 成 熟 ． 于不可微多 目标规 划问题 （ Ｐ 的对偶 性理 论研 对 Ｖ） 究 以往都是 利 用不 同 的非 凸性 对 Ｗｏ ｅ型 对 偶和 Ｍｏｄ ｌ ｆ ｎ． Ｗｅ 型对偶分别 进行 的 ， ｉ ｒ 文献 ［ ］ 用 不 变凸 性得 ５利 到了很好的结论．文献 ［ ］ 可微多 目标规 划的混合 对偶 ６对 进行 了研究 ， 而对于不 可微多 目标规划 的混 合对偶 的研 究 还没有人做过 ． 本文利用文献 ［ ］ ６ 的研究结 果首先给 出了
Ａ ｓ ａｔＡ ｍ ｘｄｔ ｅｄ ａ ｆｒ ｌ ｓ ｆ ｈｏｊｃ ｖ ｒｇａ ｉ ｒｂｅ ｓ ｓ ｉ ｒ ｌ ｂ ｔ ｃ ： ｉ ｐ ｕｌ ｏ ｃａ ｉ ｅｔ ｅ ｏｒｍｍｎ ｐｏｌｍ ｎ ｆ ｍｕ － ｒ ｅ ｙ ａ ｓ ｏ ｍｕ ｂ ｉ ｐ ｇ ｉ ｆ ｔｏ ｌ ａ
定 理 １ 弱对 偶 性 ） 对 （ Ｐ 的任 一 可 行 解 和 （ 设 Ｖ ）
（ ） ＭＤ 的任一可行 解（ ，， ，） ｕ ｒＹ 有下列条件之一成立 ：
维普资讯
信阳师范学院学报 ： 自然科学版 第２卷 ｌ
・
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ａ ｇＮｏｍａ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｏ ｙ ｎ ｒ ｌ Ｕｎｖｒｉ Ｘｉ ｙ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎＶｏ． １Ｎｏ １Ｊ ｎ ２ ０ ｔｒ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉｏ １２ ． ａ ．０ ８ ｌ ｉ
ｕ ｉ ｇ ｔｅ ｃ ｎｃ ｐｔｏ ｆ ｃ ｅ ｃ ｓｎ ｈ ｏ ｅ ｆｅ ｉｉ ｎ ｙ．
Ｋｅ ｏｄ ： ｏ ｓ ｏｔ ｕ ｉ ｊｃ ｖ ｒｇａ ｉｇｐｏｌｍ；ｍ ｘｄ ｔ ｅ ｄ ａｉ ；ｇｎｒ ｉ ｄ ｙ ｗ ｒ ｓ ｎ ｎｍ ｏ ｍ ｈｏ ｅｔ ｅ ｐ ｒ ｍｍ ｎ ｒｂｅ ｈ ｂ ｉ ｏ ｉｅ ｙ ｕ ｔ ｅ ｅａｚ ｐ ｌ ｙ ｌ ｅ
一致(Fd,ρ)-凸多目标半无限规划的Mornd-Weir型对偶性
１ 基本 概 念
对于在 ‰ 处满足局部 Ｌｐｃｉ 条件的函数，文献［ １ 定义了在 ｉｓｈ ｚ ｔ ， １］ 。ＥＲ 处沿方 向ｄ∈ 的广义方 向导数和广义梯度
厂。 ；）＝ｌ Ｙ＋￡）一 ｔ ］ｔ （ ｄ ｉ ｍ ｄ ）／，
ｏ（ｏ ｆ ）＝ ｛ ＥＲ ｌ ，＞－ｆ。 ｏ ） ｙｄ∈Ｒ ｝ （ ｄ ＜ （ ； ， 。
当 Ｐ ＞０Ｐ ＝０Ｐ ＜０时 ， ， ， 分别 称 ／为强 一 致 一 ， 致 一 凸 一 凸和 弱一致 一 的． 凸 定 义 ３ 称 函数 厂 Ｃ— Ｒ在 。∈Ｃ处关 于 Ｆ， ｂｄ是严 格一 致 （ ，） 凸 的 ， ： ， ， Ｉ一 ｐ 如果 Ｖｘ∈Ｃ， ， ≠
扩充， 由此得到了众多 的广义凸函数类． 文献 ［ ］ １ 引人了 Ｉ型和 Ⅱ型函数 ； 文献 ［ ］ ２ 推广了 Ｉ型函数 ， 得
到了伪 Ｉ型和拟 Ｉ型函数 ； 文献 ［－］ ３４ 给出了Ｐ． ， ，凸 Ｐ 严格凸函数及广义（ Ｐ 一 Ｆ，） 凸函数等广义凸性 的 概念． 讨论了一类非光滑非凸半无限规划的最成性条件和对偶性结果 ； 文献［ ］ ５ 在某些凸性条件下讨论 了 非光滑非凸多 目标规划的Ｗｏ ｅ ｌ 型对偶性； ｆ 文献［ ］ ６ 引入 了ｂ凸（－ｅ） 一 ｂｖｘ 函数 ； 文献［ ］ ６函数进行了推 ７对 一 广， 定义了一致凸函数 ； 文献［ ］ ８ 研究了涉及一致凸性 的一类多 目标规划的最优性和对偶性 ； 文献［ ］ ９ 又 将一致凸函数推广以后得到了广义一致凸函数 ， 并讨论了一类非光滑非凸多 目标半无限规划的对偶性 ； 文 献［０ 定义 了一致 （ ｂ ） 凸、 １］ Ｆ ， 一 一致（ ｂ ） 伪凸和一致（ ｂ ） 拟 凸等一类非光滑非凸函数 ， Ｐ Ｆ， 限规划的最优性． 本文在一致（ 了，） 凸、 Ｐ 一 一致（ 了，） 伪凸和一致 （ ，） 拟凸等一些非光滑非凸函数 的基础 Ｐ一 Ｐ一 上， 得到了涉及此类广义凸性的一类非光滑多 目标半无限规划的一些 Ｍ ｎ ． ｉ型对偶性结果． ｏｄＷｅ ｒ
几种非光滑规划的最优性鞍点与对偶性（基础数学专业优秀论文）
几种非光滑规划的最优性、鞍点与对偶性基础数学专业研究生李向有指导老师张庆祥教授摘要本文讨论了两种多目标非光滑规戈【ｊ和一种非光滑半无限规划的最优性、鞍点、对偶性问题，即（１）在Ｂ．预不变凸函数和广义类凸函数的基础上，定义了一类广义类次Ｂ．预不变凸函数，然后讨论了广义类次Ｂ预不变凸函数的一些有用性质，并对涉及这类函数的多目标规划问题的最优性，鞍点，对偶性，进行了研究，得出一些重要的结果。
（２）在ｊ类不变凸函数的基础上，引入Ｋ不变凸函数，构造了一类％，Ｊ类不变凸函数，然后讨论了这类函数的最优性条件，对偶性条件，在更弱的凸性下，获得一些重要的结果．（３）在如凸函数的基础上，定义了一类局凸函数，研究了关于此类函数的规划问题，讨论了涉及这类凸性函数的半无限规划的最优性条件，鞍点条件，对偶性条件，得出一些最优充分性条件，鞍点条件，对偶性条件。
总之，本文在理论上拓宽了凸函数类和非光滑问题的最优性条件和对偶性结果，在更弱的凸性下，得到一些重要的结果．关键词：广义类次Ｂ一预不变凸函数耳不变凸函数％不变凸函数最优性鞍点答辩日期；２６。
争年６月）；日指导教师签名：乡次灰番ｊＯｐｔｉｍａｌｉｔｙ，Ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄＤｕａｌｉｔｙｆｏｒＳｅｖｅｒａｌＫｉｎｄｓｏｆＮｏｎｓｍｏｏｔｈＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍｓＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ，ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｄｕａｌｉｔｙｏｆｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｎｏｎｓｍｏｏｔｈｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇａｎｄｏｎｅｋｉｎｄｏｆｎｏｎｓｍｏｏｔｈｓｅｍｉ．ｉｎｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．ｔｈａｔｉｓ（１）Ａｃｌａｓｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂ—Ｂ—ｐｒｅｉｎｖｅｘ—ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｄｅｆｉｎｄｅｄＢａｓｅｄｏｎＢ—ｐｒｅｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂｃｏｎｖｅｘ—ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｓｏｍｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ，ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔｓａｎｄｓｃａｌａｒｌａｇｒａｎｇｅｄｕａｌｉｔｙａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｉｎｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂ—Ｂ－ｐｒｅｉｎｖｅｘ—ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ａｎｄｓｏｍｅｉｍ—ｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．（２）Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆｉｒｓｔｃｌａｓｓｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｖ－ｐｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｃｌａｓｓｏｆＥ—Ｐｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｄｅｆｉｎｅｄ．Ａｎｄｏｐｔｉｍａｌｉｔｙａｎｄｄｕａｌｉｔｙｏｆｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄｍａｎｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｗｅｅｋｅｒｃｏｎｖｅｘ．