2020-2021学年广东省柳州市航鹰中学九年级(下)期末数学复习试卷(9)(附答案详解)

2020-2021学年广东省柳州市航鹰中学九年级（下）期末
数学复习试卷（9）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列各数是正数的是()
D. −√2
A. 0
B. 5
C. −1
2
2.如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1=50°，则∠2的度数
为()
A. 40°
B. 50°
C. 130°
D. 150°
3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为()
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 四棱柱
D. 四棱锥
4.下列事件中，属于必然事件的是()
A. 2020年的元旦是晴天
B. 太阳从东边升起
C. 打开电视正在播放新闻联播
D. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球
5.下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是()
A. (x+2y)(x−2y)=x2−4y2
B. x2y−xy2−1=xy(x−y)−1
C. a2−4ab+4b2=(a−2b)2
D. ax+ay+a=a(x+y)
6.如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，
BC=24，则线段OA的长为()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
7.已知点M(1−2m,m−1)在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是()
A. B.
C. D.
8.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是()
A. 对称轴是直线x=1，最小值是2
B. 对称轴是直线x=1，最大值是2
C. 对称轴是直线x=−1，最小值是2
D. 对称轴是直线x=−1，最大值是2
9.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是()
A. B.
C. D.
10.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判
定△ABC≌△DCB的是()
A. ∠A=∠D
B. ∠ACB=∠DBC
C. AC=DB
D. AB=DC
11.如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE=
43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF//BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若A点到B点的距离AB=1.6m，则盲区中DE的长度是()
(参者数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4)
A. 2.6m
B. 2.8m
C. 3.4m
D. 4.5m
12.如图，A、B是函数y=6
上两点，P为一动点，作
x
PB//y轴，PA//x轴，下列说法正确的是()
①△AOP≌△BOP；
②S△AOP=S△BOP；
③若OA=OB，则OP平分∠AOB；
④若S△BOP=2，则S△ABP=8
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.计算：a2⋅a3=______．
14.计算(√3)2+1的结果是______．
15.如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形
重合，那么旋转的角度至少是______度．
16.五名学生一分钟跳绳的次数分别为189，195，163，184，201，该组数据的中位
数是______．
17.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，
点B的坐标为(4,4)，直线y=mx−2恰好把正方形
ABCO的面积分成相等的两部分，则m=______．
18.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=√2+1，P是△ABC内一个动点，过P作
PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，且PD+PE=PF.则P运动所形成的图形的长度是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程组{x +y =4x −2y =1
．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
20. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC =AD ．
21. 某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
(1)请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
22.随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三
项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)被调查的学生一共有______ 人；
(2)请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有______ 名
学生已掌握3项训练技巧；
(3)A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同
学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
23.已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点
E，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AE=6，BF=8，CE=3，求四边形ABCD的面积．
x+b与x轴，y轴分别交于A，B
24.如图，直线y=−1
3
(x<0)交于点C，点A的
两点，与反比例函数y=k
x
坐标为(3,0)，CD⊥x轴于点D．
(1)点B的坐标为；
(x<0)的解析式；
(2)若点B为AC的中点，求反比例函数y=k
x
(3)在(2)条件下，以CD为边向右作正方形CDEF，EF交AC于点G，直接写出△CGF
的周长与△ABO的周长的比．
25.如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有
一点P，满足∠PBD=∠DAB.过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP 于点H．
(1)求证：BP是⊙O的切线；
(2)如果OA=5，AM=4，求PN的值；
(3)如果PD=PH，求证：AH⋅OP=HP⋅AP．
26.如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点
