2019-2020学年新疆乌鲁木齐市高一上学期期末数学试题

2019-2020学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一上学期期末数
学试题
一、单选题
1．设全集U =R ，集合[]
1,2A =-，(]0,4B =，则()B
A B ⋂（ ）
A ．()2,4
B ．(]2,4
C ．(]
0,2 D ．[]1,4-
【答案】B
【解析】根据集合,A B 求出A B ,再求出()B A B ⋂即可.
【详解】
因为集合[]
1,2A =-，(]0,4B =，所以(]0,2A B =，(]()2,4B A B ⋂=.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查的是集合的交集和补集的计算，是基础题.
2．函数()1
2
f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2
B ．()2,+∞
C ．()1,22,2⎡⎫
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()
(),22,-∞+∞
【答案】C
【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【详解】
由21020
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．
∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2⎡⎫
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 3．函数()23
f x lo
g x x
=-的一个零点所在的区间是（ ） A ．()1,2
B ．()2,3
C ．()3,4
D ．()4,5
【答案】B
【解析】首先判断函数()23
f x lo
g x x
=-是定义域上的减函数，再利用函数的零点判断．
【详解】
解：易知函数()23
f x lo
g x x
=
-是定义域上的减函数， ()31
21022
f =
-=>； ()231log 30f =-<；
故函数()23
f x lo
g x x
=-的零点所在区间为：()2,3； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了函数的零点的判断，是基本知识的考查，属于基础题． 4．()cos 2040
-= （ ）
A ．
12
B C ． D ．12
-
【答案】D
【解析】利用诱导公式即可求出． 【详解】 解：
()()1cos 2040cos 2040+3606=cos(120)cos(180120)cos602
-=-⨯=--=-=-
故选：D ． 【点睛】
本题考查利用诱导公式求特殊角的三角函数值，是基础题． 5．化简AC BD CD AB -+-=（ ） A ．AB B ．BC C ．DA D ．0
【答案】D
【解析】根据向量的加法与减法的运算法则，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据向量的运算法则，
可得AC BD CD AB -+-=(AC +)CD -(AB +)BD =–AD AD =0，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的加法与减法的运算法则，其中解答中熟记向量的加法与减法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
6．已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()
y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（） A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】令20x -=,可得定点(2,4)P ,代入()f x x α
=,可得幂函数的解析式,进而可求
得31log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值. 【详解】
令20x -=,得2,4x y ==,所以(2,4)P ，∴幂函数2
()f x x = ，
∴3311
log ()log 239
f ==-． 故选A . 【点睛】
本题考查了指数函数,幂函数,属基础题. 7．已知函数其中
，
的图象如图所示，则函数
的解析
式为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由图象的最值点的纵坐标求出A ，由周期求出，通过图象经过点，求出，
从而得到的解析式.
【详解】
由函数的图象可得A=1，，
因为，解得，
图象经过点，有
，解得，
故
的解析式为
，
故选C. 【点睛】
该题考查的是有关根据函数图象确定函数解析式的问题，在解题的过程中，需要注意从图中寻找关键点，函数的最值决定A 的值，周期决定的值，特殊点决定的值. 8．在ABC 中，1
3BD BC =，若,AB a AC b ==，则(AD = ) A ．
2133
a b + B ．1233a b + C ．1233a b - D ．2133
a b -
【答案】A
【解析】根据平面向量的线性运算法则，用AB 、AC 表示出AD 即可. 【详解】
()
1112
3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+
即：21
33
AD a b =+
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题. 9．函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象为C ，以下结论错误的是（ ） A ．图象C 关于直线56
x π
=对称 B ．图象C 关于点7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 在区间,63ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内是增函数 D ．由2sin 2y x =图象向右平移6
π
个单位长度可以得到图象C 【答案】D
【解析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利
用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论． 【详解】
解：对于函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象为C ， 令56x π=，求得()2f x =-，为最小值，故图象C 关于直线56x π
=对称，故A 正确；
令712x π=
，求得()0f x =，故图象C 关于点7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，故B 正确； 在区间,63ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递增，故C 正确；
由2sin 2y x =图象向右平移6π
个单位长度可以得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，故
D 错误， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10．已知向量a ，b 满足||||2a b a b ==+=，则2a b +=（ ）．
A ．
B ．2
C ．
D ．【答案】C
【解析】根据||||2a b a b ==+=，平方得到2a b ⋅=-，再计算()
2
212a b +=，得到
答案. 【详解】
()
2
22
||||228242a b a b a b
a b a b a b a b ==+=∴+=++⋅=+⋅=∴⋅=-，
(
)
2
22
244164812223a b
a b a b a b +=++⋅=+-=∴+=
故选C 【点睛】
本题考查了向量模的计算，先计算出2a b ⋅=-是解题的关键. 11．点C 在线段AB 上，且2
3
AC CB =
若AB BC λ=，则λ=（ ）
A ．
23
B ．23
-
C ．
53
D ．53
-
【答案】D
【解析】根据点C 在线段AB 上,且2
3
AC CB =
,可得C 与AB 的位置关系,进而根据AB BC λ=即可得λ的值.
