基于RQGA和非支配排序的多目标混沌量子遗传算法.
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（ 1． School of Control Science and Engineering，Shandong University，Jinan 250061，China； 2． Engineering Center for Power Electronic Saving Technology and Equipment，Shandong University，Jinan 250061，China）
目标函数本文把有功网损最小电压水平最好即电压偏差v18最大作为多目标无功优化问题的目标建立数学模型为minpijcosijijsinijmaxvsm分别为负荷节点l的实际电压期望电压和最大允许电压偏差umax将无功优化的目标函数式18转化为如式1所示的多目标优化问题的一般形式即minfminp基于mcqga的多目标无功优化为了验证本文算法的有效性和可行性采用mcqgaieee30节点配电系统进行无功优化计算并与nsgaii的优化结果相比较
第 16 卷 第 4 期 2012 年 4 月
电机与控制学报 ELECTRIC MACHINES AND CONTROL
Vol. 16 No. 4 Apr． 2012
基于 RQGA 和非支配排序的多目标混沌量子遗传算法
王瑞琪1，2 ， 李珂1，2 ， 张承慧1，2 ， 裴文卉1，2
（ 1． 山东大学 控制科学与工程学院，山东 济南 250061； 2． 山东大学 电力电子节能技术与装备教育部工程中心，山东 济南 250061）
1 多目标优化问题描述
以在一组约束条件下，最小化多目标问题为例，
多目标优化问题可以描述为下面的形式，即
min［f（ X） ］= min［f1 （ X） ，…，fi（ X） ，…，fn（ X） ］，
X =［x1 ，…，xj，…，xm］，
i = 1，2，…，n； j = 1，2，…，m，
s． t． gq（ X） ≤0。
2 量子遗传算法
在量子计算机中，充当信息存储单元物理介质
的是一个双态量子系统，称为量子位又称量子比特。
一个量子位不仅可以表示 0 和 1 两种状态，而且可
以同时表示这两种状态之间的任意叠加态，即一个
量子位可能处于 | 0〉或 | 1〉，或者 | 0〉或 | 1〉的不同叠
加态。一个量子位的状态可表示为
与单目标优化和组合优化不同，多目标优化问题 通常由多个冲突的目标组成，并不存在各目标均为全 局最优的解，而是存在一个非劣解集，即 Pareto 最优 解集［6 －7］。遗传算法等进化算法具有并行求解、对目 标域的形状和连续性不敏感等特点，适合求解多目标 优化问题。进化算法在多目标优化中已有很多应用， 典型的有 PAES［8］，SPEA［9］，NSGA － II［10］等。
摘 要： 为了提高多目标优化算法的收敛性、分布性和减少算法的计算代价，借鉴实数编码遗传算
法和多目标优化理论，构建一种多目标混沌量子遗传算法。在分析量子位概率的混沌特性、量子态
干涉特性和量子位实数编码的基础上，采用量子位概率交叉和混沌变异的方式进化种群，以提高寻
优能力和收敛速度，利用非支配排序、精英保留和分层聚类等多目标优化策略保持种群多样性的同
| ψ〉= α | 0〉+ β | 1〉。
（ 2）
式中 α 和 β 分别为 | 0〉和 | 1〉的概率幅，且满足下列
归一化条件，即
| α| 2 + | β | 2 = 1。
（ 3）
式中： | α | 2 为量子态的观测值为 0 的概率； | β | 2 为
量子态的观测值为 1 的概率。
典型的量子遗传算法中，采用量子比特幅编码
Abstract： In order to improve the convergence and distribution together with less computation cost of multi-objective algorithm，Multi-objective Chaotic Quantum Genetic Algorithm （ MCQGA） was proposed， referencing to Real-coded Quantum Genetic Algorithm （ RQGA） and multi-objective optimization theory． Based on analysis of chaotic feature of quantum bits probability，interference feature of quantum states and real-coded quantum bits，quantum bits probability crossover and chaos mutation were adopted to improve search