2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一练习：3.2.2 奇偶性

3.2.2　奇偶性
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列函数是奇函数的是( )
A.y=
B.y=-3x 2
x (x -1)
x -1 C.y=-|x|
D.y=πx 3-x 35
,再确定f (-x )与f (x )的关系.选项A 中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C 中函数的定义域均是R ,且函数均是偶函数;选项D 中函数的定义域是R ,且f (-x )=-f (x ),则此函数是奇函数.
2.已知函数g (x )=f (x )-x ,其中y=g (x )是偶函数,且f (2)=1,则f (-2)=( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
g (x )=f (x )-x ,f (2)=1,
∴g (2)=f (2)-2=1-2=-1.
∵y=g (x )是偶函数,
∴g (-2)=f (-2)+2=-1,
∴f (-2)=-3.故选C .
3.已知f (x )为偶函数,且当x ≥0时,f (x )≥2,则当x<0时,有( )
A.f (x )≤2
B.f (x )≥2
C.f (x )≤-2
D.f (x )∈R
f (x )的大致图象如图所示,由图易知当x<0时,有f (x )≥2.故选B.
4.已知函数f (x )=x|x|-2x ,则下列结论正确的是
( )
A.f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f (x )是偶函数,递增区间是(-∞,1)
C.f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)
f (x )=x|x|-2x 可得,函数的定义域为R ,且f (-x )=-x|-x|-2(-x )=-x|x|+2x=-f (x ),故函数为奇函数
,
函数f (x )=x|x|-2x=如图所示,{
x
2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,所以函数的递减区间为(-1,1),故选C .
5.已知f (x )是奇函数,当x>0时,f (x )=-x (1+x ),当x<0时,f (x )等于( )
A.-x (1-x )
B.x (1
-x )C.-x (1+x ) D.x (1+x )
x<0时,-x>0,则f (-x )=x (1-x ).
又
f (x )是R 上的奇函数,
所以当x<0时,f (x )=-f (-x )=-x (1-x ).故选A .
6.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f (x )+|g (x )|是偶函数
B.f (x )-|g (x )|是奇函数
C.|f (x )|+g
(x )是偶函数
D.|f (x )|-g (x )是奇函数
f (x )是偶函数,可得f (-x )=f (x ),
由g (x )是奇函数可得
g (-x )=-g (x ),
故|g (x )|为偶函数,
∴f (x )+|g (x )|为偶函数.
7.若函数f (x )=为奇函数,则a=
.
(x +1)(x +a )x f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),即=-,显然
x ≠0,整理得x 2-(a+1)(-x +1)(-x +a )-x (
x +1)(x +a )x x+a=x 2+(a+1)x+a ,故a+1=0,解得a=-1.
1
8.已知f (x )=x 5+ax 3+bx-8,且f (
-2)=10,则f (2)= .
h (x )=x 5+ax 3+bx ,易知h (x )为奇函数.
因为f (x )=h (x )-8,h (x )=f (x )+8,
所以h (-2)=f (-2)+8=18.
h (2)=-h (-2)=-18,
所以f (2)=h (2)-8=-18-8=-26.
26
9.已知奇函数f (x )的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象.
(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.
因为函数f (x )是奇函数,所以y=f (x )在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f (x )在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使函数值f (x )<0的x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
10.已知f (x )为奇函数,且当x<0时,f (x )=x 2+3x+2.若当x ∈[1,3]时,f (x )的最大值为m ,最小值为n ,求m-n 的值.
当x<0时,f (x )=x 2+3x+2,
且f (x )是奇函数,∴当x>0时,-x<0,
则f (-x )=x 2-3x+2.
故当x>0时,f (x )=-f (-x )=3x-x 2-2.
∴当x ∈时,f (x )是增函数;
[1,32]当x ∈时,f (x )是减函数.因此当x ∈[1,3]时,f (x )max =f ,f (x )min =f (3)=-2.(32
,3](32)=14∴m=,n=-2,从而
m-n=.149
4能力提升
1.若函数f (x )=(m-1)x 2+(m-2)x+(m 2-7m+12)为偶函数,则m 的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(-x )=(m-1)x 2-(m-2)x+(m 2-7m+12),f (x )=(m-1)x 2+(m-2)x+(m 2-7m+12),由f (-x )=f (x ),得m-2=0,即m=2.
2.设f (x )是奇函数,对任意的实数x ,y ,有f (x+y )=f (x )+f (y ),当x>0时,f (x )<0,则f (x )在区间[a ,b ]上( )
A.有最大值f (a )
B.有最小值f (a )
C.有最大值f
D.有最小值f (a +b 2)(a +b 2
)
x 1<x 2,则x 2-x 1>0.
∵当x>0时,f (x )<0,
∴f (x 2-x 1)<0,即f (x 2)+f (-x 1)<0.
