新人教版B版2021届高考数学一轮复习单元质量测试5含解析

单元质量测试(五)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝2＋i
i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D 解析 由z ＝
2＋i
i
＝2＋i i
i
2
＝1－2i ，知其在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，该点位于第四象限，故选D.
2．已知i 是虚数单位，复数z 满足2z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A ．5
B ． 5
C ．
55
D ．15
答案 C
解析 由2z 1－z ＝i ，得2z ＝i －i z ，则z ＝i
2＋i
＝
i 2－i 2＋i 2－i ＝15＋2
5
i ，所以|z |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫252＝55.故选C.
3．(2019·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )
A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 答案 C
解析 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推出丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
4．若m >n >0，p <q <0，则一定有( )
A.m q >n p
B ．m q <n p
C ．m p >n q
D ．m p <n q
答案 B
解析 由m >n >0，p <q <0，可得|m |>|n |>0，|p |>|q |>0，所以|n p |<|m q |，而m p ，m q ，n p ，n q
均为负数，所以n p >m q .而m p 与n q
的大小无法比较，故选B.
5．分析法又称执果索因法，已知x ＞0，则用分析法证明1＋x ＜1＋x
2时，索的因是( )
A ．x 2
＞2 B ．x 2
＞4 C ．x 2＞0 D ．x 2
＞1
答案 C
解析 因为x ＞0，所以要证1＋x ＜1＋x
2，只需证(1＋x )2
＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x 22
，即证0＜x 2
4，即
证x 2＞0，故索的因是x 2
＞0.
6．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f (x )＝2019x
2018
＋2018x
2017
＋…＋2x ＋1，程序框图设计的是求f (x 0)的值，在M
处应填的执行语句是( )
A ．n ＝2018－i
B ．n ＝2019－i
C ．n ＝i ＋1
D ．n ＝i ＋2
答案 B
解析 由题意知，n 的值为多项式的系数，由程序框图可知，处理框处应该填入n ＝2019－i .故选B.
7．已知平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋4y －18≤0，x ≥2，
y ≥0
夹在两条斜率为－3
4
的平行直线之间，且这
两条平行直线间的最短距离为m .若点P (x ，y )∈Ω，则z ＝mx －y 的最小值为( )
A.95 B ．3 C ．245
D ．6
答案 A
解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分，∵平面区域Ω夹在两条斜率为－3
4的平
行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m ，∴m ＝|3×2－18|5＝125.令z ＝mx －y ＝12
5
x －
y ，则y ＝125x －z ，由图可知，当直线y ＝125
x －z 过B (2,3)时，直线在y 轴上的截距最大，z
有最小值245－3＝9
5
.故选A.
8．(2019·四川省内江二模)执行下面的程序框图，若输出的S ＝110，则判断框处为( )
A ．k <10?
B ．k ≥11?
C ．k ≤10?
D ．k >11?
答案 C
解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝
k 2＋2k
2
＝k (k ＋1)，由S
＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.
9．在平面直角坐标系中，A (－4,0)，B (－1,0)，点P (a ，b )(ab ≠0)满足|AP |＝2|BP |，则4a 2＋1
b
2的最小值为( )
A ．4
B ．3
C ．32
D ．94
答案 D
解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)满足|AP |＝2|BP |，∴|AP |2＝4|BP |2，即(a ＋4)2＋b 2
＝4[(a ＋1)2
＋b 2
]，化简得a 2
＋b 2
＝4，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a 2＋1b 2(a 2＋b 2
)＝4＋1＋4b 2
a 2＋a 2
b 2≥5＋2
4b
2
a 2·a 2
b 2
＝5＋4＝9⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当a 2＝2b 2＝83时等号成立，∴4a 2＋1b 2的最小值为94，故选D. 10．(2019·山东滨州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，3x －y ≥1，
y ≥x ＋1，若z ＝ax ＋
by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )
A ．1
B ．12
C ．1
4 D ．16
答案 D
解析 作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)，故当x ，y 均取最小值时，z 取到最小值．即当x ＝2，y ＝3时，z ＝ax ＋by 取得最小值2，即2a ＋3b ＝2，所以2a ·3b ≤
2a ＋3b 2
4＝1，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝1
3
时等号成立，
所以(6ab )max ＝1，即(ab )max ＝1
6
.
11．(2019·河南郑州三模)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的
“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：
，则5288用算筹式可表示为( )
答案 C
解析 由题意可知，5288用算筹式表示，从左到右依次是横式5，纵式2，横式8，纵式8.故选C.
12．(2019·邯郸调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16
b －1的最小值为( )
A ．16
B ．25
C ．36
D ．49
答案 A
解析 因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝
4
b －1＋16a －1
a －1
b －1
＝
4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝20＋
4⎝
⎛⎭
⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2 b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝3
2
，b ＝3时取等号．所以
4a －1＋16b －1≥36－20＝16，即4a －1＋16
b －1
的最小值为16. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2019·长春质检二)更相减损术是出自《九章算术》的一种算法，如图所示的程序
框图是依据更相减损术写出来的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出a 的值为________．
答案 13
解析 第一次循环得：a ＝91－39＝52；第二次循环得：a ＝52－39＝13；第三次循环得：
b ＝39－13＝26；第四次循环得：b ＝26－13＝13，此时a ＝b ，所以输出a 的值为13.
