终端速度

终端速度
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常见物体的终端速度：
1 ：人：198 千米/时
2：九毫米手枪子弹：161 千米/时
3：30--60步枪子弹：155 千米/时
向下的引力（F g）相等于向上的阻力（F d）。

此时物体的合力为零，因此物体的速度保持不变。

在流体动力学中，当物体在流体中运动时，在流体向物体运动反方向所施的力下，物体的运动速度因而不变，这时物体所移动的速度就是终端速度。

当向下的引力（F g）相等于向上的阻力（F d）时，自由落体中的物体会达到终端速度。

此时物体的合力为零，因此物体的速度保持不变[1]。

当物体加速的时候（一般是因为引力而向下加速），施向物体的抗力也在增加，使得加速度慢下来。

在某一个速度下，所产生的抗力会相等于物体的重量（）。

这时候物体停止加速，并持续以不变的速度下落，这个速度就是终端速度（也叫沉降速度）。

终端速度直接随着重量与阻力的比值而变。

更大的抗力代表较低的终端速度，而更大的重量则代表较高的终端速度。

若一向下移动物体的速度大于终端速度（比方说它受一向下的力影响，或它掉进了较薄的大气层区域，或它的形状改变），它的速度会慢下来，直至达到终端速度为止。

目录
[隐藏]
∙ 1 例子
∙ 2 终端速度的推导
∙ 3 有浮力情况下的终端速度
o 3.1 蠕流下的终端速度
o 3.2 应用
∙ 4 另见
∙ 5 参考资料
∙ 6 外部链接
[编辑]例子
举例说，基于风阻，一个采取俯伏向下自由落体姿势的跳伞员，其终端速度约为195km/h（55m/s）[2]。

这个速度是整个加速过程的渐近极限值，因为作用在身体上的有效力在接近终端速度的过程中，愈来愈接近互相平衡的状态。

在这个例子中，要达到终端速度的50%只需要3秒，达到90%则需要8秒，而达到99%就需要15秒，如此类推。

如果跳伞员把四肢拉起来的话，终端速度会提高。

在这个例子中，终端速度会提升至320km/h（90m/s）[2]，几乎到达游隼向下追捕猎物时的速度；一粒典型的.30-06步枪子弹在垂直下坠时也会达到这样的终端速度——垂直下坠可能是因为被向上射击后要回到地面，又或是从高楼上掉下——其速度是来自于一份1920年的美军军械研究报告[3]。

竞速跳伞员会使用头向下俯冲的姿势来达到更高的速度，2012年之前的世界纪录由约瑟夫·基廷格在1960年所创下，速度为988km/h，当时位于海拔较高的地方，因此大气层较为稀薄，空气阻力较小[2]。

菲利克斯·保加拿为了打破此纪录，在2012年10月15日从39公里高的同温层跳下，最高时速达1173km/h，是目前的世界纪录保持人。

[4]
一向着地球表面下坠物体的速度，每秒钟会增加每秒钟9.81米（即加速度为9.81m/s-2）。

物体会达到终端速度的原因是，阻力的大小与速度的平方成正比。

在低速时，阻力比引力要小得多，所以物体加速。

当物体在加速时，阻力增加，
直至与重量相等。

阻力同时亦取决于投影面积。

就是因为这个原因，相对于质量有着大投影面积的物体，如降落伞，比其他这方面小的物体，如子弹，有着更低的终端速度。

数学上，无视浮力的终端速度可用下式表示：
其中
为终端速度，
为物体重量，
为地球所引起的加速度，
为阻力系数，
为物体落下时所处的流体密度，及
为物体的投影面积。

数学上，一物体渐近地到达终端速度。

由周遭流体向物体所施的向上力所造成的浮力效应，可用阿基米德定律来描述：质量必须减去所排开的流体质量，其中为物体的体积。

所以不使用，在各方程中改用约化质量。

在地球上，一物体的终端速度取决于流体的性质、物体的质量及其横截表面积的投影大小。

空气密度随着海拔减少而增加，海拔每减少80米，密度就增加约1%（使用气压公式）。

若物体下降时穿越大气层，每下降160米，终端速度就会减少1%。

当物点达到所处点的终端速度后，若持续下降，则物体会因为新位置的终端速度而减速。

[编辑]终端速度的推导
数学上，把向下定义为正方向，物体在接地球表面落下是所受的合力F net为（根据牛顿第二运动定律）：。

其中：a为加速度，F D为阻力。

根据阻力公式：。

将上两式结合可得。

在平衡时，合力为零（F=0）：。

解v可得，。

隐藏▲速度v作为时间t函数解的推导阻力方程为。

取'k = 1⁄2ρAC d，此时方程的形式较为实用。

两边一起除以m得。

整理方程得。

取两边积分得
，
其中α = ( k⁄mg )1⁄2.
积分后，得
或简化形式
反双曲正切函数（arctanh）的定义为:
.
故方程解的积分为
，
上式可简化成
，
其中tanh为双曲正切函数。

设g为正数（它的定义确实是正数），然后把α的值代入，得
，
代入k = 1⁄2ρAC d，得v所需的形式
，
当时间趋向无限（t→ ∞），双曲正切趋向1，得终端速度。

[编辑]有浮力情况下的终端速度
当考虑浮力效应时，因自身质量而在流体中下沉的物体，若其合力为零，就会达到终端速度（沉降速度）。

当达到终端速度时，物体的重量会正好等于向上的浮力与阻力之和。

即：
其中
为物体的重量，
为作用于物体上的浮力，及
为作用于物体上的阻力。

若下沉的物体是球状的，则三种力的表示式如下：
其中
为球体的直径，
为重力加速度，
为流体的密度，
为球体的密度，
为球体投影面积，
阻力系数，及
为特征速度（即终端速度，）。

将方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解的值，得下式：。

[编辑]蠕流下的终端速度
蠕流流过球体示意图：流线、阻力F d及引力F g
对流体内非常慢的运动而言，相对于其他力，流体的惯性力是无关重要的（假设流体无质量）。

这样的流被称为蠕流，而蠕流需要满足雷诺数的条件。

蠕流的运动方程（简化后的纳维-斯托克斯方程）如下：
其中：
为速度矢量场，
为压力场，及
为流体黏度。

流过球体的蠕流解析解最早由斯托克斯于1851年提出。

从斯托克斯的解可得作用于球体的阻力
或
其中雷诺数。

方程(6)中表示阻力的式子又被称为斯托克斯定律。

把的值代入至方程(5)，可得球状物体在蠕流条件下的终端速度表示式：。

[编辑]应用
蠕流的计算结果可被用于研究近海底沉积粒子的沉降，及大气层中下降的水滴。

其原理被应用于落球式黏度计，一种量度高黏度流体黏度的实验装置。

[编辑]另见
∙斯托克斯定律
∙自由落体
[编辑]参考资料
1.^终端速度. 美国国家航空航天局格林研究中心NASA Glenn Research Center
[2009-03-04].（英文）
2.^ 2.0 2.1 2.2 Huang, Jian. 跳伞者的速度（终端速度）. The Physics Factbook.
Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College. 1999.（英文）
3.^ The Ballistician. Bullets in the Sky. W. Square Enterprises, 9826
Sagedale, Houston,Texas 77089. March 2001.
4.^奥地利冒险家鲍姆加特纳太空跳伞. BBC中文网. 2012-10-14 [2012-10-14].。