C.已知直线y=kx+n过B，C两点．
(1)求抛物线和直线BC的表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D.设△PDC的面积为S1，
△ADC的面积为S2，求S1
的最大值；
S2
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F.点Q是对
称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
和−√2都是负数．
【解析】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；−1
2
故选：B．
此题利用正数和负数的概念即可解答．
此题考查正数和负数的概念．大于0的数是正数，正数前面加上“−”的数是负数．数0既不是正数，也不是负数．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
由a//b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠2的度数．
【解答】
解：∵a//b，
∴∠2=∠1=50°．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选：A．
俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
4.【答案】B
【解析】解：A.2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故本选项不合题意；
B.太阳从东边升起，属于必然事件，故本选项符合题意；
C.打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故本选项不合题意；
D.在一个没有红球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故本选项不合题意；
故选：B．
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
本题主要考查了随机事件，事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了对因式分解的意义的理解，关键是能根据因式分解的意义进行判断(从等式的左边到等式的右边是否是因式分解)．
根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，左边是一个多项式，右边是整式的积的形式，进行判断即可．
【解答】
解：根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，
A.右边不是积的形式，故本选项错误；
B.右边最后不是积的形式，故本选项错误；
C.a2−4ab+4b2=(a−2b)2，符合因式分解的意义，故本选项正确；
D.结果是a(x+y+1)，故本选项错误．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：连接OB，如图所示：
∵OA⊥BC，
∴AB=1
BC=12，∠OAB=90°，
2
由勾股定理得：OA=√OB2−AB2=√132−122=5；
故选：A．
BC=12，∠OAB=90°，由勾股定理求出OA即可．
由垂径定理得出AB=1
2
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出OA是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由点M(1−2m,m−1)在第四象限，得
1−2m>0，m−1<0．
，
解得m<1
2
故选：B．
根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
8.【答案】B
【解析】解：由抛物线的解析式：y=−(x−1)2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选：B．
根据抛物线的图象与性质即可判断．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．
本题考查了作图−基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【解答】
解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线即可找到三角形的内心．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选：C．
全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF即可解决问题．
【解答】
解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF//AC，
∵AF//EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB⋅sin43°≈1.6×0.7=1.12(m)，∴DF=AC=1.12(m)，
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tan∠E=DF
DE
，
∴DE≈1.12
0.4
=2.8(m)，
故选：B．
12.【答案】B
【解析】解：点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；设P(m,n)，
∴BP//y轴，
∴B(m,6
m
)，
∴BP=|6
m
−n|，
∴S△BOP=1
2×|6
m
−n|×|m|=|3−1
2
mn|，
∵PA//x轴，
∴A(6
n
,n)
∴AP=|6
n
−m|，
∴S△AOP=1
2×|6
n
−m|×|n|=|3−1
2
mn|，
∴S△AOP=S△BOP，②正确；
如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∵S△AOP=S△BOP，OA=OB，
∴PE=PF，
∵PE=PF，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB，③正确；
如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y=6
x
上，
∴S△AMO=S△BNO=3，
∵S△BOP=2，
∴S△PMO=S△PNO=1，
∴S
矩形OMPN
=2，
∴mn=2，
∴m=2
n
，
∴BP=|6
m
−n|=|3n−n|=2|n|，
AP=|6
n −m|=|4
n
|，
∴S△ABP=1
2×2|n|×|4
n
|=4，④错误；
故选：B．
根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出①错误；设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；求出矩形OMPN=2，进而得出mn=2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键
13.【答案】a5
【解析】解：a2⋅a3=a2+3=a5．
故答案为：a5．
根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：原式=3+1=4．
故答案为：4．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
15.【答案】60