14．(2019·大庆质检一)若f (x )＝e x ln a ＋e －x
ln b 为奇函数，则1a ＋2b
的最小值为
________．
答案 2 2
解析 由f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数，则有f (0)＝ln a ＋ln b ＝0，即ab ＝1(a >0，
b >0)．从而1a ＋2
b
≥2
2
ab ＝22，当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时，取等号．故1a ＋2
b
的最小值为2 2.
15．(2019·豫南九校联考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，
2x －y －2≤0
表示的平面区域为D ，若对
任意的(x ，y )∈D ，不等式t －4<x －2y ＋6<t ＋4恒成立，则实数t 的取值范围是________．
答案 (3,5)
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，
C (1,0)．设z ＝x －2y ＋6，平移直线y ＝1
2
x ，可知z ＝x －2y ＋6在A (3,4)处取得最小值1，在
C (1,0)处取得最大值7，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
t －4<1，
t ＋4>7，解得3<t <5.故实数t 的取值范围是(3,5)．
16．(2019·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝
πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2
，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，
若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3
，则其四维测度W ＝________.
答案 3πr 4
解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2
，观察发现
S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝4
3
πr 3
，观察发现V ′
＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3
，∴W ＝3πr 4
.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC, AD ⊥BC 于点D ，求证：
1
AD
2
＝
1
AB
2
＋
1
AC 2
，
那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
解 如图(1)所示，由射影定理知
AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，
所以
1
AD
2
＝
1
BD ·DC
＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2
AB 2·AC 2
. 又BC 2
＝AB 2
＋AC 2
，
所以1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋
1
AC 2
所以
1AD
2
＝
1
AB
2
＋
1
AC 2
.
在四面体A －BCD 中，AB, AC, AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于点E ，则
1AE
2
＝1AB
2
＋1AC
2
＋1AD 2
.
证明如下：如图(2)，连接BE 交CD 于点F ，连接AF .
因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，所以1AE
2
＝
1
AB
2
＋
1
AF 2
.
在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，
1
AF
2
＝
1
AC
2
＋
1
AD 2
.
所以
1
AE
2＝
1
AB
2＋
1
AC
2＋
1
AD 2
.
18．(2019·湖南浏阳调研)(本小题满分12分)已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．
解 由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.
(1)∵x >0，y >0，lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)， ∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1.
∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2
－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.
∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.
(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22.
∴3(x ＋y )2
－4(x ＋y )－4≥0.
∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2. 19．(本小题满分12分)关于x 的不等式组
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －2＞0，2x 2
＋2k ＋5x ＋5k ＜0
的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．
解 不等式x 2
－x －2>0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 不等式2x 2
＋(2k ＋5)x ＋5k <0， 即为(2x ＋5)(x ＋k )<0，(*)
当－k ＜－52，即k ＞52时，(*)的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52，此时－2不在不等式组的解集中，所以k >5
2
不符合题意；
当－k ＝－52，即k ＝5
2时，(*)无解，也不符合题意；
当－k ＞－52，即k <52时，(*)的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－k . 要使不等式组的整数解的集合为{－2}，
借助数轴可得－2<－k ≤3，解得－3≤k <2， 又k <5
2
，所以－3≤k <2.
综上，实数k 的取值范围是[－3,2)．
20．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 2
2≥12.
证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2
＋(x －a 2)2
，
则f (x )＝2x 2
－2(a 1＋a 2)x ＋a 2
1＋a 2
2＝2x 2
－2x ＋a 2
1＋a 2
2， 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，
所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 2
2≥12
.
(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明． 解 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ≥1n
.
(2)证明：构造函数
f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，
则f (x )＝nx 2
－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n ＝nx 2
－2x ＋a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n ， 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n )≤0， 从而得a 21＋a 22＋…＋a 2
n ≥1n
.
21．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2
－200x ＋80000，
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
y x ＝12x ＋80000x
－200≥212x ·80000
x
－200
＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000
x ，
即x ＝400时等号成立．
故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则
S ＝100x －y
＝100x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－200x ＋80000
＝－12x 2
＋300x －80000
＝－12(x －300)2
－35000.
∵400≤x ≤600，
∴S max ＝－12
×(400－300)2
－35000＝－40000.
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．
22．(本小题满分12分)设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ≥3，n ∈N *
)，记M 的含有三个元素的子集的个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .
(1)求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6
的值； (2)猜想T n S n
的表达式，并证明．
解 (1)T 3S 3＝2，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝7
2
.
(2)猜想T n S n ＝
n ＋12
(n ≥3，n ∈N *
)．
下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由(1)知猜想成立；
②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *
)时，猜想成立， 即T k S k ＝
k ＋12，而S k ＝C 3
k ，所以T k ＝k ＋12
C 3k .
则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3
k ＋1，
而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k ，
所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1)＝
k ＋1
2
C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2
k )
- 11 - ＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝
k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝k ＋1＋12S k ＋1， 故T k ＋1S k ＋1＝k ＋1＋12
. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立，即T n S n ＝n ＋12
(n ≥3，n ∈N *)．。