（３）ＡｃｌａｓｓｏｆＥ—ＰｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｄｅｆｉｎｅｄｂａｓｅｄｏｎＥｂ—ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓＴｈｅｉｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｉｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓａｄｄｌｅ－ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ａｎｄｄｕａｌｉｔｙｏｆｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａｎｄｓｅｖｅｒａｌｏｐｔｉｍａｌｓｕｆｆｉｅｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓａｄｄｌｅ—ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｄｕａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｎａｌｌ，ｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｄｕａｌｉｔｙｒｅｓｕｌｔｓｏｆｎｏｎｓｍｏｏｔｈｏｐ—ｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｅｏｂｌｅｍｓａｒｅｅｘｔｅｎｄｅｄｔｈｅｏｒｅｔｉｃｌｌｙ，ａｎｄｍａｎｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｗｅｅｋｅｒｃｏｎｖｅｘ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｓｕｂ—Ｂ—ｐｒｅｉｎｖｅｘ－ｌｉｋｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓＥ—ＰｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓＶ—Ｐ一，ｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓＯｐｔｉｍａｌｉｔｙＤｕａｌｉｔｙＷｒｉｔｔｅｎｂｙＸｉａｎｇｙｏｕＬＩＤｉｒｅｃｔｅｄｂｙＰｒｏｆ．ＱｉｎｇｘｉａｎｇＺＨＡＮＧ知识水坝@pologoogle为您整理创新性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
(F,a,p,d)-凸和广义(F,a,P,d)-凸条件下一类多目标规划问题的对偶
１ 预 备 知 识
定义 ３ 设 Ｘ 是 尺 ０ 中的开集 ， 函数 Ｆ： ｏ Ｘ ×Ｘｏ Ｒ” × 一尺称为次线性函数 ， 如果 Ｖｚ ｊ∈ｘｏ有 ．， ，
Ｆ（ ； １ ２ ≤ Ｆ（ ； １ ＋Ｆ（ 孟； ２ ， １ｎ ∈Ｒ ， ｘ， 口 ＋ａ ） ｘ， ａ ） ｚ， 口 ） Ｖ口 ， ２
＝ ＝ ，
ｉ １２ … ， ； ＞ Ｚ ， １２， ， ； ＞ ＝ ， ， Ｙ＞ 甘 ｉｉ ， … ｙ －
， ＝１ ２ … ， ； ２ ｉ ， ， ≥
， ＝ ｌ２ ｉ ，，
…
，； 但至少存在一个 １ ｏ ，使 ＞ｚ ， ｙ ｅ 。 ｚ ｊ 即 ｖ 定义 １ 设 ∈ห้องสมุดไป่ตู้ ， ０如果不存在 ｚ ∈ｘ ， ｆ ｘ） 厂 ， ０使 （ ≤ （ 则 是多 目 ） 标规划 问题的有效解 。 定义 ２ 设 ∈Ｘ０如果不存在 ∈Ｘ ， ｆ ｘ） 厂 ）则 是 多 目标 规划 问题 的弱 有效解 。 ， ０使 （ ＜ （ ，
摘要： 对偶理论是最优化理论 的重要组成部分 ， 有深 刻的理论 意义和 重要 的应 用价值 。针 对多 目标 规划 问 具 题 的对偶 问题 ， Ｆ 凸， 一 在 一 Ｉ凸和 （ 』 一 Ｄ Ｆ， ）凸的基础上对 （ ｎ ｌ ｄ ． Ｄ Ｆ， ， ， ）凸和广义 （ ａ 』 ｄ）凸条件下 的多 目标规划 问 Ｄ Ｆ， ， ， 一 Ｄ 题进行 了研究 ， 将多 目标非线性规划问题的 ｗｌｆ 向量对偶 ， ｎ－ ｉ型 向量对偶和混合型 向量对偶 的弱对偶定 ｏｅ １ Ｍｏ ｄＷｅ ｒ 理 中的凸性条件 弱化 。在较弱 的凸性 （ Ｆ， ｌ ｄ） 凸 ，Ｆ， １， 一 凸 ， （ ａ Ｐ ｄ）拟 凸） 件下 ， 出并 （ ａ， ， 一 Ｄ 拟 （ ａ， ｄ） ０ 伪 弱 Ｆ， ， ， 一 条 给
一致K-(Fb,ρ)-凸多目标半无限规划的Wolfe型对偶性
基金项 目： 榆林学院科研启动基金资助项 目（ ０ ８ Ｇ Ｋ ０ ３ ３ ） 通讯作者 ： 杨宏 （ １ ９ ７ ９ 一 ） ， 男， 陕西省绥德县人 ， 榆林学 院讲师． Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｙ ｈ ｘ ｙ ８ ８ ８ ＠ｓ ｉ ｎ ｓ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
（ ； ・ ） ： Ｘ× ｘ— Ｒ Ｕ（ ＋∞） ，
（ ； ） ： 一ｉ ｎ ｆ ｛ ￥∈ Ｒ ｌ （ ， ∈ Ｋ（ ｅ ｐ ｉ 厂， （ ， 厂 （ ） ） ， Ｙ∈ Ｒ ｝ 为 厂在 ｚ处 的 Ｋ一方 向导数 ．
定义 ２ Ｅ ｕ 称 ，： Ｘ— Ｒ在 处 是 Ｋ一 次可 微 的 ， 若 存在 凸紧 集 ａ ，（ ） ， 满足
』 Ｄ ） 一拟 凸等一 些非 光滑非 凸 函数 ， 并 在 此基 础上 得 到 了涉及 此类 广 义 凸性 的一 类 非光 滑 多 目标 半 无 限规
划 的一些 Ｗｏ ｌ ｆ ｅ 型对 偶性 结果 ．
１ 基 本概 念
定义 １ ｒ ｎ 设 Ｋ（ ・ ，・ ）为一 局部 渐近锥 ， 则称
本文利用k方向导数和k一次微分定义了一致krp一凸一致kf5p一伪凸和一致k一f6jd一拟凸等一些非光滑非凸函数并在此基础上得到了涉及此类广义凸性的一类非光滑多目标半无限规划的一些wolfe型对偶性结果
第２ ６ 卷第 １ 期
２ ０ １ ３年 ３月
纺
织
高校基源自础科学学
报
Ｖｏ Ｉ ． ２ ６ 。 Ｎｏ ． １
以下 均假 定 Ｃ ｃ 是非 空 的． ｘ∈ Ｃ， ｆ： Ｃ— Ｒ在 Ｘ ｏ 是 局部 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 函数 ， Ｆ： Ｃ×Ｃ× 一 Ｒ是 关
广义凸不确定规划的最优性与对偶性
广义凸不确定规划的最优性与对偶性广义凸不确定规划的最优性与对偶性摘要：广义凸不确定规划作为一种重要的优化问题，其最优性与对偶性是研究的核心。
本文将从定义、性质及求解方法等方面进行综述，分析广义凸不确定规划问题的最优性与对偶性，并探讨相关的应用前景。
一、引言广义凸不确定规划是指在最优化问题中，不确定变量、不确定参数、不确定比较器等存在的情况下，通过合理的建模和分析，寻找最优解的一种数学方法和技术。
广义凸不确定规划问题最优性与对偶性是其研究的核心内容，它们的研究对于解决实际问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
二、广义凸不确定规划的定义和性质广义凸不确定规划通过引入不确定性，将经典凸规划问题拓展到了不确定条件下，从而更好地适用于实际问题的分析和求解。
广义凸不确定规划问题的定义为：给定一个凸优化问题，其中包含不确定变量、不确定参数和不确定比较器，求解该问题的最优解。
广义凸不确定规划问题的性质有以下几点：1. 最优性：广义凸不确定规划问题中的最优解是一个严格凸函数。
2. 对偶性：广义凸不确定规划问题中的对偶问题的最优解与原问题的最优解存在相应关系，通过求解对偶问题可以得到原问题的最优解。
3. 条件性：广义凸不确定规划问题中的最优解是基于一定的条件和约束，不同的条件和约束可能导致不同的最优解。
三、广义凸不确定规划的求解方法广义凸不确定规划问题的求解方法主要包括以下几种：1. 内点法：内点法是一种通过迭代的方式逐渐接近最优解的方法，其核心思想是通过寻找最佳内点，使得迭代过程中的解始终在可行集内部，从而获得最优解。
2. 外点法：外点法是一种通过寻找最佳外点，使得迭代过程中的解外推到无穷远处，从而找到最优解的方法。
3. 对偶法：通过构建广义凸不确定规划问题的对偶问题，可以转化为原问题的对偶问题来求解最优解。
4. 上下逼近法：上下逼近法是一种通过迭代的方式，逐步逼近最优解的方法。
它通过不断调整上界和下界，使得它们的差值逐渐缩小，最终得到最优解。
具有广义B-凸函数的非光滑多目标规划的对偶性
第２ ７卷
第 ２期