【详解】
因为点C 在线段AB 上,且2
3
AC CB =
所以A 、B 、C 的位置关系如下图所示：
因为AB BC λ=
则53AB BC =- 所以5
3
λ=-
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的数乘运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题。

12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）
A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．23
3231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．2
3332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．23
323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，转化为同一个单
调区间上，再比较大小． 【详解】
()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛
⎫∴= ⎪⎝⎭．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,122
2,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>，
又()f x 在(0，+∞)单调递减，
∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛
⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
3323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
二、填空题
13．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()1
2f x x x
=-，则()2f -=______． 【答案】72
-
【解析】由奇函数的性质得()()22f f -=-得到． 【详解】
解：0x >时，()()117
222222
f x x f x =-∴=⨯-=，而()f x 是R 上的奇函数，()()22f f ∴-=-，即()7
22
f -=-；
故答案为：7
2
-．
【点睛】
本题考查函数的奇函数性质，属于简单题． 14．计算：__________．
【答案】
【解析】原式=
,故填.
15．若将函数()sin 24f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象向左平移ϕ个单位，
所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是______. 【答案】
8
π 【解析】求得()f x 向左平移ϕ个单位后的表达式，根据变换后函数图像关于y 轴对称列方程，由此求得ϕ的表达式，进而求得ϕ的最小正值. 【详解】
将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+
⎪
⎝
⎭的图象向左平移ϕ个单位，可得sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得24
2
k π
π
ϕπ+=
+，k Z ∈，ππ
28
k ϕ=
+，则ϕ的最小正值为8
π. 故答案为：8
π. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，属于基础题. 16．已知,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，110
tan ,sin 7αβ==
，则2αβ+=______. 【答案】
4
π
【解析】利用同角三角函数的基本关系求得tan β的值，利用二倍角的正切公式，求得
tan 2β，再利用两角和的正切公式，求得()tan 2αβ+的值，再结合2αβ+的范围，
求得2αβ+的值． 【详解】
13101tan ,,0,,722παβαβ⎛⎫=
<=<∈ ⎪⎝⎭
0,,0,66ππαβ⎛⎫⎛⎫
∴∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
2
310cos 1sin 10
ββ=-=，sin 1tan cos 3βββ==，2
2tan 3tan 21
1tan 4βββ==<-
20,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()520,12παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
()tan tan 2tan 211tan tan 2αβ
αβαβ
++==-⋅
24
π
αβ∴+=
，
故答案：4
π. 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．
三、解答题
17．已知π3πcos cos(2π)sin 22()3πsin(π)sin 2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⎛⎫
-⋅+ ⎪
⎝⎭
．
（1）化简()f α；
（2）若α是第四象限角，且π1
cos 24
α⎛⎫+=
⎪⎝⎭，求()f α的值． 【答案】(1)cos α-；（2
）. 【解析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理求得函数()f α的解析式． （2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案． 【详解】 （l ）
π3πcos cos(2π)sin sin cos (cos )22()cos 3πsin (cos )sin(π)sin 2f αααααααααααα⎛⎫⎛⎫
+⋅-⋅- ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭=
==-⋅-⎛⎫
-⋅+ ⎪
⎝⎭
．
（2）由π1
cos 24
α⎛⎫+=
⎪⎝⎭，得1sin 4α=-，
∵α是第四象限角，
∴cos α===
则()cos f αα=-=． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．
18．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥. （1）求b 和c ；
（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小. 【答案】（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）
34
π
. 【解析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；
（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值. 【详解】 （1）
()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，349
3440x y =⨯⎧∴⎨
⨯+=⎩
， 解得12
3x y =⎧⎨=-⎩
，因此，()9,12b =，()4,3c =-；
（2）
()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，
()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，
则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=
设m 与n 的夹角为θ，cos ,255m n m n m n
⋅∴=
=
=-⨯⋅，0θπ≤≤，则
34
π
θ=
.
