高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间线面关系的判定1学案无答案苏教版选修(1)

3.2.2空间线面关系的判定（1）
【学习目标】
1．能用向量语言表述线线,线面,面面的平行和垂直关系； 2．能用向量法证明线面的关系． 【学习重点】
空间线面关系的判定和运用． 【学习难点】
将几何中相关的量转化为坐标形式． 【学习过程】 一．知识要点
1．空间线线平行与垂直的向量表示
设直线 l 1，l 2 的方向向量分别是a → = (x 1，y 1，z 1)，b →
= (x 2，y 2，z 2)，则 ⑴ l 1⊥l 2 ⇔ a →⊥b → ⇔ a →·b →
= 0 ⇔ ；
⑵ l 1∥l 2 ⇔ a →∥b →
⇔ x 1 = λx 2，y 1 =λy 2，z 1 = λz 2(λ∈R ) ⇔ x 1x 2= y 1y 2= z 1z 2
(x 2 y 2 z 2
≠ 0)．
2．空间线面平行与垂直的向量表示
设l 1⊄ α ，l 2 ⊂ α ，l 3 ⊂ α ，l 2 ∩l 3 = A ，且a 1→，a 2→，a 3→
分别为 l 1，l 2 ，l 3 的方向向量，平面α的法向量分别为 n →
．
⑴ l 1∥α ⇔ a 1→ = λa 2→ ⇔ a 1→⊥n → ⇔ a 1→·n → = 0； ⑵ l 1⊥α. ⇔ l 1∥n →
或 ⎭
⎪⎬⎪
⎫a 1→⊥a 2→a 1→⊥a 3→ ⇒ l 1⊥α． 3．空间两平面的平行与垂直
设l ⊂ α ，直线l 的方向向量为 a →，平面α ，β的法向量分别为 n 1→ 和 n 2→
． ⑴ α ∥β ⇔ n 1→ ∥ n 2→ ⇔ n 1→⊥β； ⑵ α ⊥β ⇔ n 1→ ⊥ n 2→ ⇔ a →
⊥ β． 二．基础训练
1．已知a →=(2，2m −3，n +2)，b →= (4，2m +1，3n −2)，且a →∥b →
，则m = ，n = ．
2．已知空间三点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，
z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，则
x 2 −x 1x 3 −x 1 = y 2 −y 1y 3 −y 1 = z 2 −z 1
z 3 −z 1
是A ，B ，C 三点共线的 条件． 3．正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M
只需满足条件 时，MN //平面B 1BDD 1．
三．例题讲解
例1．已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O ，B 为垂足．求证：OA ∥BD ．
例2．证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(三垂线定理) ．
已知：如图，OB 是平面α的斜线，O 为斜足，AB ⊥α ，A 为垂足，CD ⊂ α，CD ⊥OA ．求证：CD ⊥OB ．
例3．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，∠BAC =30°， D C
B A D 1
C 1
B 1 A 1
F
G H E α B
A O
C
D
C 1
A 1
B
1 M
BC =1，AA 1=6，M 是棱CC 1的中点． 求证：A 1B ⊥AM ．
例4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧枝PD ⊥底面ABCD ，PD = DC ，E 是PC 的中点，证明：PA ∥平面EDB ．
四．课堂练习
课本105页 练习1~4． 五．课堂小结
在计算和证明立体几何问题时,若能在原图中建立适当的空间直角坐标系,把图形中的点的坐标求出来,那么图形中有关问题可以用向量表示,利用空间向量的坐标运算来求解,这样可以避开较为复杂的添加辅助线,辅助平面等对空间想象力要求较高的几何证法． 六．课后作业
1．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知∠A 1AB =∠A 1AC =60°，AB = AC ，则侧面BB 1C 1C 的形状为 ． 2．已知点A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1，12，1)，D (12，1，1)，E (1，1，1
2)，则直线AB
与平面CD E 的位置关系是 ．
3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DC ，BB 1上的点，且DE =2EC ，若AF ⊥D 1E ，则
BF ：FB 1的值为 ．
P
4．在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，E 是CD 的中点，F ，G 分别在AC ，PB 上，且AF =2FC ，BG =2GP ，则两直线PE ，GF 的位置关系是 ． 5．若l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为(1，1
2，2)，且l ⊥α ，则m = ．
6．如图，正四棱锥P -ABCD 中，AB =2，高为6，在线段PB 上是否存在一点E ，使得AE ⊥PC ，若存在，试确定点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
7．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． ⑴求证：EF ⊥CD ；
⑵在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．
8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CC 1，BD 的中点，求证：A 1F ⊥平面BDE ．
D P
A B C
E F
B
A
C
D
A 1
B 1
D 1 C 1
E F。