天 津 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＴｉｎｉ ｒ ｌ ｉｅｓｔ Ｎａ ｕａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ａ ｊｎＮｏ ｍａ ｖ ｒｉｙ（ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄｔ ） ｏ Ｕｎ Ｓ ｏ
摘 要 ： 连 通 Ｂ 凸 函数 、 通 Ｂ 伪 凸 函数 和 连 通 Ｂ 拟 凸 函数 的 基 础 上 ， 到 了 几 个 非 光 滑 多 目标 规 划 的 Ｍｏ ｄ 在 － 连 － 一 得 ｎ－
Ｗ ｅｒ型 对 偶 性 结 论 ． ｉ
关 键 词 ： 通 Ｂ 凸 函数 ；关 于弧 的右 上 导数 ；多 目标 规 划 ； 偶性 连 － 对
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ２ １２ ．
２０ ０ ７年 ６月
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ． ０７
文章 编号 ：１ ７ — １ ４ ２ ０ ） ２０ ５ —３ ６ １１ １ （Ｏ ７ Ｏ — ０ ８０
具 有 广 义 Ｂ 凸 函数 的非 光 滑 多 目标 规 划 的对 偶 性 一
常 健 ，张 庆祥
（ 安 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ，陕 西 延 安 ７ ６０ ） 延 １ ００
ＣＨＡ ＮＧ ｉ ｎ ｆＭ ａｈｅ ｔｃ ｎ ｍｐｕｅ ｃｅ ｃ Ｃｏｌ ｅｏ ｔ ｍａ ｉｓａ ｄＣｏ ｅ ｔｒＳ ｉｎ ｅ，Ｙａ ＇ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ，Ｙａ ａ １ ０ ０，Ｓ ａ ｘ ｏ ｉｃ ，Ｃｈｎ ） ｎａ ｉ ｅｓｔ ｆ ｎ７ ６０ ｈ ｎ ｉＰｒ ｖｎ ｅ ｉａ
中 图分 类 号 ： ２ Ｏ２ １ 文献 标 识 码 ：Ａ
Ｄｕ ｌ ｙｆｒＮｏ 。ｍｏ ｔ ｌ ・ｂｅｔ ｅＰ ｏ ｒ ｍｍｉｇ ａｉ ｏ ｎｓ ｏｈＭｕｔ－ ｊｃｉ ｒｇａ ｔ 。 ｉ ｏ ｖ ｎ
一类非光滑广义不变凸多目标优化的Mond-Weir对偶
Ｖ０Ｉ ３ ＮＯ． ．３ ４ Ａｔｇ Ｏ１ ｌ ．２ ２
一
类 非光 滑广 义 不 变 凸多 目标 优 化 的 Ｍｏ ｄＷ ｅｒ 偶 ｎ — ｉ对
金 鉴 禄
’ ０ １ ； ３ ０ ２
（ ． 春 工 业 大 学 基 础 科 学 学 院 ，吉 林 长 春 １长
Ｍｏｎ － ｅｉ ｄ ａｌ ｙ ｆ ｒ ａ ｃ ａ ｓ ｏ ｏ － ｍ ｏ ｔ ｅ ｅｒ ｉｅ ｎ ｅ ｄ－ Ｗ ｒ ｕ ｉ ｏ ｌ ｓ ｆｎ ｎ－ ｔ ｓ ｏ ｈ ｇ ｎ ａｌ ｄ ｉｖ ｘ ｚ
ｍｕｔ ｏ ｊｃｉｅｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｌ— ｂｅ ｔ ｐ ｉ ａｉ ｉ ｖ ｍｉ ｏ
Ｊ Ｎ ｉｎ ｌ Ｉ Ｊａ —ｕ ， ＬＩＤｏ ｇ ｓ ｅ ｇ ， ＬＵ ｉｇ ， ＬＩ Ｑｉ ｇ ｈ ａ ｎ —ｈ ｎ Ｊｎ Ｕ ｎ — ｕ ｉ
（ ＿ ｃ ｏ ｌ ｆＢａ ｉ ｃ ｅ ｃ ｓ １ Ｓ ｈ ｏ ｓｃ Ｓ ｉｎ ｅ ，Ｃｈ ｎ ｃ ｕｎ Ｕ ｎ ｖ ｒ ｉ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ，Ｃｈａ ｇ ｈ ｎ １ ０ １ ，Ｃｈ ｎ ； ｏ ａ ｇ ｈ ｉｅｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｙ ｎ ｃ ｕ ３ ０ ２ ｉ ａ
ｃｕ．ｄ ．ｎ ＊联 系 人 ： 庆怀 （９ １ ， ， 族 ， ｃｔｅ ｕ ｃ． 刘 １ ６ 一） 男 汉 吉林 长 春人 ， 春 工 业 大 学 教 授 ， 士 ， 要 从 事 最 优 化 理 论 与 算 法 长 博 主 研 究 ， ｍａ ： ｕ ｈ １ ５ １ ６ ｃ ｒ． Ｅ— ｉ ｌ ｑ ６ ９ ＠ ２ ． ｏ ｌｉ ｎ
一类广义凸多目标规划的最优性条件及对偶理论
对 于 ∈ 记 ， ）：｛Ｉ Ｎ， （ ｉｇ（ ）＝ ， ０ ｈ（ ）＝ 。我 ０｝
们 定义 问题 （ ） Ｌ ｇａｇ 的 ａｒｎｅ函数为
Ｌ ｘＰ， Ｉ）＝ （ ， Ａ， ． ｐ Ｌ ）＋ （ Ａ ｇ ）＋ （ ）
其 中 ∈ Ｐ∈ ， Ｒ ， ∈ ， ， ＞０ 采用 记 Ｄ， ＡＥ Ｐ Ａ， １ ，
关键词 ： － ； ・ 凸 ； － 凸；最优 性 ；Ｌｇａ ｇ 叼凸 叼伪 ｒ 拟 ／ ａｒｎｅ函数 ； Ⅱ 对偶 Ｗｏ ｅ
中图分 类号 ： ２ ． ０ ２ １６
文 献标识码 ： Ａ 则说 在 ｘ 为 ． 拟 凸的 。 ， ， ７ 一
０ 引 言
近年来 ， 多学者推广 了 凸函数 ， 许 引进 了许 多种 类 的广义 凸函数 。广义 凸 函数 的种 类 极 为 多样 ， 广
第２ ７卷第 ３期
２０ 年 ９月 ０８
武
汉
工
业
学
院
学
报
Ｊ ｕ ａ ｏ Ｗｕ ａ Ｐ ｌｔ ｃ ｎｃ Ｕ ｉ ｅ ｓ ｙ ｏｒ ｌ ｆ ｎ ｈｎ ｏｙ ｅ ｈ ｉ ｎ ｖ ｒｉ ｔ
Ｖ ｌ２ Ｎｏ ３ ｏ＿ ７ ． Ｓｐ２ ０ ｅ． ０８
文章 编号 ：０９４ ８ （０８ ０ －１８０ １０ －８１ ２０ ）３０ －３ １
这类 广义凸 函数在 最优化 理论 中的应用 。本 文在此
基础 上 ， 出 了 函数 ． 凸 性 、 拟 凸性 及 一 凸性 给 ， ， ． 一 伪
２ 最优 性 条 件
首先 给 出一 个择 一 定 理 ， 即线 性 Ｇ ｌ 理 （ ａ ｅ定 见
的定 义 ， 给出 了它们之 间 的关 系 ， 还 并且 研究 了这几 类广 义凸性 在 多 目标 规 划 最 优 性 条 件 中 的应 用 及 Ｗｏｅ ｌ 对偶 理论 ， 出 了一些 有用 的结果 。 ｆ 得
非光滑广义凸多目标规划的对偶
Ｑ 和 ｓ 分别为 Ｑ和 ｓ的对偶 锥 ， 如 Ｑ 一｛ ∈
定义 １ 如果存在 ｐ ∈ ， 使得对 Ｖ ｚ ， － 『 ∈Ｘ及 Ｖ善 ∈Ｏ ｆ （ Ｆ （ ７ ） ） ， 有
， （ Ｆ（ ） ） 一， （ Ｆ （ ） ）∈ Ｑ＋ Ｃ ７ ） ｒ ／ （ ｘ， ｌ ｒ ） ＋Ｐ ｌ Ｏ （ ｘ， ｌ 『 ） ｊ ｌ ，
非光 滑多 目标优 化理 论应用 广泛 ， 而 广义 凸性在对 偶 理论 中具 有 重要作 用 ，已广 泛用 于解 决优 化
问题．文献 ［ １ — ６ ］ 给 出了不 同条件下 广义 凸 函数 的最 优性 条 件 与对偶 理 论．本 文 通过 定 义复 合 Ｑ— ｆ 。不
Байду номын сангаас变 凸和 Ｓ 一 不变 凸 函 数 ，对 其 构 成 的不 可 微 复 合 凸 多 目标 规 划 问题 给 出 了新 的对 偶 理 论 ，推 广 了
Ｓ ． ｔ ．一 ｇ（ Ｇ（ ） ） ∈ Ｓ，
其中： ｇ （ Ｇ（ ） ） ＝ ＝ ＝ （ ｇ （ Ｇ （ ｚ ） ） ， …， ｇ ， （ Ｇ （ ） ） ） ；ｚ ∈Ｘ（ ｘ是 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间） ； ｆ和 ｇ分别是 ” 上 实值 局部 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ向量 函数 ； Ｆ 和 Ｇ， ：Ｘ一 分 别是 局 部 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ函数 和 Ｇ ａ ｔ ｅ ａ ｕ ｘ可 微 函数 。它们 的
第 ５ ｌ 卷
第 ４期
吉 林 大 学 学 报 （理 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖｏ Ｌ ５ｌ ＮＯ． ４
B-半（E,F）-凸半无限规划的对偶性及鞍点理论
B-半（E,F）-凸半无限规划的对偶性及鞍点理论刘婷婷;张庆祥;高颖;张永战【摘要】In this paper,the duality and saddle-point theory of semi-infinite programming for B-semi-（E,F）-convex functions are discussed by using properties of B-semi-（E,F）-convex functions.%利用B-半（E,F）-凸函数的有关性质讨论了B-半-（E,F）-凸半无限规划的几个对偶定理及鞍点理论。
【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)004【总页数】3页(P12-13,18)【关键词】B-半（E,F）-凸函数;半无限规划;对偶理论;鞍点理论【作者】刘婷婷;张庆祥;高颖;张永战【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O221.2定义1［1］称集合M⊂Rn为（E，F）-凸的，若存在两映射E，F：Rn→Rn，使对任意x，y∈M和λ∈［0，1］，有λE（x）+（1-λ）F（y）∈M。
