新人教版初中数学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若
11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
2．若2x y +=，1xy =-，则()()1212x y --的值是（ ）
A ．7-
B ．3-
C ．1
D ．9
3．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A ．2105525x x x x x -=⋅-
B ．()a x y ax ay +=+
C ．()22442x x x -+=-
D ．()()2163443x x x x x -+=-++ 4．如下列试题，嘉淇的得分是（ ）
姓名：嘉淇 得分：
将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）
①242(12)xy xyz xy z -=-；②2363(12)x x x x --=--；③221(2)a +a a a +=+；④2224(2)m n m n -=-；⑤22222()()x y x y x y -+=-+-
A ．40分
B ．60分
C ．80分
D ．100分 5．在下列的计算中正确的是（ ） A ．23a ab a b ⋅=；
B ．()()2224a a a +-=+；
C ．235x y xy +=；
D ．()2
2369x x x -=++ 6．下列运算中，正确的个数是（ ）
①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+= A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．2a =1，b 是2的相反数，则a+b 的值是（ ） A ．1
B ．-3
C ．-1或-3
D ．1或-3 8．记A n ＝（1﹣212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣21n
），其中正整数n ≥2，下列说法正确的是（ ）
A ．A 5＜A 6
B ．A 52＞A 4A 6
C ．对任意正整数n ，恒有A n ＜34
D ．存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜10082015
9．如果单项式223a b a b m n -+-与38b m n 是同类项，那么这两个单项式的积是（ ） A ．6163m n -
B ．6323m n -
C ．383m n -
D ．6169m n - 10．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ） A ．21
B ．23
C ．25
D ．29 11．长和宽分别为a ，b 的长方形的周长为16，面积为12，则22 a b ab +的值为（ ） A ．24
B ．48
C ．96
D ．192 12．下列运算正确的是（ ）． A ．236x x x =
B ．2242x x x +=
C ．22(2)4x x -=-
D ．358(3)(5)15a a a --=
二、填空题
13．已知2a －b ＋2＝0，则1－4a ＋2b 的值为______．
14．观察下列各式：
2(1)(1)1x x x -+=-；
(
)23(1)11x x x x -++=-； ()
324(1)11x x
x x x -+++=-； …… （1）()432(1)1x x x x x -++++=___；
（2）根据规律可得：()1(1)1n x x x --+++=_____（其中n 为正整数）；
（3）计算：()504948
2(31)333331-++++++； 15．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知min{21,}21a =，min{21,}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则
a+b =_____．
16．若()2340x y -++=，则x y -=______．
17．分解因式：32520=x xy -________________．
18．如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b =________． 19．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．
20．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．
三、解答题
21．因式分解
（1）m 3﹣36m
（2）（m 2+n 2)2-4m 2n 2
22．（1）计算：()()()()2
3232121a a a a a -++-+-
（2）分解因式：244xy xy x -+
23．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出()2a b +、()2
a b -、ab 之间的等量关系是______；
（2）拓展应用：若()()22202020217m m -+-=，求()()20202021m m --的值． 24．分解因式：
（1）25105x x ++
（2）()()2249a x y b y x -+-
25．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
2222221()()()2
x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁、美观．
（1）请你检验说明这个等式的正确性；
（2）若ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，当222a b c ab bc ca ++=++时，试判断ABC 的形状；
（3）若327a b -=，227
a c -=，且22241a
b
c ++=，求22ab bc ac ++的值． 26．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x 2y +6xy ﹣9y ；
（2）9（x +2y ）2﹣4（x ﹣y ）2；
（3）1﹣x 2﹣y 2+2xy ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x 的值．
【详解】 解：根据题意化简11 11
x x x x +--+=12，得（x+1）2-（x-1）2=12， 整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-12=0，即4x=12，
解得：x=3，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 2．A
解析：A
【分析】
利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x+y=2，xy=-1，
∴（1-2x ）（1-2y ）=1-2y-2x+4xy=1-2（x+y ）+4xy=1-2×2-4=-7；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．
【详解】
解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；
B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；
C 、()2
2442x x x -+=-，是分解因式；
D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．
【点睛】
此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据提公因式法及公式法分解即可．
【详解】
①242(12)xy xyz xy z -=-，故该项正确；
②2363(12)x x x x --=-+，故该项错误；
③2221(1)a +a a +=+，故该项错误；
④224(2)(2)m n m n m n -=+-，故该项错误；
⑤22222()()x y x y x y -+=-+-，故该项正确；
正确的有：①与⑤共2道题，得40分，
故选：A ．
【点睛】
此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键． 5．A
解析：A
【分析】
根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
A 、a 2•ab ＝a 3b ，正确；
B 、应为（a ＋2）（a−2）＝a 2−4，故本选项错误；
C 、2x 与3y 不是同类项不能合并；
D 、应为（x−3）2＝x 2−6x ＋9，故本选项错误．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
6．A
解析：A
【分析】
①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；
③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.
