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江苏省七校2017届高三上学期期中联考试题 数学Word版含答案.doc

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江苏省扬州市2017届高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)

江苏省扬州市2017届高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)

2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°= ．2．复数z=i （1﹣i ）的虚部为 ．3．抛物线x 2=2py （p ＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为 ．4．不等式的解集为 ．5．已知平行直线l 1：x ﹣2y ﹣2=0，l 2：2x ﹣4y+1=0，则l 1与l 2之间的距离为 ．6．若实数x ，y 满足条件，则目标函数z=x+2y 的最大值为 ．7．已知向量=（1，m+1），=（m ，2），则∥的充要条件是m= ．8．已知tan （α+）=3，tan β=2，则tan （α﹣β）= ．9．已知函数f （x ）=x+asinx 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．10．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣20=0，直线l ：4x ﹣3y+15=0与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为 ．11．若a ＞0，b ＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．12．已知函数f （x ）=﹣kx 无零点，则实数k 的取值范围是 ．13．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，直线y=x 与双曲线相交于A 、B 两点．若AF ⊥BF ，则双曲线的渐近线方程为 ．14．已知函数f （x ）=x （1﹣a|x|）+1（a ＞0），若f （x+a ）≤f （x ）对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f （x ）=2cos （﹣x ）sinx+（sinx+cosx ）2．（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）把y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求的值．16．函数f （x ）=log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域为A ，函数g （x ）=x 2+（m+1）x+m ．（1）若m=﹣4时，g （x ）≤0的解集为B ，求A ∩B ；（2）若存在使得不等式g （x ）≤﹣1成立，求实数m 的取值范围．17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a 的值．（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E （ξ）．23．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=1，PA=2，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF=λPC ．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．24．已知集合A={a 1，a 2，…，a m }．若集合A 1∪A 2∪A 3∪…∪A n =A ，则称A 1，A 2，A 3，…，A n 为集合A 的一种拆分，所有拆分的个数记为f （n ，m ）．（1）求f （2，1），f （2，2），f （3，2）的值；（2）求f （n ，2）（n ≥2，n ∈N*）关于n 的表达式．2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°= ．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由诱导公式sin=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin=﹣sinα得：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣2．复数z=i（1﹣i）的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．4．不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x （x ﹣1）＞0，解得x ＜0或x ＞1，∴不等式的解集为{x|x ＜0或x ＞1}．故答案为：{x|x ＜0或x ＞1}．5．已知平行直线l 1：x ﹣2y ﹣2=0，l 2：2x ﹣4y+1=0，则l 1与l 2之间的距离为 ． 【考点】两条平行直线间的距离． 【分析】利用平行线间的距离公式计算可得． 【解答】解：直线l 1：x ﹣2y ﹣2=0即2x ﹣4y ﹣4=0∴l 1与l 2间的距离d==．故答案为：．6．若实数x ，y 满足条件，则目标函数z=x+2y 的最大值为 8 ．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y 变形为y=x z ，由其几何意义得到当此直线经过图中A 时z 最大，由得到A （4，2）， 所以z 的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ﹣2或1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为： =4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为： =27故答案为：2711．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．【考点】基本不等式．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是[﹣2，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出： y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．16．函数f（x）=log3（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（），解得实数m的取值范围．min【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…故则函数f（x）=log3若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…所以A∩B=（2，4]；…（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，…即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…所以sin∠ABC=．…（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD ）×2k+8k ×AD=20k （35++﹣） …令H （θ=，则H ′（θ）=．当0＜θ＜时，H ′（θ）＜0，H （θ）单调减；当＜θ＜时，H ′（θ）＞0，H （θ）单调增∴θ=时，H （θ）取最小值，同时y 也取得最小值． …此时BD=，满足0＜＜70，所以点D 落在BC 之间 所以θ=时，运输总成本最小． 答：θ=时，运输总成本最小． …19．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线交y 轴于点N ，交椭圆C 于点A 、P （P 在第一象限），过点P 作y 轴的垂线交椭圆C 于另外一点Q ．若．（1）设直线PF 、QF 的斜率分别为k 、k'，求证：为定值； （2）若且△APQ 的面积为，求椭圆C 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设P （x 1，y 1），则Q （﹣x 2，y 2），由．解得：x 2=c ，由直线的斜率公式k==，k'==， =﹣5为定值；（2）由，， =3，求得A 点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c 2=a 2﹣b 2，，因此=， =，由三角形的面积公式可知：S △APQ =•3c•4y 1=6cy 1=，求得c 2=，即可求得c 的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F （c ，0），由c 2=a 2﹣b 2，P （x 1，y 1），则Q （﹣x 2，y 2），∴直线PF 的斜率k=，QF 的斜率k'=，∵． ∴c=2（x 2﹣c ），即x 2= c …∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值． … （2）若，则丨AF 丨=3丨FP 丨， =3，解得：A （﹣c ，﹣3y 1）∵点A 、P 在椭圆C 上，则，整理得： =8，解得： =，…则，代入得： =， =，∵△APQ 的面积为S △APQ =•3c •4y 1=6cy 1=，解得：c 2=， ∴c 2=4，…∴椭圆方程为：． …20．已知函数f （x ）=+x ．（1）若函数f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，﹣1），求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数f （x ）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（2）设a ＞0，求证：函数f （x ）既有极大值，又有极小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f ′（1）=1，f （1）=ae+1∴函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为：y ﹣（ae+1）=x ﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣ …（2）若a ＜0，∵（x ≠0），当x ∈（﹣∞，0）时，f ′（x ）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x ∈（1，+∞）时，令H （x ）=ae x （x ﹣1）+x 2，则H ′（x ）=（ae x +2）x ，∵x ∈（1，+∞），∴e x ∈（e ，+∞，）∵a 为负整数∴a ≤﹣1，∴ae x ≤ae ≤﹣e∴ae x +2＜0，∴H ′（x ）＜0，∴H （x ）在（1，+∞）上单调减，又H （1）=1＞0，H （2）=ae 2+4≤﹣e 2+4＜0∴∃x 0∈（1，2），使得H （x 0）=0 … 且1＜x ＜x 0时，H ′（x ）＞0，即f ′（x ）＞0；x ＞x 0时，H ′（x ）＜0，即f ′（x ）＜0；∴f （x ）在x 0处取得极大值 （*）又H （x 0）=ae x0（x 0﹣1）+x 02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a 满足条件． …（3）设g （x ）=ae x （x ﹣1）+x 2，则g ′（x ）=（ae x +2）x ，因为a ＞0，所以，当x ＞0时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当x ＜0时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；故g （x ）至多两个零点．又g （0）=﹣a ＜0，g （1）=1＞0，所以存在x 1∈（0，1），使g （x 1）=0再由g （x ）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．【考点】特征向量的定义；矩阵特征值的定义．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE 的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则sin θ=|cos ＜，＞|==，…令t=2﹣λ，则t ∈[1，2]，∴sin θ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sin θ取得最大值为，即BF 与平面CDE 所成的角最大，此时=，即λ的值为． …24．已知集合A={a 1，a 2，…，a m }．若集合A 1∪A 2∪A 3∪…∪A n =A ，则称A 1，A 2，A 3，…，A n 为集合A 的一种拆分，所有拆分的个数记为f （n ，m ）．（1）求f （2，1），f （2，2），f （3，2）的值；（2）求f （n ，2）（n ≥2，n ∈N*）关于n 的表达式．【考点】并集及其运算．【分析】（1）设A 1∪A 2={a 1}，得f （2，1）=3； 设A 1∪A 2={a 1，a 2}，得f （2，2）=9；设A 1∪A 2∪A 3={a 1，a 2}，由此利用分类讨论思想能求出f （3，2）．（2）猜想f （n ，2）=（2n ﹣1）2，n ≥2，n ∈N *，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A 1∪A 2={a 1}，共有3种，即f （2，1）=3； …设A 1∪A 2={a 1，a 2}，若A 1=∅，则有1种；若A 1={a 1}，则有2种；若A 1={a 2}，则有2种；若A 1={a 1，a 2}，则有4种；即f （2，2）=9； … 设A 1∪A 2∪A 3={a 1，a 2}，若A 1=∅，则A 2∪A 3={a 1，a 2}，所以有f （2，2）=9种； 若A 1={a 1}，则A 2∪A 3={a 1，a 2}或A 2∪A 3={a 2}，所以有f （2，2）+f （2，1）=12；若A 1={a 2}，则有12种；若A 1={a 1，a 2}，则A 2∪A 3={a 1，a 2}或A 2∪A 3={a 1}或A 2∪A 3={a 2}或A 2∪A 3=∅， 所以有1+3+3+9=16种；即f （3，2）=49．…（2）猜想f （n ，2）=（2n ﹣1）2，n ≥2，n ∈N *，用数学归纳法证明． 当n=2时，f （2，2）=9，结论成立．…假设n=k 时，结论成立，即f （k ，2）=（2k ﹣1）2，当n=k+1时，A 1∪A 2∪…∪A k+1={a 1，a 2}当A k+1=∅时，A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 1，a 2}，所以有f （k ，2）=（2k ﹣1）2种； 当A k+1={a 1}时，A 1∪A 2∪…∪A k ={a 1，a 2}，所以有f （k ，2）=（2k ﹣1）2种， 或A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 2}，所以有2k ﹣1种，共有2k （2k ﹣1）种；同理当A k+1={a 2}时，共有2k （2k ﹣1）种；当A k+1={a 1，a 2}时，A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 1，a 2}，所以有f （k ，2）=（2k ﹣1）2种， 或A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k ={a 1}，所以有2k ﹣1种，或A 1∪A 2∪…∪A k ={a 2}， 所以有2k ﹣1种，或A 1∪A 2∪A 3∪…∪A k =∅，所以有1种，共有22k 种； 则f （k+1，2）=4（2k ﹣1）2+4（2k ﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…所以f （n ，2）=（2n ﹣1）2，n ≥2，n ∈N *．…2016年12月10日。