因此，向量m 与向量n 的夹角为34
π. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 19．
已知函数()sin()(0,0),f x A x A x ϕϕπ=+><<∈R 的最大值是1，其图像经过点
1,32M π⎛⎫ ⎪⎝⎭。

（1）求()f x 的解析式； （2）已知
且312
(),(),513
f f αβ=
=求()f αβ-的值。

【答案】（1）()sin cos 2f x x x π⎛
⎫
=+= ⎪⎝
⎭
（2）()5665
f αβ-=
【解析】本题（１）属于基础问题，根据题意首先可求得Ａ，再将点Ｍ代入即可求得解析式；对于（２）可先将函数f (x )的解析式化简，再带入,αβ，利用两角差的余弦公式可求解；
（1）依题意知 A=1，又图像经过点M 132π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1
sin 332
f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 再由
43
3
3π
π
πϕ<
+<
得536ππφ+=即2
π
ϕ= 因此()sin cos 2f x x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭；
（2）
()3cos 5f αα==，()12
cos 13
f ββ==
且,0,
2παβ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
∴4sin 5α=
，5
sin 13
β=
()()3124556
cos cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=；
20．已知向量(1,3p =，()cos ,sin q x x =.
（1）若//p q ，求2sin 2cos x x -的值；
（2）设函数()f x p q =⋅，将函数()f x 的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的
12
（纵坐标不变），再把所得的图象向左平移3
π
个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.
【答案】（1）
14
；（2）()2,36k k k Z ππππ⎡⎤-
+-+∈⎢⎥⎣⎦.
【解析】（1）由//p q ，可得出tan x =想求出2sin 2cos x x -的值；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式可得出()2sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，利用三角函数图象变换规律得出()52sin 26
g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，然后解不等式()52222
62
k x k k Z π
ππ
ππ-
+≤+
≤+∈，可得出函数()y g x =的单调递增区间. 【详解】
（1）(1,3p =，()cos ,sin q x x =，且//p q ，sin x x ∴=，则tan x =
22
222
2sin cos cos 2tan 11
sin 2cos sin cos tan 14
x x x x x x x x x --∴-===++；
（2）
()cos 2sin 6f x p q x x x π⎛
⎫=⋅==+ ⎪⎝
⎭，
由题意可得()52sin 22sin 2366g x x x πππ⎡⎤
⎛
⎫⎛
⎫
=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
， 由()52222
62k x k k Z π
ππππ-
+≤+
≤+∈，得()236
k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈. ∴函数()y g x =的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤
-
+-+∈⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查利用共线向量的坐标表示求三角函数值，同时也考查了正弦型函数单调区间的求解，解题的关键就是结合三角函数的图象变换得出函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．
【答案】（1）π；（2）()()min max ππ
,0,,148
x f x x f x =-
===. 【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值..
【详解】
（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛
⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭，
因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -
≤≤ 所以ππ3π
2444
x -≤+≤
,
sin 242x π⎡⎤⎛
⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦，
所以当24
4
x π
π
+=-
，即4
π
x =-
时，()min 0f x =，
当24
2
x ππ+
=
，即8
x π=
时，()max 1f x =
.
所以4
πx =-时，()min 0f x =，8x π
=时，()max 1f x =.
【点睛】
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.。