高考模拟复习试卷试题模拟卷228

高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 【热点题型】
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1、(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4
3分为面积相等的两部分，则
k 的值是( )
A.73
B.37
C.43
D.3
4
(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________． 【提分秘籍】
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
【举一反三】
(1)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，
则a 的值为( )
A ．－5
B ．3
C ．5
D ．7
(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________． 题型二 求线性目标函数的最值
例2、(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y≤x ，x ＋y≤1，y≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则
m －n 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
(2)已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，x ＋y≤3，y≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.
【提分秘籍】
线性规划问题的解题步骤：
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 【举一反三】
(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x≤2，
y≤2，
x ≤2y
给定．若M(x ，y)为D 上的动点，点
A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为( )
A ．3
B ．4
C ．32
D ．4 2
(2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )
A ．2
B ．－2C.12D ．－1
2 题型三 线性规划的实际应用
例3、某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
【提分秘籍】
解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答． 【举一反三】
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．
题型四求非线性目标函数的最值
例4、(1)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，
则y
x 的最大值为________．
(2)已知O 是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA →
＋
OM →
|的最小值是________．
【提分秘籍】
常见代数式的几何意义有
(1)x2＋y2表示点(x ，y)与原点(0,0)的距离； (2)
x －a 2＋y －b 2表示点(x ，y)与点(a ，b)之间的距离；
(3)y
x 表示点(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a 表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率． 【举一反三】
(1)设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x －4y
－9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB|的最小值等于( )
A.285B ．4C.12
5D ．2
(2)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋2y －18≤0，2x －y≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为
________．
【高考风向标】
1.【高考重庆，文10】若不等式组20
22020
x y x y x y m +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则
m 的值为（）
(A)3 (B) 1 (C)
4
3
(D)3 2.【高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则xy 的最大值为( )
(A)
252 (B)492
(C)12 (D)14 3.【高考广东，文4】若变量x ，y 满足约束条件22
04x y x y x +≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．2
4.【高考新课标1，文15】若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
,则z=3x+y 的最大值为．
5.【高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
6.【高考湖南，文4】若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为( )
A 、1-
B 、0
C 、1
D 、2
2z x y =-1-7.【高考福建，文10】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，若2z x y =-的最大值
为2，则实数m 等于（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
8.【高考安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则y x z +-=2的最大值是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）1
9.【高考山东，文12】 若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最大值为 .
710.【高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是．
11．（·安徽卷）x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的
值为()
A.12或－1 B ．2或1
2 C ．2或1 D ．2或－1
12．（·北京卷）若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为() A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1
2
13．（·福建卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．
14．（·广东卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y≤x ，x ＋y≤1，y≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和
n ，则m －n ＝()
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
15．（·湖南卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y≤x ，x ＋y≤4，y≥k ，
且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝
________.
16．（·全国卷）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y≥0，x ＋2y≤3，x －2y≤1，
则z ＝x ＋4y 的最大值为________．
17．（·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，
x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题：
p1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2， p2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2， p3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3， p4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中的真命题是() A ．p2，p3 B ．p1，p2 C ．p1，p4 D ．p1，p3
18．（·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为()
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
19．（·山东卷）已知x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，
2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)在该约束条
件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()
A. 5
B. 4
C. 5
D. 2
20．（·陕西卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →
|；
(2)设OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 【高考押题】
1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y≤x ＋1，y≥0，0≤x≤t 所表示的平面区域的面积为3
2，则t 的值为( )
A ．－3或3
B ．－3或1
C ．1D.3
2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
|x|≤|y|，
|x|<1的点(x ，y)的集合用阴影表示为下列图中的
( )
3．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，x ＋y －4≤0，kx －y≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为
( )
A.12或－1B ．2或1
2 C ．2或1D ．2或－1
5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x≤2
表示的平面区域的面积为________．
7．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≥0，x －y≤0，0≤y≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为
________．
8．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：
a
b(万吨) c(百万元) A 50% 1 3 B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P(－1，－1)、Q(2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的
最小
值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．
32 B ．155 C ．105
D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是．
15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
） 0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C
的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D 2．C
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =， 3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为
22
23b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知1152MN AB =
=
，1122NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．
1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+
-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，7=AC
则7MQ =
，则MQP △中，2211MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
52111052
2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
=-⋅⋅ 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，，则余弦值为10．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，
D C
则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
23324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34
y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
112222
122311n
k k
S n n n n ==+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=，
∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，
l F
N M C B A
O
y
x
∴15cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， ∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C == （2） 箱产量50kg <
箱产量50kg ≥
中/华资*源%库旧养殖法 62 38 新养殖法
34
66
由计算可得2K 的观测值为
()2
2
2006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△为等腰直角三角形．
∵POC △为直角三角形，3
3
OC OP =，∴60PCO ∠=︒． 设MM a '=，3CM a '=
，3
1OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 2
22
231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴2100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2610M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，， 26112AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2
122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =⋅-， 因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y = 故直线l 方程为3()P P Q y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
13
P Q P y y x x -⋅=-， ∴13
P Q P x y y x =-⋅+， ∵33P Q P y y x =+，
∴1(33)13
P P x x x =-++=-， 若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，
直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，
直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a =
． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
； 若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
； 若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥． 综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x -'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =
， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭
． 因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，， 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012
x x <<
时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点． 因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>． 因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则
又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<
，所以()014f x <． 因此，()201e 4
f x -<<
． 22． 【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，．
000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()2224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点
交圆C 于B 点，
此时AOB S △最大
max 1||||2
S AO HB =⋅ ()1||||||2
AO HC BC =+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号．
⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦ ∴()()3
32a b ab a b +-+= ∴()()3
23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()32
232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()33324a b a b ++-≤ ∴()3124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。