方阵问题基本公式

（1）N排N列的实心方阵人数为N2人；
（2）M排N列的实心长方阵人数为M×N人；
（3）N排N列的方阵，最外层有4N-4人；
（4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人；
（5）空心正M边形阵，若每边有N个人，则共有MN-M个人；
（6）方阵中：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2。

方阵问题两大常见思维方法：
（1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；
（2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。

【例1】（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）
A. 256人
B. 250人
C. 225人
D. 196人
［答案］A
［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（60÷4＋1）2＝256（人）。

【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。

A. 600人
B. 615人
C. 625人
D. 640人强华教育公务员考试辅导
［答案］C
［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（96÷4＋1）2＝625（人）。

［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。

【例3】（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）
A．441 B. 400 C. 361 D. 386
［答案］A
［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（80÷4＋1）2＝441（人）。

【例4】（国家2005一类-44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。

如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？（）
A. 1元
B. 2元
C. 3元
D. 4元
［答案］C
［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组：
N=4x－4
N=3y-3N=60
y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。

［注释］这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。

［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。

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【例5】（北京社招2006-16）用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米？（）
A. 6
B. 6.5
C. 7
D. 7.5
［解析］重叠点思维：假设每张纸条有x厘米长，总长度应该是10x，但一共有9个接口，每个接口处都重叠1厘米，因此重复计算了9厘米，据此可得：10x-9=61x=7。

【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。

A. 576
B. 625
C. 676
D. 2401
［答案］B
［解析］重叠点思维：假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。

共有252=625人。

【例7】（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?（）
A. 128棵
B. 132棵
C. 153棵
D. 157棵
［答案］C
［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1。

边长为48米，每横行相距3米，共有48÷3+1=17行；边长为48米，每横行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可种树苗153棵。

【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。

则原长方形阵共有（）人。

A. 196
B. 225
C. 256
D. 289
［答案］B
［解析］设该正方形阵每边x人，则原长方形阵为（x-6）行，（x+10）列。

x2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，选择B。

【例9】奥运会前夕，在广场中心周围用2008盆花围成了一个两层的空心方阵。

则外层有（）盆花。

A. 251
B. 253
C. 1000
D. 1008
［答案］D
［解一］设外层有m盆，内层有n盆，根据公式：m-n=8。

则：
m-n=8
m+n=2008m=1008
n=1000
［解二］设该方阵外层每边x盆，根据“逆向法思维”：x2-（x-4）2=2008x=253，外层每边有253盆，根据公式：外层共有253×4-4=1008。

【例10】（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。

A. 296人
B. 308人
C. 324人
D. 348人
［答案］B
［解一］最外层68人，中间一层44人，则最内层为44×2－68＝20人（成等差数列）。

因此一共有：68-208＋1＝7（层），总人数为44×7＝308。

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［解二］中间一层共44人，总人数是＝44×层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。

【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，
则该方阵共有（）人。

A. 120
B. 144
C. 176
D. 194
［答案］B
［解一］设最外层每边x人，最内层每边y人，根据公式：
4x-4=48
4y-4=24x=13
y=7
因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人，根据“逆向法思维”：共有132-52=144人。

［解二］总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是36的倍数，直接锁定B。

［解三］根据公式：相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可。

【例12】有若干人，排成一个空心的四层方阵。

现在调整阵形，把最外边一层每边人数减少16人，层数由原来的四层变成八层，则共有（）人。

A. 160
B. 1296
C. 640
D. 1936
［答案］C
［解析］设调整前最外层每边x人，调整后每边y人，根据“逆向法思维”：
x-y=16
x2-（x-8）2=y2-（y-16）2x=44
y=28
因此：442-（44-8）2=640（人）。

过河问题基本知识点
1.M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1N-1次（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n）；
2.“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程；
3.载人过河的时候，最后一次不再需要返回。

【例1】（广东2005上-10）有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）
A. 7次
B. 8次
C. 9次
D. 10次
［答案］C
［解析］根据公式：37-15-1＝364＝9次。

【例2】（北京应届2006-24）49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。

全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（）
A. 54
B. 48
C. 45
D. 39
［答案］C
［解析］根据公式：全部渡过需要49-17-1＝486＝8次，前七次渡河需要往返各一次；第八次渡河则只需过河一次，所以八次渡河共需过十五次河（即15个单程），每次过河需要3分钟，所以共需要45分钟。

【例3】有42个人需要渡河，现仅有一只小船，每次只能载6人，但需要3个人划船。

请问一共需要几次才能渡完？（）
A. 10次
B. 11次
C. 12次
D. 13次
［答案］D
［解析］根据公式：42-36-3＝39３＝13次。

【例4】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。

每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
［答案］A
［解析］除最后一天外，青蛙每天白天跳上4米，而晚上又滑下3米，一昼夜来回共上升1米，所以第六天到了“第6米”的地方，第七天的时候，再向上跳四米，那么白天就可以跳出井外，所以答案应该选择A。

［注释］本题相当于一个“过河问题”，一共10个人，船上能承载4个人，但需要3个人划船，所以共需要10-34-3=7天。

【题5】有一只青蛙掉入一口深20米的井中。

每天白天这只青蛙跳上5米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
［答案］C
［解析］看作“过河问题”，20-35-3=8.5，所以需要9天。

【例6】（国家2007-54）32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（）人还在等待渡河。

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A. 15
B. 17
C. 19
D. 22
［答案］C
［解析］由于9时开始渡河，往返一次需5分钟，9点、9点5分、9点10分、9点15分，船各运一批人过河，所以一共运了4次（其中第4次还在路上）。

因此，共有“4×（4-1）+1=13人”已经离开了出发点，因此至少有32-13＝19人等待渡河。

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