2020-2021学年河南省三门峡市朔城区第一中学高三数学理联考试题含解析

2020-2021学年河南省三门峡市朔城区第一中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )
A． B．
C． D．
参考答案：
A
2. 已知双曲线的两个焦点分别为、，则满足△的周长为的动点
的轨迹方程为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
3. O为原点，F为y2=4x的焦点，A为抛物线上一点，若?=﹣4，则A点坐标为( )A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2）D．（2，2）
参考答案：
B
【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出F的坐标，设出A的坐标，利用向量的数量积求解即可．
【解答】解：y2=4x的焦点F（1，0），设A（，b），
∵?=﹣4，∴（，b）?（1﹣，﹣b）=﹣4，解得b=±2．
A点坐标为：（1，±2）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
4. 在中，，，，则 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
B【知识点】向量数量积的运算;余弦定理F3 C8
解析：，又由余弦定理知．故选B．
【思路点拨】先利用向量数量积得到cosA,再由余弦定理可得结果。

5. 已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
【考点】圆锥曲线的综合．
【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，
∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，
∴=4，即b=4，
∵c=5，∴a=3，
∴双曲线方程为：=1．
故选：D．
6. 某程序框图如图所示，该程序运行输出的的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
A 略
7. 在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
参考答案：
D
8. 复数z1＝a+bi(a、b?R，i为虚数单位)，z2＝–b+i，且|z1|<|z2|，则a的取值范围是( ▲ )．
(A)a＞1 (B)a＞0 (C)–l＜a＜1 (D)a＜–1或a＞1参考答案：
C
9. 已知映射,其中，对应法则，若对实数，在集合A中不存在元素使得，则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
10. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。

若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A.3
B.2
C.
D.
参考答案： B
设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则
，即
，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为
，
，
.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是定义在R 上的奇函数，且当
时不等式，
恒成
立，若
，则a ，b ，c 的大小关系（用“>”连接）是
参考答案：
c>a>b
12. 下列各结论中
①抛物线的焦点到直线的距离为
②已知函数的图象经过点，则的值等于 ③命题“存在
，
”的否定是“对于任意，
正确结论的序号是
参考答案：
①②
13. 如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，，
，
，
，
AC =_____。

参考答案：
【分析】
由已知及余弦定理可求，结合范围
，即可求得，
求得，利用正弦定理即可得解
的值． 【详解】
，
，
，
，
由余弦定理可得：
，
，
，
，
由正弦定理可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计 算能力和转化思想，属于中档题．
14. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为____．
参考答案：
【分析】
分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.
【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为；
“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为；
所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为.
故答案为
【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.
15. 已知函数，则不等式的解集
为
．
参考答案：
16. 等差数列{a n }中，a 1=﹣5，a 6=1，此数列的通项公式为．
参考答案：
a n=n﹣
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣5，a6=1，
∴﹣5+5d=1，解得d=．
∴a n=﹣5+（n﹣1）=n﹣．
故答案为：a n=n﹣．
17. 已知数列是等差数列,数列是等比数列,则的值为_
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2．
（1）求A的大小；
（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．
试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个
选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．
参考答案：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin（A+）的值，进而求得A．
（2）选择①②利用正弦定理先求得sinC的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．
【解答】解：（1）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，
∵0＜A＜π，
∴＜A+＜，
∴A+=，
∴A=．
（2）选择①②由正弦定理=，得b=?sinB=2，
∵A+B+C=π，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，
∴S=absinC=×2×2×=+1．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应熟练掌握．
19. 电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；计数原理的应用．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）若8种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有8种．由此能求出小王共有多少种选择方式．
（2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）若8种口味均不一样，有=56种，
若其中两瓶口味一样，有=56种，
若三瓶口味一样，有8种．所以小王共有56+56+8=120种选择方式．…（5分）
（2）ξ的取值为0，1，2，3．由于各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，
所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为，…（7分）
故随机变量ξ服从二项分布，即，
，
，
，
，
∴ξ的分布列为
…（10分）
其数学期望，
方差．…（12分）
【点评】本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，要认真审题，要将题目中的关系读懂，是中档题．
20. （12分）
多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，MN分别为AF，BC的中点。

（Ⅰ）求证MN∥平面CDEF；
（Ⅱ）求多面体A—CDEF的体积。

参考答案：
解析：
（Ⅰ）由多面体AEBFC的三视图可知
三棱柱AED—BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，
DA=AE=2，DA⊥平面
ABFE，················1分侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方
形················3分
（Ⅰ）连EB，CE，∴M是EB中点，
又∵N是BC中点，在△BEC中，
MN∥EC················5分
又∵EC平面CDEF，MN平面CDEF，∴MN∥平面CDEF。

···············6分
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABEF，EC平面ABEF，∴AD⊥EF，
又∵EF⊥AE，∴EF⊥平面AED，∴四边形CDEF是矩形，侧面CDEF⊥平面AED
················8分
取DE中点H，∵△AED为等腰直角三角形，且AD=AE=2，
∴AH⊥DE，且AH=
∴AH⊥平面
CDEF·················11分∴
·················12分
21. (本小题满分12分)
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，……，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已，求事件
“”的概率.
参考答案：
【知识点】频率直方图应用，古典概型 I2 K2
（1）27；（2）.
（1）由直方图知，成绩在内的人数为：（人）
所以该班成绩良好的人数为27人.
（2）由直方图知，成绩在的人数为人，
设为；成绩在的人数为人，设为.
若时，有3种情况；
若时，有6种情况；
若内时，
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
共有12种情况.
所以基本事件总数为21种. 记事件“”为事件E,则
事件E所包含的基本事件个数有12种.
∴.
即事件“”的概率为.
【思路点拨】(1)由直方图意义可得；(2)列举法一一列出总情况，利用古典概型公式解.
22. （本小题满分分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例数据如下：
东城小区低碳家庭非低碳家庭西城小区低碳家庭非低碳家庭
比例比例
（1）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；
（2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选个家庭，记表示个家庭中“低碳家庭”的个数，求和．
参考答案：
（1）设事件“个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为，………1分
则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自
东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．
∴．…6分
（2）因为东城小区每周有的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两
类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：
………8分
由题意，两周后东城小区个家庭中的“低碳家庭”的个数服从二项分布，
即
………10分
∴，………11分
．………12分
小区。