∵f (x )是奇函数,∴f (x 2)-f (x 1)<0,
∴f (x 2)<f (x 1),∴f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在区间[a ,b ]上有最大值f (a ),最小值f (b ).故选A .
3.已知定义在R 上的函数f (x )在(-∞,-2)上是减函数,若g (x )=f (x-2)是奇函数,且g (2)=0,则不等式xf (x )≤0的解集是( )
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
(x )=f (x-2)的图象是将函数f (x )的图象向右平移2个单位得到的,又g (x )=f (x-2)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f (0)=g (2)=0,f (-4)=g (-2)=-g (2)=0,f (-
2)=g (0)=0,结合函数的图象,
由xf (x )≤0可知{x ≥0,f (x )≤0或{x <0,f (x )≥0.
结合图象可知x ≥0或-2≤x<0或x ≤-4.
故不等式xf (x )≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A .
4.已知f (x )=(k-2)x 2+(k-3)x+3是偶函数,则f (x )的递减区间为 .
k=3,f (x )=x 2+3,其图象开口向上,所以f (x )的递减区间是(-∞,0].
-∞,0]
5.(一题多空题)已知函数f (x )为R 上的奇函数,且当x ≥0
时,f (x )=-x 2++t ,则t= ,f (-2)= .1x +1
f (x )为R 上的奇函数,
所以
f (0)=0,即-02++t=0,解得t=-1.
10+1所以
f (x )=-x 2+-1.1x +1所以f (2)=-22+-1=-.12+1143又函数f (x )为R 上的奇函数,
所以f (-2)=-f (2)=.
143
1　14
3
6.定义在(-8,a )上的奇函数f (x )在区间[2,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为a ,最小值为-1,则2f (-
6)+f (-3)= .
,f (x )是定义在(-8,a )上的奇函数,则a=8.
又由f (x )在区间[2,7]上是增函数,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,
则f (6)=a=8,f (3)=-1.
函数是奇函数,则f (-6)=-8,f (-3)=1.
则2f (-6)
+f (-3)=2×(-8)+1=-15.
15
7.判断函数f (x )=的奇偶性.
{
x 2-2x +3,x >0,0,x =0,-x 2-2x
-3,x <0(x )的定义域为R (关于原点对称).①当x=0时,-x=0,f (-x )=f (0)=0,f (x )=f (0)=0,∴f (-x )=-f (x );
②当x>0时,-x<0,∴f (-x )=-(-x )2-2(-x )-3=-(x 2-2x+3)=-f (x );
③当x<0时,-x>0,∴f (-x )=(-x )2-2(-x )+3=-(-x 2-2x-3)=-f (x ).
由①②③可知,当x ∈R 时,都有f (-x )=-f (x ),
∴f (x )为奇函数.
8.已知f (x )为定义在R 上的偶函数,当x ≤-1时,f (x )=x+b ,且f (x )的图象经过点(-2,0),在y=f (x )的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f (x )的解析式;
(2)求出f (x )的值域.
∵f (x )的图象经过点(-2,0),
∴0=-2+b ,即b=2.
∴当x ≤-1时,f (x )=x+2.
∵f (x )为偶函数,
∴当x ≥1时,f (x )=f (-x )=-x+2.
当-1≤x ≤1时,依题意设f (x )=ax 2+2(a ≠0),
则1=a ·(-1)2+2,
∴a=-1.
∴当-1≤x ≤1时,f (x )=-x 2+2.
综上,f (x )=
{x +2,x ≤-1,-x 2+2,-1<x <1,-x +2,x ≥1.(2)当x ≤-1时,f (x )=x+2∈(-∞,1];
当-1<x<1时,f (x )=-x 2+2∈(1,2];
当x ≥1时,f (x )=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f (x )∈(-∞,2].
9.已知函数f (x )=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f .x +a
b +x 2(12)=25
(1)用定义证明:f (x )在(-1,1)上是增函数;
(2)若实数m 满足f (m-1)+f (1-2m )<0,求m 的取值范围.
f (x )=是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f (0)=0,=0,a=0.x +a
b +x 2a b ∵f ,∴b=1,∴f (x )=.
(12)=2
5x 1+x 2∀x 1,x 2∈(-1,1),且-1<x 1<x 2<1,
∴f (x 2)-f (x 1)=.x 2
1+x 22
‒x 11+x 21=(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 22)(1+x 21)∵x 1,x 2∈(-1,1),且x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0,
∴>0,
(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 22)(1+x 2
1)∴f (x 2)>f (x 1),
∴f (x )在(-1,1)上单调递增.
f (x )=是(-1,1)上的奇函数且单调递增,∵f (m-1)+f (1-2m )<0,x 1+x 2
∴f (m-1)<f (2m-1).
∴综上得0<m<1.{
-1<m -1<1,
-1<2m -1<1
,
m
-
1<
2
m -
1,。