福州铸学教育9月数学月考试卷(理科)

福州铸学教育9月数学月考试卷（理科）
二、填空题（本题共18道小题，每小题5分，共90分）
1. 集合A ={x |41≤2x ≤2
1
，x ∈R }，B ={x |x 2﹣2tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是 ． 2.
已知命题[]a x x p ≥∈∀2
,4,1:，命题022,:2
=-++∈∃a ax x R x q ，若命题""q p 且是真命
题，则实数a 的取值范围为_____________ . 3. 若复数
11
12
i b i ++-(b ∈R ,)的实部与虛部相等,则b =________. 4.
若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件是____________． 5.
若等比数列{}n a 的前n 项和23n
n S r =⋅+，则r =___________．
6.
函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数
sin(2)
3y x π
=+的图象重合，则ϕ= ．
7.点O 在△ABC 内部，且满足
4
+5
+6
=，则△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比
为 .
8.已知实数,x y 满足202501
x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，求()2
x y u xy +=的取值范围 ．
9.已知椭圆222:1(40)16x y C b b
+=>>的左右焦点为1F ，2F
，若P 为椭圆C 上一点，
且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于__________．
10.在极坐标系中，点π2,6⎛⎫
⎪⎝⎭
到直线
(cos )ρθθ+=的距离为__________．
11.
2==，a 与b 的夹角为
π
3
，则b a +在a 上的投影为________. 12.（5分）直线y=1与曲线y=x 2
﹣|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是 ．
13.在ABC ∆中， A B C 、、所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A c
B b
++=，则A = . 14.已知),0(5R x a a
a x
x
∈>=+-,则2
2
x x a a -
+＝
15.16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数
学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b
a N =⇔log a
b N =．
现在已知23a =，34b
=，则ab = ． 16.将()22
x
x a
f x =-
的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ， 1C 与2C 关于x 轴对称，若()
()()f x F x g x a
=
+的最小值为m
，且2m >+a 的取值范围为 .
17.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+-<<=3,83103130|,log |)(23x x x x x x f ，若存在实数d c b a ,,,，满足
)()()()(d f c f b f a f ===，其中0>>>>a b c d ，则abcd 的取值范围是 .
18.定义下凸函数如下：设f （x ）为区间I 上的函数，若对任意的x 1，x 2∈I 总有f
（
）≥
，则称f （x ）为I 上的下凸函数，某同学查阅资料后发现了下凸函数有如下判定
定理和性质定理：
判定定理：f （x ）为下凸函数的充要条件是f″（x ）≥0，x ∈I ，其中f″（x ）为f （x ）的导函数f′（x ）的导数．
性质定理：若函数f （x ）为区间I 上的下凸函数，则对I 内任意的x 1，x 2，…，x n
，都有
≥f
（
）．
请问：在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为 ．
三、解答题（本题共5道小题,第共60分）
19.设命题:p 实数x 满足2
2
430x ax a -+<，其中0a >；命题:q 实数x 满足3
02
x x -≤-. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
20.已知二次函数()f x 满足()()()12f x f x x x R +-=∈，且()01f =。

（1）求()f x 的解析式；
（2）当[]1,1x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围； （3）设()()2g t f t a =+，[]1,1t ∈-,求()g t 的最大值。

21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1n a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若3
n
n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22.
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且232cos cos a c b
A B
-=
（1）若b B =，求a ；
（2）若a =
ABC ∆的面积为
2
，求b +c .
23.如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点.现将矩形ABCD 沿着对角
线AC 折成二面角'D AC B --，使得'D B =
.
（1）求证：当AF =时，'D F BC ⊥；
（2）试求CF 的长，使得二面角'A D F B --的大小为
4
π. 试卷答案
1.（﹣∞，﹣]． 【考点】交集及其运算．
【分析】首先求出集合A ，根据A∩B=A ，得到A ⊆B ，设f （x ）=x 2
﹣2tx+1，则应满足
，求出t 的范围即可．
【解答】解：A={x|≤2x ≤，x ∈R}={x|﹣2≤x≤﹣1}，B={x|x 2
﹣2tx+1≤0}，
因为A∩B=A ，所以A ⊆B ，
设f （x ）=x 2
﹣2tx+1，满足，即，解得 t
故答案为：（﹣∞，﹣]． 2.21-≤=a a 或 3.2 4.3m >
试题分析：令2
()1f x x mx m =-+-，则“方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2”(2)303f m m ⇔=-<⇔>，故应填3m >. 考点：函数与方程. 5.－2 6.56
πϕ=
7.15：11
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】可作
，从而可得到
，然后以OA ，OD 为邻边作平行四边形
OAED ，并连接OE ，设交BC 于点N ，这样画出图形，根据三角形的相似便可得出
，进而便可
求出的值，这样即可求出的值，从而得出△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比
值．
【解答】解：作，则；
∴；
∴；
以
为邻边作平行四边形OAED ，连接OE ，交BC 于N ，如图所示：
；
∴；
根据三角形相似得，，
；
∴；
∴；
∴
；
∴；
∴△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比为15：11． 故答案为：15：11． 8.164,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
9.4
解：由题意4a =，c e a =
，得4a =，2b =，c = ∵P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，
∴12||||28PF PF a +==，22212||||448PF PF c +==，
∴2122(||||)2||||48PF PF PF PF +-⋅=，即12642||||48PF PF -⋅=，得12||||8PF PF ⋅=，
故12F PF △的面积1211
||||8422S PF PF =⋅=⨯=．
直角坐标系中，直线方程为x +=
点坐标为ππ2cos ,2sin 66⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，
到直线距离d ==
． 11.3 12.（1，）
考点： 二次函数的性质．
专题： 作图题；压轴题；数形结合．
分析： 在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x 2
﹣|x|+a 的图象，观察求解． 解答： 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x 2
﹣|x|+a ， 观图可知，a 的取值必须满足
，
解得．
故答案为：（1，）
点评： 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想． 13.
23
π 14.7 15.2 16.1(,2)2
17
略
18.
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数f（x）=sinx，x∈（0，π），求导，则f″（x）≤﹣sinx，由正弦函数的图象可知f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，根据凸函数的性质
sinA+sinB+sinC≤3sin（），即可求得sinA+sinB+sinC的最大值．
【解答】解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）≤﹣sinx，x∈（0，π），
由当x ∈（0，π），0＜sin ≤1，则f″（x ）＜0成立，则f （x ）=sinx ，x ∈（0，π）是凸函数，
由凸函数的性质可知：≤f （
）．
则sinA+sinB+sinC ≤3sin （）=3×sin =
，
∴sinA+sinB+sinC 的最大值为，
故答案为：．
19.
（1）由2
2
430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.
q 为真时
3
02x x -≤-等价于20(2)(3)0
x x x -≠⎧⎨
--≤⎩，得23x <≤， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤
若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3)
（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且p q ⌝≠⌝，等于价p q ⇒，且p q ≠， 设{3}A x a x a =<<，{23}B x x =<<，则B ⊂≠A ； 则02a <≤，且33a >所以实数a 的取值范围是(1,2]. 20.
（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠，代入()()12f x f x x +-=和()01f =，
并化简得()22,1
ax a b x x R c ++=∈⎧⎪⎨
=⎪⎩， 1.1,1,a b c ∴==-=()2
1f x x x ∴=-+。