江苏省泰州市泰兴市2017届高三上学期期中数学试卷Word版含解析

江苏省泰州市泰兴市2017届高三上学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=．2．=．3．函数y=ln（x+1）的定义域是．4．等比数列{a n}中，若a5=1，a8=8，则公比q=．5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．6．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．7．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为．8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）=．9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为．10．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．11．设函数y=sin（ϖx+）（0＜x＜π），当且仅当x=时，y取得最大值，则正数ϖ的值为．12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为．14．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=．（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．20．设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a n+k 2=a n•a n+2k成立，则称数列{a n}为“J k型”数列．（1）若数列{a n}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；（2）若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n}是等比数列．2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）={4} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故答案为：{4}2．=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式即可求得．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，=cos=，故答案为：．3．函数y=ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0得答案．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1．∴函数y=ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．4．等比数列{a n}中，若a5=1，a8=8，则公比q=2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接由已知结合等比数列的通项公式求解．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a5=1，a8=8，得，∴q=2．故答案为：2．5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：．6．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【考点】特称命题．【分析】若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．7．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知得，求出（+）•（﹣）=0得答案．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴，则（+）•（﹣）=，∴+与﹣的夹角为．故答案为：．8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）=﹣4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（m）的值求出f（﹣m）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣m）+f（m）=2．∵f（m）=6，∴f（﹣m）=﹣4．故答案为：﹣49．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把求|+|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．【解答】解：如图，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，则=，要使||取最小值，只需||取最小值，∵E为AB的中点，故当PE⊥CD时，||取最小值，这时PE为梯形的中位线，即（|BC|+|AD|）=，故=3．故答案为：3．10．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】把点P（，1）代入解析式求出k的值，由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角．【解答】解：因为f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），所以1=k•cos，解得k=2，则f（x）=2cosx，所以f′（x）=﹣2sinx，所以在点P（，1）处的切线斜率是﹣2sin=﹣，则在P点处的切线倾斜角是，故答案为：．11．设函数y=sin（ϖx+）（0＜x＜π），当且仅当x=时，y取得最大值，则正数ϖ的值为1．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得正数ω的值．【解答】解：因为函数y=sin（ωx+）在x=处取得最大值，所以ω+=2kπ+，k∈Z，所以ω=12k+1，k∈Z；又0＜x＜π时，当且仅当x=时y取得最大值；所以正数ω的值为1．故答案为：1．12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣3，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．故由f（m+1）＜f（2），可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为3+2．【考点】等比数列的性质．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=﹣a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{b n}的公比q==3+2，综上可得数列{b n}的公比q=3+2，故答案为：3+214．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC 为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出C R B，进而由并集的运算法则，即可求出（C R B）∪A；（2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=∅和C≠∅两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}…B={x|log2x＞1}={x|x＞2}…（C R B）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…16．已知函数f（x）=．（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）证法一：设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，作差判断f（x1），f（x2）的大小，可得绪论证法二：求导，根据x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）根据（1）中函数的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域．【解答】（本题满分14分）（1）证法一：．设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，…于是=．…因为x2＞x1＞﹣1，所以x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），…所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调增函数．…证法二：∵f（x）=．∴f′（x）=．当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；…（2）由（1）可知，函数在[0，2]上为单调增函数，…于是，当x∈[0，2]时，f（x）min=f（0）=1，…．…所以，当x∈[0，2]时，函数f（x）的值域为．…17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）求得和的坐标，再根据以及α∈（0，π），求得tanα的值可得α的值．（2）由，求得sinα+cosα=，平方可得2sinαcosα=﹣，再根据=2sinαcosα，求得结果．【解答】解：（1）由题意可得=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2），∵，∴（cosα﹣2）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣2）2，且α∈（0，π）．整理可得tanα=1，α=．（2）若，则（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=，化简得sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴==2sinαcosα=﹣．18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．【考点】复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征；（3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）∴，=，∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）∴，令g'（x）=0，得x=2，列表如下：∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．g（2）=2（1﹣ln2）+2a，∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，∴g（2）＞0证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0故f（x）在（0，+∞）上是增函数证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0∴x＞ln2x﹣2alnx+1故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+120．设数列{a n }的各项均为正数．若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a n +k 2=a n •a n +2k 成立，则称数列{a n }为“J k 型”数列．（1）若数列{a n }是“J 2型”数列，且a 2=8，a 8=1，求a 2n ；（2）若数列{a n }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用数列{a n }是“J 2”型数列，可得数列{a n }的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a 2=8，a 8=1，求出数列的公比，即可得到通项；（2）由题设知，当n ≥8时，a n ﹣6，a n ﹣3，a n ，a n +3，a n +6成等比数列；a n ﹣6，a n ﹣2，a n +2，a n +6也成等比数列，可得，进而可得，对任意n ≥2都成立，由此可得数列{a n }为等比数列．【解答】解：（1）∵数列{a n }是“J 2”型数列， ∴=a n •a n +4∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别组成等比数列设偶数项组成的等比数列的公比为q ，∵a 2=8，a 8=1，∴，∴q= ∴a 2n =8×=24﹣n ；（2）由题设知，当n ≥8时，a n ﹣6，a n ﹣3，a n ，a n +3，a n +6成等比数列；a n ﹣6，a n ﹣2，a n +2，a n +6也成等比数列．从而当n ≥8时，a n 2=a n ﹣3a n +3=a n ﹣6a n +6，（*）且a n ﹣6a n +6=a n ﹣2a n +2．所以当n ≥8时，a n 2=a n ﹣2a n +2，即于是当n ≥9时，a n ﹣3，a n ﹣1，a n +1，a n +3成等比数列，从而a n ﹣3a n +3=a n ﹣1a n +1，故由（*）式知a n 2=a n ﹣1a n +1， 即．当n ≥9时，设，当2≤m ≤9时，m +6≥8，从而由（*）式知a m +62=a m a m +12， 故a m +72=a m +1a m +13，从而， 于是． 因此对任意n ≥2都成立．因为，所以，于是．故数列{a n}为等比数列．2016年12月1日。

