2020徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学II卷试题定稿
2020届徐州高三 一检数学试卷参考答案
徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学I 参考答案与评分标准一、填空题：1．{12}x x −<< 2．2i − 3．45 4．20 5．[4,+)∞ 6．127．48．14 9．135 10．3π 11．22(2)8x y ++= 12．3 13．47 14．34二、解答题： 15．（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分 又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ，所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分 16．（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +−=得，2520225255b b +−⨯⨯=，即2450b b −−=， …………………………4分 解得5b =或1b =−（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由5cos A =及0A <<π得，22525sin 1cos 1()5A A =−=−=，…8分 所以210cos cos(())cos()(cos sin )42C A B A A A π=π−+=−+=−−=， 又因为0C <<π，所以2210310sin 1cos 1()10C C =−=−=， 从而310sin 10tan 3cos 1010C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===−−−．………………………………………14分 17．（1）在SAO △中，2222534SO SA AO =−=−=， …………………………2分由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R=，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =−，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =−=−<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =−<<，所以24()π(63)9V r r r '=−，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增；ABC △AP NMCB当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减． 所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =． 答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分 18．（1）直线l 的方程为)(a x k y −=，即0=−−ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+−12，故2222b a b k −=． 所以椭圆C的离心率e ==4分（2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=−=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y −=−=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q −，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧−==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=−+−+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +−=，则22222222232)(k a b k ab a k a b ab k a k y p +−=−+−=， 所以)2-2222222223ka b kab k a b ab k a P ++−，（，……………………………………………10分 因为0=⋅，所以02)(222222222232=+−⋅−++−⋅k a b kab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a −=−，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k −=，所以22422222)(2)(ba c ab b b a b a a −−=−−， 所以c a a 22−=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（1）()2111()ln f x x a x x x'=+−，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +−=，所以(1)11f a '=−=−，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x−+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =−+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分 ②当0a <时，因为当1(0)x a∈−，时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(+)x a∈−∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1x a =−时，max 11()()ln()2g x g a a=−=−−． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a−−>，解得2e 0a −−<<．………7分因为2e 0a −−<<，所以21e 1a−>>．因为(1)10g a =−<，所以()g x 在1(0)a−，上存在一个零点． …………8分因为2e 0a −−<<，所以211()a a−>−．因为22111[()]ln()1g a a a −=−+−，设1t a=−，则22ln 1(e )y t t t =−−>，因为20t y t−'=<，所以22ln 1(e )y t t t =−−>单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <−−=−<，所以22111[()]ln()10g a a a−=−+−<，所以()g x 在1()a−+∞，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)−−．…………………………………10分 （3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =−，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x−+'=+−=， 设()21ln g x x x =−+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =−=−−=−++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈−，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ−≤，即λ的最大值为1−．………16分20．（1）由11n n a ka +=−，13a =可知，231a k =−，2331a k k =−−，因为{1}n a −为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a −=−−，即22(32)2(32)k k k −=⨯−−，即231080k k −+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +−=−，所以3n a =，则12n a −=，所以数列{1}n a −的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +−=−，所以数列{1}n a −的公比1121n n a q a +−==−，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a −=，所以4n n n n b n − , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =−++−+++−−+2(41)(43)[4(21)]444m m =−+−++−−++++144(4)3m m m +−=−+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m −−=−=−+，因为22+1324m m m b b m +=−+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++−+=⨯−>， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S −>，则20m S >，设2210,m t m Sb t S −=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S −时，144(4)3344(4)3m mm m m m +−−+=−−+，化简得2624844m m m −+=−−≤， 即242m m −+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m mm mm m SS m m m m +−−−+==+−−+−−++， 设231244m m m m c −+−=，则211942214m m m m m c c ++−+−=，由①知3m >，当4m =时，545304c c −−=<；当4m >时，10m m c c +−>，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c −=， 所以22130151911024m m S S −<<+<−+，令22214m m S b S −==，则2314312414mm m +=−+−+， 即231240m m −+−=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分（第22BAC xyzB 1 A 1C 1 徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ−−==−−−−−．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =−=，所以2t =．…………5分 所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222−−⎡⎤⎡⎤−⎢⎥⎢⎥⨯−⨯⨯−⨯==⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⨯−⨯⨯−⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分 B ．由:cos sin 120l ρθρϕ+−=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +−=． ………………………………………2分在曲线C 上取点()232sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离 ()4sin 12124sin 23cos 2sin 1233222d ϕϕϕϕππ+−−++−==，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值428分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x +++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++ ………………………………………………………5分 2111(222)9222x y y z z x x y y z z x++++=+++≥， 当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x +++++的最小值为3．………………………………………………………10分 22．（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . ……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线 为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz −.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒， 所以1(0 1 3)C ，，，所以1( 2 1 3)AC =−，，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α， 则1|3|6sin |cos ,|221AC α=<>==⨯n ，即直线1AC 与平面11AA B B 6………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 3)C −，，，所以()10 2 0CC =，，．设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ，因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅−=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1)=，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=−，n ．…………8分设二面角1B AC C −−的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=−<>=−==⋅，n n n n n n所以二面角1B AC C −−10分23．（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x −=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k −−−===−−−，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =−==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k −==−=−∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k kk n k k n nk k n k −−===−∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n −−−==+−∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n −−−−==−∑1121()333n n n −=−+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =−∑的值为23n ．………………………………………………10分。
徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测
徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题1．4 2．6 3．15 4．2 5．11267．5 89．56 10．72- 11．2- 12．2± 1314．12e-二、解答题15．（1）在中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，所以//EF AC ，…2分又在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 所以11//AC EF ，…………………………………………………………4分 又因为11AC ⊄平面1B EF ，EF ⊂平面1B EF ， 所以11//AC 平面1B EF ．…………………………………………………8分 （2）因为侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A I 底面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面11ABB A ，……………12分 又因为1B E ⊂平面11ABB A ，所以1AC B E ⊥．…………………………14分16．（1）在ADC ∆中，由余弦定理得41222)6(222cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∠CD AD AC CD AD ADC ，……………………2分所以415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠-=∠ADC ADC ，……………………4分因为46cos =∠BCD ，BCD ∠是三角形BCD 的内角， 所以410461cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∠-=∠BCD BCD ，……………………6分 所以)sin(sin BCD ADC B ∠-∠=∠BCD ADC BCD ADC ∠∠-∠∠=sin cos cos sin4104146415⨯-⨯= 810=． …………………………………………………………8分 （2）在BCD ∆中，由正弦定理得BDCBCB CD BCD BD ∠=∠=∠sin sin sin ，…………10分 48104102sin sin =⨯=∠∠=BBCDCD BD ， ABC △628104152sin sin =⨯=∠∠=BBDCCD BC ， …………………………………12分 所以215381062621sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆B BC AB S ABC ． …………14分 17．（1）以O 为原点，ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)N ，1(,1)2A ，3(,2)2C ， 所以直线CN 的方程为4(3)3y x =--，¼MN所在圆的方程为229x y +=， 联立224(3),39,y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ 解得21,2572,25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当PN 过点C 时，2172(,)2525P ，24sin 25θ=， 所以sin θ的取值范围是24(0,)25．……………………………………………6分（2）»MP的长为π3()2θ-，设(3cos ,3sin )P θθ， 则222(3cos 3)(3sin )1818cos PN θθθ=-+=-，……………………………8分所以总造价π()33()(1818cos )2f a a θθθ=⨯-+-9π(18918cos )2a θθ=+--，0(0,)θθ∈，024sin 25θ=，…10分所以()(18sin 9)f a θθ'=-，令()0f θ'=得，124sin (0,)θ=∈，所以πθ=，列表如下：所以当6θ=时，()f θ有极小值，也是最小值．答：当θ为π6时，总造价最少．……………………………………………………14分18．（1）设椭圆的焦距为2c ．由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪=+⎪⎩，，解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22143y x +=．…………………………………………4分 （2）因为B ，F 在直线PB 上，所以直线PB 的方程为1y x c b+=-．解方程组222211y x c b y x a b ，，⎧+=⎪-⎨⎪+=⎩得()2122221222++a c x a c b a c y a c ，，⎧=⎪⎨-⎪=⎩或220x y b ，，=⎧⎨=-⎩ 所以点P 的坐标为()22222222()++b a c a c a c a c，-．…………………………………8分 因为直线PB 的斜率0()0PB b bk c c --==-， 直线P A 的斜率()()2222222222220+22(+)+PA b a c b a c a c k a c a c a a c a a c ---==++()()()2222222(2(+))()()b ac b a c b a c a ac a c a a c a a c ---===+++，…………12分 又因为直线P A 和PB 的斜率之积为16，所以()()()()()22221=()()()6b a c b a c a c a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -----⨯===+++， 化简得226136(32)(23)0a ac c a c a c -+=--=， 因为a c >，所以23a c =，所以椭圆的离心率23e =．……………………………………………………16分19．（1）当1a =时，2()e x f x x x =+-，()e 21x f x x '=+-，则(0)1f =，(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．………………2分 （2）因为()f x 在[1,2]上单调递增，所以()0f x '≥在[1,2]上恒成立，即()e 20x f x x a '=+-≥在[1,2]上恒成立，所以e 2xa x +≤在[1,2]上恒成立，………………………………………4分又因为函数e 2x y x =+在[1,2]上单调递增，所以e 2a +≤，当且仅当e 2a =+，1x =时，(1)0f '=，所以a 的取值范围为(,e 2]-∞+．…………………………………………6分（3）不等式2()1f x x <+即e 1xax -<，令()e 1x g x ax =--，则()e x g x a '=-，①当1a ≤时，()e 0x g x a '=->在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上单调增，所以()(0)0g x g >=，不符合题意；…10分 ②当1a >时，由()0g x '=得ln x a =，列表如下：令b综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞．……………………………………16分20．（1）当1n =时，1423a a a a +=+，所以45a =-，当2n =时，2534a a a a +=+，所以52a =．……………………………2分 （2）因为312n n n n a a a a ++++=+，当2n ≥时，121n n n n a a a a -+++=+，两式相加得，1312n n n a a a -+++=，…………………………………………6分 即3111n n n n a a a a +++--=-，所以21{}n a -为等差数列，设公差为1d ，2{}n a 为等差数列，设公差为2d ． 所以2+2232212+22232121()()()()n n n n n n n n a ma a ma a a m a a d md +++++-+=-+-=+，所以221{}n n a ma ++成等差数列．……………………………………………10分 （3）设奇数项所成等差数列的公差为1d ，偶数项所成等差数列的公差为2d ．①当n 为奇数时，1162n n a d -=+，12132n n a d +-=-+， 则12116322n n d d --+>-+，即1221()182()0n d d d d -++->， 所以1212210,1()90,d d d d d d -⎧⎨⨯-++->⎩≥，故120d d -≥．……………………12分②当n 为偶数时，23(1)2n na d =-+-，1162n na d +=+， 则213(1)622n nd d -+->+，即122()1820n d d d -++<，所以121220,2()1820,d d d d d -⎧⎨⨯-++<⎩≤，故1210,9,d d d -⎧⎨<-⎩≤．综上可得，129d d =<-． …………………………………………………14分 又34121213233a a a a d d d +=+++=+=-，所以118d =-． 所以当n 为奇数时，16(18)1592n n a n -=+⨯-=-； 当n 为偶数时，3(1)(18)1592n n a n =-+-⨯-=-．故数列{}n a 的通项公式为159n a n =-，*n ∈N ．…………………………16分徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．（1）由条件知，31342124a a b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以34,24,a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩…5分 （2）由（1）知，3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 矩阵A 的特征多项式为31()(3)(2)2(1)(4)22f λλλλλλλ--==---=----， 令()0f λ=，解得A 的特征值为1和4．……………………………………10分B ．（1）在OAB △中，π(4,)6A ，π(2,)B ，由余弦定理，得AB =．………………5分（2）直线l 240y-+=，点A 的直角坐标为，所以点A 到直线l=．…………………10分 C ．（1）不等式()2f x >即|1|2x +>，则12x +>或12x +<-，解得1x >或3x <-，所以不等式()2f x >的解集为(,3)(1,)-∞-+∞U ． …………………………4分（2）(1)2, 1,1()|1||1|(1),1,1(1)2, .a x x g x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+-<-⎪⎪=+++=---⎨⎪⎪++>-⎪⎩≤≤由1a >可知，函数()g x 在1(,)a -∞-上单调减，在1(,)a-+∞上单调增，所以()g x 的最小值为111()12g a a -=-=，解得2a =．……………………10分22．（1）取AC 的中点O ，连接FO ，BO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，FO ⊥平面ABC ，BO⊥以{,,}OA OB OF u u u r u u u r u u u r为基底建立空间直角坐标系O xyz -则(100)A ，，，(00)B ，(101)E ，，，(002)F ，，1(00)B ，1(102)C -，，， 所以(101)EF =-，，，1(12)BC =--u u u u r ，， 所以1113cos =4||||EF BC EF BC EF BC 〈〉=u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r ，，所以异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值为34；………………4分 （2）因为G 为AB 的中点，所以1(0)2G ，，则(101)EF =-u u u r ，，，1(1)2EG =--u u u r设平面EFG 的法向量为1111()n x y z =r ，，，平面1EGB 的法向量为2222()n x y z =r，，，则1100n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，所以111101022x z x y z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩， 令11z =，得1n =r，同理210)n =r所以121212cos ,5||||n n n n n n 〈〉==r r g r r ，所以二面角的大小与向量12n n r r，所成的角相等或互补，由图形知，二面角1B EG F --．………………10分 23．（1）因为21n n n a a a +=-，即11n n na a a +=-． 要证1112n naa +<≤，只需证102n a <≤． ………………………………………… 2分用数学归纳法证明：当1n =时，112a =，命题成立；假设当n k =(1k ≥，*k ∈N )时命题成立，即102k a <≤，则当1n k =+时，有()2211124k k k k a a a a +=-=--+，由于102k a <≤，所以1104k a +<≤，显然有1102k a +<≤，所以当1n k =+时，命题也成立．所以对任意*n ∈N ，都有102n a <≤成立，即1112n naa +<≤得证． …………4分（2）因为11A C C !k kk n nn k k n k --==， ……………………………………………………6分 所以111C (21)(21)C (21)k k k k n n n n n k a a n a ----=--， 因此122C (21)2C (21)C (21)C (21)k k n nn n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-L L()1(21)2n n n a n a -=-⋅．由（1）知，102n a <≤，所以()1(21)20n n n a n a --⋅≤，得证．……………10分。
徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测答案定稿
20．（1）由 an1 kan 1 ， a1 3 可知， a2 3k 1， a3 3k 2 k 1 ， 因为{an 1} 为等比数列，所以 (a2 1)2 (a1 1)(a3 1) ， 即 (3k 2)2 2 (3k 2 k 2) ，即 3k 2 10k 8 0 ，解得 k 2 或 k 4 ，…2 分 3
解得
xp
a3k 2 ab2 b2 a2k2
，则
yp
a3k 2 ab2 k(
b2 a2k2
a)
2ab2k b2 a2k2
，
所以 P（ a3k 2 ab2 ，- 2ab2k ) ，……………………………………………10 分 b2 a2k2 b2 a2k2
因为 OP OQ 0 ，所以 a2 a3k 2 ab2 k(a2 ac) 2ab2k 0 ，
a2
2
19．（1） f (x) 1 ln x a 1 1 ，
x2
xx
因为曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x y 1 0 ，
所以 f (1) a 1 1，得 a 0 ．……………………………………………2 分
（2）因为 f (x) ax 1 ln x 存在两个不相等的零点． x2
16．（1）在 △ABC 中，由余弦定理 b2 c2 2bc cos A a2 得，
b2 20 2 2 5 5 b 25 ，即 b2 4b 5 0 ， …………………………4 分 5
解得 b 5 或 b 1 （舍），所以 b 5 ． ………………………………………6 分
江苏省徐州市2019-2020学年度高三年级考前模拟检测数学试题含答案
徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ参考公式：圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{0,9}A =，{1,2,9}B =，则集合AB 中的元素个数为 ▲ ．2．复数(42i)(1i)z =-+(i 为虚数单位)的实部为 ▲ ．3．从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这60名学生中成绩在区间[79.5,89.5)的人数为 ▲ ．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果为 ▲ ．5．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具),（第4题）39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5（第3题）（第17题）注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y m-=的一个焦点为(2,0)，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．已知(2,3)AB =，(1,)AC m =-，若AB BC ⊥，则实数m 的值为 ▲ ．8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，面积为4π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．已知公差不为0的等差数列}{n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且124a a a ，，成等比数列，则7S 的值为 ▲ ．10．已知函数π()sin()6f x x =-，3(0,π)2x ∈，若函数()3()2g x f x =-的两个零点分别是12,x x ，则12()g x x +的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0,()() ,0,x x f x g x x +⎧=⎨<⎩≥ 则[(7)]g f -的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C :2220x y y +-=与圆2C :220x y ax ++-=上分别存在点P ，Q ，使POQ △为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为a 的值为 ▲ ．13．若ABC △的内角满足123tan tan tan A B C+=，则cos C 的最小值为 ▲ ． 14．若函数()|ln |f x x x a a =-+，(0,1]x ∈的最大值为0，则实数a 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证： （1）11A C ∥平面1B EF ； （2）1AC B E ⊥．(第15题)BAC A 1B 1FC 1E如图，在ABC △中，6=AC ，D 为AB 边上一点，2==AD CD ，且46cos =∠BCD ． （1）求sin B 的值； （2）求ABC △的面积． 17．（本小题满分14分）如图，某市地铁施工队在自点M 向点N 直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形ABCD 所示区域)而被迫改道．原定的改道计划为：以M 点向南，N 点向西的交汇点O 为圆心，OM 为半径做圆弧MN ︵，将MN ︵作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自P 点起，改为直道PN ．已知3ON OM ==千米，点A 到OM ，ON 的距离分别为12千米和1千米，//AB ON ，且1AB =千米，记PON θ∠=. （1）求sin θ 的取值范围；（2）已知弧形线路MP ︵的造价与弧长成正比，比例系数为3a ，直道PN 的造价与长度的平方成正比，比例系数为a ，当θ为多少时，总造价最少？ACD（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，下顶点为B ，连结BF 并延长交椭圆于点P ，连结PA AB ，．记椭圆的离心率为e ．（1）若，21=e AB =C 的标准方程；（2）若直线P A 与PB 的斜率之积为16，求e 的值．19．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x x ax =+-，e 是自然对数的底数，a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在[1,2]上单调递增，求a 的取值范围；（3）若存在正实数b ，使得对任意的(0,)x b ∈，总有2()1f x x <+，求a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足16a =，23a =-，312n n n n a a a a ++++=+，*n ∈N ． （1）若34a =，求4a ，5a 的值；（2）证明：对任意正实数m ，221{}n n a ma ++成等差数列；（3）若1n n a a +>(*n ∈N )，3433a a +=-，求数列{}n a 的通项公式． （第18题）徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵32a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，点(1,1)M 在矩阵A 对应的变换作用下变为点(4,4)N ． （1）求a ，b 的值； （2）求矩阵A 的特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点π(4,)6A ，π(2,)2B ．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为2,2x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点A 到直线l 的距离．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()|1|f x x =+． （1）解不等式()2f x >；（2）设()()()(1)g x f x f ax a =+>，若()g x 的最小值为12，求a 的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F ，G 分别为AA 1，A 1C 1，AB 的中点．（1）求异面直线BC 1与EF 所成角的余弦值； （2）求二面角B 1－EG －F 的余弦值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112a =，且21n n n a a a +=-，*n ∈N ．（1）求证：1112n naa +<≤；（2）求证：122C (21)2C (21)C (21)C (21)0kk nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-≤．（第22题）EA 1徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题1．4 2．6 3．15 4．2 5．11267．5 89．56 10．72- 11．2- 12．2± 13．3 14．12e-二、解答题15．（1）在中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，所以//EF AC ，…2分又在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 所以11//AC EF ，…………………………………………………………4分 又因为11AC ⊄平面1B EF ，EF ⊂平面1B EF ， 所以11//AC 平面1B EF ．…………………………………………………8分 （2）因为侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面11ABB A ，……………12分 又因为1B E ⊂平面11ABB A ，所以1AC B E ⊥．…………………………14分16．（1）在ADC ∆中，由余弦定理得41222)6(222cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∠CD AD AC CD AD ADC ，……………………2分所以415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=∠-=∠ADC ADC ，……………………4分因为46cos =∠BCD ，BCD ∠是三角形BCD 的内角， 所以410461cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∠-=∠BCD BCD ，……………………6分 所以)sin(sin BCD ADC B ∠-∠=∠BCD ADC BCD ADC ∠∠-∠∠=sin cos cos sin4104146415⨯-⨯= 810=． …………………………………………………………8分 （2）在BCD ∆中，由正弦定理得BDCBCB CD BCD BD ∠=∠=∠sin sin sin ，…………10分 4104102sin sin =⨯=∠∠=B BCD CD BD ， ABC △628104152sin sin =⨯=∠∠=BBDCCD BC ， …………………………………12分 所以215381062621sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆B BC AB S ABC ． …………14分 17．（1）以O 为原点，ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)N ，1(,1)2A ，3(,2)2C ， 所以直线CN 的方程为4(3)3y x =--，MN 所在圆的方程为229x y +=，联立224(3),39,y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ 解得21,2572,25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当PN 过点C 时，2172(,)2525P ，24sin 25θ=， 所以sin θ的取值范围是24(0,)25．……………………………………………6分（2）MP 的长为π3()2θ-，设(3cos ,3sin )P θθ，则222(3cos 3)(3sin )1818cos PN θθθ=-+=-，……………………………8分所以总造价π()33()(1818cos )2f a a θθθ=⨯-+-9π(18918cos )2a θθ=+--，0(0,)θθ∈，024sin 25θ=，…10分所以()(18sin 9)f a θθ'=-，令()0f θ'=得，124sin (0,)θ=∈，所以πθ=，列表如下：所以当6θ=时，()f θ有极小值，也是最小值．答：当θ为π6时，总造价最少．……………………………………………………14分18．（1）设椭圆的焦距为2c ．由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪=+⎪⎩，，解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22143y x +=．…………………………………………4分 （2）因为B ，F 在直线PB 上，所以直线PB 的方程为1y x c b+=-．解方程组222211y x c b y x a b ，，⎧+=⎪-⎨⎪+=⎩得()2122221222++a c x a c b a c y a c ，，⎧=⎪⎨-⎪=⎩或220x y b ，，=⎧⎨=-⎩ 所以点P 的坐标为()22222222()++b a c a c a c a c，-．…………………………………8分 因为直线PB 的斜率0()0PB b bk c c --==-， 直线P A 的斜率()()2222222222220+22(+)+PA b a c b a c a c k a c a c a a c a a c ---==++()()()2222222(2(+))()()b ac b a c b a c a ac a c a a c a a c ---===+++，…………12分 又因为直线P A 和PB 的斜率之积为16，所以()()()()()22221=()()()6b a c b a c a c a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -----⨯===+++， 化简得226136(32)(23)0a ac c a c a c -+=--=， 因为a c >，所以23a c =，所以椭圆的离心率23e =．……………………………………………………16分19．（1）当1a =时，2()e x f x x x =+-，()e 21x f x x '=+-，则(0)1f =，(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．………………2分 （2）因为()f x 在[1,2]上单调递增，所以()0f x '≥在[1,2]上恒成立，即()e 20x f x x a '=+-≥在[1,2]上恒成立，所以e 2xa x +≤在[1,2]上恒成立，………………………………………4分又因为函数e 2x y x =+在[1,2]上单调递增，所以e 2a +≤，当且仅当e 2a =+，1x =时，(1)0f '=，所以a 的取值范围为(,e 2]-∞+．…………………………………………6分（3）不等式2()1f x x <+即e 1xax -<，①当1a ≤时，()e 0x g x a '=->在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上单调增，所以()(0)0g x g >=，不符合题意；…10分 ②当1a >时，由()0g x '=得ln x a =，列表如下：令b综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞．……………………………………16分20．（1）当1n =时，1423a a a a +=+，所以45a =-，当2n =时，2534a a a a +=+，所以52a =．……………………………2分 （2）因为312n n n n a a a a ++++=+，当2n ≥时，121n n n n a a a a -+++=+，两式相加得，1312n n n a a a -+++=，…………………………………………6分 即3111n n n n a a a a +++--=-，所以21{}n a -为等差数列，设公差为1d ，2{}n a 为等差数列，设公差为2d ． 所以2+2232212+22232121()()()()n n n n n n n n a ma a ma a a m a a d md +++++-+=-+-=+，所以221{}n n a ma ++成等差数列．……………………………………………10分 （3）设奇数项所成等差数列的公差为1d ，偶数项所成等差数列的公差为2d ．①当n 为奇数时，1162n n a d -=+，12132n n a d +-=-+， 则12116322n n d d --+>-+，即1221()182()0n d d d d -++->， 所以1212210,1()90,d d d d d d -⎧⎨⨯-++->⎩≥，故120d d -≥．……………………12分②当n 为偶数时，23(1)2n na d =-+-，1162n na d +=+， 则213(1)622n nd d -+->+，即122()1820n d d d -++<，所以121220,2()1820,d d d d d -⎧⎨⨯-++<⎩≤，故1210,9,d d d -⎧⎨<-⎩≤．综上可得，129d d =<-． …………………………………………………14分 又34121213233a a a a d d d +=+++=+=-，所以118d =-． 所以当n 为奇数时，16(18)1592n n a n -=+⨯-=-； 当n 为偶数时，3(1)(18)1592n n a n =-+-⨯-=-．故数列{}n a 的通项公式为159n a n =-，*n ∈N ．…………………………16分徐州市2019~2020学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．（1）由条件知，31342124a a b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以34,24,a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩…5分 （2）由（1）知，3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 矩阵A 的特征多项式为31()(3)(2)2(1)(4)22f λλλλλλλ--==---=----， 令()0f λ=，解得A 的特征值为1和4．……………………………………10分B ．（1）在OAB △中，π(4,)6A ，π(2,)B ，由余弦定理，得AB =． (5)分（2）直线l 240y-+=，点A 的直角坐标为，所以点A 到直线l=．…………………10分 C ．（1）不等式()2f x >即|1|2x +>，则12x +>或12x +<-，解得1x >或3x <-，所以不等式()2f x >的解集为(,3)(1,)-∞-+∞． …………………………4分（2）(1)2, 1,1()|1||1|(1),1,1(1)2, .a x x g x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+-<-⎪⎪=+++=---⎨⎪⎪++>-⎪⎩≤≤由1a >可知，函数()g x 在1(,)a -∞-上单调减，在1(,)a-+∞上单调增，所以()g x 的最小值为111()12g a a -=-=，解得2a =．……………………10分22．（1）取AC 的中点O ，连接FO ，BO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，FO ⊥平面ABC ，BO⊥以{,,}OA OB OF 为基底建立空间直角坐标系O xyz -则(100)A ，，，(00)B ，(101)E ，，，(002)F ，，1(030)B ，，，1(102)C -，，， 所以(101)EF =-，，，1(12)BC =--，， 所以1113cos =4||||EF BC EF BC EF BC 〈〉=，，所以异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值为34；………………4分 （2）因为G 为AB 的中点，所以1(0)2G ，，则(101)EF =-，，，1(1)2EG =--设平面EFG 的法向量为1111()n x y z =，，， 平面1EGB 的法向量为2222()n x y z =，，，则1100n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以111101022x z x y z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩， 令11z =，得1(131)n =，，，同理2(310)n =，，所以12121215cos ,5||||n n n n n n 〈〉==，所以二面角的大小与向量12n n ，所成的角相等或互补， 由图形知，二面角1B EG F --．………………10分 23．（1）因为21n n n a a a +=-，即11n n na a a +=-． 要证1112n naa +<≤，只需证102n a <≤． ………………………………………… 2分用数学归纳法证明：当1n =时，112a =，命题成立；假设当n k =(1k ≥，*k ∈N )时命题成立，即102k a <≤，则当1n k =+时，有()2211124k k k k a a a a +=-=--+，由于102k a <≤，所以1104k a +<≤，显然有1102k a +<≤，所以当1n k =+时，命题也成立．所以对任意*n ∈N ，都有102n a <≤成立，即1112n naa +<≤得证． …………4分（2）因为11A C C !k kk n nn k k n k --==， ……………………………………………………6分 所以111C (21)(21)C (21)k k k k n n n n n k a a n a ----=--， 因此122C (21)2C (21)C (21)C (21)kk nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-()1(21)2n n n a n a -=-⋅．由（1）知，102n a <≤，所以()1(21)20n n n a n a --⋅≤，得证．……………10分。
2020届江苏省徐州市高三上学期第一次质量抽测数学试题(解析版)
2i
【答案】
【解析】
【分析】
zabia,bR
设
，可知0，利用复数的乘法法则可得出关于实数a、的方程组，解出即可.
