chap7 准静态静电场

ρ ∇ ϕ =− ε
2
即
取库仑规范 ∇ ⋅ A = 0 有 同理
v
v v ∇ A = −µJ
2
v v v ∂ϕ ∇ A = −µJ + ∇(∇ ⋅ A) + µε∇ 即 ∂t v ∂ϕ 取洛仑兹规范 ∇ ⋅ A = −µε ∂t
2
v v v v ∂A ∂B ∇×E = − → ∇ × (E + )=0 ∂t ∂t v v ∂A → E = −∇ ϕ −
图7.2.2 环路电压
di 1 + ∫ idt = uR + uL + uC dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 ∑u =0 o us = Ri + L
7.3
7.3.1
电准静态场与电荷驰豫
导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷驰豫。
电荷在均匀导体中的驰豫过程
均匀，且各向同性，在EQS场中
当 t = 0 时，= 0 。随着 t 的增加，衰减项消失，直流稳态时，分界面 σ 有一层稳定的面电荷。
∂σ =0 ∂t
图7.3.1 导体分界面
当 ∆l → 0 时，有 J2n − J1n +
即
( γ 2 E2n −γ 1E1n ) +
∂ ( ε2 E2n −ε1E1n ) = 0 ∂t
例7.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面 上面电荷密度σ 的表达式。 解 EQS： aE1 + bE2 = US
消去E1 ，则E2 满足的微分方程
d ( ε 2 E2 − ε 1 E1 ) = 0 dt
( aε2 +bε1 )
E2 的通解形式 特征根： = − ρ 确定稳态解
dE d 2 +( aγ 2 +bγ1 )E2 =γ1Us +ε1 Us dt dt t
pt −
(1)
(2)
′ ′′ ′′ ′′ E2 = E2 + E2 = Ae + E2 = Ae τ + E2
v v ∂D ∂B 当场随时间变化，但 的作用远小于 的作用，因 ∂t ∂t
7.1
电准静态场和磁准静态场
而可忽略位移电流时，麦克斯韦方程组变为： （即
v v v ∂D ∇ × H = J + ∂t v v ∂B ∇ × E = − ∂t v ∇ ⋅ B = 0 v ∇ ⋅ D = ρ
∇ 2ϕ = −
ρ ε
证明：
在MQS场中 v v v ∇⋅ B = 0 → B = ∇×A v v v v ∇×H≈J → ∇×∇×A=µJ
v v v ∇2A = −µJ +∇(∇⋅ A)
v v v 同理 ∇⋅ B = 0 → B = ∇× A v v v ∂D v v ∂(∇ϕ ) ∇× H = J + → ∇ × ∇ × A = µJ − µε ∂t ∂t
第七章 准静态电磁场
7.1 7.2 7.3
第 7 章
准静态电磁场
电准静态场
v ∂B ( = 0) ∂t
准静态场 （低频） 时变电磁场
磁准静态场
v ∂D ( = 0) ∂t
具有静态电 磁场的特点
动态场 （高频）
似稳场 （忽略推迟效应） 电磁波
• 电准静态场——Electroquasitatic 简写 EQS 磁准静态场—— Magnetoquasistatic 简写 MOS • 任意两种场之间的空间尺度和时间尺度没有绝对的分界线。 • 工程应用（电气设备及其运行、生物电磁场等）
∂ (ε 2 E2 − ε1E1 ) = 0 ∂t
分界面衔接条件
(γ 2 E2 − γ 1E1 ) +
图7.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
t − ε2γ 1 −ε1γ 2 σ= Us ( 1− e τ ) aγ 2 + bγ 1
结论：当导电媒质通电时，电荷的驰豫过程导致分界面有积累的面电荷。
◇
达朗贝尔方程的复数形式及其解
在正弦电磁场中 , 达朗贝尔方程的复数形 式为 v v v & & & & & & ∇ 2 A + β 2 A = − µJ 和 ∇ 2ϕ + β 2ϕ = − ρ / ε
式中， β = ω µε = ω / v 称为相位常数，单位为rad/m。方程的特解形式为： v r v r & J (r ′) cos ω (t − ) v µ v ω( t − ) = ωt − βr J(r′)e− jβr µ &= v dV ′ v A= A dV ′ 4π ∫V ′ r 4π ∫V ′ r r ρ ( r ′ ) cos ω ( t − ) 1 & 1 ρ( r′ )e− jβr v dV ′ ϕ= & → ϕ= dV ′ ∫V ′ 4πε r V′ 4πε r