efficiency and convergence rate． The population diversity and evolution direction of Pareto global optimal solution were ensured by multi-objective optimization strategies such as non-dominated sorting，elitist preserve and hierarchical clustering． The effectiveness of multi-algorithm integration and the influence of critical parameters on hybrid algorithm are analyzed through performance test and contrast． The conclusion drawn from multi-objective reactive power optimization confirms its validity and feasibility． Key words： quantum genetic algorithm； multi-objective optimization； non-dominated sorting； chaos； reactive power optimization
QGA 采用量子旋转门作为进化策略，使当前解
逐渐逼近搜索到的最优解，并将需要的结果以概率
的形式增 加，不 需 要 的 结 果 则 以 概 率 的 形 式 减 弱。
常用的量子旋转门为
[ ] cos（ Δθ） － sin（ Δθ）
U（ Δθ） =
。 （ 5）
sin（ Δθ） cos（ Δθ）
式中 Δθ 为旋转角。通过量子旋转门可实现任意叠
第 16 卷
0引言
量子信息是信息科学和量子力学相结合的新兴 交叉科学。量子计算就是利用量子理论中量子态的 叠加、相干和纠缠等特性，通过量子并行计算求解问 题，拥有超越经典计算的高效计算能力以及在信息 处理方面的巨大潜力［1 － 2］。近几年有效利用量子理 论原理并结合人工智能优势的量子智能算法，引起 了众多学者的关注。量子遗传算法（ quantum genetic algorithm，QGA） 将量子比特的概率幅表示应用于 染色体的编码，用量子门作用和量子门更新来完成 进化搜索，能很好地保持种群多样性并避免选择压 力问题，性能优于传统遗传算法［3 － 5］。然而，上述量 子遗传算法均基于二进制量子位编码，采用查表法 进行量子门更新，计算量大，不便于工程应用，而且 只应用于解决单目标优化和组合优化问题。
李 珂（ 1979—） ，男，博士，副教授，研究方向为最优控制理论、新能源并网发电技术； 张承慧（ 1963—） ，男，博士，教授，研究方向为控制理论与应用、工程优化节能控制和可再生能源等； 裴文卉（ 1983—） ，女，博士研究生，研究方向为非线性控制理论。 通讯作者： 王瑞琪
92
电机与控制学报
的染色体结构为
[ ] p
t i
=
α1t 1 α1t 2 … α1t k α2t 1 α2t 2 … α2t k …αtm1 αtm2 …αtmk …
。
β1t 1 β1t 2 …β1t k
β2t 1 β2t 2 … β2t k
…
β
t m1
β
t m2
…β
t mk
…
（ 4） 式中： pti 为第 t 代第 i 个染色体； m 为染色体的基因 位数； k 为编码每个基因的量子比特数。
第4 期
王瑞琪等： 基于 RQGA 和非支配排序的多目标混沌量子遗传算法
93
加态之间的转换，具有高度并行性。 与传 统 遗 传 算 法 （ common genetic algorithm，
CGA） 相比，QGA 将量子比特的概率幅表示应用于 染色体的编码，更具有并行性与多样性； 采用量子门 作用和量子门更新来完成进化搜索，能很好地保持 种群多样性并避免选择压力问题，可实现比 CGA 更 好的搜索效率和收敛性。由于 QGA 在求解复杂函 数优化问题时编码、解码过程繁琐，而且求解精确度 也受到了编码位的影响，文献［11 － 12］提出了多种 实数编码量子进化算法并验证了其优异的性能。
时，保证进化向 Pareto 全局最优解集方向进行。通过混合算法性能对比测试验证了多算法集成的
有效性，并分析关键参数对算法性能的影响。电力系统多目标无功优化的仿真结果验证了该算法
的有效性和可行性。
关键词： 量子遗传算法； 多目标优化； 非支配排序； 混沌； 无功优化
中图分类号： TP 18，TM 77
3 多目标混沌量子遗传算法
本文基于量子计算原理和多目标进化理论，提
出பைடு நூலகம்目标混沌量子遗传算法，其基本思想是： 采用量
子位实数编码提高计算精确度； 利用量子态干涉特
性、量子位概率的混沌特性进行概率交叉和混沌变