bb
2
zabia,bR
abiab2abi4
，
【详解】设
，由题意可知z2
2
2
4
a
2
b
2
a
0
2ab0
b0
2
z
i
则
，解得
b2，因此，
.
2i
故答案为：
求出实数a的值.
【详解】由于函数
yfx
xfx
f
是定义在R上的奇函数，则
，
1xf1x
又该函数的图象关于直线x
1对称，则
f
，
f2xf11xfxfx
f
4xfx2fx
所以，
，则
，
yfx
4
是周期为的周期函数，
所以，函数
a
2020ln2fln2fln2ee
28
a3.
，解得
所以f
ln2
ln2
a
a
3
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数
ABAD
uuuruuur
ACAE
利用基底
表示向量
，结合等式
可得出cosADE
的表达式，
2
然后利用基本不等式可求出cosADE的最小值.
uuuruuuruuur
BDDEEC
【详解】由于D、是
上的两个三等分点，则
徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学I卷试题定稿
y2 = 2 px 上，则实数 p 的值为 ▲ ．
9. 已知等差数列{an }的前n 项和为 Sn ， a2 + a9 =8 ， S5 = −5 ，则 S15 的值为 ▲ ．
10. 已知函数 y = 3 sin 2x 的图象与函数 y = cos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A ， B ， C ，则 △AB C 的面积为 ▲ ．
17．（本小题满分 14 分） 数学 I 试卷 第 4 页(共 8 页)
如图，在圆锥 SO 中，底面半径 R 为 3，母线长l 为 5．用一个平行于底面的平面去截 圆锥，截面圆的圆心为O1 ，半径为r ．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O 为顶点 挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V ． 1 将V 表示成r 的函数； 2 求小圆锥的体积V 的最大值．
S ←0 I ←1 While I < 6
I ←I + 1 S ←S + I
6. 某学校高三年级有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名 学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在 同一教室上自习的概率为 ▲ ．
7. 若关于 x 的不等式 x2 − mx + 3 < 0 的解集是(1,3) ，则实数 m 的值为 ▲ ．
2 若 f (x) 的导函数 f ′(x) 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；
3 当 a = 2 时，是否存在整数，使得关于 x 的不等式 f (x) ≥恒成立？若存在， 求出的最大值；若不存在，说明理由．
数学 I 试卷 第 7 页(共 8 页)
20．（本小题满分 16 分）
已知数列{an}的首项 a1= 3，对任意的 n ∈ N* ，都有 a n+1 = kan− 1( k ≠ 0 )，数列{a −n 1} 是公比不为 1 的等比数列．
江苏省徐州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题
绝密★启用前江苏省徐州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}24B x x =<<，则A B I =__________. 2．若复数z 满足1z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为__________.3．某学校共有学生3000人，其中高一年级800人，高二年级1200人，高三年级1000人.为了了解该校学生的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若从高一年级抽取了160人，则应从高二年级抽取__________人.4．如图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是__________.5．甲、乙两人依次从标有数字0，1，2的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字0的卡片的概率为__________.6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的倾斜角为30°，则C 的离心率为__________.7．已知等差数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，若1a ，4a ，13a 成等比数列，则1a d的值为__________.8．若tan 3α=，则sin 2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________. 9．在平面直角坐标系xOy中，若直线0kx y k -+=被圆()2224x y -+=截得的弦长为2，则实数k 的取值集合为__________.10．若33log log 5m n +≥，则3m n +的最小值为__________.11．在正三棱柱111ABC A B C -中，P 为棱1AA 的中点，若正三棱柱111ABC A B C -的体积为9，则三棱锥1C PBC -的体积为__________.12．若函数()sin 03y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个最大值，则ω的取值范围是__________.13．已知M ，N 是以AB 为直径的圆上两点，若2AM =，AN =，则AB MN ⋅的值为__________.14．已知a R ∈，若函数()()312f x x ax x =+-≤≤的最大值为M ，则M 的最小值为__________.二、解答题15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos 2sin a b C c B =+. （1）求tan B 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PCD 是正三角形，E ，F 分别为PC ，PD 的中点，AP AD =.求证：（1）EF P 平面PAB ； （2）AC PD ⊥.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为A ，过A 的直线交椭圆E 于另一点C ，直线AC 交y 轴于点0,2a B ⎛⎫⎪⎝⎭，且3AC BC =.（1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 的焦距为2，P 为椭圆E 上一点，线段AP 的垂直平分线l 在y 轴上的截距为14-（l 不与y 轴重合），求直线l 的方程. 18．江苏省滨临黄海，每年夏秋季节常常受到台风的侵袭.据监测，台风T 生成于西北太平洋洋面上，其中心位于A 市南偏东45︒方向的B 处，该台风先沿北偏西60︒方向移动800km 后在C 处登陆，登陆点C 在A 市南偏东30°方向800km 处，之后，台风T 将以30/km h 的速度沿北偏西θ方向继续移动.已知登陆时台风T 的侵袭范围（圆形区域）半径为200km ，并以20/km h 的速度不断增大.（()15cos 3016θ︒-=）（1）求台风T 生成时中心B 与A 市的距离；（2）台风T 登陆后多少小时开始侵袭A 市？（保留两位有效数字）40.09≈40.10≈40.11≈） 19．设函数()ln af x x b x=++，a ，b R ∈. （1）当2a =-，1b =，求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为1b +，求实数a 的值； （3）当1a =时，若函数()f x 恰有两个零点1x ，()2120x x x <<，求证：1212x x +>. 20．已知等比数列{}n a 满足：246a a a =，321440a a a -+=，各项均不为0的等差数列{}n b 的前n 项为n S ，11b =，1n n n S b b λ+=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设集合*2,n n a M n n N tS ⎧⎫⎪⎪=≤∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若M 只有两个元素，求实数t 的取值范围.参考答案1．{}3 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算即可. 【详解】因为{}1,2,3,4A =，{}24B x x =<<, 所以A B I {3}=. 故答案为:{}3. 【点睛】本题考查了交集的运算,属于基础题.2 【解析】 【分析】在1z i i ⋅=+两边取模,计算可得到. 【详解】 因为1z i i ⋅=+, 所以|||1|z i i ⋅=+, 所以|||||1|z i i ⋅=+,所以||z ==故答案为. 【点睛】本题考查了复数的模的运算,属于基础题. 3．240 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点:高一年级人数与高二年级人数之比等于样本中高一年级人数与高二年级人数之比计算可得. 【详解】分层抽样就是按比例抽样,高一年级人数与高二年级人数之比为800:1200=2:3, 所以抽取的样本中,高一年级与高二年级的人数之比也为2:3, 因为高一年级抽取的人数为160,所以高二年级抽取的人数为160×32=240人. 故答案为:240 【点睛】本题考查了分层抽样,属于基础题. 4．6 【解析】 【分析】根据程序框图分析,循环3次后满足判断框中的条件,结束循环,此时输出值为6, 【详解】第一次循环后,1,2S n ==,不满足判断框里的条件;第二次循环后,122,213S n =⨯==+=,不满足判断框里的条件; 第三次循环后,236S =⨯=,4n =,满足判断框里的条件,结束循环, 故输出的S 的值是6. 故答案为6 【点睛】本题考查了直到型循环,属于基础题. 5．13【解析】 【分析】用甲乙两人未抽到标有数字0的卡片的概率相乘即可得到. 【详解】甲先抽, 未抽到标有数字0的卡片的概率为23; 乙再抽, 未抽到标有数字0的卡片的概率为12,所以甲乙两人均未抽到标有数字0的卡片的概率为211323⨯=. 故答案为13. 【点睛】本题考查了不放回抽样,属于基础题.6【解析】 【分析】先根据渐近线方程得3b a =,再根据离心率公式2c e a ==计算可得到.. 【详解】由双曲线2222:1x y C a b-=的几何性质可得其渐近线方程为b y x a =±,所以依题意可得tan 30b a ==o ,所以双曲线的离心率c e a ======.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线与离心率,属于基础题. 7．32【解析】 【分析】利用等比数列的性质以及等差数列的通项公式列等式可解得. 【详解】因为1a ，4a ，13a 成等比数列,所以24113a a a =,所以2111(3)(12)a d a a d +=+, 整理得2132d a d =,因为0d ≠,所以132d a =,所以132a d =. 故答案为: 32.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的性质,属于基础题. 8．310-【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得3sin 25α=,利用两角和的正切公式可得tan()24πα+=-,然后相除可得.【详解】 因为tan 3α=,所以222sin cos sin 22sin cos sin cos ααααααα==+22tan tan 1αα=+2233315⨯==+,tan tan4tan()41tan tan 4παπαπα++=-31131+=-⨯2=-, 所以3sin 235210tan()4απα==--+. 故答案为: 310- 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题. 9．{}【解析】根据圆心到直线的距离,弦长的一半,半径所满足的勾股定理列方程可解得. 【详解】由圆()2224x y -+=可知圆心为(2,0),半径为2,圆心到直线的距离d ==因为弦长为2,所以根据勾股定理得22212d +=,3=,整理得20k +=,解得k =0k =,故实数k 的取值集合为{}.故答案为: {}【点睛】本题考查了点到直线的距离,圆的标准方程,垂径定理,属于中档题. 10．54 【解析】 【分析】根据33log log 5m n +≥可得53mn =,再根据均值不等式可求得. 【详解】因为33log log 5m n +≥, 所以53mn =,且0,0m n >>,所以332354m n +≥==⨯=, 当且仅当3m n =且53mn =,即27,9m n ==时,取等号, 故3m n +的最小值为54. 故答案为:54本题考查了对数的运算性质以及均值不等式求最小值,属于中档题. 11．3 【解析】 【分析】根据等底等高的两个锥体的体积相等进行转化,转化为正三棱柱的体积的三分之一可得. 【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中,如图所示:1111C PBC P C CB A C CB C ABC V V V V ----===111111193333ABC ABC A B C C C S V -=⋅==⨯=V .故答案为:3 【点睛】本题考查了等体积法,三棱锥,三棱柱的体积公式,属于中档题. 12．(]5,17 【解析】 【分析】3t x πω=-,换元后,转化为sin y t =在(,)363πωππ--上恰有一个最大值,利用正弦函数的图象列式可得. 【详解】 令3t x πω=-,因为(0,)6x π∈,所以(,)363t πωππ∈--,因为函数()sin 03y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个最大值,所以sin y t =在(,)363πωππ--上恰有一个最大值, 如图所示:由图可知:52632πωπππ<-≤, 解得517ω<≤.故答案为:(5,17].【点睛】本题考查了正弦函数的图象和性质,属于中档题.13．1【解析】【分析】利用三角形减法法则的逆运算可得MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ,再根据平面向量的数量积可得AB MN ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】如图所示:因为()AB MN AB AN AM ⋅=⋅-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r AB AN AB AM =⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r|||cos ||||cos AB AN BAN AB AM BAM =∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u u r|||||||||||||||AN AM AB AN AB AM AB AB =⋅-⋅u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 22||||AN AM =-u u u r u u u u r222=-1=.故答案为:1【点睛】本题考查了三角形减法法则的逆运算和平面向量的数量积,属于中档题.14．2【解析】【分析】通过导数研究函数()f x 在[ 1.2]-上的单调性,求得M ,然后根据M 的解析式求得最小值.【详解】因为函数()()312f x x ax x =+-≤≤, 所以2()3f x x a '=+,①当0a ≥时,()0f x '≥在[1,2]-上恒成立,所以()f x 在[1,2]-上递增,所以2x =时,()f x 取得最大值,所以(2)82M f a ==+;②当0a <时,由()0f x '>得230x a +>,解得x x <-由()0f x '<解得x -<所以函数()f x 在(,-∞上递增,在(上递减,在)+∞上递增,(i)若1-<即30a -<<时1<,所以()f x 在[1,-上递增,在(上递减,在2]上递增,所以函数()f x 在x =2x =时取得最大值,因为3(((f a =+2)33a a =-+=-==<2=, (2)82f a =+8232>-⨯=.所以30a -<<时,(2)82M f a ==+,(ii)当1-≥即3a ≤-时,()f x 在[-上递减,)+∞上递增,2的大小关系谁大谁小,()f x 在[1,2]-上的最大值是(1)f -或(2)f , 因为(2)(1)82(1)939330f f a a a --=+---=+≤-⨯=,所以当3a ≤-时,1M a =--,综上所述:1,382,3a a M a a --≤-⎧=⎨+>-⎩, 当3a ≤-时,1132M a =--≥-+=(当3a =-时取等号);当3a >-时,828232M a =+>-⨯=,所以M 的最小值为2.【点睛】本题考查了分类讨论,导数研究函数的单调性,根据单调性求最值,属于难题.15．（1）1tan 2B =（2）10 【解析】【分析】(1)由正弦定理边化角后利用和角的正弦公式变形可得;(2)由1tan 2B =结合平方关系式,解得sin ,cos B B ,再用和角的余弦公式可得. 【详解】（1）因为cos 2sin a b C c B =+，由正弦定理，得sin sin cos 2sin sin A B C C B =+，因为+=A B C π+，所以sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+,所以，()sin sin cos 2sin sin B C B C C B +=+所以sin cos cos sin sin cos B C B C B C +=+2sin sin C B ,所以cos sin 2sin sin B C C B =，因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以cos 2sin B B =，得1tan 2B =（2）由（1）得：sin 1tan cos 2B B B ==，即1sin cos 2B B =,所以B 为锐角, 将1sin cos 2B B =代入22sin cos 1B B +=，解得sin 5B =，cos 5B =，所以cos cos cos sin sin 33310B B B πππ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 【点睛】 本题考查了正弦定理,两角和的正弦和余弦公式,属于中档题.16．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用中位线和平行四边形可证//EF AB ,再由直线与平面平行的判定定理可证;(2)利用等腰三角形的性质和正三角形的性质可证AF PD ⊥,CF PD ⊥,再根据线面垂直的判定定理可证PD ⊥平面ACF ,利用线面垂直的性质可证PD AC ⊥.【详解】（1）因为E ，F 为PC ，PD 中点，所以EF CD ∥，又ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥.所以EF AB ∥，又AB Ì平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .（2）连结AF ，CF ，因为AP AD =，F 为PD 的中点，所以，AF PD ⊥，因为三角形PCD 为等边三角形，所以，CF PD ⊥，又CF AF F ⋂=，所以PD ⊥平面ACF ，AC ⊂平面ACF ，所以PD AC ⊥.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定和性质,属于中档题. 17．（1）12（2）124y x =--或2134x y =-- 【解析】【分析】(1)设(,)C x y ,利用3AC BC =,解得3(,)24a a C ,将其代入椭圆方程可得2243a b =,再用离心率公式可得;(2)由(1)及22c =可求得椭圆方程,设AP 的中点为(),H s t ,可求得直线l 的方程,用中点公式求得点P 的坐标,将其代入椭圆方程可得一个关于,s t 的方程,在直线l 的方程中令0x =,14y =-,也可得一个关于,s t 的方程,两个方程联立可解得s 和t ,从而可得直线l 的方程. 【详解】（1）(),0A a -，设(),C x y ，因为3AC BC =u u u r u u u r ，所以，(),3,2a x a y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得：2a x =，34a y =，所以，3,24a a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为点C 在椭圆上，所以有：22191416a b +=，即2243a b =，所以离心率12c e a ====. （2）依题意有：22c =，所以，1c =，又221a b =+，且2243a b =，解得：24a =，23b =， 所以椭圆方程为：22143x y +=， 设AP 的中点为(),H s t ，则2AP t k s =+，故有2l s k t +=-， 从而l 的方程为：()2s y x s t t+=--+ 令0x =得到22214s t s y t ++==-， 整理得221204s s t t +++=①, 利用中点公式可得()22,2P s t +,将其代入椭圆方程得22(22)4143s t ++= ,整理得224203t s s ++=②, 联立①②方程解得0t =或t =34， 当0t =时,可得直线l 与y 轴重合,不合题意舍去, 所以3t 4=,此时23204s s ++=,解得12s =-或s =32-， 故l 的方程为124y x =--或者2134x y =--. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的离心率,向量的坐标运算,直线方程的点斜式,运算求解能力,属于中档题.18．（1）400km （2）台风T 登陆后13小时开始侵袭A 市. 【解析】【分析】(1)先求出15CBA ∠=o ,150ACB ∠=o 再根据余弦定理可求得AB ;(2)求出,CP AP 后,利用15cos cos(30)16ACP θ∠=-=o 以及余弦定理可解得. 【详解】（1）依题意，得：604515CBA ∠=︒-︒=︒，因为800AC BC ==,所以150ACB ∠=o ,故由余弦定理得2222cos150AB AC BC AB BC =+-⋅o228008002800800(2=+-⨯⨯⨯-2800(2=+,所以AB ===800==km .（2）假设t 小时后，台风位于P 点时A 刚好受到影响，如图所示:则30CP t =，20020PA t =+，800AC =，30ACP θ∠=-o , 故()2228009002002015cos cos(30)16280030t t ACP tθ+-+∠=-==⨯⨯o ， 整理得210612000t t -+=,所以22(53)531200t -=-,所以2(53)28091200t -=-,所以2(53)1609t -=,所以53t -=所以53t =5340.11=±所以12.89t =或93.11t =,因为12.89t =时,台风T 刚开始侵袭A 市,所以93.11t =舍去.答：台风T 登陆后13小时开始侵袭A 市.【点睛】本题考查了余弦定理的应用,属于中档题.19．（1）ln 22y x =+-（2）1a =（3）证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求出斜率,再由点斜式可求得线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程;(2)利用12()0,()0f x f x ==,可得121212ln ln x x x x x x -=-,令211x t x =>,可解得21ln t x t-=, 11ln t x t t -=,可得2121ln t x x t t-+=,再令2()12ln (1)g t t t t t =-->,通过两次求导可得()0g t >,可得122x x +>,从而可证.【详解】（1）依题意得：()2ln 1f x x x =-++，则()221f x x x'=+， ()21k f '==，()2ln 2f =，所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程：ln 22y x -=-，即ln 22y x =+- （2）()221a x a f x x x x-'=-+= 当1a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1,+∞上单调递增，此时()()min 11f x f a b b ==+=+，∴1a =当1a >时，令()0f x x a '=⇒=，且当1x a <≤时，()0f x '<，()f x 递减； 当x a >时，()0f x '>，()f x 递增∴()()min 1ln 1+f x f a a b b ==++=，∴1a =（舍去）综上：1a =.（3）当1a =时，()1ln f x x b x=++ ∴11221ln 01ln 0x b x x b x ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩①②，②-①，得121212ln ln x x x x x x -=- ∴121212ln ln x x x x x x -=-， 令211x t x =>,则21x tx =,所以111212ln x tx x x x x -= ,因为1>0x ,所以211ln ln t t x t t --==-, 所以211ln x t x t t t-==, 所以121111(1)ln ln ln t t t x x t t t t t ---+=+=+21ln t t t-=, 令2()12ln (1)g t t t t t =-->,则()22(1ln )g t t t '=-+,所以g ''2()2t t=-, 因为1t >,所以()0g t ''>, 所以()g t '为(1,)+∞上的增函数,所以()(1)0g t g ''>=,所以()g t 为(1,)+∞上的增函数,所以()(1)0g t g >=,即212ln 0t t t -->,所以212ln t t t ->,因为1t >,所以ln 0t t >, 所以212ln t t t->,即122x x +>, 所以1212x x +>. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,利用导数证明不等式,属于难题.20．（1）2n n a =，n b n =（2）2435t <≤ 【解析】【分析】(1)根据246a a a =，321440a a a -+=,解出24,2a q ==,可得n a ,根据11b =，1n n n S b b λ+=,解得公差1d =,可得n b ;(2)将问题转化为()21n t n n +≥只有两个n 的值满足, 令()21nn C n n =+,根据()()()12212n n n n C C n n n +--=++可得123213C C C =>==,34545n C C C C <=<<…,由此可得.【详解】（1）因为246a a a =，所以，24222a a q a q ⋅=，所以，22a q =，又321440a a a -+=，所以，222440a a q a q-+=，即2440q q -+=，所以，2q =， 所以，24a =，222n n n a a q -==， 由1n n n S b b λ+=①当2n ≥时，11n n n S b b λ--=②①-②得11n n n n n b b b b b λλ+-=-∵0n b ≠，∴()111n n b b λ+--=，设{}n b 公差为d ，∴21d λ=③ 在①式中令211n b λ=⇒=，∴()11d λ+=④结合③④得：1d =∴()111n b n n =+-⋅=综上：2n n a =，n b n =（2）由()22212n n n a n n tS t ⇒+⋅≤≤ 显然0t <时，左式恒小于右式，不合题意（舍去）故0t >，()21nt n n +≥ 令()21nn C n n =+，()()()()()()()()()11122222221211212n n n n nn n n n n C C n n n n n n n n n n +++⋅-+--=-==+++++++ 且当12n ≤≤时，1n n C C +≤，即123C C C >=；当3n ≥时，1n n C C +>，即345n C C C C <<<…∴()32min 23n C C C ===，而11C =，445C = 结合图像知2435t <≤ 【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的通项公式,数列的单调性,属于难题.。
2020届徐州高三一检数学试卷参考答案
2020届徐州⾼三⼀检数学试卷参考答案徐州市2019~2020学年度⾼三年级第⼀次质量检测数学I 参考答案与评分标准⼀、填空题：1．{12}x x ?<< 2．2i ? 3．45 4．20 5．[4,+)∞ 6．127．48．14 9．135 10．3π 11．22(2)8x y ++= 12．3 13．47 14．34⼆、解答题： 15．（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分⼜MN ?平⾯AMN ，BC ?平⾯AMN ，所以BC //平⾯AMN ．…………………………6分（2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分⼜因为平⾯P AB ⊥平⾯PBC ，平⾯P AB平⾯PBC PB =，AM ?平⾯P AB ，所以AM ⊥平⾯PBC ．…………………………………………………………12分⼜AM ?平⾯AMN ，所以平⾯AMN ⊥平⾯PBC ． …………………………14分 16．（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +?=得，2520225255b b +=，即2450b b ??=， …………………………4分解得5b =或1b =?（舍），所以5b =． ………………………………………6分（2）由5cos A =及0A <<π得，22525sin 1cos 1()5A A =?=?=，…8分所以210cos cos(())cos()(cos sin )42C A B A A A π=π?+=?+=??=，⼜因为0C <<π，所以2210310sin 1cos 1()10C C =?=?=，从⽽310sin 10tan 3cos 1010C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ?===?．………………………………………14分 17．（1）在SAO △中，2222534SO SA AO =?=?=， …………………………2分由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R=，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =?，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =?=?<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =?<<，所以24()π(63)9V r r r '=?，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增；ABC △AP NMCB当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最⼤值16π(2)9V =．答：⼩圆锥的体积V 的最⼤值为16π9．………………………………………14分 18．（1）直线l 的⽅程为)(a x k y ?=，即0=??ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+?12，故2222b a b k ?=．所以椭圆C的离⼼率e ==4分（2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线⽅程为2a x c=，由??=?=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y ?=?=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q ?，…6分由==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=?+?+b a k a x k a x k a b ，解得222223k a b ab k a x p +?=，则22222222232)(k a b k ab a k a b ab k a k y p +?=?+?=，所以)2-2222222223ka b kab k a b ab k a P ++?，（，……………………………………………10分因为0=?，所以02)(2 22222222232=+++??k a b kab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a ?=?，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k ?=，所以22422222)(2)(ba c ab b b a b a a ??=??，所以c a a 22?=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离⼼率为21．……16分19．（1）()2111()ln f x x a x x x'=+?，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线⽅程为10x y +?=，所以(1)11f a '=?=?，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x+'=存在两个不相等的零点．所以()1ln g x ax x =?+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，⾄多有⼀个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈?，时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(+)x a∈?∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1x a =?时，max 11()()ln()2g x g a a=?=??． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a>，解得2e 0a ??<<．………7分因为2e 0a ??<<，所以21e 1a>>．因为(1)10g a =?<，所以()g x 在1(0)a，上存在⼀个零点． …………8分因为2e 0a ??<<，所以211()a a>．因为22111[()]ln()1g a a a ?=?+?，设1t a=?，则22ln 1(e )y t t t =??>，因为20t y t'=<，所以22ln 1(e )y t t t =??>单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y=+<，所以()g x 在1()a+∞，上存在⼀个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)??．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =?，() 2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x+'=+=，设()21ln g x x x =?+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增，所以0x x =时，()f x 取得极⼩值，也是最⼩值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =?=??=?++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈?，，因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ?≤，即λ的最⼤值为1?．………16分20．（1）由11n n a ka +=?，13a =可知，231a k =?，2331a k k =??，因为{1}n a ?为等⽐数列，所以2213(1)(1)(1)a a a ?=??，即22(32)2(32)k k k ?=，即231080k k ?+=，解得2k =或4k =，…2分当43k =时，143(3)3n n a a +?=?，所以3n a =，则12n a ?=，所以数列{1}n a ?的公⽐为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +?=?，所以数列{1}n a ?的公⽐1121n n a q a +?==?，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a ?=，所以4n n n n b n ? , ??=?2, ??为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =?++?+++??+2(41)(43)[4(21)]444m m =?+?++??++++144(4)3m m m +?=?+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m ??=?=?+，因为22+1324m m m b b m +=?+，⼜222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++?+=??>，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ?>，则20m S >，设2210,m t m Sb t S ?=>∈*N ，…………………………………………………………8分则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S ?时，144(4)3344(4)3m mm m m m +??+=??+，化简得2624844m m m ?+=??≤，即242m m ?+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成⽴．…………………12分②当t 为偶数时，122214(4)331443124(4)134m m mm mm m SS m m m m ++==+??+??++，设231244m m m m c ?+?=，则211942214m m m m m c c ++?+?=，由①知3m >，当4m =时，545304c c ??=<；当4m >时，10m m c c +?>，所以456c c c ><<，所以m c 的最⼩值为519 1024c ?=，所以22130151911024m m S S ?<<+314312414mm m +=?+?+，即231240m m ?+?=，⽆整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分（第22BAC xyzB 1 A 1C 1 徐州市2019~2020学年度⾼三年级第⼀次质量检测数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ??==．…………2分因为矩阵M 的⼀个特征值为4，所以(4)630f t =?=，所以2t =．…………5分所以2321??=M ，所以11313213221324422112132213222==????M ．……10分 B ．由:cos sin 120l ρθρ?+?=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直⾓坐标⽅程为120x y +?=． ………………………………………2分在曲线C 上取点()232sin M ??，，则点M 到l 的距离 ()4sin 12124sin 23cos 2sin 1233222d ππ+??++?==，…………6分当6π=时，d 取最⼩值428分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x +++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++?++++++++ ………………………………………………………5分 2111(222)9222x y y z z x x y y z z x++++=+++≥，当且仅当13x y z ===时等号成⽴，所以111222x y y z z x +++++的最⼩值为3．………………………………………………………10分 22．（1）因为四边形11AA B B 为正⽅形，所以1AB BB ⊥，因为平⾯11AA B B ⊥平⾯11BB C C ，平⾯11AA B B平⾯111BB C C BB =，AB ?平⾯11AA B B ，所以AB ⊥平⾯11BB C C . ……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系B xyz ?.不妨设正⽅形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，．在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=?，所以1(0 1 3)C ，，，所以1( 2 1 3)AC =?，，．因为平⾯11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ，设直线1AC 与平⾯11AA B B 所成⾓为α，则1|3|6sin |cos ,|221AC α=<>==?n ，即直线1AC 与平⾯11AA B B 6………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 3)C ?，，，所以()10 2 0CC =，，．设平⾯1ACC 的⼀个法向量为()1111 x y z =，，n ，因为11110,0,AC CC ??==??n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ==??，，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1)=，，n ．设平⾯1ABC 的⼀个法向量为()2222 x y z =，，n ，因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，，所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ?==??，，，，，，，，取()20 1=?，n ．…………8分设⼆⾯⾓1B AC C ??的平⾯⾓为θ，则121212 cos cos θ?=?<>=?==?，n n n n n n所以⼆⾯⾓1B AC C ??10分23．（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==．……………………2分（2）当13 x =时，21C ()()33k k n k k k n a x ?=，⼜因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ===，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =?==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k ?==?=?∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k kk n k k n nk k n k ??===?∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ==+?∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ==?∑1121()333n n n ?=?+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =?∑的值为23n ．………………………………………………10分。