2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B=．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是．3．（5分）已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）函数y=的定义域是．5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为．6．（5分）若实数x，y满足，则z=4x﹣y的最大值为．7．（5分）若一个扇形的圆心角为π，面积为π，则此扇形的半径为．8．（5分）若sinα=，且α∈（0，），则tan2α的值是．9．（5分）已知函数f（x）是R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f （x）=（）x，则f（2017）=．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点D，E分别在边BC和AC上，且=，=，则•=．11．（5分）若函数f（x）=|3x﹣1|+ax+2（x∈R）有最小值，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知A（﹣1，4），B（2，1），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA2+2PB2=24成立，则实数a的取值集合为．13．（5分）已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数f（x）=log的图象上，且满足=，其中M（3，﹣1），N（，﹣2），则四边形MNPQ的面积为．14．（5分）若实数x，y，z满足，则xyz的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）记函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣x+1，x∈R的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围．16．（14分）已知向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）若∥，且x∈[0，π]，求x的值；（2）记函数f（x）=•，将函数f（x）图象上的所有点向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的值域．17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，△ABC的外接圆为⊙M．（1）求⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．18．（16分）如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：AB=5：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只大小、无人机大小忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若无人机到乙船的距离为10（单位：百米），求此时甲、乙两船的距离．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．（1）给定椭圆的离心率为．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求；（2）若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y=﹣3x平行，求实数a的值；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x），q（x）=x3﹣mx+e（其中e为自然对数底数，m为参数）．记函数h（x）=，试确定函数h （x）的零点个数．2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）若集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B={2，3，4} ．【解答】解：集合A={2，3}，B={3，4}，则A∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∀x∈R，x2+2x+5＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+5≤0．3．（5分）已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=．【解答】解：z==，则|z|=．故答案为：．4．（5分）函数y=的定义域是[0，+∞）．【解答】解：函数y=的定义域满足不等式3x﹣1≥0，解出即可得到：x≥0，故答案为：[0，+∞）5．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，渐近线方程为y=±x，双曲线的虚轴长为2，则2b=2，即b=1，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，解可得a=2，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．6．（5分）若实数x，y满足，则z=4x﹣y的最大值为13．【解答】解：实数x，y满足，表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，﹣1），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：13．故答案为：13．7．（5分）若一个扇形的圆心角为π，面积为π，则此扇形的半径为2．【解答】解：∵扇形的圆心角为π，面积为π，∴π=r2×π，解得：r=2．故答案为：2．8．（5分）若sinα=，且α∈（0，），则tan2α的值是．【解答】解：sinα=，且α∈（0，），则cosα==，tanα==，即有tan2α===．故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）是R上的周期为4的偶函数，当x∈[﹣2，0]时，f （x）=（）x，则f（2017）=2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为4的偶函数，∴f（2017）=f（1）=f（﹣1），由当x∈[﹣2，0）时，f（x）=（）x，∴f（﹣1）=2，故f（2017）=2，故答案为：2．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点D，E分别在边BC和AC上，且=，=，则•=﹣．【解答】解：==（）=+，==﹣+，∴•=（+）•（﹣+）=﹣+﹣．又=9，=4，=3×2×cos60°=3，∴•=﹣3+﹣=﹣．故答案为：﹣．11．（5分）若函数f（x）=|3x﹣1|+ax+2（x∈R）有最小值，则实数a的取值范围是[﹣3，3] ．【解答】解：f（x）=|3x﹣1|+ax+2=，函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3，故实数a的取值范围是[﹣3，3]．故答案为：[﹣3，3]．12．（5分）已知A（﹣1，4），B（2，1），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA2+2PB2=24成立，则实数a的取值集合为{﹣1，3} ．【解答】解：设P（x，y），则PA2=（x+1）2+（y﹣4）2=x2+y2+2x﹣8y+17，PB2=（x﹣2）2+（y﹣1）2=x2+y2﹣4x﹣2y+5，∵PA2+2PB2=24，∴x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．∴P点轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．∵圆C上存在唯一的点P符合题意，∴两圆相切，∴|a﹣1|=2，解得a=﹣1或a=3．故答案为：{﹣1，3}．13．（5分）已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数f（x）=log的图象上，且满足=，其中M（3，﹣1），N（，﹣2），则四边形MNPQ的面积为．【解答】解：∵M（3，﹣1），N（，﹣2）都在函数f（x）=log的图象上，∴，解得a=1，b=﹣1，∴f（x）=log=log 2=log2（1﹣），∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∵f（﹣x）=log2=log2=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，且在（1，+∞）上单调递增，∵=，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴原点O为平行四边形MNPQ的对角线交点．∵=（3，﹣1），=（，﹣2），∴cos＜＞==，∴S=sin＜＞=×=．△OMN∴四边形MNPQ的面积为4S=．