定义2［2］称f：M→R为半（E，F）-凸函数，若存在两映射E，F：Rn→Rn，使对任意x，y∈M和λ∈［0，1］，有f［λE（x）+（1-λ）F（y）］≤λf（x）+（1-λ）f（y）。
定义3［3］称f：M→R为B-半（E，F）-凸函数，若存在两映射E，F：Rn→Rn，使M为（E，F）-凸集，实值函数b（x，y，λ）≥0，使。
定理4［4］若是L（x，λ）的一个鞍点，那么是（P）的有效解。
性质1若f是局部Lipschitz函数，且f是B-半（E，F）-凸的，则以下均假设任意的x∈M，有E（x）∈M，F（x）∈M。
一类半无限分式规划问题的最优性条件及对偶性
定义 １。 称泛 函 Ｆ： ］ Ｅ Ｘ。× Ｘ。 Ｒ Ｒ是 次 × 一 线性的 ， 若对 Ｖ ，。 ∈Ｘ。有 ，
１ Ｆ（ ， ； ） ｌ ２口ｌ＋ ａ ） ２
．
Ｆ （ ， ； １ ＋ Ｆ（ ， ｘｌ ２ 口 ） ｘｌ
１ 基 本定义 和性质
以 下均 假定 ｃ Ｒ 是非 空 的 。
对一个 具有局部 Ｌｐｃｉ 的实值 函数 厂： — ｉｓｈ ｚ ｔ ｘ
Ｒ ， ｌｒｅ 义 了其 在 。 Ｘ。 沿 方 向“的 广义 方 Ｃａｋ 定 ∈ 处
向导数及在 ∈Ｘ。 处的广义梯度 ， ： 即
ｆ （ ）一 ｌ ｏ ｉ ｍ ｕ ｐ 二
‘
的对偶和多 目标分式规划 的对偶做 了研究， 得到了
文章编号 ：０ ４６２ ２０ ） ２０ １—４ １０—０Ｘ（０ ２０ —０ ６０
近年 来 ， 许多 学者对 分式 规划做 了广 泛的研 给 出了极大极 小分 式规划 的充分 Ｋ ｈ — ｕｋ ｒ ｕ ｎＴ ｃｅ 条 件和三个 对偶模 型。 ｕ Ｋ ｋ和 Ｌ ｅ ｅＥ 等考虑 了具有 局 。
对偶结果 。 ｉ ｇ和 Ｈ ａ ｇ。等利用次线性泛 函及 Ｌａ ｎ ｕｎ［ 广义凸函数 ， 出了一类 非线性分式规划问题 的充 给 分 最 优 性 条 件 和 对 偶 性 结 果。 ａａ 和 Ｙ ｄｖ Ｍｕ ｈｒ ｅ ， ｉ胡等分别 对分式 极小极 大 问题 ｋ ｅｊ ｃ Ｗｅ Ｅ ｅ ｒ
（ ｘ ） Ｖ ｘ ∈ Ｘ。 ， ｏ ， 。
（。 一 厂 ） （ ）／ ）故上式可变为 ） （ ） （ ，
２０ ０ ２年 ６月
Ｊｎ ０ ２ ｕ ．２ ０
一
类半无 限分式规划 问题 的最优性条 件及对偶 性
贾礼平 ，张庆 祥
非光滑准不变凸规划的最优性条件与对偶定理
Ｌ ｓｈｔ条 件 下 的若干 性质 ， 论 了一 类 目标 函数 和约 束 函数 均 为 Ｌｐｃｉ 准不 变 凸 函数 的数 学规 划 问题 取 ｉ ｃｉ ｐ ｚ 讨 ｉ ｈｚ ｓ ｔ 得 极值 的充分 条件 和 ＭｏｄＷｅ 型对 偶理 论 ． ｎ． ｉ ｒ
ＸＵ ｉｈ ｎ 一 ． Ｌ Ｕ ａ ． ａ ｇ Ｙ． ｏ ｇ Ｉ Ｓ ｎｙｎ
（ ．Ｓ ｈ ｏ ｆ ｃｅ ｃ ，Ｘｉｉｎ Ｕ ］ ． ｉａ ７１０ １ ｈｎ １ ｃ ｏ ｌ ｉｎ ｅ ｏＳ ｄａ ｎｖ ，Ｘ ｎ ０ ７ ，Ｃ ｉａ；
２ ｅ ｔ ｆ ａｉ ｉｎｅ ａ ｃ ａ ｇＵ ｉ ． ａ ｃ ａｇ ３ ０ ２ ．Ｄ ｐ ．ｏ ｓ Ｓ ｅｃ ，Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎｖ ，Ｎ ｎ ｈｎ ３０ ９，Ｃ ｉ ） Ｂ ｃｃ ｈｎ ａ
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２Ｏ ０ ２年 ｌ Ｏ月 第 ２ ９卷 第 ５期
西 安 电 子 科技 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｋ）瓜 ＮＡ ， ＯＦ Ｘ Ⅱ） Ｉ Ｉ Ｌ ． ９ Ｎｏ ５ Ｊ２ ．
性 函 数 在 局 部 Ｌｐ ｈ ｚ 件 下 的若 干性 质 ； 目标 函 数 和 不 等 式约 束 函 数 为 局 部 Ｌｐ ｈｔ Ｂ 准 不 变 凸 函 ｉ ｉ条 ｃ ｓ ｔ 当 ｉ ｉ ． ｃ ｓ ｚ 数 。 等 式约 束 函 数 为 局 部 Ｌｐ ｈ ｚ ． 线 性 函 数 时 ， 出 了相 应 的 优 化 问题 的 最 优 性 充 分 条 件 ， 立 了 而 ｉｓ ｉ 准 ｃ ｔＢ 给 建 局 部 Ｌｐｃ ｉ － 不 变 凸规 划 的 Ｍ ｎ ． ． 型 对 偶 定 理 ． ｉ ｈｔ Ｂ 准 ｓ ｚ ｏ ｄ Ｗｅ ｒ 关 键 词 ：准 不 变 凸 函数 ； ｉ ｃ ｉ Ｌｐ ｈｔ ｓ ｚ函数 ； 行 解 ； 优 解 可 最 中 图 分 类 号 ： １４ １ ； ２ ４ Ｏ ７ ．３ ０ ２ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ １ ４ Ｏ ２ ０ ） ５０ ９ ． ４ １０ ． Ｏ （０ ２ ０ ．６ ８０ ２
一类非光滑多目标规划问题的最优性条件
一类非光滑多目标规划问题的最优性条件周轩伟【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2016(031)001【总页数】10页(P63-72)【关键词】非光滑多目标规划; 广义Abadie约束规格; 广义Farkas引理; 最优性必要条件【作者】周轩伟【作者单位】浙江树人大学基础部浙江杭州310015【正文语种】中文【中图分类】O221.6考虑下列的非光滑多目标规划问题：（MPP）其中f =（f1，···，fp）: Rn→Rp，g =（g1，···，gm）: Rn→Rm. f和g是Rn上的可微多目标函数，ϕ=（ϕ1，···，ϕp）: Rn→Rp是Rn上有限值K-凸函数；K，K1分别是Rp，Rm中的尖闭凸锥且intK /=∅，intK1/=∅，C是Rn 中的凸子集.对问题（MPP），当ϕi（x）= s（x|Di）（i = 1，···，p），其中s（x|Di）是Rn 中的紧子集Di（i = 1，···，p）的支撑函数，C是Rn的开子集时，文［1-2］给出了问题（MPP）的最优性条件和对偶定理. 当ϕi（x）=（xTBx）1/2，其中B 是n×n对称半正定矩阵，f是Rn上的可微函数，C = Rn，p = 1时，文［3］首先提出了问题（MPP），并在满足一种较复杂的约束规格条件下，得到了该问题的最优性必要条件.然后，文［4］证明了Slater约束规格蕴含前文中的约束规格.后来，文［5］将文［3］的问题推广到分式规划.文［6-7］再将该问题推广到极小极大分式规划.在文［3］的约束规格下，文［6-7］给出了相应的最优性必要条件.在这些必要条件的基础上，上述论文也讨论了最优性充分条件或Wolfe型对偶.在问题（MPP）中，当K = Rp+，K = Rm+和C = Rn时，文［8］在问题（MPP）满足Kuhn-Tucker约束规格或Arrow-Hurwicz-Uzawa约束规格（［9］）时，得到了弱有效解的Kuhn-Tucker型必要条件.当C⊂Rn为一般凸集，p = 1时，文［10］引进了广义的Kuhn-Tucker约束规格和广义的Arrow-Hurwicz-Uzawa约束规格，得到了最优解的Kuhn-Tucker型必要条件.当C⊂Rn为一般凸集，p＞1时，文［11］在文［10］的约束规格下，得到了Pareto弱有效解的Kuhn-Tucker型必要条件.本文研究了非光滑多目标规划问题（MPP）.其目标函数为锥凸函数与可微函数之和，约束条件是锥约束.在满足广义Abadie约束规格下，利用广义Farkas引理和多目标函数标量化，给出了这一类多目标规划问题的锥弱有效解最优性必要条件.本文将文［10］和［11］的结果从Pareto弱有效解推广到锥弱有效解，并且将有限个不等式约束推广到锥约束.由于锥约束相当于无限个不等式约束，因此本文的结果是文［10］和［11］的结果在多目标规划中的本质推广.本文中的定理3.1和定理3.2是文［11］中定理3.1和定理3.2的推广.给出本文涉及的基本概念，定义和引理.定义2.1 设S是Rn中的非空子集，点x0∈clS.设点列｛xk｝⊂S，xk→x0（k→+∞），正数数列｛tk｝，tk→+∞（k→+∞）.若极限d =）存在，则称d是点x0处关于S的切向量.集合T（S，x0）=称为是S在x0处的切锥.定义2.2设K⊂Rn.若则称K为凸锥.若0∈K，则称K为尖锥.设，称K∗为K的对偶锥.设C是Rn的子集，affC表示C的仿射包，riC表示C的相对内部，其中U是Rn中的单位球.定义2.3设X =｛x∈Rn|g（x）∈-K1｝，g在x∗∈X∩C满足广义Abadie约束条件，若其中定义2.4 设K⊂Rn是具有非空内部的尖凸锥，x0∈Rn.若x∄D，使得则称x0为多目标规划（MPP）的K-弱有效解，其中D =｛x∈C|g（x）∈-K1｝. 定义2.5设K⊂Rn是具有非空内部的闭凸锥，若∀x1，x2∈Rn，以及λ∈［0，1］均有则称f（x）为K-凸函数.设h :是凸函数，其共轭函数定义为其中domh =｛x|h（x）＜+∞｝.集合epih=称为h的上图象.