2020年江苏省徐州市中考数学二模试卷 (解析版)
2020年徐州市中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．﹣3的绝对值是（）A．3B．﹣3C．D．2．下列运算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．a3+a2＝a5C．（a3﹣a）÷a＝a2D．a3÷a3＝13．国家统计局数据：截至2019年底，中国大陆总人口为1400 000 000．将1400 000 000用科学记数法表示是（）A．14×108B．14×109C．1.4×108D．1.4×1094．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角线相等C．对角相等D．对角线互相平分5．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是6B．这组数据的中位数是1C．这组数据的平均数是6D．这组数据的方差是106．如果反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（）A．﹣3B．2C．0D．﹣17．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）A．（3，﹣3）B．（3，9）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，9）8．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（本大项共10小题，每小题3分，共30分．将正确答案填写在答题卡相应位置）9．计算：＝．10．分解因式4﹣4x2＝．11．已知∠α＝60°32'，则∠α的补角是．12．如果一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根是m，则代数式4m2﹣12m+2的值是．13．若正n边形的内角为140°，边数n为．14．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：．15．已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是cm．16．如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2﹣∠1＝°．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边CD的中点，连接AE，过点B 作BF⊥AE于点F，则BF的长为．18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2020的坐标为．三．解答题（本大项共10小题，共86分．在答题卡指定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）；（2）÷（a+1）．20．解方程或不等式：（1）解方程：x2﹣5x＝14；（2）解不等式组：．21．某地铁站入口检票处有A、B、C三个闸机．（1）某人需要从此站入站乘地铁，那么他选择A闸机通过的概率是；（2）现有甲、乙两人需要从此站进站乘地铁，求这两个人选择不同闸机通过的概率（用画树状图或列表的方法求解）．22．为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了个参赛学生的成绩；（2）表中a＝；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有人．23．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．24．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？25．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）26．某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？27．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP＝，求CF的长．28．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．参考答案一．选择题（本大项共有8个题，每题3分，共24分．将正确答案填涂在答题卡相应位置）1．﹣3的绝对值是（）A．3B．﹣3C．D．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．下列运算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．a3+a2＝a5C．（a3﹣a）÷a＝a2D．a3÷a3＝1【分析】A、利用幂的乘方法则即可判定；B、利用同类项的定义即可判定；C、利用多项式除以单项式的法则计算即可判定；D、利用同底数的幂的除法法则计算即可．解：A、（a3）2＝a6，故错误；B、∵a3和a2不是同类项，∴a3+a2≠a5，故错误；C、（a3﹣a）÷a＝a2﹣，故错误；D、a3÷a3＝a0＝1，正确．故选：D．3．国家统计局数据：截至2019年底，中国大陆总人口为1400 000 000．将1400 000 000用科学记数法表示是（）A．14×108B．14×109C．1.4×108D．1.4×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将1400 000 000用科学记数法表示为1.4×109．故选：D．4．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角线相等C．对角相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，即可得出结论．解：矩形的对边平行且相等、四个角都是直角、对角线互相平分且相等；平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，但对角线不一定相等．故选：B．5．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是6B．这组数据的中位数是1C．这组数据的平均数是6D．这组数据的方差是10【分析】先把数据由小到大排列，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的算术平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．解：数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为（1+2+6+6+10）＝5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差＝[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]＝10.4．故选：A．6．如果反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（）A．﹣3B．2C．0D．﹣1【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定a的符号，然后确定a的值即可．解：∵反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，∴a＞0，∴只有2符合，故选：B．7．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）A．（3，﹣3）B．（3，9）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，9）【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）4向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．故选：C．8．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF （AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据全等三角形的性质得到AN＝AG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝AN•FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．二．填空题（本大项共10小题，每小题3分，共30分．将正确答案填写在答题卡相应位置）9．计算：＝．【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．解：原式＝（）1＝．故答案为：．10．分解因式4﹣4x2＝4（1+x）（1﹣x）．【分析】直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：原式＝4（1﹣x2）＝4（1+x）（1﹣x）．故答案为：4（1+x）（1﹣x）．11．已知∠α＝60°32'，则∠α的补角是119°28'．【分析】根据补角的定义即可得到结论．解：∵∠α＝60°32'，∴∠α的补角＝180°﹣60°32'＝119°28′，故答案为：119°28′．12．如果一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根是m，则代数式4m2﹣12m+2的值是10．【分析】由题意可知：m2﹣3m﹣2＝0，然后根据整体的思想即可求出答案．解：由题意可知：m2﹣3m﹣2＝0，∴原式＝4（m2﹣3m）+2＝4×2+2＝10，故答案为：10．13．若正n边形的内角为140°，边数n为9．【分析】根据多边形每个内角与其相邻的外角互补，则正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值．解：∵正n边形的每个内角都是140°，∴正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，∴n＝360÷40＝9．故答案为9．14．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等．【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”故答案为：“两直线平行，同位角相等”．15．已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是5πcm．【分析】直接利用弧长的公式求解即可．解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，∴此扇形的弧长是：l＝＝5π，故答案为：5π．16．如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2﹣∠1＝90°．【分析】由平行线的性质得到∠2与∠3的互补关系，由角的和差得到∠1与∠3的互余关系，两关系相减得结论．解：∵矩形纸片的两边平行，∴∠2的对顶角+∠3＝180°，即∠2+∠3＝180°．又∵∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3﹣∠1﹣∠3＝180°﹣90°即∠2﹣∠1＝90°．故答案为：9017．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边CD的中点，连接AE，过点B 作BF⊥AE于点F，则BF的长为．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠D＝90°，求得DE＝1，根据勾股定理得到AE＝，证明△ABF∽△AED，列比例式即可解得答案．解：在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠D＝90°，∵E是边CD的中点，∴DE＝CD＝1，∴AE＝＝＝，∵BF⊥AE，∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠AED＝90°，∴∠BAE＝∠AED，∴△ABF∽△AED，∴＝，∴，∴BF＝．故答案为：18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2020的坐标为（21010，﹣21010）．【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2020＝505×4即可找出点A2020的坐标．解：当x＝1时，y＝2，∴点A1的坐标为（1，2）；当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，∴点A2的坐标为（﹣2，2）；同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．∵2020＝505×4，∴点A2020的坐标为（21010，﹣21010），故答案为：（21010，﹣21010）．三．解答题（本大项共10小题，共86分．在答题卡指定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）；（2）÷（a+1）．【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．解：（1）原式＝1﹣1+3＝3．（2）原式＝•＝•＝．20．解方程或不等式：（1）解方程：x2﹣5x＝14；（2）解不等式组：．【分析】（1）先把方程化为一般式得到x2﹣5x﹣14＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）分别解两个不等式得到x＞和x＜5，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．解：（1）x2﹣5x﹣14＝0，（x﹣7）（x+2）＝0，x﹣7＝0或x+2＝0，所以x1＝7，x2＝﹣2；（2）解①得x＞，解②得x＜5，所以不等式组的解集为＜x＜5．21．某地铁站入口检票处有A、B、C三个闸机．（1）某人需要从此站入站乘地铁，那么他选择A闸机通过的概率是；（2）现有甲、乙两人需要从此站进站乘地铁，求这两个人选择不同闸机通过的概率（用画树状图或列表的方法求解）．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得．解：（1）他选择A闸机通过的概率是，故答案为：；（2）画树形图如下；由图中可知，共有9种等可能情况，其中选择不同闸机通过的有6种结果，所以选择不同闸机通过的概率为＝．22．为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了50个参赛学生的成绩；（2）表中a＝8；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是C；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有320人．【分析】（1）从两个统计图可得，“D组”的有18人，占调查人数的36%，可求出调查人数；（2）调查人数的16%是“A组”人数，得出答案：（3）根据中位数的意义，找出处在第25、26位两个数的平均数即可；（4）利用样本估计总体，求出样本中竞赛成绩达到80分以上（含80分）所占的百分比，再乘以500即可．解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），故答案为50；（2）a＝50×16%＝8，故答案为8；（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，故答案为C；（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），故答案为320．23．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．【分析】（1）由∠BAE+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，推出∠BAE＝∠ADF，即可根据AAS证明△ABE≌△DAF；（2）设EF＝x，则AE＝DF＝x+1，根据四边形ABED的面积为6，列出方程即可解决问题；【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵DF⊥AG，BE⊥AG，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS）．（2）设EF＝x，则AE＝DF＝x+1，∵S四边形ABED＝2S△ABE+S△DEF＝6∴2××（x+1）×1+×x×（x+1）＝6，整理得：x2+3x﹣10＝0，解得x＝2或﹣5（舍弃），∴EF＝2．24．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；（2）根据利润＝售价﹣进价，可求出结果．解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x 元，由题意，得＝2×+300，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．答：该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）＝（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000＝1500×9+4320﹣12000＝13500+4320﹣12000＝5820（元）．答：超市销售这种干果共盈利5820元．25．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠AMD＝∠MAD＝45°，再根据AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF＝60°，得出∠DMB＝30°，再根据MD的值求出MB的值，最后根据路程÷速度＝时间，即可得出答案．解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°，∵AM＝180海里，∴MD＝AM•cos45°＝90（海里），答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里；（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°，∵MD＝90海里，∴MB＝＝60，∴60÷20＝3＝3×2.45＝7.35≈7.4（小时），答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．26．某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．故答案为240．（2）∵3600÷240＝15，3600÷150＝24，∴收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴y＝﹣6x+300，由题意（﹣6x+300）x＝3600，解得x＝20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人．27．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP＝，求CF的长．