广西陆川县中学1718学年度高二上学期期末考试——数学

广西陆川县中学
2017—2018学年度上学期期末考试
高二数学理试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．抛物线 的准线方程是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(
) A ．7
3 B ．5
4 C ．43 D ．5
3
3．设变量，满足约束条件0
10
{ 3032
x y x x x y +≥-≥-≤+≥，则的取值范围为（）
A. [2，6]
B. （－∞，10]
C. [2，10]
D. （－∞，6]
4．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于( )
A. -4
B. -6
C. -8
D. -10
5．若下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
6．不等式的解集是，则的值是（）
A. B. C. 14 D. 10
7．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8．设命题：，使得，则为（ ）
A.，
B.
C. D.，
9．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 641
=y
10．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若”的否命题为“若”
B. “”是“”的充要条件
C. 命题“使得”的否定是 “均有”
D. 命题“若,则=”的逆否命题为真命题
11．已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. ⎛ ⎝⎦
B. ⎫⎪⎪⎣⎭
C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．观察下列不等式
，
……
照此规律，第五个．．．
不等式为 . 14．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则
该抛物线的准线方程为 .
15．若⎰+=1
02)(2)(dx x f x x f ，则 .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆的上顶点，B 是直线 A F 2与椭圆的另一个交
点，且B AF AF F 1021,60∆=∠的面积为，则a 的值是
. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本
小题10分）
给出两个命题：命题甲：关于 的不等式 的解集为 ，命题乙：函数 为增函数．分别求出符合下列条件的实数 的范围.
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.
18．（本小题12分）
0)1(22≤+-+a x a
x
已知三棱锥S －ABC 中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，（1）如
图建立空间直角坐标系，写出SB →、SC →的坐标；
（2）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值.
19．（本小题12分）
如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，B B 1 的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝ 22
AB =2. (1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；
(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值.
20．（本小题12分）
已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率e ＝63，A ，B 是椭圆C 上两点，N (3，1)是线段AB 的中点.
（1）求直线AB 的方程；
（2）若以AB 为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.
21.（本小题12分）
已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正实数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB → <0？
若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（本小题12分）
已知椭圆C ： ，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），
P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上.
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） 设直线不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–
1
，证明：过定点. )
0(>>b a
理科数学答案
1. D
2. D 3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．A10．D11．D12．A 1
3. 6
116151413121122222<+++++ 14. x= -1 15. 16. 10 17．（本小题10分）
解析：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，
即a ＞13
或a ＜－1.................................................2分 乙命题为真时，2 a 2－a ＞1，
即a ＞1或a ＜－12
.................................................................................................4分 (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
a 的取值范围是...............................7分
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，13＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12
， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为
}2
11131|{-<≤-≤<a a a 或....................................10分 21．（本小题12分）
解析：(1)建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．
∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3)．...........6分
(2)设面SBC 的法向量为． 则{0
33032=-+=⋅=-=⋅z y x SB n z y
令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴．
设AB 与面SBC 所成的角为θ
，则4
3sin ==θ............12分
22．（本小题满分12分）
解析：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点
，连接DF ，则BC 1∥DF .
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .
(2)由AC ＝CB ＝22
AB ，得AC ⊥BC .............................4分
以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.
设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，
．
设是平面A 1CD 的法向量， 则{0
0221=+=⋅=+=⋅y x z x
可取．
同理，设是平面A 1CE 的法向量，则可取．
从而3
3,cos =>=<，故. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为
63................................12分
23．（本小题12分）
解析：(1)离心率e ＝63
，设椭圆C ：x 2＋3y 2＝a 2(a ＞0)， 设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x －3)＋1，代入x 2＋3y 2＝a 2， 整理得(3k 2＋1)x 2－6k (3k －1)x ＋3(3k －1)2－a 2＝0.①
Δ＝4[a 2(3k 2＋1)－3(3k －1)2]＞0，②且，
由N (3，1)是线段AB 的中点，得．
解得k ＝－1，代入②得a 2＞12，直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0..6分
(2)圆心N (3，1)到直线的距离,.
当时方程①即22424480x x a -+-=
1221206124
x x a x x ⎧⎪∆>⎪∴+=⎨⎪⎪⋅=-⎩
12AB x ∴=-=.
椭圆方程为....................................................12分
21.（本小题12分）
解析: (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：
(x ＞0).化简得y 2＝4x (x ＞0)..................................................4分
(2)设过点M (m ，0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由得y 2－4ty －4m ＝0，
Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是①
又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＜0⇔
(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②
又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224
＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔ （y 1y 2）216＋y 1y 2－14
[]（y 1＋y 2）2－2y 1y 2＋1＜0.③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④
对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.
由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜
0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)...........................12分
22．（本小题12分）
解析:（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点
又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.
因此 ⎪⎩⎪⎨⎧==+1
1143122
2b b a ，解得 故C 的方程为................................................4分
（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1、k 2,
如果l 与x 轴垂直，设l :x =t ,由题设知，且，可得A ，B 的坐标分别为（），（t ，）则
1t
224t 2242221-=+----=+t t k k ,得t =2， 不符合题设.
从而可设l :，将代入得
0448x 14222=-+++m kmx k ）（
由题设可知
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，
而
2
21111k x m kx x m x -++-+= 2
12121))(1(2k x x x x m x x +-+= 由题设，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)04141
m km k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得.
当且仅当时，，欲使l ：，即，
所以l 过定点（2，）..................................................12分。