引理2.1［3］设C是Rn的凸子集，假若riC /=∅，（affC）\（riC）/=∅，则对于任意的x∗∈（clC）\（riC），有在满足广义Abadie约束条件下，给出多目标规划问题（MPP）的锥弱有效解最优性必要条件. 记引理3.1 若x∗是（MPP）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，并且对任意的x，y∈Rn有‖ϕ（x）-ϕ（y）‖≤L‖x - y‖（L＞0）.如果Z（x∗）∩riC /=∅，则广义不等式组在riC内无解.证假设存在¯x∈riC满足（1），则¯x∈Z（x∗）即¯x∈Z（x∗）∩riC.因为g在x∗处满足广义Abadie约束条件，由其定义有所以存在xk⊂X∩（affC）和｛tk｝⊂R+，tk→+∞（k→+∞）使得下面分两种情况证明:存在k1，当k≥k1时，xk∈riC.当x∗∈riC时.由ri（riC）= riC，aff（riC）= affC，知所以存在¯ε＞0使得（x∗+¯εU）∩（affC）⊂riC.因为xk→x∗，于是知存在k1，当k≥k1时有xk∈x∗+¯εU，从而xk∈riC.当x∗∈C\riC⊂clC\riC时，假设结论不成立，即不存在k1，当k≥k1时，xk∈riC，则存在序列｛ki｝，ki→+∞（i→+∞）使得xki∈affC\riC，则由（2）式，有tki （xki-x∗）→¯x - x∗（i→+∞），从而¯x - x∗∈T（（affC）\（riC），x∗）.由引理2.1，对于x∗∈clC\riC有又因为¯x - x∗∈T（（affC）\（riC），x∗），所以¯x - x∗/∈（riC -｛x∗｝），即¯x /∈riC，矛盾.所以由上述证明可知，存在k1，当k≥k1时，xk∈riC.由于¯x满足（1）式，可知¯x /= x∗.由（2）式知，存在k2使得k≥k2，tk≥1.由于ϕ（x）是Rn上的K-凸函数，所以∀u∈［0，1］有从而有因为tk≥1（k≥k2）有有令因为对任意的x，y∈Rn有所以又由得由上式和（3）式知，当k≥k2时有又¯x满足广义不等式组（1）有▽f（x∗）T（¯x - x∗）+ϕ（¯x）-ϕ（x∗）∈-intK.于是存在k3使得当k≥k3时，有由（4）式，（5）式得因为εk→0（k→+∞），故存在k4，当k≥k4时有，取¯k = max｛k1，k2，k3，k4｝，则当k≥¯k时，有即因为xk∈X∩C（k≥¯k），所以（6）式与x∗是（MMP）的K-弱有效解矛盾，从而广义不等式组（1）在riC内无解.引理3.2 设D⊂Rn为凸集，K⊂Rp为凸锥，且intK /=∅，f（x）∈Rp为K-凸函数.若广义不等式组无解，则存在λ∈K∗\｛0｝，使得∀x∈D，有先证明Y为凸集.设则存在x1∈D，x2∈D，有由于K为凸集，故intK为凸集，因此现在因为f（x）为K-凸函数，以及intK为凸锥，故由µ1+ f（x1）∈-intK，µ2+ f（x2）∈-intK，不妨设α＞0，1 -α＞0，故从而有因此由于D为凸集，故因此故Y为凸集.下面用凸集分离定理证明本引理的结论.因为无解，故0 /∈Y .因为Y为凸集，由凸集分离定理，存在λ∈Rp\｛0｝，使得∀µ∈Y，有证记由于∀¯µ∈-intK，∀α＞0和∀x∈D有故因此，∀α＞0有即∀α＞0有因此必有即故在（7）式中令α→0，得知∀x∈D，有引理3.3 （广义Farkas引理）设C是Rn的凸子集，F : C→R是在C上的凸函数.同时假设分别为给定的向量和标量.设A =（a1，···，ap），b =（b1，···，bp）T，K⊂Rp为闭凸锥，若S∩riC /=∅以及∪λ∈K∗epi（λTG）∗是Rp×R中的闭集，其中并且F（x）≥0，∀x∈S∩C.则存在µ∈K∗，使得证考虑Rn×R的凸子集A1和A2，定义如下：利用假设条件∀x∈S∩C都有F（x）≥0，可知A1和A2不相交，而A1是凸集且ri（A1）/=∅，A2是一个闭凸集.因此，根据文［12］的命题3.5.1，存在向量（ξ，β）∈｛Rn×R｝\｛0｝，使得根据A1的定义，可知β≥0，否则（8）式的右边就可以减少到负无穷.现在证明β＞0.采用反证法，假设β= 0.令¯x∈S∩riC，令¯w满足（¯x，¯w）∈A1，由（8）可得从而线性函数ξTy在A1上的最小值可以在点（¯x，¯w）取得，且由于¯x∈riC，故点（¯x，¯w）是A1的一个相对内点.因此，根据文［13］的命题B.19（a），ξTy在A1上是常数，但这与（9）式矛盾，这一矛盾是由β= 0的假设引起的.因此，必有β＞0，且通过将（ξ，β）归一化，可以假设β= 1 .利用S的定义及（8）式，得到由于S非空，上式左边的线性规划问题具有有限的最优值，故该问题具有最优解x∗.因为是Rp×R中的闭集，由文［14］的推论3.1可知，存在λ∈K∗使得即由上式可得因此，因为λ∈K∗，Ax∗- b∈-K，所以结合（11）式和（12）式，得到由（11）式和（13）式得由（10）式，（11）式和（14）式得，或等价地这就证明了所需要的结论.定理3.1 若x∗是（MPP）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，并且对任意的如果中的闭集，其中，那么存在λ∈使得证由引理3.1，知在riC内无解.显然Z（x∗）∩riC是非空凸集，由引理3.2，知存在λ∈K∗\｛0｝，使得在riC内无解.由引理3.3，知存在µ∈K∗1，使得因为riC /=∅且C为凸集，所以在（17）式中，令x = x∗，则有µTg（x∗）≥0.又因为从而有所以，µTg（x∗）= 0，于是（16）式成立，代入（17）式，有即从而（15）成立.定理得证.考虑下列的问题：（MPP1）其中f和g是Rn上上的可微多目标函数，ϕ（x）=（ϕ1，···，ϕp）: Rn→Rp是Rn上有限值K-凸函数，h =（h1，···，hr）: Rn→Rr是Rn上有限值K2-凸函数；K，K1，K2分别是Rp，Rm，Rr的尖闭凸锥且intK /=∅，intK1/=∅，intK2/=∅.定理3.2 若x∗是（MPP1）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，h是Rn上有限值K2-凸函数，并且对任意的x，y∈Rn有如果Z（x∗）∩｛x∈Rn|h（x）∈-intK2｝/=∅，∪λ∈K∗epi（λT¯G）∗是Rp×R 中的闭集，其中那么存在使得证设由条件知｛x∈Rn|h（x）∈-intK2｝/=∅.又有K2是Rp的尖闭凸锥且intK2/=∅，容易证明并且条件）等价于存在v∈K∗2使得= 0.所以，由定理3.1知，存在使得注3.1在定理3.1和定理3.2中用到的条件中的闭集”，是广义Farkas引理成立的正则性条件，有时称为“闭锥条件”，该条件在文［14-19］均有详细讨论.在无限维空间中，该条件为“是弱*闭的”.特别地，在有限维空间中，当¯G是Rn→ Rp的线性映射显然是闭集.因此，在有限个不等式约束条件中，“闭锥条件”自然成立.注3.2在定理3.1中用到的条件“Z（x∗）∩riC /=∅”，即不等式在riC中有解.因为C是凸集，所以riC /=∅.例如:设则显然Z（x∗）∩riC = C /=∅.文［10］和文［11］都用到了条件“Z（x∗）∩riC /=∅”，文［13］在第507-510页上详细讨论该条件的必要性.MR Subject Classification: 90C32【相关文献】［1］Yang Xinmin，Yang Xiaoqi，Teo K L. 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K-T necessary conditions for a class of nonsmooth multiobjective programming［J］. OR Transactions，2003，7: 62-68.［9］Mangsarian O L. Nonlinear Programming［M］. New York: McGraw-Hill Book Company，1969.［10］Xu Zengkun. Constraint qualifications in a class of nondifferentiable mathematical programming problems［J］. J Math Anal Appl，2005，302: 282-290.［11］Wu Huixian and Luo Hezhi. Necessary optimality conditions for a class ofnonsmooth vector optimization problems［J］. Acta Math Appl Sinica（English Series），2009，25（1）: 87-94.［12］Bertsekas D P，Nedi´c A，Ozdaglar A E. Convex Analysis and Optimization［M］. Belmont，MA：Athena Scientific，2003.［13］Bertsekas D P. Nonlinear Programming，2nd Ed.［M］. Belmont，MA：Athena Scientific，2004.［14］Jeyakumar V，Lee G M. Complete characterizations of stable Farkas'lemma and coneconvex programming duality［J］. Math Prog，Ser A，2008，114: 335-347.［15］Bot R I，Wanka G. An alternative formulation for a new closed cone constraint qualification［J］. 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具有广义B-凸函数的非光滑多目标规划的鞍点理论