【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）方法1、先判断出OC＝ED，OC＝PF，进而得出OC＝OP＝OF，即可得出∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．方法2、先判断出∠CEF＝∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP＝∠DCF，此后同方法1即可得出结论．方法3、先判断出△PME∽△DNP即可得出，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，∴DC＝AB＝6，∴AC＝＝10，要使△PCD是等腰三角形，①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，∴∠PAD＝∠PDA，∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝AC＝5，③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DQ，∴DQ＝＝，∴CQ＝＝，∴PC＝2CQ＝，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP＝4或5或；（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，∴∠ADP＝∠CDF，∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝ED，在矩形PEFD中，PF＝DE，∴OC＝PF，∵OP＝OF＝PF，∴OC＝OP＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°，∴∠PCD+∠FCD＝90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP＝，∴CF＝．方法2、如图，∵四边形ABCD和DPEF是矩形，∴∠ADP＝∠CDF，∵∠DGF+∠CDF＝90°，∴∠EGC+∠CDF＝90°，∵∠CEF+∠CGE＝90°，∴∠CDF＝∠FEC，∴点E，C，F，D四点共圆，∵四边形DPEF是矩形，∴点P也在此圆上，∵PE＝DF，∴，∴∠ACB＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DCF，∵∠ADP＝∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP＝，∴CF＝．方法3、如图3，过点P作PM⊥BC于M交AD于N，∴∠PND＝90°，∵PN∥CD，∴，∴，∴AN＝，∴ND＝8﹣＝（10﹣）同理：PM＝（10﹣）∵∠PND＝90°，∴∠DPN+∠PDN＝90°，∵四边形PEFD是矩形，∴∠DPE＝90°，∴∠DPN+∠EPM＝90°，∴∠PDN＝∠EPM，∵∠PND＝∠EMP＝90°，∴△PND∽△EMP，∴＝，∵PD＝EF，DF＝PE．∴，∵，∴，∵∠ADP＝∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴＝，∵AP＝，∴CF＝．28．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化；（3）①由（2）可知m＝，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．解：（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+a+4，∴3＝a+4，∴a＝﹣1，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时，S取得最大值．（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′＝90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，∴x＝，cos∠M′BG＝＝，∵l1∥l′，∴∠BCA＝90°，∠BAC＝45°方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，则BD ＝d1，ME＝d2，∵S△ABM′＝×AC×（d1+d2）当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM′时取得最小值．根据B（0，3）和M′（，）可得BM′＝，∵S△ABM＝×AC×BM′＝，∴AC＝，当AC⊥BM′时，cos∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝45°．。
江苏省徐州市数学高中2020届毕业班理数第二次诊断性考试试卷
江苏省徐州市数学高中2020届毕业班理数第二次诊断性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,则等于（）A . {-1,0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {0,1}2. （2分）复数的虚部记作，则（）A .B .C .D .3. （2分）设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件4. （2分）用二分法求方程x2﹣5=0的近似根的算法中要有哪种算法结构？（）A . 顺序结构B . 条件结构C . 循环结构D . 以上都用5. （2分） (2016高一下·枣强期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A .B .C . 或D . 或6. （2分）的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A . 0B . 2C . 4D . 67. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 设当时，函数取得最大值，则（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·福州模拟) 设F1 ， F2分别是双曲线 =1（a＞b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得（ + ）• =0，其中O为坐标原点，且| |=2| |，则该双曲线的离心率为（）A .B . +1C .D .9. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 在线性回归模型y=bx+a+e中，下列说法正确的是（）A . y=bx+a+e是一次函数B . 因变量y是由自变量x唯一确定的C . 因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D . 随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生．10. （2分）(2017·渝中模拟) 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 14+6 +10πB . 14+6 +20πC . 12+12πD . 26+6 +10π11. （2分）已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为（）A . 1B . 2C .D . 312. （2分） (2018高二下·河池月考) 已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，那么 ________(结果用表示)14. （1分） (2015高二下·徐州期中) 已知函数f1（x）= ，（x＞0），对于n∈N* ，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，则函数fn（x）的值域为________．15. （1分） (2019高二上·温州期中) 已知，记函数在的最大值为3，则实数的取值范围是________．16. （1分）(2018·绵阳模拟) 在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，，则的最短边的边长为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2018高二上·石嘴山月考) 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18. （15分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19. （10分） (2017高二下·和平期末) 如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．20. （10分）(2017·衡阳模拟) 已知椭圆C：的右焦点为F，不垂直x轴且不过F点的直线l 与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）若直线l经过点P（2，0），则直线FA、FB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（Ⅱ）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．21. （10分） (2018高二下·河池月考) 已知 .（1）假设，求的极大值与极小值；（2）是否存在实数，使在上单调递增？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.22. （10分） (2019高二下·太原月考) 设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.23. （10分）(2018·银川模拟) 已知函数，集合 .（1）求；（2）若，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
徐州市2020届高考数学考前模拟检测卷附答案
徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ注意事项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4页，包含填空题 （第1题～第 14题）、解答题 （第15题～第 20题）两部分。
本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交 回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。
3. 作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
4. 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
参考公式：圆锥的体积 V 1Sh ，其中 S 是圆锥的底面圆面积， h 是高．3一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70 分．请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合 A {0,9} ，B {1,2,9} ，则集合 AU B 中的元素个数为 ▲ ．2．复数 z （4 2i ）（1 i ） （ i 为虚数单位 ）的实部为 ▲ ．3．从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这 60 名学生中成绩在区间 [79.5,89.5） 的人数为 ▲ ．（第 17 题）4．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果为▲5．若将一颗质地均匀的骰子 （一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具 ）,频率第 4 题）先后抛掷两次，则两次点数之和大于10 的概率为▲2x 26．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线y 21的一个焦点为 (2,0) ，则该双曲线的 m9．已知公差不为 0的等差数列 { a n } ，其前 n 项和为 S n ，首项 a 1 2，且 a 1， a 2，a 4成等比数列，则 S 7的值为 ▲π310．已知函数 f(x) sin(x)， x (0, π) ，若函数 g(x) 3f(x) 2的两个零点分别是 62x 1, x 2 ，则 g(x 1 x 2) 的值为 ▲ ．log 2(x 1),x ≥ 0,11．设函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x) 2则 g ［f( 7)］的值g(x) ,x 0, 为▲ ．12．在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C 1:x 2y 22y 0与圆 C 2 :x 2y 2ax 2 3ay 0上分别存在点 P ， Q ，使△POQ 为以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为 2 2，则实数 a 的值为 ▲12313．若△ ABC 的内角满足，则 cosC 的最小值为 ▲tanA tanB tanC二、解答题：本大题共 6小题，共 字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分 14分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，侧面 ABB 1A 1 是棱 AB ， BC 的中点．求证：(1)A 1C 1 ∥平面B 1EF ；(2) AC B 1E ．离心率为 ▲ ．uuur uuur 7．已知 AB (2,3) ， AC uuur ( 1,m) ，若 AB uuurBC ，则实数 m 的值为 ▲8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4，面积为 4π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲14．若函数 f(x) |xlnx a| a ， x(0,1］的最大值为 0，则实数 a 的最大值为F 分别90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答 . 解答时应写出文数学I 试卷第 2 页(共12 页)16．（本小题满分 14 分）1）求 sinB 的值； 2）求 △ ABC 的面积．17．（本小题满分 14 分）如图，某市地铁施工队在自点 M 向点 N 直线掘进的过程中，因发现一地下古城 （如图 中正方形 ABCD 所示区域 ）而被迫改道．原定的改道计划为：以 M 点向南， N 点向西 的交汇点 O 为圆心， OM 为半径做圆弧 MN ，将MN 作为新的线路， 但由于弧线施工难1ON 的距离分别为 千米和 1千米， AB // ON ，且 AB 1千米，记 PON 21）求 sin 的取值范围；2）已知弧形线路 MP 的造价与弧长成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为 a ，当 θ为多少时，总造价最少？如图，在 △ABC 中，AC 6 ，D 为 AB 边上一点， CD AD 2 ，且 cos BCD 6 ．度大，于是又决定自 P 点起，改为直道 PN ．已知 ON OM3千米，点 A 到 OM ，3a ，直道 PN 的造价与长度第 16 题）东18． 本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2 21（a b 0） 的右焦点为 F ， ab左顶点为 A ，下顶点为 B ，连结 BF 并延长交椭圆于点 离心率为 e ．19．（本小题满分 16 分）已知函数 f （x ） e x x 2ax ， e 是自然对数的底数， a R ．（1）当 a 1时，求曲线 y f （x ）在点 （0, f （0））处的切线方程； （2）若函数 f （ x ）在[1,2] 上单调递增，求 a 的取值范围；（3）若存在正实数 b ，使得对任意的 x （0,b ） ，总有 f （x ） x 21，求a 的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知数列 {a n }满足a 1 6，a 23，a n a n 3 a n 1 a n 2，n N（1）若 a 3 4，求 a 4， a 5的值；（2）证明：对任意正实数 m ，{a 2n ma 2n 1}成等差数列； （3）若 a n a n 1（n N *），a 3 a 4 33 ，求数列 {a n } 的通项公式．徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测2y 22P ，连结 PA ，AB ．记椭圆的1）若 e 2）若直线数学Ⅱ（附加题）21．［选做题］本题包括A、B、C 三小题，请．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．［选修 4 2：矩阵与变换］（本小题满分10 分）3a已知矩阵 A ，点 M （1,1）在矩阵A对应的变换作用下变为点 N （4,4）．b21）求 a ， b 的值；2）求矩阵A 的特征值．B．［选修 4 4：坐标系与参数方程］（本小题满分10 分）在极坐标系中，已知两点 A（4, π）， B（2, π）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴62建立平面直角坐标系 xOy ，直线 l 的参数方程为x 2t,y 3t 2（t为参数）（1）求A，B 两点间的距离；（2）求点A 到直线 l 的距离．C．[选修 4 5：不等式选讲] （本小题满分10 分）设函数 f (x) |x 1| ．1）解不等式 f （x） 2 ；1f（x） f （ax）（a 1），若 g（x）的最小值为，求a的值．2时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1 的中点．1）求异面直线BC1与EF 所成角的余弦值；2）求二面角B1－EG－ F 的余弦值．第22 题）23．（本小题满分10 分）已知数列 {a} 满足 a1122，且a n 1 a n a n ，* n N*．（1）求证：1 ≤a n 11；2 a n（ 2 ）求证：C1n(2a n1)2C2n(2a n 1)2 L kC k n (2 a n 1)k L nC n n (2a n 1)n≤ 02)设g(x)必做题】第22、23题，每小题10分，共计20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域内作答，解答2，E，F，G 分别为AA1，A1C1，ABC1A G B徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅰ参考答案与评分标准、填空题所以A1C1 / /EF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又因为A1C1 平面B1EF ，EF 平面B1EF ，所以A1C1 / / 平面B1EF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分2)因为侧面ABB1A1 底面ABC ，侧面ABB1 A1 I 底面ABC AB，AB AC ，AC 平面ABC ，所以AC 平面ABB1 A1 ，⋯⋯⋯⋯⋯12分2）在中，由正弦定理得BDBCD CD BC，⋯⋯⋯⋯10 分sin sin B sin BDC10CDsin BCD2BDsin B104，88分1．4 2．63．15 4．21 5．129．56 10．11．212．26 ．33237．513．14．158 ．π312e二、解答题15．（1）在△ABC 中，又在三棱柱ABC A1B1C1 中，E，F 分别是棱AB ，BC的中点，A C//AC ，所以EF / /AC，⋯2 分又因为B1E平面ABB1 A1 ，所以AC B1E ．⋯16．（1）在ADC 中，由余弦定理得cos AD2 ADC AD CD2 AC 22222( 6)2 12AD CD22242所以sin ADC 1 cos2 ADC111544所以sin 所以sin BCD 1 cos2 BCD 1B sin( ADC BCD)6 1014 分2分4分6分sin ADC cos BCD cos ADC sin BCD1561104444108因为cos BCD 6BCD 是三角形BCD 的内角，1 24 π令 f ( ) 0得， sin 12 (0, 2245) ，所以6π，列表如下：π(0, ) 6 π6 π(6, 0) f()f ( )↘极小值↗π所以当6π时， f （ ）有极小值，也是最小值．答：当 θ为 π时，总造价最少．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分618．（ 1）设椭圆的焦距为 2c ．BC12分所以S ABC1 1 1012 AB BC sin B 12 6 2 6 8103 15 214 分17．