【解析】解：将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么
=60度．
旋转的角度至少是360
6
本题考查旋转对称图形的概念，旋转的最小度数是解决本题的关键．
根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．16.【答案】189
【解析】解：这5名学生跳绳次数从小到大排列为163、184、189、195、201，
所以该组数据的中位数是189，
故答案为：189．
根据中位数的意义，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
17.【答案】2
【解析】解：∵直线y=mx−2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分
∴直线必经过正方形的中心
∵点B的坐标为(4,4)
∴中心为(2,2)，代入直线中得：2=2m−2，m=2
故答案为2．
只有过正方形对角线交点的直线，才能把正方形分成面积相等的两部分．点B的坐标为
(4,4)，则y=mx−2经过点(2,2)，代入直线解析式得m=2．
本题用到的知识点为：过平行四边形对角线交点的直线，把平行四边形分成面积相等的两部分．
18.【答案】√2
【解析】解：如图，作∠ACB的平分线CM交AB于M，作MH//BC交AC于H，在线段MH上取一点P，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F．
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵MH//BC，
∴∠AMH=∠B=45°，
∵PD⊥AB，
∴∠PDM=90°，
∴∠DMP=∠DPM=45°，
∴PD=DM，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠A=∠PDA=∠PEA=90°，
∴四边形ADPE是矩形，
∴PE=AD，
∴PD+PE=DM+AD=AM，
∵CM平分∠ACB，MN⊥BC，MA⊥AC，
∴MA=MN，
∵PF⊥BC，MN⊥BC，
∴PF//NM，∵PM//FN，
∴四边形PFNM是平行四边形，
∵∠PFN=90°，
∴四边形PFNM 是矩形， ∴PF =MN ， ∴PF =AM ， ∴PF =PD +PE ，
∴点P 的运动轨迹是线段MH ．
设AM =MN =x 则BN =MN =x ，BM =√2x ， ∵AB =√2+1， ∴x +√2x =√2+1， ∴x =1，
在Rt △AMH 中，∵AM =AH =1， ∴MH =√2，
∴P 运动所形成的图形的长度是√2． 故答案为√2．
如图，作∠ACB 的平分线CM 交AB 于M ，作MH//BC 交AC 于H ，在线段MH 上取一点P ，过P 作PD ⊥AB 、PE ⊥AC 、PF ⊥BC ，垂足分别为D 、E 、F.首先证明PD +PE =AM ，再证明MA =MN =PF ，得出点P 的运动轨迹是线段MH.求出MH 即可解决问题； 本题考查等腰三角形的性质、轨迹、角平分线的性质定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点P 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
19.【答案】解：{
x +y =4 ①
x −2y =1 ②
①−②得：(x +y)−(x −2y)=4−1
y +2y =3 3y =3 y =1
把y =1代入①得：x +1=4，
x =3
∴原方程组的解为{
x =3
y =1
【解析】用加减消元法解方程组即得到答案．
本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是认真观察未知数系数并适当选用消元方
法解方程．
20.【答案】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中，{∠1=∠2 AB=AB ∠ABC=∠ABD 
，
∴△ABC≌△ABD(ASA)，
∴AC=AD．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．
21.【答案】解：(1)设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意，得：1+x+x(1+x)=81，
解得：x1=8，x2=−10(不合题意，舍去)．
答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．
(2)81×(1+8)=729(人)，729>700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．
【解析】(1)设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×(1+8)，即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】50250
【解析】解：(1)被调查的学生一共有8÷16%=50(人)；
故答案为：50；
(2)C类的人数有：50−5−16−8=21(人)，补全统计图如下：
2500×5
50
=250(人)，
答：初二年级大约有250名学生已掌握3项训练技巧；
故答案为：250；
(3)将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，
列表如下：
A A
B
C D
A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)
A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)
B(A,B)(A,B)(C,B)(D,B)
C(A,C)(A,C)(B,C)(D,C)
D(A,D)(A,D)(B,D)(C,D)
由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果，
所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为2
20=1
10
．
(1)用D的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；
(2)用总人数减去其他类别的人数，求出C类的人数，补全统计图；再用总人数乘以已掌握3项训练技巧的人数所占的百分比即可；
(3)根据题意先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式计算可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目
的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF．
∴四边形ABEF是菱形．
(2)解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴AE⊥BF，OE=1
2AE=3，OB=1
2
BF=4，
∴BE=√OB2+OE2=5，
∵S
菱形ABEF =1
2
⋅AE⋅BF=BE⋅FG，
∴GF=24
5
，
∴S
平行四边形ABCD =BC⋅FG=192
5
．
【解析】(1)先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
(2)作FG⊥BC于G，根据S
菱形ABEF =1
2