【详解】
∵2x 与3x 不是同类项，无法合并，∴①是错误的；
∵()3
26x x =，∴②是正确的； ∵032112-1=1⨯-=⨯，∴③是错误的；
∵53-5+3=-2--+=，∴④是错误的；
综上所述，只有一个正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.
7．C
解析：C
【分析】
根据平方及相反数定义求出a 、b 的值，代入a+b 计算即可．
【详解】
∵2a =1，b 是2的相反数，
∴1a =±，b=-2，
当a=1时，a+b=1-2=-1，
当a=-1时，a+b=-1-2=-3，
故选：C ．
【点睛】
此题考查求代数式的值，根据平方及相反数定义求出a 、b 的值是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
根据平方差公式因式分解然后约分，便可归纳出来即可．
【详解】
解：A 、A 5＝22221111631111==2345105⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
--- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A 6＝231715612
⎛
⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 37512
> ∴A 5＞A 6，
此选项不符合题意；
B 、A 4＝2221115111=2348⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴A 52＝
925，A 4A 6＝5735=81290⨯， ∵9352590
<， ∴A 52＜A 4A 6，
此选项不符合题意；
C 、∵A 2＝2131=24-
， 且345674681012
<<<<<， ∴n ≥2时，恒有A n ≤34
， 此选项不符合题意；
D 、当m ＝2015时，A m ＝
2015+120161008==2201540302015⨯， 当n ＞m 时，A n ＜10082015
， ∴存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜
10082015， 此选项符合题意；
故选择：D ．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出a 和b ，再利用单项式乘以单项式计算结果即可．
【详解】
解：由题意可得：
2328a b a b b -=⎧⎨+=⎩
， 解得：72a b ==，，
则这两个单项式分别为：3163m n -，316m n ，
∴它们的积为：3163166323?3m n m n m n -=-，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考察同类项的概念、单项式乘以单项式，掌握同类项的概念是解题的关键． 10．D
解析：D
【分析】
根据完全平方公式得()2
222a b a b ab +=+-，再整体代入即可求值．
【详解】
解：∵()2
222a b a b ab +=++，
∴()2222a b a b ab +=+-， ∵5a b +=，2ab =-，
∴原式()2
52225429=-⨯-=+=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行计算．
11．C
解析：C
【分析】
根据已知条件长方形的长与宽之和为8，长与宽之积为12，然后分解因式代入即可．
【详解】
∵长方形的周长为16，
∴8a b +=，
∵面积为12，
∴12ab =，
∴()22
12896a b ab ab a b +=+=⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用，以及长方形周长和面积的计算，熟练掌握长方形的周长和面积的计算公式是解答本题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．
【详解】
A 、235x x x =，故该项错误；
B 、2222x x x +=，故该项错误；
C 、22(2)4x x -=，故该项错误；
D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键．
二、填空题
13．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5
【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想
解析：5
【分析】
由220a b -+=得22a b -=-，整体代入代数式求值．
【详解】
解：∵220a b -+=，
∴22a b -=-，
∴原式()()122122145a b =-+=-⨯-=+=．
故答案是：5．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．
14．（1）；（2）；（3）【分析】(1)第二个括号里最高次数4根据观察可知结论中次数为4+1=5；(2)第二个括号里最高次数n-1根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ；(3)用3代替等式中的x 次数根据
解析：（1）51x -；（2）1n x -；（3）5131-.