异，提高寻优效率和收敛速度； 基于非支配排序、精
收稿日期： 2011 － 06 － 14 基金项目： 国家高技术研究发展计划（ 863 计划） （ 2009AA05Z212） ； 山东大学自主创新基金自然科学类专项交叉学科培育项目（ 2009JC009） ；
山东大学研究生自主创新基金（ 31400071613062） 作者简介： 王瑞琪（ 1986—） ，男，博士研究生，研究方向为智能控制理论与应用、电力系统优化控制；
} fi（ X1 ） ≤fi（ X2 ） ，i = 1，2，…，n，
fi （ X1 ） ＜ fi （ X2 ） ，i∈｛ 1，2，…，n｝ 。 2） Pareto 最优： 若 X 是 Pareto 最优的当且仅当 Xi： XiX。 3） Pareto 最优解集： 所有 Pareto 最优解的集合 Ps = ｛ X XiX｝ 。 4） Pareto 最优前沿面或均衡面： 所有 Pareto 最 优解对应的目标函数值所形成的区域。
文献标志码： A
文章编号： 1007－ 449X（ 2012） 04－ 0091－ 09
Multi-objective chaotic quantum genetic algorithm based on RQGA and non-dominated sorting
WANG Rui-qi1，2 ， LI Ke1，2 ， ZHANG Cheng-hui1，2 ， PEI Wen-hui1，2
（ 1）
式中： X∈Rm 为带有 m 个决策变量的向量，组成决 策空间； f（ X） ∈Rn 为带有 n 个目标函数的向量，组 成目标空间； gq（ X） 为 q 个不等式约束函数，由他们 形成了可行解区域。
下面给 出 多 目 标 优 化 中 常 用 的 几 个 基 本 定 义，即
1） Pareto 支配： 解 X1 Pareto 支配 X2 （ X1 X2 ） 当 且仅当同时满足
本文在 实 数 编 码 量 子 遗 传 算 法 （ real － coded quantum genetic algorithm，RQGA） 的基础上，提出一 种多目标混沌量子遗传算法（ multi － objective chaotic quantum genetic algorithm，MCQGA） ，并将其应用 于电力系统无功优化。该算法利用量子位概率的混 沌特性和量子态干涉特性进行概率交叉和混沌变 异，结合非支配排序、精英保留和分层聚类等多目标 优化策略，保证了进化方向和种群多样性的同时能 快速高效地收敛到全局 Pareto 最优，克服了传统多 目标优化算法普遍存在的收敛速度慢，易过早收敛 等难题。通过算法性能的对比测试来分析 MCQGA 中各种方法集成的有效性以及关键参数对算法性能 的影响。
目标函数本文把有功网损最小电压水平最好即电压偏差v18最大作为多目标无功优化问题的目标建立数学模型为minpijcosijijsinijmaxvsm分别为负荷节点l的实际电压期望电压和最大允许电压偏差umax将无功优化的目标函数式18转化为如式1所示的多目标优化问题的一般形式即minfminp基于mcqga的多目标无功优化为了验证本文算法的有效性和可行性采用mcqgaieee30节点配电系统进行无功优化计算并与nsgaii的优化结果相比较
第 16 卷 第 4 期 2012 年 4 月
电机与控制学报 ELECTRIC MACHINES AND CONTROL
Vol. 16 No. 4 Apr． 2012
基于 RQGA 和非支配排序的多目标混沌量子遗传算法
王瑞琪1，2 ， 李珂1，2 ， 张承慧1，2 ， 裴文卉1，2
（ 1． 山东大学 控制科学与工程学院，山东 济南 250061； 2． 山东大学 电力电子节能技术与装备教育部工程中心，山东 济南 250061）
1 多目标优化问题描述
以在一组约束条件下，最小化多目标问题为例，
多目标优化问题可以描述为下面的形式，即
min［f（ X） ］= min［f1 （ X） ，…，fi（ X） ，…，fn（ X） ］，
X =［x1 ，…，xj，…，xm］，
i = 1，2，…，n； j = 1，2，…，m，
s． t． gq（ X） ≤0。
2 量子遗传算法
在量子计算机中，充当信息存储单元物理介质
的是一个双态量子系统，称为量子位又称量子比特。
一个量子位不仅可以表示 0 和 1 两种状态，而且可
以同时表示这两种状态之间的任意叠加态，即一个
量子位可能处于 | 0〉或 | 1〉，或者 | 0〉或 | 1〉的不同叠
加态。一个量子位的状态可表示为
与单目标优化和组合优化不同，多目标优化问题 通常由多个冲突的目标组成，并不存在各目标均为全 局最优的解，而是存在一个非劣解集，即 Pareto 最优 解集［6 －7］。遗传算法等进化算法具有并行求解、对目 标域的形状和连续性不敏感等特点，适合求解多目标 优化问题。进化算法在多目标优化中已有很多应用， 典型的有 PAES［8］，SPEA［9］，NSGA － II［10］等。