Ｈ ０ ） ６ ， ［ ） Ｖ ∈ （ ）＜（ ） （一 （ ］ ｘ Ｘ・ ＋ ） ，
（ ３ ）
定义 ２ 设 ． ５
Ｒ 是一局部连通集， Ｘ Ｒ称为在 ∈ 处是连通 ＿ ” ｆ： 伪凸的， 如果存在一函数
ｂ： × Ｘ Ｘ Ｒ ， 满足
，
Ｈ
ｘ
（） ０ ６， ）ｂ ，） ， Ｖ∈ ・ ｏ ） （ （ （ ） ｘ Ｘ ＋ ｘ （ ）
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第 ３ 卷第 ５ ３ 期
Ｊｒ ｌ ｉｅｒｓ ｔ ｏ ｔｏ ｉ ｅ ｔ ｒ ｌ ｉ ｎ ｅＥｄ ｔ ｎ ｔ ｓＮ ・ Ｓ ｉｏ ｉ ｏｕ ｎａ ｏｆＳｏｕ ｈ ｅ ｔＵｎ ｖ ｉｙｆ ｒＮ ａｉ ｎａｌ ｉ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｔｗ ｓ
这类函数的多 目标规划的最优 ｌ条件． 生 本文借助已提出的一类广义 Ｂ一 凸函数， 得到了非光滑多 目 标规划的一些鞍点结论．
２ 定 义
定 义 ２１Ｊ 设 ． Ｒ 称 为是局 部连 通集 （ Ｃ ） 如果对 于每对 点 Ｘ ， ， Ｌ ， Ｘ∈ 都存 在一 个最 大正数
一
凸函数， 并且给出了关于这些函数 的可微规划的最优性条件和对偶性结论． 张晨科和王行愚在文献 ［ 中将 ３ ］
可微的 一 凸函数推广到了局部 Ｌｐｃｉ ｉ ｈｔ ｓ ｚ函数，同时在 Ｃａ ｅ广义梯度的基础上， 了一类广义的 一 ｌｋ ｒ 定义 凸函数，
并得到了一类非光滑规划的最优性条件和对偶性理论． 作者在文献［ 中定义了一类连通 凸函数， ４ ］ 并讨论了
收稿 日期 ：２ ０ ．５２ ０ ７０ ．４ 作者简介 ：常健（９ ５） 女 ，陕西榆林人，延安大学讲师 １７一， 基金项 目：陕西省教育厅专项科研 基金（６Ｋ１ ２ ０Ｊ ５）
B-（p，r,a）凸函数的Wolfe型对偶条件
B-（p，r,a）凸函数的Wolfe型对偶条件苗红梅【摘要】将凸函数进行推广并研究相应的凸规划问题，利用非光滑分析，定义一类新的广义不变凸函数，研究涉及此类函数的多目标半无限规划的 Wolfe 型对偶问题，得到了弱对偶和严格逆对偶条件，在新的凸性下得到一些重要结论。
%The convex functions is generalized to research the corresponding convex program-ming problems,by the non-smooth analysis,a class of new generalized invex functions were defined,Wolfe duality problem of multiobj ective semi-infinite programming involving the de-fined function was researched,weak dual conditions and strictly converse dual conditions were obtained,some important conclusions were obtained under the new convexity.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2016(029)003【总页数】5页(P356-359,365)【关键词】广义不变凸函数;多目标;Wolfe对偶;非光滑【作者】苗红梅【作者单位】延安大学物理与电子信息学院，陕西延安 716000【正文语种】中文【中图分类】O221.2对偶问题是凸规划中的一项重要内容.对偶问题分为很多种,常见的是Mond-Weir 型对偶和Wolfe型对偶问题.很多学者[1-6]利用B-(p,r)凸函数研究了相应规划问题,在B-(p,r)凸函数的基础上,学者们定义了很多广义凸函数,并用来研究相应的多目标规划问题、极大极小分式规划问题、非光滑规划问题的对偶问题[7-12],获得了大量重要的结果.Wolfe型对偶与Mond-Weir型对偶不同,它综合考虑了原规划的目标函数和约束函数,当前对Wolfe型对偶问题的研究相对较少,文献[13-17]利用各种广义凸函数研究了Wolfe型对偶问题,得到许多重要结果.本文定义了一类新的广义凸函数:B-(p,r,a)不变凸函数、B-(p,r,a)不变拟凸函数、B-(p,r,a)不变伪凸函数.在已有Mond-Weir型对偶问题的基础上,研究涉及此类函数的多目标半无限规划的Wolfe型对偶问题,在新的凸性下,得到了一些重要结果.称实值函数f:Rn→R是局部Lipschitz的,若∀x∈Rn,存在一个正数k和x的邻域N(x),∀y,z∈N(x),若函数f为局部Lipschitz的,那么函数f:X→R在点x沿方向d的Clarke广义方向导数和Clarke广义梯度分别定义为定义1 设非空开集X⊂Rn,f:X→R是X上的局部Lipschitz函数,p,r是任意非零实数,u∈X,若∀x∈X,存在向量函数η:X×X→Rn,函数b:X×X→R+(R+是非负实数),a:X×X→R,使得对∀ξ∈∂f(u),有成立,则称f在u点为关于函数η的B-(p,r,a)不变凸函数.定义2 设非空开集X⊂Rn,f:X→R是X上的局部Lipschitz函数,p,r是任意非零实数,u∈X,若∀x∈X,存在向量函数η:X×X→Rn,函数b:X×X→R+(R+是非负实数),a:X×X→R,使得对∀ξ∈∂f(u),有成立,则称f在u点为关于函数η的B-(p,r,a)不变拟凸函数.定义3 设非空开集X⊂Rn,f:X→R是X上的局部Lipschitz函数,p,r是任意非零实数,u∈X,若∀x∈X,存在向量函数η:X×X→Rn,函数b:X×X→R+(R+是非负实数),a:X×X→R,使得对∀ξ∈∂f(u)，有成立,则称f在u点为关于函数η的B-(p,r,a)不变伪凸函数.这里, I=(1,1,…,1)∈Rn, e(a1,a2,…,an)=(ea1,ea2,…,ean).在上述定义中,若a(x,u)=0,则定义1即为文献[3]所定义的函数;若a(x,u)>0,则定义1中B-(p,r,a)不变凸函数也是文献[3]所定义B-(p,r)的函数;若a(x,u)<0,定义1中B-(p,r,a)不变凸函数则不是文献[3]所定义B-(p,r)的函数.定义2和定义3是对定义1的推广.考虑下列多目标半无限规划问题这里fi(i=1,…,p)为局部Lipschitz的实值函数,Y为无限可数参数集.记(VP)的可行集X={x|g(x,u)≤0,x∈X0⊆Rn,u∈Y⊂Rn},Δ={j|g(x,uj)≤0,uj∈Y⊂Rn}是可数指标集,假定以下关于g(x,u)的广义积分都是绝对收敛的.(VP)的Wolfe对偶规划定义为定理1(弱对偶) 令(1) x,(y,λ,v)分别是(VP)和(VD)的可行解;在y处为关于函数η的B-(p,r,a)不变凸函数,a(x,y)证明由式(1)可知,∃ξi∈∂fi(y),μj∈∂g(y,uj),有由式(3)和a(x,y)>0,可得又在y处为关于函数η的B-(p,r,a)不变凸函数,故因此可得再利用x是(VP)的可行解,可得g(x,uj)≤0,vj≥0,j∈Δ,故有即不成立.定理2(弱对偶) 令(1) x,(y,λ,v)分别是(VP)和(VD)的可行解;在y处为关于函数η的B-(p,r,a)不变伪凸函数,a(x,y)>0.证明类似于定理1的证明.定理3(强对偶) 设是(VP)的有效解,假设满足一广义约束条件[18],(y,λ,v)是(VD)的可行解,且在这些点处 (VP)和(VD)的最优值相等．若定理1的弱对偶条件成立,则j)是(VD)的有效解.证明类似于文献[19]定理3的证明.定理4(严格逆对偶) 令(1) x0,(y,λ,v)分别是(VP)和(VD)的可行解;在y处为关于函数η的B-(p,r,a)不变拟凸函数,且(3) 对于(VP)和(VD)的任意可行解.则x0,(y,λ,v)分别是(VP)和(VD)的有效解.证明假设x0不是(VP)的有效解,则存在(VP)的另一可行解,对于(VD)可行解中λ,有考虑为(VP)的可行解,则有又,故有又在y处为关于函数η的B-(p,r,a)不变拟凸函数,故可得而由定理1中式(3)和假设(3)可得矛盾.