△OMN故答案为：．14．（5分）若实数x，y，z满足，则xyz的最小值为﹣14﹣30．【解答】解：由xy+2z=1，可得xy=1﹣2z．∴10=x2+y2+z2≥2xy+z2=z2﹣4z+2，化为：z2﹣4z﹣8≤0，解得2﹣2≤z≤2+2．∴xyz=z（1﹣2z）=﹣2z2+z=﹣2（z﹣）2+，其对称轴为z=，故当z=2+2时，有最小值，最小值为（2+2）（﹣4﹣3）=﹣14﹣30故答案为：﹣14﹣30．三、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）记函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=x2﹣x+1，x∈R的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为集合A，由﹣x2+2x+3≥0得：﹣1≤x≤3，即A={x|﹣1≤x≤3}；又函数g（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+（x∈R）的值域为集合B，则B={x|x≥}．所以A∩B={x|≤x≤3}；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥kx恒成立，即∀x∈（0，+∞），x2﹣x+1≥kx恒成立，等价于k≤x+﹣1（x＞0）恒成立，因为当x＞0时，x+﹣1≥2﹣1=1（当且仅当x=，即x=1时取“=“），所以实数k的取值范围为：k≤1．16．（14分）已知向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）若∥，且x∈[0，π]，求x的值；（2）记函数f（x）=•，将函数f（x）图象上的所有点向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：向量=（，1），=（sinx，﹣cosx）（x∈R）．（1）∵∥，∴﹣cosx=sinx，即tanx=，∵x∈[0，π]，∴x=（2）由函数f（x）=•，即f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x），将f（x）图象上的所有点向左平移个单位，可得y=2sin（x）=﹣2cosx．∴函数g（x）=﹣2cosx，∵x∈[0，π]时，∴﹣1≤cosx≤1，故函数g（x）的值域为[﹣2，2]．17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，△ABC的外接圆为⊙M．（1）求⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解答】解：（1）令y=﹣x2+x+4=0，解得x=﹣2，或x=8，即A（﹣2，0），B（8，0），令x=0，则y=4，即C（0，4）设△ABC的外接圆⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得：故⊙M的方程为（x﹣3）2+y2=25（2）直线l与⊙M相交于P，Q两点，PQ=4，则圆心（3，0）到直线l的距离d==∵直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l斜率为﹣1，或经过原点；当直线l斜率为﹣1时，设直线的方程为：x+y+M=0，由d==，解得：M=﹣3+，或M=﹣3﹣，当直线l经过原点时，设直线的方程为：Ax+y=0，由d==，解得：A=±，故直线l的方程为：x+y﹣3+=0，或x+y﹣3﹣=0，或x+2y=0，或x﹣2y=0．18．（16分）如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：AB=5：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只大小、无人机大小忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若无人机到乙船的距离为10（单位：百米），求此时甲、乙两船的距离．【解答】解：（1）在△BPC中，由正弦定理得=BC，在△PAB中，由正弦定理得==2AB，又∠PBC+∠PBA=180°，∴sin∠PBC=sin∠PBA，∴=．（2）∵==，∴2sin（60°﹣C）=5sinC，即cosC﹣sinC=5sinC，又sin2C+cos2C=1，0＜C＜60°，∴sinC=，∴BC==10，AB=BC=2，∴甲、乙两船的距离为2百米．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点．（1）给定椭圆的离心率为．①若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；②若A点为椭圆的下顶点，求；（2）若椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：（1）①由题意可得，解得a=，b=1，∴椭圆方程为+y2=1．②F（c，0），A（0，﹣b），∴直线AB的方程为y=﹣b，∵e==，∴b=c，a=b，∴即直线AB方程为y=x﹣b，联立方程组，消元得x2﹣2bx=0，∴x=0或x=2b，∴B点横坐标为2b，∴==1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．，依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：x=my+c，由，得（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．，x1+x2=my1+c+my2+c=要使△ABP的重心是坐标原点O，则有∴P（x0，y0）在b2x2+a2y2=a2b2上，得=a2b2，⇒b4m4+（2b2a2﹣4c2b2）m2+a4﹣4a2c2=0，⇒（b2m2+a2）（b2m2+a2﹣4c2）=0，∵⇒b2m2+a2＞0，∴椭圆上存在点P，使得△ABP的重心是坐标原点O，则方程b2m2+a2﹣4c2=0必成立．∴a2﹣4c2≤0，⇒⇒e=，椭圆离心率e的取值范围为[，1）．20．（16分）已知函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线y=﹣3x平行，求实数a的值；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x），q（x）=x3﹣mx+e（其中e为自然对数底数，m为参数）．记函数h（x）=，试确定函数h （x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）=2x+lnx﹣a（x2+x）的导数为f′（x）=2+﹣a（2x+1），可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为3﹣3a，由切线与直线y=﹣3x平行，可得3﹣3a=﹣3，解得a=2；（2）存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）≥0成立，即为a≤的最大值，令m（x）=，（x＞0），m′（x）=，由1﹣x﹣lnx=0，即x+lnx=1，由于x+lnx﹣1的导数为1+＞0，即x+ln﹣1在x＞0递增，且x=1时，x+lnx﹣1=0，则x=1为m（x）的极值点，当x＞1时，m（x）递减，当0＜x＜1时，m（x）递增，则x=1时，m（x）取得极大值，且为最大值1，则a≤1；（3）当a=0时，设函数p（x）=2x+1﹣f（x）=1﹣lnx，q（x）=x3﹣mx+e，则当1﹣lnx≥x3﹣mx+e，h（x）=1﹣lnx；当1﹣lnx＜x3﹣mx+e，h（x）=x3﹣mx+e．①当x∈（0，e）时，p（x）＞0，依题意，h（x）≥p（x）＞0，h（x）无零点；②当x=e时，p（e）=0，q（e）=e3﹣me+e，若q（e）=e3﹣me+e≤0，即m≥e2+1，则e是h（x）的一个零点；若q（e）=e3﹣me+e＞0，即m＜e2+1，则e不是h（x）的零点；③当x∈（e，+∞）时，p（x）＜0，所以此时只需考虑函数q（x）在（e，+∞）上零点的情况．因为q'（x）=3x2﹣m＞3e2﹣m，所以当m≤3e2时，q'（x）＞0，q（x）在（e，+∞）上单调递增．又q（e）=e3﹣me+e，所以（i）当m≤e2+1时，q（e）≥0，q（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）3e2≥m＞e2+1时，q（e）＜0，又q（2e）=8e3﹣2me+e≥6e3﹣e＞0，所以此时q（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；当m＞3e2时，令q'（x）=0，得x=±．由q'（x）＜0，得e＜x＜；由q'（x）＞0，得x＞．所以q（x）在（e，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．因为q（e）=e3﹣me+e＜e3﹣3e3+e＜0，q（m）=m3﹣m2+e＞m2﹣m2+e=e＞0，所以此时q（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，m＜e2+1时，h（x）没有零点；m=e2+1时，h（x）有一个零点；m＞e2+1时，h（x）有两个零点．。