【分析】
(1)第二个括号里最高次数4，根据观察可知结论中次数为4+1=5；
(2) 第二个括号里最高次数n-1，根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ；
(3)用3代替等式中的x ，次数根据观察规律确定即可.
【详解】
（1）根据观察，发现结论是个二项式，且常数项为-1，另一项底数是x ，指数比第二个括号里多项式的最高次数多1，
∵()4321x x x x ++++的最高次数是4，
∴()
432(1)1x x x x x -++++=51x -，
故应该填51x -； （2）∵(
)11n x x -+++的最高次数是n-1， ∴()1(1)1n x x x --+++=1n x -，
故应该填1n x -；
（3）由（2）知：()1(1)11n n x x
x x --+++=-，
令3x =，51n =，得： ()504948251(31)33333131-+++
+++=-，
故应该填5131-.
【点睛】 本题考查了整式变化中的规律探索，解答时，抓住变化中变化项，不变项，变化的位置，
变化的规律是解题的关键.
15．9【分析】根据新定义得出ab 的值再求和即可【详解】解：
∵min{a}=min{b}=b ∴＜ab ＜又∵a 和b 为两个连续正整数∴a=5b=4则a+b=9故答案为：9【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数
解析：9
【分析】
根据新定义得出a ，b 的值，再求和即可．
【详解】
解：∵，b}=b ， ∴
a ，b
又∵a 和b 为两个连续正整数，
∴a=5，b=4，
则a+b=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根和实数的大小比较，正确得出a ，b 的值是解题关键． 16．7【分析】根据偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3y=-4代入x-y 中计算即可【详解】∵且∴x-3=0y+4=0∴x=3y=-4∴x-y=3-（-4）=7故答案为：7【点睛】此题考查已知字母
解析：7
【分析】
根据偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3，y=-4，代入x-y 中计算即可．
【详解】
∵()230x -=，且()2
30x -≥≥， ∴x-3=0，y+4=0，
∴x=3，y=-4，
∴x-y=3-（-4）=7，
故答案为：7．
【点睛】
此题考查已知字母的值求代数式的值，掌握偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出x=3，y=-4是解题的关键．
17．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式=5x （x2-4y2）=故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解题的关键
解析：()()5 +2 -2x x y x y
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
x x y x y，
解：原式=5x（x2-4y2）=5(+2)(-2)
x x y x y
故答案为：5(+2)(-2)
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．【分析】多项式的首项和末项分别是x和2的平方那么中间一项是加上或减去x与2积的2倍由此得到答案【详解】∵∴b=故答案为：【点睛】此题考查完全平方式掌握完全平方式的构成特点是解题的关键
解析：4
±
【分析】
多项式的首项和末项分别是x和2的平方，那么中间一项是加上或减去x与2积的2倍，由此得到答案．
【详解】
∵222
=++，
±±=+
x x bx
x x
(2)444
∴b=4±，
±．
故答案为：4
【点睛】
此题考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键．
19．（a+b）2-2ab=a2+b2【分析】利用各图形的面积求解即可【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或（a+b）2-2ab故可得：（a+b）2-
2ab=a2+b2故答案为：（a+
解析：（a+b）2-2ab = a2+b2
【分析】
利用各图形的面积求解即可．
【详解】
解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或（a+b）2-2ab，
故可得：（a+b）2-2ab = a2+b2
故答案为：（a+b）2-2ab = a2+b2
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．
20．1【分析】根据一元一次方程的定义可求出m的值在将m代入代数式计算即可【详解】原方程可整理为根据题意可知且所以所以故答案为：1【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值利用一元一次方程的定义求出
解析：1
【分析】
根据一元一次方程的定义，可求出m的值．在将m代入代数式计算即可．
【详解】
原方程可整理为22(1)(1)80m x m x --++=．
根据题意可知210m -=且10m +≠，
所以1m =． 所以2008200811111m m --=--=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值．利用一元一次方程的定义求出m 的值是解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）m (m +6)(m -6)；（2）（m +n ）2（m -n ）2
