2020届河北省武邑中学高三下学期线上期中考试数学(文)试题

河北武邑中学2019-2020学年高三下学期期中考试
数学试题（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4 页．考试结束后，将答题纸和机读卡一并交回．注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
第Ⅰ卷：选择题（60分）
一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的） 1.已知集合{}1,2A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合=B A Y （ ） A ．{1，2} B ．{1，2,3}
C ．{1，2,4}
D ．{1，2,3,4}
2.设复数z 满足
11=+z i
i
，则||z =（ ） A ．1 B ．5 C ．2 D ．2 3．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．12-
C ．1或12-
D ．112
-或 4．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）
A ．病人在5月13日12时的体温是38℃
B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转
C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快
D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定 5．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：
①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ） A ．①③
B ．②④
C ．③④
D ．①
6．定义
2
1a a
12212
1b a b a b b -=，已知22110a b +≠，22
220a b +≠，则“
1
1
22
0a b a b =”是“直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行”的（ ）条件 A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
7．下列格式中正确的是（ ） A ．
43tan 77
ππ> B ．1317tan tan 45
ππ
-
<⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-
C ．tan281tan665︒>︒
D ．tan4tan3>
8．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020
B ．2021
C ．2022
9．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度
（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ） A ．20i <，1
S S i
=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i
=-，2i i = C ．20i <，2S
S =
，1i i =+ D ．20i ≤，2
S
S =
，1i i =+ 10．已知双曲线()22221,0x y a b a b
-=>的两条渐近线分别与抛物线2
4y x =交于第一、四象限的A ，
B 两点，设抛物线焦点为F ，若7
cos 9
AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（ ） A 2
B 3
C 5
D ．2211．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2
(1)n n S a n -=-，22n
a n n
b S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）
A ．第3项
B ．第4项
C ．第5项
D ．第6项
12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在
1
y kx
=-的图像上，则实数k的取值范围是（）
A．
1
,1 2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
B．
13
,
24
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．
1
,1
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．
1
,2
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
第Ⅱ卷：非选择题（90分）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若α，β为锐角，且
4
π
αβ
+=，则()()
1tan1tan
αβ
++=__________；
()()()()
1tan11tan21tan31tan45
++++=
o o o o
L__________.
14.若变量,x y满足约束条件
20,
0,
220,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪-+≥
⎩
，且()3,6-
∈
m，则
m
x
y
z
+
=仅在点
1
(1,)
2
A-处取得最大值的概率为．
15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年.
16．在棱长为2的正方体1111
ABCD A B C D
-中，E是正方形
11
BB C C的中心，M为
11
C D的中点，过
1
A M 的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体1111
ABCD A B C D
-所得的截面面积为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17．（12分）如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cos sin()3sin
6
A A C C
π
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
.
（1）求A C
+；
（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若
1211
m r r DB
+≤恒成立，求实数m 的最小值.
18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6
广告投入量 2
4
6
8
10
12
收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
他们分别用两种模型①y bx a =+，②bx
y ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
x
y
6
1
i i
i x y =∑
6
2
1
i
i x
=∑
7
30 1464.24 364
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程； （ⅱ）若广告投入量18x =时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
()()()n i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑$1
2
21
n
i i
i n
i i x y nx y
x nx
==-=
-∑∑，x b y a
ˆˆ-=.
19．（12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且
1PO =OB =．
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若2BC =
E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．
20．（12分）椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）2
，点(0,1)
P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-u u u v u u u v
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v
为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由
21．（12分）已知函数()()2ln f x x x ax a R =-∈在定义域内有两个不同的极值点.
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，求证：121x x ⋅>.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合.圆C 的参数方
程为cos sin x a a y a θθ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数，05a <<），直线l ：sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与曲线C 相交于
A ，
B 两点，且||22AB =（1）求a ；
（2）若M ，N 为曲线C 上的两点，且3
MON π
∠=，求||||OM ON +的范围.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|2||2|.f x x x =+- (1)解不等式: f (x )<5;
(2)当x ∈R 时，f (x )> ax +1,求实数a 的取值范围.
期中考试 高三数学（文）答案
1.D
2.C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】A
13．【答案】2 232 14.【答案】
91
15．【答案】戊戌
16．【答案】
17．【答案】（1）
23
π
（2）18．【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ）$38.04y x =+（ⅱ）62.04 【分析】
（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。