江苏省泰州市泰兴市2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

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2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=．2．=．3．函数y=ln（x+1）的定义域是．4．等比数列{a n}中，若a5=1，a8=8，则公比q=．5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．6．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．7．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为．8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）=．9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为．10．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．11．设函数y=sin（ϖx+）（0＜x＜π），当且仅当x=时，y取得最大值，则正数ϖ的值为．12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为．14．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=．（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．20．设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a n+k 2=an•a n+2k成立，则称数列{a n}为“J k型”数列．（1）若数列{a n}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；（2）若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n}是等比数列．2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）={4} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故答案为：{4}2．=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式即可求得．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，=cos=，故答案为：．3．函数y=ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0得答案．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1．∴函数y=ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．4．等比数列{a n}中，若a5=1，a8=8，则公比q=2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接由已知结合等比数列的通项公式求解．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a5=1，a8=8，得，∴q=2．故答案为：2．5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：．6．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【考点】特称命题．【分析】若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．7．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知得，求出（+）•（﹣）=0得答案．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴，则（+）•（﹣）=，∴+与﹣的夹角为．故答案为：．8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）=﹣4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（m）的值求出f（﹣m）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣m）+f（m）=2．∵f（m）=6，∴f（﹣m）=﹣4．故答案为：﹣49．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把求|+|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．【解答】解：如图，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，则=，要使||取最小值，只需||取最小值，∵E为AB的中点，故当PE⊥CD时，||取最小值，这时PE为梯形的中位线，即（|BC|+|AD|）=，故=3．故答案为：3．10．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】把点P（，1）代入解析式求出k的值，由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角．【解答】解：因为f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），所以1=k•cos，解得k=2，则f（x）=2cosx，所以f′（x）=﹣2sinx，所以在点P（，1）处的切线斜率是﹣2sin=﹣，则在P点处的切线倾斜角是，故答案为：．11．设函数y=sin（ϖx+）（0＜x＜π），当且仅当x=时，y取得最大值，则正数ϖ的值为1．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得正数ω的值．【解答】解：因为函数y=sin（ωx+）在x=处取得最大值，所以ω+=2kπ+，k∈Z，所以ω=12k+1，k∈Z；又0＜x＜π时，当且仅当x=时y取得最大值；所以正数ω的值为1．故答案为：1．12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣3，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．故由f（m+1）＜f（2），可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为3+2．【考点】等比数列的性质．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=﹣a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a 1=d ，或a 1=d ，当a 1=d 时，可得b 1=a 12=b 2=a 22=（a 1+d ）2=，此时显然与b 1＜b 2矛盾，舍去；当a 1=d 时，可得b 1=a 12=，b 2=（a 1+d ）2=，∴数列{b n }的公比q==3+2，综上可得数列{b n }的公比q=3+2，故答案为：3+214．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K |=}，当K 1，K 2∈M 时，若对于任意的r ≥2，不等式||≤c ||恒成立，则实数c 的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=+，可得A ，B ，C 共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB 的平分线，由角平分线的性质定理可得==r ，可得K 的轨迹为圆，求得圆的直径与AB 的关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A ，B ，C 共线，由=，可得||cos ∠AKC=||cos ∠BKC ， 即有∠AKC=∠BKC ，则KC 为∠AKB 的平分线，由角平分线的性质定理可得==r ，即有K 的轨迹为圆心在AB 上的圆，由|K 1A |=r |K 1B |，可得|K 1B |=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出C R B，进而由并集的运算法则，即可求出（C R B）∪A；（2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=∅和C≠∅两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}…B={x|log2x＞1}={x|x＞2}…（C R B）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…16．已知函数f（x）=．（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）证法一：设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，作差判断f（x1），f（x2）的大小，可得绪论证法二：求导，根据x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）根据（1）中函数的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域．【解答】（本题满分14分）（1）证法一：．设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，…于是=．…因为x2＞x1＞﹣1，所以x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），…所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调增函数．…证法二：∵f（x）=．∴f′（x）=．当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；…（2）由（1）可知，函数在[0，2]上为单调增函数，…于是，当x∈[0，2]时，f（x）min=f（0）=1，…．…所以，当x∈[0，2]时，函数f（x）的值域为．…17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）求得和的坐标，再根据以及α∈（0，π），求得tanα的值可得α的值．（2）由，求得sinα+cosα=，平方可得2sinαcosα=﹣，再根据=2sinαcosα，求得结果．【解答】解：（1）由题意可得=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2），∵，∴（cosα﹣2）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣2）2，且α∈（0，π）．整理可得tanα=1，α=．（2）若，则（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=，化简得sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴==2sinαcosα=﹣．18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．【考点】复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征；（3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）∴，=，∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）∴，令g'（x）=0，得x=2，列表如下：∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．g（2）=2（1﹣ln2）+2a，∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，∴g（2）＞0证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0故f（x）在（0，+∞）上是增函数证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0∴x＞ln2x﹣2alnx+1故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+120．设数列{a n }的各项均为正数．若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a n +k 2=a n •a n +2k 成立，则称数列{a n }为“J k 型”数列．（1）若数列{a n }是“J 2型”数列，且a 2=8，a 8=1，求a 2n ；（2）若数列{a n }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用数列{a n }是“J 2”型数列，可得数列{a n }的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a 2=8，a 8=1，求出数列的公比，即可得到通项；（2）由题设知，当n ≥8时，a n ﹣6，a n ﹣3，a n ，a n +3，a n +6成等比数列；a n ﹣6，a n ﹣2，a n +2，a n +6也成等比数列，可得，进而可得，对任意n ≥2都成立，由此可得数列{a n }为等比数列．【解答】解：（1）∵数列{a n }是“J 2”型数列，∴=a n •a n +4∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别组成等比数列设偶数项组成的等比数列的公比为q ，∵a 2=8，a 8=1，∴，∴q=∴a 2n =8×=24﹣n ；（2）由题设知，当n ≥8时，a n ﹣6，a n ﹣3，a n ，a n +3，a n +6成等比数列；a n ﹣6，a n ﹣2，a n +2，a n +6也成等比数列．从而当n ≥8时，a n 2=a n ﹣3a n +3=a n ﹣6a n +6，（*）且a n ﹣6a n +6=a n ﹣2a n +2．所以当n ≥8时，a n 2=a n ﹣2a n +2，即于是当n ≥9时，a n ﹣3，a n ﹣1，a n +1，a n +3成等比数列，从而a n ﹣3a n +3=a n ﹣1a n +1，故由（*）式知a n 2=a n ﹣1a n +1，即．当n ≥9时，设，当2≤m ≤9时，m +6≥8，从而由（*）式知a m +62=a m a m +12，故a m +72=a m +1a m +13，从而，于是．因此对任意n ≥2都成立．因为，所以，于是．故数列{a n}为等比数列．2016年12月1日。

江苏省无锡市普通高中2017届高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)

江苏省无锡市普通高中2017届高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)