∫
Lc
∫
Lc
v l ⋅ dl = i = Ri = uR γs γ q( t ) 1 1 ⋅ dl = q( t ) = ∫ idt = uc εs c c
∫
LL
∫
v v v ∂B v Ei ⋅ d l = ∫ ⋅ dS = s ∂t v v
Ls
Ee ⋅ d l = ε = −us
dΨ di = L = uL dt dt
aγ 2 + bγ 1
γ1
Us +Us(
aε2 + bε1 aγ 2 + bγ 1
ε1
−
γ1
)e τ
−
t
同理可得 E1( t ) 的表达式为
E1( t ) =
aγ 2 + bγ 1
γ2
Us +Us(
aε2 + bε1 aγ 2 + bγ 1
ε2
−
γ1
)e τ
− t
−
t
σ 分界面上的面电荷密度为 = ε2E2( t ) − ε1E1( t ) =
7.2
磁准静态场与集总电路
v 在MQS场中， ⋅ J = 0 即 J ⋅ dS = 0 ，故有 ∇ ∫s v v v v v v v v = ∫ J1 ⋅ dS + ∫ J 2 dS + ∫ J 3dS = i1 − i2 + i3 = 0 ∫ J ⋅ dS S S S
s
1 2 3
即集总电路的基尔霍夫电流定律
图7.2.1 结点电流
∑i =0
时变场中
v v Ec ⋅ dl = ∫
v v Ec ⋅ dl =
v J
v v v v v v v ∂B v ∫LE ⋅ dl = ∫L (Ei + Ec + Ee ) ⋅ dl = −∫s ∂t ⋅ ds
电阻（MQS） 电容（EQS） 电感（MQS） 电源 有
∫
LR
LR
a γ 2 + bγ 1 a ε 2 + bε 1
, τ=
a ε 2 + bε 1 （驰豫时间） aγ 2 + bγ 1
′ E 2′ =
aγ 2 + bγ 1
ε1
γ1
Us
E2(0− ) =0
得
确定 E2 ( 0+ ) ：对式（1）从 − → 0+ 对t积分，且Us(0− ) =0 0
E 2 ( 0+ ) =
∫
的滞后相位，故亦称滞后因子。 r ω r v —— 滞后时间， t = ω = βr ——滞后相位，故 β = ω v ——相位常数。 v − j βr • 当 0 < β r << 1 时，e , ≈ 1可以不计滞后效应，解的形式与恒定磁场、静电场相同 • 表明时变电磁场的瞬时分布规律分别与静电场和恒定磁场相同，称之为似稳场。 •
试证明在EQS场中， A ,ϕ 满足 和 ∇ ϕ =−ρ ε 证明： 在EQS场中 v v ∇ × E ≈ 0 → E = −∇ϕ v ∇ ⋅ D = ρ → ∇ ⋅ ε (−∇ϕ ) = ρ →
2
试证明在MQS场中，A ,ϕ 满足
v v ∇ 2 A = − µJ
v v ∇ 2 A = − µJ
和
v ∇⋅ D = ρ
有 证毕。
v v ∇2A = −µJ
取
v ∂A → ∇⋅ε(−∇ − ) = ρ ϕ ∂t v ∂ ρ 2 → ∇ ϕ + ∇⋅ A = − ∂t ε v ρ 2 ∇ ⋅ A = 0, 得 ∇ ϕ =−
∂t
证毕。
ε
推导过程： 建立方程aE + bE =Us 和 1 2
( γ 2 E2 − γ 1 E1 ) +
v v ∂D << J ∂t
时）
v v ∇ × H = J v v ∇ × E = − ∂B ∂t v ∇ ⋅ B = 0 v ∇ ⋅ D = ρ
（7.1.1）
麦克斯韦方程组
即这时只考虑了时变磁场激发的电场，而没有考虑时 变电场激发的磁场，即认为磁场只是由传导电流或（和） 运流电流产生。同时，由于电场和磁场不再相互激发，空 间就不会有波的传播，即没有波的传播效应存在。空间中 任一点任意时刻的场由该时刻的场源决定，一旦场源消失， 场也就消失。这样的时变场称为“准静态场”，或“似稳 场”。式（7.1.1）即是似稳场方程组。
v v J = γD / ε v ∇⋅ D = ρ
设导电媒质γ ,ε
v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
∂ρ γ + ρ =0 ∂t ε
通解为 ρ = ρoe τe ( 驰豫时间)
