人教版七年级上册数学教学课件：3.1《从算式到方程》

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一元一次方程的概念
重点题型剖析
中考教材对接
概念
一元 一次 方程
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1， 等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程
知识 解读
（1）“整式”的含义：方程两边必须都是整式， 分母中不能有未知数. （2）“一次”的含义：方程中未知数的指数是1.
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本题运用定义法判断所给方程是不是一元一次 方程.一个式子是一元一次方程要满足：首先式子 是整式方程，其次化简后只含有一个未知数，再 次未知数的指数都是1.
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方程的解与解方程
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概念
举例
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注意
在利用等式的性质解方程时，可以连续多次使 用这两个性质.
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求得方程的解后，为了验证其正确性，可把所得的解 代入原方程进行检验.
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例6 利用等式的性质解方程： （1）5-x=-2； （2）3x-6=-31-2x．
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例1 下列各式，是方程的是
.（填序号）
①4.3÷x=7×1.5，②3x+2，③3x+5＜5，④4a-2.5b=1.8．
解析：① 4.3÷x=7×1.5，是含有未知数的等式，是方程； ②3x+2，含有未知数，但不是等式，不是方程；③3x+5＜ 5，含有未知数，但不是等式，不是方程；④4a-2.5b=1.8， 是含有未知数的等式，是方程．
b1 a3
a
.
1 3
;
由x= b 1 可知a+3≠0，所以利用等式的性质2，可以得到
a3
（a+3）x=b-1.
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解答第一问时，容易直接给方程两边同除以a+3而
得到等式x=
b a
1 3
，从而给出肯定的回答导致错误
答案.本题忽略当a+3=0时，方程两边不能同除以
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例5 下列式子变形是否正确，若正确，其依据分别是什么？
（1）如果a=b，那么a+c=b-c；
（2）如果a=b，那么
a 3
b；
3
（3）如果a-b+c=0，那么a=b-c；
（4）如果a2=4，那么a=2.
解：（1）等式的左边加c，右边减c，故错误.（2）等式的 两边同时除以3，故正确，其依据是等式的性质2.（3）等 式的两边同时加上b-c，故正确，其依据是等式的性质1. （4）等式的左边乘2，右边除以2，故错误.
（1）利用等式的性质1，使一元一次方程左边是未 知数，右边是常数；（2）利用等式的性质2，使未 知数的系数化为1，从而解出方程
知识解读
（1）方程变形的依据：要严格按照等式的性质，即 方程两边同时进行完全相同的四则运算，否则会破 坏相等关系；
（2）方程变形的结果：最后化为x=a（常数）的形 式才算解方程结束，否则继续进行
思路导图 将y=1代入方程， 将其转化为关 于m的方程
解关于m的 方程，求出 m的值
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将m的值代入 式子，从而计 算得出结果
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解：将y=1代入方程，得m×1=1+2，解得m=3.当 m=3时，m2-m+1=3 2 -3+1=7.
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a+3.
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题型一 根据一元一次方程的概念可求字母参数的值
例10 已知方程（m-2）x |m|-1 +3=m-5是关于x的一元一次 方程，求m的值．
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思路导图
由一元一次方程的概念 可知，x的次数为1，且x 的系数不等于零，据此 列出关于m的方程及不等 式
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方法点拨
已知某数是方程的解，则将此数代入方程后左、 右两边的值相等，这样就可以将原方程转化为关于参 数的方程.
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分析：灵活运用等式的两个性质将方程转化为x=a（常数） 的形式. 解：（1）两边都减5，得-x=-7.两边都除以-1，得x=7. （2）两边都加2x+6，得5x=-25.两边都除以5，得x=-5．
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由于加减互为逆运算，乘除互为逆运算，因 此方程两边加上同一个数时，也可以减去这个数 的相反数；方程两边乘同一个不为0的数时，也可 以除以这个数的倒数．
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第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
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方程的概念
概念
方程
含有未知数的等式叫作方程
知识 解读
（1）方程的两个要素：一是必须有等号，二是必须含有未知 数；（2）方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一 定是方程，方程是特殊的等式
方程 的解
解方 程
使方程中等号左右两边相 等的未知数的值叫作方程 的解
求方程的解的过程叫作解 方程
对于方程120-15x=15，当x=7时，左边 =120-15×7=120-105=15，右边=15， 左边=右边，因此x=7是方程12015x=15的解.将方程120-15x=15变形， 得到x=7的过程叫作解方程
（3）“一元”的含义：方程中只含有一个未知数
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例2 已知下列方程：①x-2=
2 x
；②0.3x=1；③
x 2
=5x+1；
④x2-4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数
是（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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等式的性 以同一个不为0的数，结果
质2
a=b（c≠0），那么 a b
cc
仍相等
知识解读
理解等式的性质要注意两个“同”：①同时.等式两边要 同时加、减、乘或除以，不能遗漏任何一边；②相同.同 时加、减、乘或除以的数必须是相同的
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等式的其他性质： ①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则 a=c.