2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是命题（填“真”或“假”）2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为．3．函数y=+的定义域为．4．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B= ．5．执行如图所示的流程图，则输出的M应为6．若复数[x-1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y=7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为．8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为．9．已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为．10．已知f（x）=cos（﹣），若f（α）=，则sinα= ．11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 的范围为．12．设数列{an } 的前n项和为Sn，已知4Sn=2an-n2+7n（n∈N*），则a11= ．13．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则+的最小值为．14．已知正实数x，y满足+2y-2=lnx+lny，则x y= ．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点， =λ+μ，且•=0，•=3．（1）求•；（2）求λ+μ的值．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点．求证：（1）BD 1∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面AB 1C ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinA=acosB ．（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A 的值．18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m •n x +s ．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量．19．已知数列{a n } 为等比数列，等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 13=208，S 9﹣S 7=41，a 1=b 2，a 3=b 3．（1）求数列{a n }，{b n } 的通项公式；（2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n （n ∈N * ），求T n ；（3）设c n =，问是否存在正整数m ，使得c m •c m+1•c m+2+8=3（c m +c m+1+c m+2）．20．已知函数f （x ）=，定义域为[0，2π]，g （x ） 为f （x ） 的导函数． （1）求方程g （x ）=0 的解集；（2）求函数g （x ） 的最大值与最小值；（3）若函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是真命题（填“真”或“假”）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由自然对数的定义及性质可以判定a＞b＞0的关系，从而判定命题的真假．【解答】解：∵lna＞lnb，由自然对数的定义及性质可则a＞b＞0，所以命题是真命题．故答案：真2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为10 ．【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，∴用分层抽样的方法从中抽取60，则乙类产品抽取的件数为60×=10故答案为：103．函数y=+的定义域为[1，2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解得1≤x≤2，即定义域为[1，2]．故答案为：[1，2]．4．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B= {﹣1，，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．【解答】解：由A∩B={}得，2a=⇒a=﹣1，b=，∴A={1， }，B={﹣1， }，∴A∪B={1，﹣1， }故答案为：{﹣1，，1}．5．执行如图所示的流程图，则输出的M应为 2【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．【解答】解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M==﹣1，i=2，满足条件，则M==，i=3，满足条件，则M==2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：26．若复数[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y= 0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得方程组，求解即可得答案．【解答】解：由[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，得2x﹣y﹣3+（x+2y+1）i=0，即，解得．则x+y=0．故答案为：0．7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：易得共有3×3=9种等可能的结果，两次记下的数字之和为2的有3种，所以概率是．故答案为．8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为120°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算律将已知等式展开，利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夹角的余弦，求出夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，∵||=2，||=1，|﹣2|=2，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||•||cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12，即cosθ=﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案为：120°．9．已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为﹣1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值，代入M=4m求得实数a的值【解答】解：解：由 x，y 满足作出可行域如图，联立，解得：A（a，a），联立，解得：B（1，1），化目标函数为直线方程斜截式y=﹣3x+z，由图可知，当直线过A（a，a）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为m=4a，当直线过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为M=4，由M+m=0，得a+4=0，即a=﹣1．故答案为：﹣110．已知f（x）=cos（﹣），若f（α）=，则sinα= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值可求cos+sin=，两边平方后利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα的值．【解答】解：∵f（x）=cos（﹣），若f（α）=，∴cos （﹣）=（cos +sin ）=，解得：cos +sin =，∴两边平方可得：1+sin α=，解得：sin α=﹣．故答案为：﹣．11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 范围为 [0，2+ln2] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a 的范围．【解答】解：当x ≤0时，y=x 2﹣a ≥﹣a ，函数是减函数，x ＞0时，y=x ﹣a+lnx 是增函数，在区间（﹣2，2）上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得a ∈[0，2+ln2]．故答案为：[0，2+ln2]．12．设数列{a n } 的前n 项和为S n ，已知4S n =2a n ﹣n 2+7n （n ∈N *），则a 11= ﹣2 ．【考点】数列递推式．【分析】由4S n =2a n ﹣n 2+7n （n ∈N *）⇒4S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（n ﹣1）2+7（n ﹣1），n ≥2，两式相减可得a n +a n ﹣1=4﹣n （n ≥2），进一步整理可得数列{a n } 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，从而可得答案．【解答】解：∵4S n =2a n ﹣n 2+7n （n ∈N *），①∴4S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（n ﹣1）2+7（n ﹣1）（n ≥2，n ∈N *），②①﹣②得：4a n =2a n ﹣2a n ﹣1﹣2n+8，∴a n +a n ﹣1=4﹣n （n ≥2），③a n+1+a n =4﹣（n+1），④ ④﹣③得：a n+1﹣a n ﹣1=﹣1．又4a 1=2a 1﹣12+7，∴a 1=3．