（2）（i ）利用回归直线参数
计算方法，分别得到,a b ∧∧
，建立方程，即可。

（ii ）把8x =代入回归方程，计算结果，即可。

【详解】
（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模 型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
（Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为3的数据后，得
()1
7667.25x =
⨯-=； ()1
30631.829.645
y =⨯-=.
5
11464.24631.81273.44i i
i x y
==-⨯=∑；
()
5
2
21
3646328i
i x ==-=∑.
5
152
2
1
ˆi i i i i x y nxy b
x nx ==-=-∑∑
1273.4457.229.6432857.27.2-⨯⨯=
-⨯⨯ 206.4
368.8
=
=； 29.6437.28.04ˆˆa
y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为：38.04ˆy
x =+. （ⅱ）把18x =代入回归方程得：3188.046.ˆ204y
=⨯+=， 故预报值约为62.04万元.
【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法。

19．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ
【解析】 【详解】
（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，
所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ． 因为D O PO =O I ，所以C A ⊥平面D P O ． （Ⅱ）因为点C 在圆O 上，
所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．
又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为
1
2112
⨯⨯=
． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为11113
3
⨯⨯=． （Ⅲ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =o ，所以22112PB =+=．
同理C 2P =
，所以C C PB =P =B ．
在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示． 当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．
又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而2626
C C +O '=OE +E '=
+=， 亦即C E +OE 的最小值为
26
+．
考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．
20．【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）见解析. 【详解】
（1）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ）
又点P 的坐标为（0，1），且PC PD ⋅u u u r u u u r
＝－1
于是2222
11
2{
b c a a b c -=-=
-=，解得a ＝2，b 2 所以椭圆E 方程为22
142
x y +=.
（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1
A ，
B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）
联立22
1{421
x y y kx +==+，得（2k 2＋1）x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝（4k ）2＋8（2k 2＋1）＞0
所以1212
2242
,2121
k x x x x k k +=-
=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）]
＝（1＋λ）（1＋k 2）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1
＝22
(24)(21)
21
k k λλ--+--+ ＝－
所以，当λ＝1时，－＝－3，
此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
＝－3为定值.
当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD
此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
为定值－3.
考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 21．【分析】
（Ⅰ）由题意，方程'
()0f x =在()0,∞+有两个不同根,即方程1ln 20x ax +-=有两个不同根；解法1：
转化为函数()ln g x x =与函数21y ax =-的图象在()0,∞+上有两个不同交点，解法2：转化为函数
1ln ()x
g x x
+=
与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点；解法3；求出()f x '，讨论a 的取值范围，求出函数()f x 的单调区间即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：由（Ⅰ）知：12,x x 是1ln 20x ax +-=的两个根， 12
2212
ln ln 1ln 202=
x x x ax a x x -+-=⇒-，然后利用分析法要证121x x ⋅>，，只需
证:12
ln ln 0x x +>，从而可得121212ln ln 2x x x x x x ->-+，进而可得1211
22
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭<+，令12x t x =，换元转化为函数，利用函数的最值即可证出. 【详解】
（Ⅰ）由题意，方程'
()0f x =在()0,∞+有两个不同根,即方程1ln 20x ax +-=有两个不同根；
解法1：转化为函数()ln g x x =与函数21y ax =-的图象在()0,∞+上有两个不同交点， 令'
00011()22g x a x x a
==⇒=, 故()g x 在11(
,ln()22a a 处的切线方程为：111ln()()222y x a a a
-=- 代入点()0,1-有：11111
1ln()(0)ln()012122222a a a a a a
--=
-⇒=⇒=⇒= 可得：()120,10,2a a ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭
解法2：转化为函数1ln ()x
g x x
+=
与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点． '2
ln ()(0)x g x x x
-=
>，故()0,1x ∈时，'()0;g x >()1,,x ∈+∞时，'
()0;g x < 故()g x 在()0,1上单增，在()1+¥，上单减，
max ()(1)1g x g ∴==
又1()0g e =，故1(0,)x e
∈时，()0;g x < 1
(,)x e
∈+∞时，()0;g x > 可得：()120,10,2a a ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭
… 解法3：()''
1
2(0)f
x a x x
=
-> ①20a ≤时，()''
0f x >，
故()f x 在()0+∞，上单增， 故()'
=f
x 0在()0+∞，
最多只有一个实根，不合题意； ②20a >时，令()''
100;2f
x x a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝
⎭，
令()''10,;2f x x a ⎛⎫<⇒∈+∞ ⎪⎝⎭
故()'
f
x 在1
02a
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，上单增，在1
,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单减；
故()()''max 11ln(2)1ln(2)020,12f x f a a a a ⎛⎫==--=->⇒∈ ⎪⎝⎭
当()20,1a ∈时， ()''1120,lim x f a f x e e →+∞⎛⎫=-⋅<→-∞ ⎪⎝⎭
， 故()'f x 在()0+∞，上有两个不相等的实根，故1
0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：12,x x 是1ln 20x ax +-=的两个根， 故12112212ln ln 1ln 201ln 202=
x x x ax x ax a x x -+-=+-=⇒-， 要证：121x x ⋅>，，只需证：12ln ln 0x x +>，
即证：()()122-1+2-10ax ax >
即证：()1222a x x +>，即证：121212
ln ln 2x x x x x x ->-+ 又120,x x <<故上式为：()1122112122
212ln ()1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=*++ 令()()()()()2'122
2211140,1,()ln ,()0111t t x t h t t h t x t t t t t --=∈=-=-=>+++ 故()h t 在()0,1上单增，故()(1)0,h t h <= 故()*式成立，即证.
【点睛】
本题考查了由函数的极值点个数求参数的取值范围、利用导数证明不等式、分析法，考查了转化与化归的思想
22．【答案】（1）2a =（2
）(
【解析】
【分析】
（1）消去参数得到圆C 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得到直线l 的普通方程，求解
圆心到直线距离，结合||AB =
（2）先求解圆C 的极坐标方程，4cos ρθ=，设()11,M ρθ，21,3N πρθ⎛⎫+
⎪⎝⎭
，12||||OM ON ρρ+=+，代入即得解.
【详解】 （1）由cos sin x a a y a θθ=+⎧⎨=⎩，得cos sin x a a y a θθ-=⎧⎨=⎩
， ∴圆C 的普通方程为222()x a y a -+=.可得圆心为(),0a ，半径r a =.
sin sin cos cos sin 444πππρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝
⎭Q 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，
得直线l 的普通方程为40x y +-=.
∵圆心到直线的距离
d =，||AB ∴== 即2
2
(4)22a a --=，得2a =，或10a =-， 05a <<Q ，2a ∴=.
（2）由（1）得，圆C 的普通方程为22
(2)4x y -+=.
把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos 2)(sin )4ρθρθ-+=， 化简，得圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
依题意，设()11,M ρθ，21,3N πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭，1,26ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭.
1211111||||4cos 4cos 6cos 36OM ON ππρρθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+=++=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭||||OM ON ∴+的范
围是(.
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标与普通方程转化，极坐标几何意义的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力.
23．【答案】（1）71,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭（2）332
a -≤< 【分析】（1）分类讨论法去绝对值解不等式即可；
（2）画出函数()f x 的图象,()1f x ax >+等价于()y f x =的图象在直线1y ax =+的图象的上方,结合图象即可得到a 的范围.
【详解】
（1）解:由题,
当0x <时,()2232f x x x x =-+-=-+,则325x -+<,解得1x >-,则10x -<<；
当02x ≤<时,()222f x x x x =+-=+,则25x +<,解得3x <,则02x ≤<；
当2x ≥时,()2232f x x x x =+-=-,则325x -<,解得73x
<,则723
x ≤<, 综上,解集为71,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
（2）由题,()32,22,0223,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩
, 则()y f x =的图象如图所示:
因为x ∈R 均满足()1f x ax >+,则()y f x =的图象在直线1y ax =+的上方,
因为直线1y ax =+恒过定点()0,1P ,点()2,4A ,则32PA k =
, 由图象可知332
a -≤<
【点睛】
本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查不等式的恒成立问题,考查数形结合思想.。