4分
（2）当[]1,1x ∈-时，不等()2f x x m >+式恒成立即不等式2
31x x m -+>恒成立，
令()2
31g x x x =-+，则()2
3524g x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，当[]1,1x ∈-时，()min 1g x =-，1m ∴<-。

8分
（3）()()()[]2
2
24421,1,1,g t f t a t a t a a t =+=+-+-+∈-对称轴是124
a
x -=。

10分 ①当
1204
a
-≥时，即12a ≤时，()()()22max 1442157g t g a a a a a =-=--+-+=-+；12分
②当
1204
a
-<时，即12a >时， ()()()22max 144213 3.g t g a a a a a ==+-+-+=++14分
综上所述：()2
max
21
57,,
2133,.
2
a a a g t a a a ⎧-+≤⎪⎪=⎨
⎪++>⎪⎩。

16分 21.
解法一：（1） 21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+． 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =． 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+， 22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，
2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分 ∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，
12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分
（2）由（1）可知，1(21)3n n
b n =-⋅
， 231111
135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分
23111111
13(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得231211111
2()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分
2111111
332(21)13313
n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分
化简得1
13n n
n T +=-
．…………………12分 解法二：（1）同解法一. （2）由（1）可知，1(21)3n n
b n =-⋅， 设11111
(21)()[(1)](232)3333
n n n n n
b n An B A n B An A B -=-⋅
=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,
1.A B =-⎧⎨=-⎩
1111111
(21)(1)()(1)33333n n n n n n
b n n n n n --∴=-⋅
=--⋅--⋅=⋅-+⋅
，………………………………9分 12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+
0112
1111111
(12)(23)[(1)]333333n n
n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅
-+⋅ 1
13
n n +=-.………………………………12分 22.
（1）由正弦定理得：
2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C B
A B A B
--=⇒=
， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，
2(sin cos sin cos )2sin 3sin cos A B B A C C A +==，∵sin 0C ≠，∴2
cos 3
A =
，
则sin 3A =
，∵b B =，∴由正弦定理得：5
sin sin 3
b a A B =∙
=
（2）∵ABC ∆1sin 2bc A =，得3bc =，
∵a =
22463b c bc +-=，∴210
()63
b c bc +-=，即2()16b c +=
∵0b >，0c >，∴4b c += 23.
（1）连结DF ，BF ．
在矩形ABCD
中，6 AD CD
==
,
30
AC CAB
∴=∠=, 0
60
DAC
∠=．………………………………1分
在ADF
∆
中，∵AF,
2222cos9
DF DA AF DA AF DAC
∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分
∵222
93
DF AF DA
+=+=，
DF AC
∴⊥，即D F AC
'⊥．………………………………3分
又在ABF
∆中，
2222cos21
BF AB AF AB AF CAB
=+-⋅⋅∠=，………………………………4分
∴在D FB
'
∆
中，22222
3
D F FB D B
''
+=+=,
BF D F'
∴⊥,………………………………5分
又AC FB F
=,
∴D F'⊥平面ABC．
∴D F BC
'⊥．………………………………6分
（2）解：在矩形ABCD中，过D作DE AC
⊥于O，并延长交AB于E. 沿着对角线AC翻折后，由（1）可知，,,
OE OC OD'两两垂直，
以O为原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz
-，则
(0,0,0),(1,0,0),
O
E(0,0,3),
D B
',………………………………7分
EO ⊥平面AD F',
(1,0,0)
OE
∴=为平面AD F'的一个法向量．………………………………8分
设平面BD F'的法向量为(,,),
x y z
=
n
(0,,0)
F t，
(3,23,3),(3,
BD BF t
'
∴=--=--,
由
0,
0,
BD
BF
⎧'
⋅=
⎪
⎨
⋅
=
⎪⎩
n
n
得
330
3(0
x z
x t y
⎧--+=
⎪
⎨
-
+-=
⎪⎩
，
，
取3,
y=
则x t z t
=-= , ()
t t
∴=-
n．………………………………10分
||cos ,4||||OE OE π
⋅∴=n n =
t ∴=
∴当CF =时，二面角A DF B '--的大小是4π． …………………12分。