∴数列{a n } 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，∴a 11=3+（6﹣1）×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．13．已知正实数a ，b 满足a+3b=7，则+ 的最小值为 ． 【考点】基本不等式． 【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正实数a ，b ，即a ＞0，b ＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14则，那么：（+ ）（）= ≥=当且仅当2（a+1）=（b+2）时，即取等号．∴+ 的最小值为：，故答案为：．14．已知正实数x，y满足+2y﹣2=lnx+lny，则x y= ．【考点】对数的运算性质．【分析】令f（x）=﹣lnx﹣2，令g（y）=lny﹣2y，问题转化为求f（x）的最小值和g（y）的最大值，从而求出对应的x，y的值，从而求出x y的值即可．【解答】解：令f（x）=﹣lnx﹣2，则f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）≥f（2）=﹣ln2﹣1，令g（y）=lny﹣2y，则g′（y）=，令g′（y）＞0，解得：y＜，令g′（y）＜0，解得：y＞，∴g（y）在（0，）递增，在（，+∞）递减，∴g（y）≤g（）=﹣ln2﹣1，∴x=2，y=时，﹣lnx﹣2=lny﹣2y，∴x y==，故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点， =λ+μ，且•=0，•=3．（1）求•；（2）求λ+μ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）求出的坐标，代入向量的坐标运算公式计算数量积；（2）用λ，μ表示出的坐标，根据向量的数量积公式列方程组求出λ+μ．【解答】解：（1）=（2，1），=（1，2），∴=2×1+1×2=4．（2）=λ+μ=（2λ+μ，λ+2μ），∵，∴，即，两式相加得：9λ+9μ=3，∴λ+μ=．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点．求证：（1）BD 1∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面AB 1C ．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ．连接EO ，BD 1．根据中位线可知BD 1∥OE ，又OE ⊂平面EAC ，BD 1⊄平面EAC ，根据线面平行的判定定理可知BD 1∥平面EAC ；（2）根据BB 1⊥AC ，BD ⊥AC ，BB 1∩BD=B ，满足线面垂直的判定定理，则AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BD 1⊂平面BB 1D 1D 则BD 1⊥AC ，同理BD 1⊥AB 1，从而BD 1⊥平面AB 1C ．根据（1）可得BD 1∥OE ，从而EO ⊥平面AB 1C ，又EO ⊂平面EAC ，根据面面垂直的判定定理可知平面EAC ⊥平面AB 1C ．【解答】证明：（1）连接BD ，交AC 于O ．连接EO ，BD 1．因为E 为DD 1的中点，所以BD 1∥OE ．又OE ⊂平面EAC ，BD 1⊄平面EAC ，所以BD 1∥平面EAC ；（2）∵BB 1⊥AC ，BD ⊥AC ．BB 1∩BD=B ，BB 1、BD 在面BB 1D 1D 内∴AC ⊥平面BB 1D 1D 又BD 1⊂平面BB 1D 1D ∴BD 1⊥AC ．同理BD 1⊥AB 1，∴BD 1⊥平面AB 1C ． 由（1）得BD 1∥OE ，∴EO ⊥平面AB 1C ．又EO ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面AB 1C ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知bsinA=acosB ．（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A 的值． 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得asinB=acosB ，可求tanB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin （2A+）=﹣，结合A 的范围，可得2A+∈（，），从而可求A 的值． 【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵由正弦定理可得：bsinA=asinB ，又∵bsinA=acosB ，∴asinB=acosB ，∴tanB=，∵B ∈（0，π），∴B=…6分 （2）∵cosAsinC=，∴cosAsin （﹣A ）=，∴cosA （cosA+sinA ）=×+sin2A=，∴sin （2A+）=﹣，∵A ∈（0，），可得：2A+∈（，），∴2A+=，可得：A=…14分18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m•n x+s．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）用待定系数法，求出函数的解析式，即可得出结论；（2）确定用模拟函数2好，再进行预测即可．【解答】解：（1）模拟函数1：y=ax++c，，∴a=，b=﹣3，c=，∴y=，∴x=4，y=13.75；模拟函数2：y=m•n x+s，，∴m=﹣8，n=，s=14，∴y=14﹣23﹣x，∴x=4，y=13.5，∴用模拟函数1好；（2）模拟函数1：y=，是单调递增函数，x=12时，生产量远多于他的最高限量；模拟函数2，单调递增，但生产量y＜14，不会超过15万件，所以用模拟函数2好，x=6，y=13.875，即预测6月份的产量为13.875万件．19．已知数列{an } 为等比数列，等差数列{bn} 的前n 项和为Sn（n∈N*），且满足：S13=208，S 9﹣S7=41，a1=b2，a3=b3．（1）求数列{an}，{bn} 的通项公式；（2）设Tn =a1b1+a2b2+…+anbn（n∈N*），求Tn；（3）设cn =，问是否存在正整数m，使得cm•cm+1•cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列的前n项公式和S9﹣S7=41，即可求出an．再利用a1=b2，a3=b3，可知公比，进而可得{bn} 的通项公式；（2）通过错位相减法即可求出前n项和，（3）分类讨论，计算即得结论．【解答】解：（1）等差数列{bn } 的前n 项和为Sn（n∈N*），且满足：S13=208，S9﹣S7=41，即 解得b 7=16，公差为3∴b 1=﹣2，b n =3n ﹣5，∵a 1=b 2=1，a 3=b 3=4，数列{a n } 为等比数列，∴a n =2n ﹣1，n ∈N*（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =﹣2×1+1×2+…+（3n ﹣5）2n ﹣1，①∴2T n =﹣2×2+1×22+…+（3n ﹣5）2n ，②①﹣①得T n =﹣2+3（2+22+…+2n ﹣1）-（3n-5）2n =3×（2n ﹣2）-（3n ﹣5）2n =（8-3n ）2n -8， ∴T n =（3n ﹣8）2n +8，n ∈N *（3）∵设c n =，当m=1时，c 1•c 2•c 3+8=1×1×4+8=12，3（c 1+c 2+c 3）=18，不相等，当m=2时，c 2•c 3•c 4+8=1×4×7+8=36，3（c 2+c 3+c 4）=36，成立，当m ≥3且为奇数时，c m ，c m+2为偶数，c m+1为奇数，∴c m •c m+1•c m+2+8为偶数，3（c m +c m+1+c m+2）为奇数，不成立，当m ≥4且为偶数时，若c m •c m+1•c m+2+8=3（c m +c m+1+c m+2），则（3m ﹣5）•2m •（3m+1）+8=3（3m ﹣5+2m +3m+1），即（9m 2﹣12m ﹣8）2m =18m ﹣20，（*）∵（9m 2﹣12m ﹣8）2m ≥（9m 2﹣12m ﹣8）24＞18m ﹣20，∴（*）不成立，综上所述m=2．20．已知函数f （x ）=，定义域为[0，2π]，g （x ） 为f （x ） 的导函数．（1）求方程g （x ）=0 的解集；（2）求函数g （x ） 的最大值与最小值；（3）若函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f ′（x ）=﹣+，由方程g （x ）=0 得=0，由此能求出方程g （x ）=0 的解集．（2）+﹣=﹣2×，令g ′（x ）=0，解得x=或x=，由此利用导数性质能求出g （x ）的最值．（3）函数F （x ）=f （x ）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于y=a 的图象恰恰有两个交点，由此利用分类讨论思想能求出实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=，定义域为[0，2π]，∴f ′（x ）=﹣+，∵g （x ） 为f （x ） 的导函数，∴由方程g （x ）=0 得=0，解得，或x=，∴方程g （x ）=0 的解集为{， }．（2）∵+﹣=﹣2×， 令g ′（x ）=0，解得x=或x=， ）∴g （x ）的最大值为g （0）=1，∴g （x ）的最小值为g（）=﹣． （3）∵﹣a=g （x）﹣a，∴函数F （x）=f（x）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，等价于g （x ）﹣a=0在定义域外上恰有两个零点且零点处异号，即y=a 的图象恰恰有两个交点，由（2）知F ′（0）=g （0）﹣a=1﹣a ， F ′（2π）=g （2π）﹣a=e ﹣2π﹣a ，，F ′（2π）=g （2π）﹣a=e ﹣2π﹣a ，若，则F ′（2π）＜0，∴F ′（x ）=0只有一个零点，不成立．∴．若，即a=在x=处同号，不成立； 若F ′（2π）≤0，则F ′（x ）=0有3个零点，不成立．∴只有F ′（2π）＞0，∴满足条件为：，解得＜a ＜e ﹣2π或a=．∴实数a 的取值范围是{a|＜a＜e﹣2π或a=}．。