（ 1）以 O 为原点， ON 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，13则 N(3,0) ， A( 1 ,1)， C (3 ,2) ，224所以直线 CN 的方程为 y 4(x 3) ，3 ?MN 所214x 25, ，y(x 3),联立3 解得2272xy 29,y25,当 PN 过点 C 时， 21 72 P(2251,2752)， sin24 25 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分则 PN 2 (3cos) ，设 P(3cos ,3sin ) ，223)2(3sin )2 18 18cos ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分所以总造价 f ( ) 3a 3( π) 2 9πa( 18 9 2所以 f ( ) a(18sin 9) ，a(18 18cos )18cos ) ， (0, 0)， sin 02425⋯ 10 分 CD sin BDCsin B2 6 ，8所以 sin 的取值范围是 （0, 24） ．(第 17 题 )2） M ? P 的长为c1 a219．1)2)3)由题意，得a2b27，解得2 2 2a b c ，所以椭圆的方程为2)因为B，F 在直线xy解方程组 c b2x2 y2a2b2所以点P 的坐标为2y3 1．PB 上，所以直线1，得1，x1a2b24，3.4分2a2ca2+c2b a2PB 的方程为c x y b 1．2 c22 a +c22ac2 2 2 2 a +c a +c( 2a2 cy1)．x2y20，b，8分因为直线PB 的斜率k PB0 ( b)PB c 0b a2c22 2 0直线PA 的斜率 k PA a +2c2a2c22 a+cb a2b，c22b a c22a2c a(a2+c2)baa(a22 cc)2a(2ac (a2 +c2))又因为直线PA和PB 的斜率之积为1622 a2c2ac(a c)b ac b b a c 所以b=a(a c) c ac(a c) 化简得6a2 13ac 6c 2 (3a 3c ，2．3．2x因为 a c ，所以2a所以椭圆的离心率eac2c)(2a 3c) 0 ，baa(aaccc)，12分1，6，16分当 a 1 时，则f(0) 1，所以曲线y f (x)在点(0, f(0)) 处的切线方程为y 1．⋯⋯⋯因为 f (x) 在[1,2] 上单调递增，所以f (x)≥0在[1,2] 上恒成立，即 f (x) e x 2x a≥0在[1,2] 上恒成立，所以a≤e x2x在[1,2] 上恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又因为函数y e x 2x在[1,2] 上单调递增，所以a≤e 2，当且仅当a e 2，x 1时，f (1) 0，所以 a 的取值范围为( 不等式 f (x) 令 g(x) e xf(x) e xf (0)0 ，x2axx ， f (x) e x 2x 1，2分4分e,e 2] ．1 即e x ax 1， 1，则 g (x) e xa ，6分①当a≤1时， g (x) e x a 0在(0, )上恒成立，所以 g(x)在(0, )上单调增，所以 g(x) g(0) 0 ，不符合题意；⋯10分②当a 1时，由g(x) 0得 x ln a，列表如下：令 b lna ，在 (0,ln a) 上，总有，符合题意，综上所述， a 的取值范围为 (1, ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分20．( 1)当 n 1时，a1 a4 a2 a3 ，所以a4 5，当n 2时，a2 a5 a3 a4，所以a5 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分(2)因为a n a n 3 a n 1 a n 2 ，当n≥ 2 时，a n 1 a n 2 a n a n 1 ，两式相加得，a n 1 a n 3 2a n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分即an 3an 1an 1an 1 ，所以{a2n 1}为等差数列，设公差为 d1，{a2n} 为等差数列，设公差为 d2．所以 (a2 n+2 ma2n 3 ) (a2n ma2n 1) (a2n+2 a2n) m(a2n 3 a2n 1) d2 md1，所以{a2n ma2n 1} 成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3) 设奇数项所成等差数列的公差为d1，偶数项所成等差数列的公差为d2 ．①当n 为奇数时，则6所以n1 d121d1 d2≥ 0, 1 (d1 d2)n1a n 6 d1 ， a n 12n 1d2，即 n(d12d2d10,，故d2)d1②当n 为偶数时，n(n21)d2，a nn13d22，18 2(d2 d1) 0 ，d2 ≥0 ．n6 d1 ，2112分则 3 (n 1)d222d1 d2 ≤ 0, 所以1 22 (d1 d2) 综上可得， d1 d2 又n d1，21n(d1d2)18 2d2 0 ，a3 a4a1a218 2d2 0,9．d2d1，故d1d1d2 ≤0,9,14 分所以当n 为奇数时，3 2d1 33 ，所以 d1 18 ． n1 2( 18) 15 9n ；当n 为偶数时，a n故数列{a n} 的通项公式为(n2an1)15( 18) 15 9n ．9n，n N*．16 分21． A ． 2) B ． 1) 2) C ． 1) 2) 徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案与评分标准 3 b1)由条件知， 由( 1)知， A 矩阵 A 的特征多项式为 ，所以3a b24, 4,解得1,⋯ 5 分 2.f( 令 f( ) 0 ，解得 A 的特征值为 在 △OAB 中， A(4, π) ， B(2,π) ， 62 由余弦定理，得 AB 321和4．3)(2) 2(1)(4)，10分42 22 2 4 2cos( π π) 2 3 ． 直线 l 的普通方程为 3x 2y 4 0 ， 点 A 的直角坐标为 (2 3,2) ， 所以点 A 到直线 l 的距离为 | 3 2 3 2 2 4|( 3) 2 ( 2)2不等式 f(x) 2即|x 1| 2，则 x 1 2或 x 1 所以不等式 f (x) 2的解集为 ( , 3)U (1, )． (a 1)x 2,5分g(x) | x 1| |ax 1| (1 a)x, 1≤ x ≤ 由a 1可知，函数 (a 1)x 2,1,1,a1. ag(x)在( 67 710 分2 ，解得 x 1或 x3， 4分1 1, ) 上单调增， a 1) 上单调减，在a 1a BO ， 1 g(x) 的最小值为 g( 1) 22．( 1)取 AC 的中点 O ，连接 FO ， 在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， uuur uuur uuur 以{OA,OB,OF} 为基底建立空间直角坐标系 则 A(1，0，0) ， B(0， 3，0)， E(1，0，1) ， B 1(0， 3，0)， C 1( 1，0，2) ， uuur uuuur 所以 EF ( 1，0，1) ， BC 1 ( uuur uuuurEF gBC 1 uuur uuu 1ur 所以 1， 2 解得 a 2．10 分FO 平面 BO AC ，ABC ， O xyz 如图所示， F (0，0，2) ， 1， uuur uuuur 所以 cos EF ，BC 1， 3，2) ， 3， |EF ||BC 1|4 ，A 1 z3所以异面直线 BC 1与 EF 所成角的余弦值为 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4 uuur uuur2）因为 G 为 AB 的中点，所以G （1， 3，0） ，则 EF （ 1，0，1） ，EG （ 1，3， 1）r2 2 2 2设平面 EFG 的法向量为 n 1 （x 1， y 1， z 1 ） ，r平面EGB1的法向量为n 2 （ x 2，y 2，z 2 ） ，r uuur x1z 1 0n 1 EF 0 则r uuur ，所以 1 3，n 1 EG 0x 1y z 1 0r2 1 2 1令 z 1 1 ，得 n (1， 3，1) r ，同理 n （ 3，1，rr 所以 cos n 1,n 2rr n 1gn 2rr15 ， |n 1 ||n 2r | r 5 所以二面角的大小与向量 n 1，n 2 所成的角相等或互补， 由图形知，二面角B 1 EGF 的余弦值为 15．510 分23．（ 1）因为 a n 1 a n 2 a n，即 an 1 a n1 a n ．要证 1 ≤ an 12 a n 用数学归纳法证明： 12 ，命题成立；1，只需证 0an≤12 ． 2分n 1 时，a 1 假设当 k (k ≥1，k N * ）时命题成立，0 a k ≤12 ， 则当 n 1 时，有 a k 1 2a k a k a k由于 0 1a k 1≤ 41 ，显然有 所以当 所以对任意a k ≤ 21，所以 0 k 1 时，命题也成立． 0 a n ≤ 21成立，即 n N ，都有 kA n k 1 k nC n 1，k!所以 kC k n (2a n 1)k(2a 因此 C 1n (2a n2）因为 kC k n 1， 4， a k 1≤ 12， 1 a n 1≤ 2 a n 1得证． 4分 6分(2a n 1)nk1kC k n (2a n1)nC kn 11(2a n 1) 1)2n2 1) 2C n 2(2a n n12a n ．11)k L nC n n (2a n 1)n1。
徐州市2020年1月高三年级第一次调研考数学试卷附答案解析
连云港市2020届高三第一学期期末调研考试数学I 参考答案与评分标准一、填空题：1．{12}x x -<<2．2i -3．454．205．[4,+)¥6．127．48．149．13510．π211．22(2)8x y ++=12．313．4714．34二、解答题：15．（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN //BC ．………………………………3分又MN Ì平面AMN ，BC Ë平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分（2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ^．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AM Ì平面P AB ，所以AM ^平面PBC ．…………………………………………………………12分又AM Ì平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ．…………………………14分16．（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，220225b +-´=，即2450b b --=，…………………………4分解得5b =或1b =-（舍），所以5b =．………………………………………6分（2）由cos A =及0A <<p得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )4C A B A A A p =p -+=-+=-，又因为0C <<p，所以sin C ===，从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ´===---．………………………………………14分17．（1）在SAO △中，4SO ==，…………………………2分A PNM C B由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r ¢=-，令()0V r ¢=，得2r =，………………………9分当(0,2)r Î时，()0V r ¢>，所以()V r 在(0,2)上单调递增；当(2,3)r Î时，()0V r ¢<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18．（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak =+-12，故2222b a b k -=．所以椭圆C的离心率e ==………………………………4分（2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=，由ïîïíì=-=c a x a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分由ïîïíì-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ，解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b k ab a k a b ab k a k y p +-=-+-=，所以)2-2222222223ka b k ab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分因为0=×OQ OP ，所以02)(222222222232=+-×-++-×ka b k ab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b ac a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（1）()2111()ln f x x a x x x ¢=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a ¢=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x-+¢=存在两个不相等的零点．所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x ¢=+．①当0a ≥时，()0g x ¢>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x aÎ-，时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当1(+)x aÎ-¥，时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--．…………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点．…………8分因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a=-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-¢=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+¥，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x -+¢=+-=，设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x¢=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x Î，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x Î，时，()0g x <，即()0f x ¢<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x Î¥，时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以()f x 单调递增，所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x Î，，所以0()(10)f x Î-，，因为()f x l ≥，且l 为整数，所以1l -≤，即l 的最大值为1-．………16分20．（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=´--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=，所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2．…………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - ,ìï=í2,ïî为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4mm S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=´->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,m t m S b t S -=>Î*N ，…………………………………………………………8分则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m m m m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤，即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m mm m mm m S S m m m m +---+==+--+--++，设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=，所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+，即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t l l l l l --==-----．…………2分因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321éù=êúëûM ，所以11313213221324422112132213222--éùéù-êúêú´-´´-´==êúêú--êúêú´-´´-´ëûëûM ．……10分B ．由:cos sin 120l r q r j +-=，及cos x r q =，sin y r q =，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=．………………………………………2分在曲线C上取点()2sin M j j ，，则点M 到l的距离124sin 3d j p-+===，…………6分（第22题）当6j p =时，d取最小值…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分C ．因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x =++×++++++++ (5)分29=≥，当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分22．（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ^，因为平面11AA B B ^平面11BB C C ，平面11AA BB平面111BB C C BB =，AB Ì平面11AA B B ，所以AB ^平面11BB C C .……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，．在菱形11BB C C 中，因为1160BB C Ð=°，所以1(0 1 C ，，所以1( 2 1 AC =-，因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为a ，则1sin |cos ,|AC a =<>=n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =，，．设平面1ACC 的一个法向量为()1111x y z =，，n ，因为11110,0,AC CC ì×=ïí×=ïîn n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ì×-=ïí×=ïî，，，，，，，，取1x ，10y =，11z =，即1 0 1ö=÷ø，，n ．设平面1ABC 的一个法向量为()2222x y z =，，n ，因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，，所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ×=ìïí×=ïî，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分设二面角1B AC C --的平面角为q ，则121212cos cos q ×=-<>=-==×，n n n n n n 所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23．（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=，又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k kn n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==å；…………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33nnkk n k kk nk k n k a x n k -==-=-åå012121C ()()C ()()3333nn k n k k k n k k nn k k n k --===-åå1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-å1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-å1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-å的值为23n ．………………………………………………10分。