故x0,(y,λ,v)分别是(VP)和(VD)的有效解.E-mail:*****************MIAO Hongmei.Wolfe dual conditoins of B-(p,r,a) convex functions[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(3):356-359.【相关文献】[1] ANTCAZK T.A class of B-(p,r) invex functions and mathematical programming[J].J Math Anal Appl，2003，286(1):187-206.[2] ZHANG Y，ZHU B，XU Y T.A class of Lipschitz B-(p,r)-invex functions and nonsmooth programming[J].OR Transactions，2009,13(1):61-71.[3] GULATI T R,AGARWAL Divya.Optimality and duality in nondifferentiable multiobjectivemathematical programming involving higher order (F,α,ρ,d)-type I functions[J].Journal of Applied Mathematics and Computing，2008,27(1):345-364.[4] ANTCZAK Tadeusz.Generalized fractional minimax programming with B-(p,r)-invexity[J].Computer and Mathematics with Applications，2008，56:1505-1525.[5] LIANG Zhian，ZHANG Zhenhua.The efficiency conditions and duality for uniform invex multiobjective program[J].OR Transactions，2009,13(1):44-50.[6] ANTCZAK Tadeudz,SINGH Vinay.Optimality and duality for minimax fractional programming with support function under B-(p,r)-type I assumptions[J].Mathematical and Computer Modeling，2013，57:1083-1100.[7] HAMEL Andreas H,LOHNE grange duality in set optimization[J].Journal of Optimization Theory and Application，2012,161(2):368-397.[8] MISHRA S K,LAI K K,SINGH Vinay.Optimality and duality for minimax fractional programming with support function under (c,α,ρ,d)-convexity[J].Journal of Computional and Applied Mathematics，2015,274:1-10.[9] GUPTA Pekha,SRIVASTAVA M.Optimality and duality for nonsmooth multiobjective programming using G-type I functions[J].Applied Mathematics and Compution，2014,240:294-307.[10] 李向有,张庆祥.广义I型函数的对偶性条件[J].贵州大学学报:自然科学版，2014,31(2):10-12. LI Xiangyou，ZHANG Qingxiang.Dual conditions of generalized I type functions[J].Journal of Guizhou University：Natural Sciences,2014,31(2):22-24.[11] JAYSWAL Anurg,PRASAD Ashish Kumar.On minimax fractional programming problems involving generalized (Hp,r) invex functions[J].Journal of Industrial and Management of Optimization，2014,10(4):1001-1018.[12] 袁泉.关于一个数论对偶函数[J].西安工程大学学报，2013，27(2)：253-256.YUAN Quan.On the orithmetical dual function[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2013,27(2)：253-256.[13] JAYSWAL Anurg,KUMAR Rajnish,KUMAR Dilip.Minimax fractional programming problems involving nonsmooth genera lized α uninvex functions[J].Journal of Optimization and Control:Theories and Application，2013,3(1):7-22.[14] JAYSWAL Anurg.On nonsmooth multiobjective fractional programming problems involving (p,r)-ρ-(η,θ) invex functions[J].Yugoslav Journal of Operatio ns Research，2013,23:367-386.[15] CHUONG Thai Doan,KIM Do Sang.Nonsmooth semi-infinite multiobjective optimization problems[J].Journal of Optimization Theory and Application，2014,160(3):748-762.[16] 江维琼.半预不变凸多目标规划的最优性条件及Wolfe型对偶定理[J].华东师范大学学报:自然科学版，2006(3):32-36.JIANG Weiqiong.Optimization conditions and Wolfe type duality theory of semi-preinvex multiobjective programming[J].Journal of East China Normal University:Natural Science，2006(3):32-36.[17] KIM Do Sang,SCHAIBLE Siegfried.Optimality and duality for invex nonsmooth multiobjective programming problems[J].Optimization，2004,53(2):165-176.[18] MAEDA T.Constraint qualification in multiobjective optimization problems differentiable case[J].Journal of Optimization Theory and Application，1994,80:483-500.[19] EGUDO R.Efficiency and generalized convex duality for multiobjectiveprogram[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications,1989,138(1):84-94.。
一类广义规划问题的反问题
一类广义规划问题的反问题
张玉凤;许成;段伟伟;王勤波
【期刊名称】《青岛大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(022)001
【摘要】在一般线性规划反问题的基础上,考虑广义规划问题的反问题.利用线性规划的最优性条件,给出了(GUB)问题在l1模意义下的反问题的数学模型及求解方法.并且我们给出了把(GUB)问题的反问题转化为它的对偶问题求解的一种方法,若在给定(GUB)问题的一个0～1可行解,并且(GUB)问题的一个最优解的所有分量是在0与1之间的条件下.