【分析】
（1）首先提取公因式法进行因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】
解：（1）m 3﹣36m
= m （m 2﹣36）
=m(m+6)(m-6)
（2）（m 2+n 2）2-4m 2n 2
=（m 2+n 2）2-（2mn ）2
=（m 2+n 2+2mn ）（m 2+n 2-2mn ）
=（m+n ）2（m-n ）2
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22．（1）10；（2）()2
2x y -
【分析】
（1）根据整式的乘法公式及运算法则即可求解；
（2）先提取x ，再根据完全平方公式即可因式分解．
【详解】
（1）解：原式222366941a a a a a =-+++-+ 10=
()2解：原式()244x y y =-+
()2
2x y =-．
【点睛】
此题主要考查整式的运算与因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法．
23．（1）()()224a b a b ab +--=；（2）3-．
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a+b ）2-（b-a ）2=（a+b ）2-（a-b ）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）令2020m a -=，2021m b -=，则1a b +=-，227a b +=，根据()2222ab b a b a -=++求解
【详解】 解：（1）()()224a b a b ab +--=
（2）令2020m a -=，2021m b -=，
则1a b +=-，227a b +=
由()222
2ab b a b a -=++
∴()2127ab --= ∴3ab =-
即()()202020213m m --=-．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解决此类题目的关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
24．（1）()2
51x +；（2）()()()2323x y a b a b -+- 【分析】
（1）先提取公因式5，再利用完全平方公式分解因式；
（2）先提公因式（x-y ），再利用平方差公式分解因式．
【详解】
（1）解：原式()
2521x x =++ ()251x =+；
（2）解：原式()()2249x y a b =--
()()()2323x y a b a b =-+-．
【点睛】
此题考查因式分解：将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式因式分解，因式分解的方法：提公因式法和公式法，掌握因式分解的方法并熟练应用是解题的关键．
25．（1）见详解；（2）ABC 为等边三角形；（3）
4249
【分析】
（1）利用完全平方公式将等式的右边展开，合并同类项后即可得出等式的左边，从而得出该等式成立；
（2）由a 2＋b 2＋c 2−ab−bc−ac ＝12
[（a−b ）2＋（b−c ）2＋（c−a ）2]＝0，利用偶次方的非负性即可得出a ＝b ＝c ，从而得出该三角形为等边三角形；
（3）先求出17b c -=-
，结合第（1）题的结论，即可求解． 【详解】
（1）等式右边＝
()22222221222x xy y y z x yz xz z -++++-+- ＝()222122
x y z y xy xz z ⨯++--- ＝222x y z xy yz xz ++---＝等式左边．
∴等式2222221()()()2x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=
-+-+-⎣⎦成立． （2）∵a 2＋b 2＋c 2−ab−bc−ac ＝
12[（a−b ）2＋（b−c ）2＋（c−a ）2]＝0， ∴a−b ＝0，b−c ＝0，c−a ＝0，
∴a ＝b ＝c ，
∵a 、b 、c 分别是三角形的三条边，
∴ABC 为等边三角形；
（3）∵327a b -=，227a c -=， ∴17b c -=-
， 又∵2222221(2)22(2)(2)()2a b c ab ac bc a b a c b c ⎡⎤++---=
-+-+-⎣⎦， ∴2222221321(2)22()()()2777a b c ab ac bc ⎡⎤++---=
⨯++-⎢⎥⎣⎦=749， ∵22241a b c ++=，
∴22ab bc ac ++=1-
749=4249
． 【点睛】 本题考查了整式的运算、偶次方的非负性以及等边三角形的判定，利用完全平方的展开式证出等式2222221()()()2x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=
-+-+-⎣
⎦成立是解题的关键．
26．（1）﹣y （x ﹣3）2；（2）（5x +4y ）（x +8y ）；（3）（1+x ﹣y ）（1﹣x +y ）
【分析】
（1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解；
（2）分别把前后两项看成某项的平方并根据平方差分解因式，然后对每个因式去括号及合
并同类项进行化简；
（3）首先把后面三项看成一组并化成完全平方式，然后与第一项组合并利用平方差公式分解后对每个因式去括号化简即可．
【详解】
解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy
＝1﹣（x2+y2﹣2xy）
＝1﹣（x﹣y）2
＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．。