江苏省徐州市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析
江苏省徐州市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，I是∆ABC的内心，AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF 的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．104．在0，﹣2，35）A．0 B．﹣2 C．3 D55．一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4C．3，1，2 D．2，1，0.26．下列运算正确的是（）A．a6÷a2=a3B．（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2C．（﹣a）2•a3=a6D．5a+2b=7ab7．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2017年第二季度环比有所提高B．2017年第三季度环比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高8．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y的最小值是（）A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+19．一、单选题如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，则BE的长为（）A．5 B．4 C．3 D．210．近似数2精确到（）5.010A．十分位B．个位C．十位D．百位11．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（）A．6 B．9 C．10 D．12 12．若()292mm--=1，则符合条件的m有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=33x-33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A3的横坐标为______；点A2018的横坐标为______．14．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______．15．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则a+b+2c__________0（填“>”“=”或“<”）．16．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，F 为AB 上一点，AF ＝2，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2cm/s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以lcm/s 的速度运动，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5），连D 交CF 于点G ．若CG ＝2FG ，则t 的值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题： 成绩 频数 频率 优秀 45 b 良好 a 0.3 合格 105 0.35 不合格60c（1）该校初三学生共有多少人？求表中a ，b ，c 的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20．（6分）如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一个动点（不与点,A C 重合），连接PB 过点P 作PF PB ⊥，交直线DC 于点F ．作PE AC ⊥交直线DC 于点E ，连接,AE BF ．（1）由题意易知，ADC ABC ∆∆≌，观察图，请猜想另外两组全等的三角形∆ ∆≌ ；∆∆≌ ；（2）求证：四边形AEFB 是平行四边形；（3）已知22AB =，PFB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．22．（8分）如图，以AD 为直径的⊙O 交AB 于C 点，BD 的延长线交⊙O 于E 点，连CE 交AD 于F 点，若AC ＝BC ．（1）求证：»»AC CE =；。
江苏省徐州市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷含解析
江苏省徐州市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．13262．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣23．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减小4．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=05．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．下列各数中负数是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣2| C．（﹣2）2D．﹣（﹣2）37．下列计算正确的是()A．a2•a3＝a6B．(a2)3＝a6C．a2+a2＝a3D．a6÷a2＝a38．已知方程组2728x y x y +=⎧⎨+=⎩，那么x+y 的值（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．59．整数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，实数c 在数轴上且满足a c b ≤≤，如果数轴上有一实数d ，始终满足0c d +≥，则实数d 应满足（ ）.A ．d a ≤B ．a d b ≤≤C ．d b ≤D ．d b ≥10．某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ） 学生数（人）5 8 14 19 4 时间（小时）6 7 8 9 10 A ．14，9 B ．9，9 C ．9，8 D ．8，911．如图是由4个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．12．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝50°，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分別交AB 、BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为_____14．如图，O e 的半径为1cm ，正六边形ABCDEF 内接于O e ，则图中阴影部分图形的面积和为________2cm （结果保留π）．15．已知函数y=|x 2﹣x ﹣2|，直线y=kx+4恰好与y=|x 2﹣x ﹣2|的图象只有三个交点，则k 的值为_____． 16．一次函数y=（k ﹣3）x ﹣k+2的图象经过第一、三、四象限．则k 的取值范围是_____．17．已知a ，b ，c ，d 是成比例的线段，其中3cm a =，2cm b =，6cm c =，则d =_______cm ． 18．如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E ，F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg ），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中m 的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ） 根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg 的约有多少只？20．（6分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 边上的中线．（1）按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C 作直线CE ，使CE ⊥BC 于点C ，交BD 的延长线于点E ，连接AE ；（2）求证：四边形ABCE 是矩形．21．（6分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AD 、OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE求证：四边形AOBE 是菱形若180EAO DCO ∠+∠=︒，2DC =，求四边形ADOE 的面积22．（8分）﹣（﹣1）2018+4﹣（13）﹣1 23．（8分）为看丰富学生课余文化生活，某中学组织学生进行才艺比赛，每人只能从以下五个项目中选报一项:A .书法比赛，B .绘画比赛，C .乐器比赛，D .象棋比赛，E .围棋比赛根据学生报名的统计结果，绘制了如下尚不完整的统计图：图1 各项报名人数扇形统计图：图2 各项报名人数条形统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）学生报名总人数为 人；（2）如图1项目D所在扇形的圆心角等于；（3）请将图2的条形统计图补充完整；（4）学校准备从书法比赛一等奖获得者甲、乙、丙、丁四名同学中任意选取两名同学去参加全市的书法比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率.24．（10分）有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．随机抽取一张卡片，求抽到数字“﹣1”的概率；随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率．25．（10分）解不等式：3x﹣1＞2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．26．（12分）如图，AB为⊙O直径，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，射线DC切⊙O于点C、交AB的延长线于点P，连接AC交DE于点F，作CH⊥AB于点H．（1）求证：∠D=2∠A；（2）若HB=2，cosD=35，请求出AC的长．27．（12分）为了解黔东南州某县中考学生的体育考试得分情况，从该县参加体育考试的4000名学生中随机抽取了100名学生的体育考试成绩作样本分析，得出如下不完整的频数统计表和频数分布直方图．成绩分组组中值频数25≤x＜30 27.5 430≤x＜35 32.5 m35≤x＜40 37.5 2440≤x＜45 a 3645≤x＜50 47.5 n50≤x＜55 52.5 4（1）求a、m、n的值，并补全频数分布直方图；（2）若体育得分在40分以上（包括40分）为优秀，请问该县中考体育成绩优秀学生人数约为多少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，故选：C．点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.2．C【解析】【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得-2＜-1＜1＜1，∴在1、-1、1、-2这四个数中，最大的数是1．故选C ．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．3．C【解析】如图所示，连接CM ，∵M 是AB 的中点，∴S △ACM =S △BCM =12S △ABC ， 开始时，S △MPQ =S △ACM =12S △ABC ； 由于P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，从而点P 到达AC 的中点时，点Q 也到达BC 的中点，此时，S △MPQ =14S △ABC ； 结束时，S △MPQ =S △BCM =12S △ABC ． △MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大．故选C ．4．D【解析】试题分析：根据题意得a≠1且△=2440ac -≥，解得4ac ≤且a≠1．观察四个答案，只有c ＝1一定满足条件，故选D ．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．5．B【解析】【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为：则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，故选B ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．【详解】请在此输入详解！【点睛】请在此输入点睛！6．B【解析】【分析】首先利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简，进一步利用负数的意义判定即可．【详解】A 、-（-2）=2，是正数；B 、-|-2|=-2，是负数；C 、（-2）2=4，是正数；D 、-（-2）3=8，是正数．故选B ．【点睛】此题考查负数的意义，利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简是解决问题的关键． 7．B【解析】试题解析：A.235,a a a ⋅=故错误. B.正确.C.不是同类项，不能合并，故错误.D.624.a a a ÷=故选B.点睛：同底数幂相乘，底数不变,指数相加.同底数幂相除，底数不变,指数相减.解：2728x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：3(x+y)=15，则x+y=5，故选D9．D【解析】【分析】根据a≤c≤b，可得c的最小值是﹣1，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由a≤c≤b，得：c最小值是﹣1，当c=﹣1时，c+d=﹣1+d，﹣1+d≥0，解得：d≥1，∴d≥b．故选D．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用a≤c≤b得出c的最小值是﹣1是解题的关键．10．C【解析】【详解】解:观察、分析表格中的数据可得：∵课外阅读时间为1小时的人数最多为11人，∴众数为1．∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，第25个和第26个数据的均为2，∴中位数为2．故选C．【点睛】本题考查（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；（2）中位数的确定要分两种情况：①当数据组中数据的总个数为奇数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的那个数就是中位数；②当数据组中数据的总个数为偶数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数的平均数是这组数据的中位数. 11．A【解析】试题分析：从上面看是一行3个正方形．【解析】分析：由已知条件可知，从正面看有1列，每列小正方数形数目分别为4，1，2；从左面看有1列，每列小正方形数目分别为1，4，1．据此可画出图形．详解：由俯视图及其小正方体的分布情况知，该几何体的主视图为：该几何体的左视图为：故选：B．点睛：此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．115°【解析】【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=12×130°=65°，于是得到结论．【详解】∵∠ABC=50°，∴∠BAC+∠ACB=130°，∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM=PM，PN=CN，∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，∵∠APC=180°-∠APM-∠CPN=180°-∠PAC-∠ACP，∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP=12×130°=65°， ∴∠APC=115°，故答案为：115°【点睛】 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．14．6π. 【解析】【分析】连接OA,OB,OC ，则根据正六边形ABCDEF 内接于O e 可知阴影部分的面积等于扇形OAB 的面积，计算出扇形OAB 的面积即可.【详解】解：如图所示，连接OA,OB,OC ，∵正六边形ABCDEF 内接于O e∴∠AOB=60°，四边形OABC 是菱形，∴AG=GC,OG=BG ,∠AGO=∠BGC∴△AGO ≌△BGC.∴△AGO 的面积=△BGC 的面积∵弓形DE 的面积=弓形AB 的面积∴阴影部分的面积=弓形DE 的面积+△ABC 的面积=弓形AB 的面积+△AGB 的面积+△BGC 的面积=弓形AB 的面积+△AGB 的面积+△AGO 的面积=扇形OAB 的面积=2603601π⨯ =6π 故答案为6π.【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式，利用数形结合进行转化是解题的关键.15．1﹣2或﹣1【解析】【分析】直线y=kx+4与抛物线y=-x1+x+1（-1≤x≤1）相切时，直线y=kx+4与y=|x1-x-1|的图象恰好有三个公共点，即-x1+x+1=kx+4有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时k的值，另外当y=kx+4过（1，0）时，也满足条件．【详解】解：当y=0时，x1-x-1=0，解得x1=-1，x1=1，则抛物线y=x1-x-1与x轴的交点为（-1，0），（1，0），把抛物线y=x1-x-1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-x1+x+1（-1≤x≤1），当直线y=kx+4与抛物线y=-x1+x+1（-1≤x≤1）相切时，直线y=kx+4与函数y=|x1-x-1|的图象恰好有三个公共点，即-x1+x+1=kx+4有相等的实数解，整理得x1+（k-1）x+1=0，△=（k-1）1-8=0，解得k=1±2，所以k的值为22．当22＜-1不符合题意，舍去．当y=kx+4过（1，0）时，k=-1，也满足条件，故答案为2或-1．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：翻折变化不改变图形的大小，故|a|不变，利用顶点式即可求得翻折后的二次函数解析式；也可利用绝对值的意义，直接写出自变量在-1≤x≤1上时的解析式。
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徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的逆矩阵．
B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，
直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）．在曲线上求点，使点到的距离最小，并求出最小值．
231t ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦M 4M 1-M xOy O x l (cos sin )12ρθθ+=
C 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
θ
θ∈R C M M l
C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知正数满足，求的最小值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形，，平面平面．
（1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值．
x y z ，，1x y z ++=111222x y y z z x
+++++111ABC A B C -11AA B B 11BB C C 1160BB C ∠=︒11AA B B ⊥11BB C C 1AC 11AA B B 1B AC C --（第22题）
B
A
C
1
A 1
C 1
23．（本小题满分10分）
已知为给定的正整数，设，．
（1）若，求，的值；
（2）若，求的值．
n 20122
()3
n n n x a a x a x a x +=++++ x ∈R 4n =0a 1a 1
3x =0
()n
k k k n k a x =-∑。