摘 要： 为了提高多目标优化算法的收敛性、分布性和减少算法的计算代价，借鉴实数编码遗传算
法和多目标优化理论，构建一种多目标混沌量子遗传算法。在分析量子位概率的混沌特性、量子态
干涉特性和量子位实数编码的基础上，采用量子位概率交叉和混沌变异的方式进化种群，以提高寻
优能力和收敛速度，利用非支配排序、精英保留和分层聚类等多目标优化策略保持种群多样性的同
| ψ〉= α | 0〉+ β | 1〉。
（ 2）
式中 α 和 β 分别为 | 0〉和 | 1〉的概率幅，且满足下列
归一化条件，即
| α| 2 + | β | 2 = 1。
（ 3）
式中： | α | 2 为量子态的观测值为 0 的概率； | β | 2 为
量子态的观测值为 1 的概率。
典型的量子遗传算法中，采用量子比特幅编码
Abstract： In order to improve the convergence and distribution together with less computation cost of multi-objective algorithm，Multi-objective Chaotic Quantum Genetic Algorithm （ MCQGA） was proposed， referencing to Real-coded Quantum Genetic Algorithm （ RQGA） and multi-objective optimization theory． Based on analysis of chaotic feature of quantum bits probability，interference feature of quantum states and real-coded quantum bits，quantum bits probability crossover and chaos mutation were adopted to improve search efficiency and convergence rate． The population diversity and evolution direction of Pareto global optimal solution were ensured by multi-objective optimization strategies such as non-dominated sorting，elitist preserve and hierarchical clustering． The effectiveness of multi-algorithm integration and the influence of critical parameters on hybrid algorithm are analyzed through performance test and contrast． The conclusion drawn from multi-objective reactive power optimization confirms its validity and feasibility． Key words： quantum genetic algorithm； multi-objective optimization； non-dominated sorting； chaos； reactive power optimization
QGA 采用量子旋转门作为进化策略，使当前解
逐渐逼近搜索到的最优解，并将需要的结果以概率
的形式增 加，不 需 要 的 结 果 则 以 概 率 的 形 式 减 弱。
常用的量子旋转门为
[ ] cos（ Δθ） － sin（ Δθ）
U（ Δθ） =
。 （ 5）
sin（ Δθ） cos（ Δθ）
式中 Δθ 为旋转角。通过量子旋转门可实现任意叠
第 16 卷
0引言
量子信息是信息科学和量子力学相结合的新兴 交叉科学。量子计算就是利用量子理论中量子态的 叠加、相干和纠缠等特性，通过量子并行计算求解问 题，拥有超越经典计算的高效计算能力以及在信息 处理方面的巨大潜力［1 － 2］。近几年有效利用量子理 论原理并结合人工智能优势的量子智能算法，引起 了众多学者的关注。量子遗传算法（ quantum genetic algorithm，QGA） 将量子比特的概率幅表示应用于 染色体的编码，用量子门作用和量子门更新来完成 进化搜索，能很好地保持种群多样性并避免选择压 力问题，性能优于传统遗传算法［3 － 5］。然而，上述量 子遗传算法均基于二进制量子位编码，采用查表法 进行量子门更新，计算量大，不便于工程应用，而且 只应用于解决单目标优化和组合优化问题。