⋅AE⋅BF=BE⋅FG，先求出FG即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)把点A的坐标为(3,0)代入y=−1
3x+b得，0=−1
3
×3+b，
解得：b=1，
∴点B的坐标为(0,1)；(2)∵AB=BC，OB//CD，
∴OA=OD，CD=2OB，
∵A(3,0)，B(0,1)，
∴C(−3,2)，
∵点C在y=k
x
上，
∴2=k
x
，
∴y=−6，
∴反比函数解析式为y=−6
x
；
(3)∵C(−3,2)，
∴CD=2，
∵四边形CDEF是正方形，
∴GF=CD=3，
∵CF//AD，
∴∠FCG=∠BAO，
∵∠F=∠AOB=90°，
∴△CFG∽△AOB，
∴△CGF的周长与△ABO的周长的比=CF
OA =2
3
．
【解析】(1)把点A的坐标为(3,0)代入y=−1
3
x+b得，解方程即可得到结论；
(2)根据三角形的中位线定理得到C(−3,2)，由点C在y=k
x
上，于是得到结论；
(3)根据正方形的性质得到GF=CD=3，根据平行线的性质得到∠FCG=∠BAO，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，正方形的性质，三角形中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：如图，连接BC，OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，
∴∠OBP=∠CBD=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
(2)解：∵CD⊥AB，
∴PA=PB，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO(SSS)，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AMO=90°，
∴OM=√OA2−AM2=√52−42=3，∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，∴△AOM∽△POA，
∴OA
OP =OM
OA
，
∴5
OP =3
5
，
∴OP=25
3
，
∵PN⊥PC，
∴∠NPC=∠AMO=90°，
∴AM
PN =OM
OP
，
∴4
PN =325
3
，
∴PN=100
9
．
(3)证明：∵PD=PH，
∴∠PDH=∠PHD，
∵∠PDH=∠POA+∠OND，∠PHD=∠APN+∠PND，又∠POA+∠APO=90°，∠APN+∠APO=90°，
∴∠POA=∠APN，
∴∠ANH=∠PND，
∵∠PDN=∠PHD=∠AHN，
∴
AH PD
=
NA NP
，
∵∠APN =∠POA ，∠PAN =∠PAO =90°， ∴△PAN∽△OAP ， ∴PN
OP =AN AP ，
∴
NA NP =
AP OP
，
∴AH PD =AH
PH =AP
OP ， ∴AH ⋅OP =HP ⋅AP ．
【解析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)连接BC ，OB ，证明OB ⊥PB 即可．
(2)解直角三角形求出OM ，利用相似三角形的性质求出OP ，再利用平行线分线段成比例定理求出PN 即可．
(3)证明△NAH∽△NPD ，推出AH
PD =NA
NP ，证明△PAN∽△OAP ，推出PN
OP =AN
AP
，推出NA NP =AP
OP
可得结论．
26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y =ax 2+bx +3，
得：{a −b +3=09a +3b +3=0，
解得，{a =−1
b =2
∴抛物线的表达式，y =−x 2+2x +3， ∴点C 坐标为(0,3)，
把B(3,0)，C(0,3)代入y =kx +n ， 得：{3k +n =0n =−3，
解得，{k =−1
n =−3
∴直的表达式：y =−x +3． (2)①∵PA 交直线BC 于点， ∴设点D 的坐标为(m,−m +3)，
设直线PA 的表达式为y =k 1x +b 1， ∴{−k 1+b 1=0mk 1+b 1=−m +3， 解得，{k 1=
−m+3
m+1
b 1=
−m+3m+1
∴直线PA 的表达式，y =−m+3m+1
x +
−m+3m+1
，
∴
−m+3m+1
x +
−m+3m+1
=−x 2+2x +3，
整理得，(x −4m
m+1)(x +1)=0 解得x =4m
m+1或−1(不合题意，舍去)， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标4m
m+1，
分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：
∴DM//PN ，OM =m ，ON =4m
m+1，OA =1， ∴S 1S 2
=S △PDC
S
△ADC
=PD DA =
MN AM
=
4m
m+1
−m m+1
=
−m 2+3m (m+1)2
，
设S
1
S 2
=t ，则t =−m 2+3m (m+1)2
，
整理得，(t +1)m 2+(2t −3)m +t =0， ∵△≥0，
∴(2t −3)2−4t(t +1)≥0， 解得t ≤9
16
∴S 1S 2
有最大值，最大值为9
16
．
②存在，理由如下：过点F 作FG ⊥OB 于G ，如图2中，
∵y=−x2+2x+3的对称轴为x=−1，∴OE=1，
∵B(3,0)，C(0,3)
∵OC=OB=3，∠OCB=90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB=90°，BE=OB−OE=2，∴△OCB是等腰直角三角形，
∴EG=GB=EG=1，
∴点F的坐标为(2,1)，
当EF为边时，
∵EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE//PF//y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x=2时，y=−22+2×2+3=3，∴点P的坐标为(2,3)，
∴QE=PF=3−1=2，
点Q的坐标为(1,2)；
当EF为对角线时，如图3中，
∵PEQF为平行四边形，
∴QE =PF ，QE//PF//轴， 同理求得：点P 的坐标为(2,3)， ∴QE =PF =3−1=2， 点Q 的坐标为(1,−2)；
综上，点P 的标为(2,3)，点Q 的坐标为(1,2)或(1,−2)；P 的坐标为(0,3)时，Q(1,4)
【解析】(1)把A(−1,0)，B(3,0)代可求得抛物线的表达式，再求得点C 的坐标，把B(3,0)，C 的坐标代即可求解；
(2)①设点D 的坐标为(m,−m +3)，利用待定系数法求得直线PA 的表达式y =
−m+3m+1
x +
−m+3
m+1
，解方程−m+3m+1x +−m+3m+1
=−x 2+2x +3，求得点P 的横坐标为4m
m+1
，利用平等线分
线段成比例定理求得S 1
S 2
=
S △PDC
S △ADC
=PD
DA =
MN AM
=
4m
m+1
−m m+1
=
−m 2+3m (m+1)2
，
设S 1S 2
=t ，则t =
−m 2+3m (m+1)2
，整理得(t +1)m 2+(2t −3)m +t =0，根据△≥0，即可解决
问题．
②根据等腰直角三角形的性质求得的点F 坐标为(2,1)，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，(3)注意要分AB 是对角线与边两种情况讨论．。