−
t
式中 ρo 为 t = 0 时的电荷分布，
τe = ε / γ
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。
− ρ 1 2 EQS场中，导体媒质内的电位满足 ∇ ϕ = − = − ρ 0 e τ ε ε t t − − ρ0 e τ dV = ϕ 0 ( r ) e τ 特解之一为 ϕ ( r , t ) = ∫ V 4 πε r t
确定A
aε 2 + bε 1
Us
′′ E2( 0+ ) = A + E2 , A = Us (
E2( t ) = aγ 2 + bγ 1
aε2 + bε1 aγ 2 + bγ 1
ε1Βιβλιοθήκη −γ1)t
E2 的解为
γ1
Us +Us(
aε2 + bε1 aγ 2 + bγ 1
ε1
−
γ1
)e
−
τ
E2( t ) =
特点：
电场的有源无旋性与静电场相同，称为电准静态场（EQS）。 v 用洛仑兹规范 ∇ ⋅ A = − ∂ϕ ∂t ，得到动态位满足的微分方程
v v ∇ A = −µJ ,
2
∇2ϕ = −ρ / ε
磁 准 静 态 场
v v ∂D 低频时，忽略二次源 的作用，即 H D ≈ 0 ，电磁场基本方程为 ∂t
e
e
e
说明在EQS场中，导电媒质中自由电荷体密度
ρ 产生的电位很快衰减至零。
7.3.2
电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
分界面上 E1t = E2t 和 v v J ⋅ dS = −∂q / ∂t, 根据 ∫ 有
s
ε2 E2n −ε1E1n = σ
− J1n∆S + J 2n∆S = −
∂ 1 1 σ∆S + ρ1∆l∆S + ρ2∆l∆S ∂t 2 2
e − j β r 表示A与ϕ
βr << 1 或 r << λ
称为似稳条件。
电 准 静 态 场
v ∂B (= 0) 低频时，忽略二次源 ∂t
v 的作用，即 Ei ≈ 0, 电磁场基本方程为
v v v v v ∂D ∂ρ ∇× H = J + , ∇⋅ B = 0 , ∇⋅ J = − ∂t ∂t v v ∇×E ≈ 0 , ∇⋅ D = ρ
似稳场的另一种情况是忽略
v ∂B ∂t
，即只考虑时变电
场（位移电流）激发磁场，而不考虑时变磁场激发的电场， 认为电场只是由电荷来决定的。例如，当电容器加有频率 不很高的正弦电压时，其极板间的电磁场就可以认为是一 种忽略
v ∂B 的准静态场。 ∂t
一般地，当场随时间的变化率很小，以致可以忽略电磁场的 传播效应，或者当场随时间作正弦变化，而载电流导体的尺度远 小于波长时，导体附近的场可以看成是似稳场。集中参数电路理 论就是建立在似稳场基础之上的。
v v v v ∇×H ≈ J , ∇⋅ B = 0 , ∇⋅ J = 0 v v v ∇×E = −∂B/ ∂t , ∇⋅ D = ρ
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。 用库仑规范 ∇⋅ A= 0
2
，得到动态位满足的微分方程
v v ∇ A = −µJ , ∇2ϕ = −ρ / ε
EQS 与 MQS 的共性与个性 · · 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效应和波动性，属于似稳场。 EQS和MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互依存。
· EQS场的电场与静电场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种电场的分布 v v v 一致，解题方法相同。EQS的磁场按 ∇×H = J + ∂D ∂t 计算。 MQS的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时刻 t ，两种磁场的分布 v v 一致，解题方法相同，MQS的电场按 ∇×E = −∂B ∂ t 计算。 · · 在两种场中满足相同的微分方程，描述不相同的场，为什么？ v v a）A的散度不同，A 必不相同， B = ∇ × A 也不相同； v v v b）E = −∇ ϕ （EQS）和 E = −∇ ϕ − ∂A ∂t （MQS），表明 E 不相同。