李 珂（ 1979—） ，男，博士，副教授，研究方向为最优控制理论、新能源并网发电技术； 张承慧（ 1963—） ，男，博士，教授，研究方向为控制理论与应用、工程优化节能控制和可再生能源等； 裴文卉（ 1983—） ，女，博士研究生，研究方向为非线性控制理论。 通讯作者： 王瑞琪
92
电机与控制学报
的染色体结构为
[ ] p
t i
=
α1t 1 α1t 2 … α1t k α2t 1 α2t 2 … α2t k …αtm1 αtm2 …αtmk …
。
β1t 1 β1t 2 …β1t k
β2t 1 β2t 2 … β2t k
…
β
t m1
β
t m2
…β
t mk
…
（ 4） 式中： pti 为第 t 代第 i 个染色体； m 为染色体的基因 位数； k 为编码每个基因的量子比特数。
第4 期
王瑞琪等： 基于 RQGA 和非支配排序的多目标混沌量子遗传算法
93
加态之间的转换，具有高度并行性。 与传 统 遗 传 算 法 （ common genetic algorithm，
CGA） 相比，QGA 将量子比特的概率幅表示应用于 染色体的编码，更具有并行性与多样性； 采用量子门 作用和量子门更新来完成进化搜索，能很好地保持 种群多样性并避免选择压力问题，可实现比 CGA 更 好的搜索效率和收敛性。由于 QGA 在求解复杂函 数优化问题时编码、解码过程繁琐，而且求解精确度 也受到了编码位的影响，文献［11 － 12］提出了多种 实数编码量子进化算法并验证了其优异的性能。
时，保证进化向 Pareto 全局最优解集方向进行。通过混合算法性能对比测试验证了多算法集成的
有效性，并分析关键参数对算法性能的影响。电力系统多目标无功优化的仿真结果验证了该算法
的有效性和可行性。
关键词： 量子遗传算法； 多目标优化； 非支配排序； 混沌； 无功优化
中图分类号： TP 18，TM 77
3 多目标混沌量子遗传算法
本文基于量子计算原理和多目标进化理论，提
出பைடு நூலகம்目标混沌量子遗传算法，其基本思想是： 采用量
子位实数编码提高计算精确度； 利用量子态干涉特
性、量子位概率的混沌特性进行概率交叉和混沌变
异，提高寻优效率和收敛速度； 基于非支配排序、精
收稿日期： 2011 － 06 － 14 基金项目： 国家高技术研究发展计划（ 863 计划） （ 2009AA05Z212） ； 山东大学自主创新基金自然科学类专项交叉学科培育项目（ 2009JC009） ；
山东大学研究生自主创新基金（ 31400071613062） 作者简介： 王瑞琪（ 1986—） ，男，博士研究生，研究方向为智能控制理论与应用、电力系统优化控制；
} fi（ X1 ） ≤fi（ X2 ） ，i = 1，2，…，n，
fi （ X1 ） ＜ fi （ X2 ） ，i∈｛ 1，2，…，n｝ 。 2） Pareto 最优： 若 X 是 Pareto 最优的当且仅当 Xi： XiX。 3） Pareto 最优解集： 所有 Pareto 最优解的集合 Ps = ｛ X XiX｝ 。 4） Pareto 最优前沿面或均衡面： 所有 Pareto 最 优解对应的目标函数值所形成的区域。
文献标志码： A
文章编号： 1007－ 449X（ 2012） 04－ 0091－ 09
Multi-objective chaotic quantum genetic algorithm based on RQGA and non-dominated sorting
WANG Rui-qi1，2 ， LI Ke1，2 ， ZHANG Cheng-hui1，2 ， PEI Wen-hui1，2
（ 1）
式中： X∈Rm 为带有 m 个决策变量的向量，组成决 策空间； f（ X） ∈Rn 为带有 n 个目标函数的向量，组 成目标空间； gq（ X） 为 q 个不等式约束函数，由他们 形成了可行解区域。
下面给 出 多 目 标 优 化 中 常 用 的 几 个 基 本 定 义，即
1） Pareto 支配： 解 X1 Pareto 支配 X2 （ X1 X2 ） 当 且仅当同时满足
本文在 实 数 编 码 量 子 遗 传 算 法 （ real － coded quantum genetic algorithm，RQGA） 的基础上，提出一 种多目标混沌量子遗传算法（ multi － objective chaotic quantum genetic algorithm，MCQGA） ，并将其应用 于电力系统无功优化。该算法利用量子位概率的混 沌特性和量子态干涉特性进行概率交叉和混沌变 异，结合非支配排序、精英保留和分层聚类等多目标 优化策略，保证了进化方向和种群多样性的同时能 快速高效地收敛到全局 Pareto 最优，克服了传统多 目标优化算法普遍存在的收敛速度慢，易过早收敛 等难题。通过算法性能的对比测试来分析 MCQGA 中各种方法集成的有效性以及关键参数对算法性能 的影响。