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将方程中的未知数用具体的数值来代替，这种 方法叫作代入法，它是一种重要的数学方法.检验 未知数的值是不是方程的解，关键是看将未知数 的值代入方程后，方程的左、右两边是否相等．
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列简单的一元一次方程
x
程.①②④都符合一元一次方程的概念，都是一元一次方程.
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在③中，易只看到x的次数是1，而忽略了1x不是整式， 从而误认为③是一元一次方程.
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利用8
解方程：1
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方法点拨
若已知某方程是一元一次方程，则：①该方程是 整式方程，②该方程只含有一个未知数，③该方程未 知数的次数都是1，④该方程未知数的系数不等于零.
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题型二 已知方程的解求式子的值
例11 已知y=1是关于y的方程my=y+2的解，求m2-m+1的 值．
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注意
若原题有单位，设未知数时要带单位，但列方 程时不必带单位.
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例4 根据题意，列出关于x的方程（不必解方程）： （1）x比它的 7 大15.
8
（2）某人存了一笔三年定期存款，年利率为2.75%，
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识别一元一次方程时，漏掉“方程 两边都是整式”这个条件而出错
例7 下列方程是一元一次方程的是 ①②④ .（填序号）
① 2x-1=4; ②x=0; ③ 1 -5=-1； ④x+3=6x-9.
x
解析：在③中，因为 1 不是整式，所以③不是一元一次方
解关于方程及不等式 m，即可得到m的值
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解：因为（m-2）x |m|-1 +3=m-5是关于x的一元一次方 程，所以|m|-1=1，且m-2≠0，所以m=2或m=-2，且 m≠2，所以m=-2．
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重点题型剖析
3
x-2=5.
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解：方程的两边同时加2，得 1 x-2+2=5+2.
化简，得
1 3
x=7.
3
两边同乘3，得x=21.
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运用等式的性质解方程时，方程两边应同时进行 相同的变形.但解题时，有时会忽略“同时”和 “相同”这两个条件而导致错误.
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运用等式的性质2时，忽略不能除以0而出错
例9 能不能由（a+3）x=b-1得到等式x=
b1 a3
？反之，能不
能由x=
b1 a3
得到（a+3）x=b-1?为什么？
解：当a=-3时，由（a+3）x=b-1，不能得到等式x= b
当a≠-3时，由（a+3）x=b-1能得到等式x=
2
B．6- x =x
D．x
4
2
=2x-4
5
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解析：A.当x=4时，左边=4-3=1≠右边，故本选项不符合 题意；B.当x=4时，左边=6-2=4=右边，故本选项符合题 意；C.当x=4时，左边=2+3=5≠右边，故本选项不符合 题意；D.当x=4时，左边=0，右边=4，左边≠右边，故 本选项不符合题意．故选B.
一般步骤
（1）找：审清题意，确定已知量和未知量，找出包含已知
根据实际问 量和未知量的相等关系；
题
（2）设：设未知数，一般用x表示；
列一元一次
方程
（3）列：用式子表示各个量，根据相等关系，列出一元一
次方程
知识解读
（1）列方程的关键是找相等关系，这需要仔细审题，读懂 关键性词语的意义. （2）设未知数有两种：一种是求什么设什么，叫直接设未 知数；另一种是求什么但不设什么，叫间接设未知数
今年到期后，连本带息总共取出10 825元，他三年前存
了多少钱？
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重点题型剖析
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分析：（1）根据文字表述找出题目中的等量关系：x-x
的
7 8
=15，根据此等量关系列方程即可；（2）利用年利
率为2.75%，表示出本金与利息的和，进而得出方程.
解：（1）根据题意，得x-7 x=15.
8
（2）设他三年前存了x元.根据题意，得
x+2.75%×3x=10 825.
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等式的性质
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内容
用字母表示
等式的性 等式两边加（或减）同一个
质1
数（或式子），结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c
等式两边乘同一个数，或除 如果a=b，那么ac=bc；如果
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解析：①x-2= 2 的右边不是整式，不是一元一次方程；②
x
0.3x=1，符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；③
x
2 =5x+1，符合一元一次方程的概念，是一元一次方程； ④x2-4x=3中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； ⑤x=6，符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；⑥ x+2y=0中含有两个未知数，不是一元一次方程．综上所述， 一元一次方程的个数是3．故选B.
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解答此类问题要分别看等式的两边是如何变化 的，是否是加、减同一个数或乘同一个数或除以 同一个不为0的数.
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利用等式的性质解简单的一元一次方程
一般步骤
利用等式的 性质解一元 一次方程
知识 解读
检验一个数是不是方程的解的方法：将这个数代入方程的两边， 分别计算出结果，如果左、右两边的值相等，那么这个数就是该 方程的解；如果左、右两边的值不相等，那么这个数就不是该方 程的解
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例3 下列方程，解为x=4的是（ B ）
A．x-3=-1 C．1 x+3=7