【总页数】4页(P22-25)
【作者】张玉凤;许成;段伟伟;王勤波
【作者单位】青岛大学数学科学学院,山东,青岛,266071;青岛大学数学科学学院,山东,青岛,266071;青岛大学数学科学学院,山东,青岛,266071;青岛大学数学科学学院,山东,青岛,266071
【正文语种】中文
【中图分类】O221
【相关文献】
1.关于一类广义凸规划问题的讨论 [J], 刘艳芳
2.(F,α,ρ,d)-凸和广义(F,α,ρ,d)-凸条件下一类多目标规划问题的对偶 [J], 张晓敏;吴泽忠
3.一类广义凸函数非光滑规划问题的混合对偶 [J], 王晓佳
4.一类广义B-(E,F)-凸规划问题及最优性条件 [J], 包福利;佟禺明;王鹏
5.均衡约束数学规划问题的一类广义Mond-Weir型对偶理论 [J], 高雷阜;闫婷婷因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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广 义 凸性 研 究 是 数 学 规划 中 的重 要 方 向之 一 ． 其 在数 学 乃 至 其他 交 叉学 科 中都 扮演 着 重 要 角 色 。
近年 来 ． 于非 光滑 规划 的对偶 问题 。 关 逐渐 成 为 国内 外 专 家 的研 究 热点 ， 因此 ， 广义 凸性 应用 到非 光 滑 将 分 析 中具有 十 分重要 的意义 。 文 献 『 先 提 出 了不 变 凸 函数 的一 类 推 广形 １首 １
论 的完 善和 推广 。
式— — 不 变 凸 函数 ． 讨 论 了该类 函数 的数 学规 一 并 划 问题 。 此后 ， 文献 ［ ］ ２ 引入 了可微 条 件下 的 一 变 不 凸 函数 的概 念 ． 讨论 其 非 线 性 规划 问题 的最优 性 并
条 件 和对 偶 性 。Ａ ｔ ａ ｎｃ ｋ在 ２ ０ 年 提 出了 （，） 不 ｚ ０１ Ｐｒ一
然 ， 任意 的方 向 ｄ有 ｄ１ 对 ） ≤Ｋ。 定义 ３１ 如果 满 足 ： １］ ４
立 了 弱对 偶 定 理 、强 对 偶 定 理 和严 格 逆 对偶 定 理 。
文 献 ［ ］ 出 了满 足 Ｌｐｃ ｉ 一ｐｒ 不 变 凸性 非 ７给 ｉｓｈｔ Ｂ （， 一 ｚ ）
（） １ ／在 Ｙ处是 弱 的 ； （ ） ＝ｌ ２Ａ ∈Ｒ Ｉ “
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ １０ ２ ９ ； 庆 市 教 委科 研 项 目（ Ｊ０ ６ ８ １０ １８ ） 重 Ｋ １０ ０ ）
作 者 简 介 ： 晓佳 （９ ７ ， ， 庆 人 ，重庆 师 范 大学 在 读 硕 士 研 究 生 ， 究 方 向 为运 筹 学 与控 制 论 。 王 １ ８ 一）女 重 研
１ 预 备 知 识
定 义 １１ 设 Ｙ∈ ， 存 在 点 Ｙ的 邻 域 ∽ ［ 】 Ｒ“若
及 常 数 Ｋ＞ ， 得 对 任 意 ∈ Ｏ使 ∽ ， 有 ） ） ． Ｉ ＝ ≤ Ｉ ｌ ｌ，则 称 ，在 点 ｙ处是 弱 Ｌｐｃｉ 的 ，简称 Ｉ ｉｓｈ ｚ ｔ
在 Ｙ处弱 。
是 Ｌｐ ｃ ｉ ｉｓｈｔ ，称 －在 点 ∈ 关 于 和 ｂ是 （ ｚ的 厂 Ｘ 严
≠ 口：
光 滑规 划 问题 下 的最优 性 条件 及对 偶定 理 。 文献 ［ ］ ９
考 虑 了非 光 滑 Ｂ ，一 变 凸 性 的带 等 式 和不 等 式 一 ｒ不 １ 约 束 规划 问题 的 一类 混 合 模 型 的弱 对 偶 定 理 、 对 强
内ｙｃ， （ ｆＶｄ∈Ｒ ， ＝ ，） １ Ｉ １｝ ｌ １ ｄ
；
（ ） ， ∈ 使得 ［，］ ３ Ｖｄ Ａ， ｄ
偶 定 理 、 对 偶 定 理 、 格 对 偶 定 理 和 限 制 对 偶 定 逆 严 理 。文 献 『 Ｏ 研究 了具 等式 和 不等 式约 束 的非光 滑 ｌ］ Ｂ一ｐｒ 不 变 凸规 划 问题 的 混 和对 偶 模 型等 相 关 对 （ ） ，一
偶 问题
则 称 ，在 ，处 为正 则弱 Ｌ ， ＾ 厂 ）处 为 正则 弱 Ｌ， １ 在 ， ￣ ｆ在 Ｙ的 ｌ ］ 定 义 ４ 若 ］ Ｅ ４
．
广义 次梯 度定 义为 ：
ａ ｏ
＝ｇｅ ［，］ （ ， Ｉ Ｒ ｌ ｄ ≤ ＶｄｅＲ ）
收 稿 日期 ：０ ２ ０ — ４ ２ １－ ３ １
受 文献 ［０ 启发 ， １］ 本文 将其 条件 减弱 ， 考虑 目标
函数 和约 束 函数 是 正则 弱 Ｌｐ ｃ ｉ 的 曰 ，一 变 ｉｓｈｔ ｚ 一 ｒ不 ）
凸非 光 滑 规 划 问 题 ． 用 Ｃａｋ 利 ｌｒｅ次 微 分 ． 论 此 类 讨
规 划 问题 的混合 型对偶 的弱对偶 定 理 ．强 对偶 定理 和逆对 偶定 理 。本文研 究 结果是 对 文献 ［ Ｏ 相关 结 １］
模 型 的弱 对 偶 定 理 、 对 偶 定 理 和 逆 对偶 定理 。 强
关 键 词 ： 函 数 ； 光 滑 规 划 ； 和对 偶 凸 非 混 中图 分 类 号 ： ２ １ ０ ２． ２ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３ １ ８ （ ０ ２ ０ — １ ７ ０ １７ — ９ ０ ２ １ ）４ ０ ５ － ３
・
１ ７・ ５
王 晓 佳 ： 类 广 义 凸 函数 非 光 滑 规 划 问题 的 混 合 对 偶 一
定义 ５ 设 Ｐ 和 ｒ是 给 定 的 实 数
ｅ 又 Ａｅ １ 从而 ， ）Ａ ） ， Ｔ－ ， Ａ ＜
由条 件得 ： ∈Ｄ， ∈
，
＋ （ ｙ ）
，
（ ４）
其 后 。 献 ［］ 文 ６ 讨论 了 Ｂ （，一 一ｐｒ 不变 凸性 条 件 下 ） 数 学规 划 问题 的最优 性 条件 及 Ｗｏ ｅ型对 偶 ，并 建 ｌ ｆ
定义 ２ ｔ 在 Ｙ １ ４ ｆ 是弱 的 在 Ｙ ｄ的广义方 沿 向导数为尸 回： ｌ ‘ｕ 型 ＝ ，Ｉ ＝ 。显 ｌＩ ０ ｐ ｉ‘ｓ ｌ ｌ ｆ１ Ｉ ｄ
变 凸 函数 的概念 】 ０ ３年 ， ｎｃａ 。２ ０ Ａ ｔｚｋ在 文献 ［ ］ ５ 中
进 一 步 给 出 可 微 条 件 下 的 Ｂ—ｐｒ 不 变 凸 函数 概 ｃ， 一 ）
念． 并构 建 了此 类 函数 优化 问题 的最 优性 条件 、 点 鞍 及 对偶 问题 的 相关定 理 。
第 １ 报 （ 自然科 学 版 ）
２１ ０ ２年 ８月
一
类 广 义 凸函数 非光 滑规 划 问题 的 混合 对 偶
王 晓 佳
（ 重庆 师 范大 学 ，重庆 ４ １３ ） ０ ３ １
摘
要 ： 目标 函数 和约 束 函 数是 正 则 弱 Ｌｐｃ ｉ 在 ｉｓｈｔ 情 况 下 ， 建 一 类 多 目标 规 划 问 题 的 混 合 对 偶 模 型 ， 得 到 该 ｚ的 构 并