江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

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数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 将答案填在答题纸上 1. 已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B = _________.2. 函数()f x = _________.3. 已知角α的终边经过点(),6P x --，且4cos 5α=，则x 的值为 _________. 4. 已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m = _________.5. 已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是 _________.6. 函数()()sin 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是 _________.7. 设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<” 的 _________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ）8. 在ABC ∆中，()30AB AC CB -=，则角A 的最大值为 _________. 9. 已知函数()2ay x a R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________.10. 已知函数()sin 0,062f x A A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最大值是_________.11. 设数列{}n a 首项12a =,前n 项和为n S ，且满足()123n n a S n N *++=∈，则满足234163315n n S S <<的所有n 的和为_________. 12. 已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 13. 在平面内，定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-，动点,P M 满足2,AP PM MC ==，则BM 的最大值是__________.14. 定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==.（1）若,3m n c a =,求角A ; （2） 若43sin ,cos 5m n b B A ==, 求cos C 的值. 16. （本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 满足:1122,1b a b a ==-, 若数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .17.（本小题满分14分）已知函数()221f x x x kx =-++,且定义域为()0,2.（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ，求k 的取值范围.18.（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数θ为锐角）. 拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.19.（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列. 记n n n c b a =-.（1）求证: 数列{}1n n c c d +-+为等比数列 ; （2）已知数列{}n c 的前4项分别为9,17,30,53. ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合{}()12,,...,,4,k A n n n k k N *=≥∈，使得数列12,,...,k n n n c c c 等差数列？证明你的结论.20.（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+.（1）求()f x 的单调区间;（2）若 ()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求a 的值;（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值 .江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题参考答案一、填空题（每小题5分，共70分）1.{}12.(3.8-4.85. 1a ≤6. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 必要不充分条件 8.6π 9.010.11.4 12.123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭13.1 14.605二、解答题 15.解：（1）,cos cos m n a A c C ∴=.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得()sin2sin2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+=或.从而A C =（舍）或,22A C Bππ+=∴=.在Rt ABC ∆中，tan 6a A A c π===. （2）3cos ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=,由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=,从而()()2sin 3sin ,,sin sin A C B A B C A C Bπ+=++=∴+=.从而()143sin ,cos 0,0,,0,,sin .sin sin,3525B A A A A A B a bππ⎛⎫==>∈∴∈=>∴> ⎪⎝⎭,从而,A B B >为由3655a a =,得()()112555a d a d ++= ② 由①得12167a d =- 将其代入②得()()163163220d d -+=. 即222569220,4d d -=∴=,又0,2d d >∴=代入①得()11,11221n a a n n =∴=+-=-.（2）()11121,2,2,212n n n n n n b b b c a b n --==∴=∴==-,()()011121232...212,21232...212n n n n S n S n -=+++-=+++-.两式相减可得: ()0121122222...22212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---，()()()()11141212121242122321212n n n n n n n S n n n -++-∴-=+--=+---=----，()()1321223232n n n n S n n +∴=+--=+-17.解：（1）()()221,3f x x x kx f x kx =-++∴=+，即2213x x -+=.当01x <≤时，2222111x x x x -+=-+=，此时该方程无解. 当12x <<时，222121x x x -+=-，原方程等价于：22x =综上可知：方程()3f x kx =+在()0,2上的解为（2）当01x <≤时,1kx =-, ① 当12x <<时，2210x kx +-=, ②若0k =则①无解，②的解为()1,22x =±，故0k =不合题意.若0k ≠，则①的解为1x k =-.(i)当(]10,1k-∈时，1k ≤-时，方程②中280k ∆=+>，故方程②中一根在()1,2内，一根不在()1,2内.设()221g x x kx =+-，而12102x x =-<，则()()110,7202k g k g <-⎧<⎧⎪⎪⎨⎨>->⎪⎪⎩⎩，又1k ≤-，故712k -<<-. (ii) 当(]10,1k-∉时，即10k -<<或0k >时，方程②在()1,2须有两个不同解，而12102x x =-<，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故712k -<<-. 18.解：（1）设OP r =，则2l r θ=，即12r θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.（2）设,OC a OD b ==.由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-,所以22cos 2l ab θ≥,所以()221cos 2l ab θ≤-,当且仅当a b =时，“=”成立.所以()221sin 2sin 2241cos 24tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=- ,即224tan l S θ=. （3）()221114tan ,0,2S S l πθθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭,令()tan f θθθ=-,则()22sin sin ''1cos cos f θθθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f θ>, 所以()f θ在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增，所以，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有()()00ff θ>=.所以21110S S ->, 得12S S >.答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一. 19.解：（1）证明: 依题意，()()()()()1111110n n n n n n n n n n n c c d b a b a d b b a a d b q ++++-+=---+=---+=-≠,从而()()121111n n n n n n b q c c d q c c d b q ++++--+==-+-, 又()21110c c d b q -+=-≠,所以{}1n n c c d +-+是首项为()11b q -，公比为q 的等比数列 .（2）① 由（1）得，等比数列{}1n n c c d +-+的前3项为8,13,23d d d +++, 则()()()213823d d d +=++,解得3d =-, 从而2q =, 且()111192317b a b a -=⎧⎪⎨--=⎪⎩, 解得114,5a b =-=,所以131,52n n n a n b -=--=.②假设存在满足题意的集合A ,不妨设(),,,l m p r A l m p r ∈<<<, 且,,,l m p r c c c c 等差数列, 则2m p l c c c =+, 因为0l c >, 所以2m p l c c c =+ ① 若1p m >+, 则2p m ≥+,结合①得, ()15231n n c n -=++, 则()()()11125231523152321m p m m p m --+⎡⎤++>++>+++⎣⎦, 化简得, 32105m m -<-<, ② 因为2,m m N *≥∈, 不难知3205m m->,这与②矛盾，所以只能1p m =+,同理2r p l m =+=+, 所以,,m p r c c c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+,即()()()11222m m m m m m b a b a b a ++++-=-+-,又122m m m a a a ++=+.故122m m m b b b ++=+,又212m m m b b b ++=，故1q =， 这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A . 20.解：（1）()f x 的定义域是()0,+∞.()2222'2ax f x ax x x+=+=.当0a ≥时，()'0f x >,故()f x 在()0,+∞上是增函数; 当0a <时，令()'0f x =，则12x x ==去）;当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >,故()f x在⎛ ⎝上是增函数;当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0f x <,故()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数.（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.②若01a <⎧≥, 即10a -≤<时, (]0,1⎛⊆ ⎝,则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.③若01a <⎧<, 即1a <-时，()f x在⎛ ⎝上是增函数 ，在⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(]0,1上的最大值是12f =-+=-, 解得a e =-，符合. 综合①、②、③得: a e =-.（3）()()21ln 1g x a x ax =+++, 则()2121'2a ax a g x ax x x+++=+=,当2a ≥-时，()'0g x <,故2a ≤-时，当()g x 在()0,+∞上是减函数，不妨设210x x ≥>，则()()21g x g x ≤，故()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()()21ln 1x a x ax kx ϕ=++++得: ()221'0ax kx a x x ϕ+++=≤,故()12a k ax x -+≤-+恒成立，()12a ax x-+-+≥，又 ()()21h a a a =+在(],2-∞-上单调递减，()()()124,24a h a h ax x-+∴≥-=∴-+≥,4k ∴≤.故当2a ≥-时，k 的最大值为4.。

2017届江苏无锡市普通高中高三上期中数学试卷

2017届江苏无锡市普通高中高三上期中数学试卷

2017届江苏无锡市普通高中高三上期中数学试卷考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．命题“若ln ln a b >，则a b >”是____________命题（填“真”或“假”）．2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为_____________．3．函数y =的定义域为___________．4．已知集合{}{}1,2,,a A B a b ==，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B=____________． 5．执行如图所示的流程图，则输出M 的应为____________．6．若复数()()()1120,x y i i x y R -+++=∈⎡⎤⎣⎦，则x y +=_____________．7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为___________． 8．已知向量,a b 满足2,1,223a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为____________．9．已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若3z x y =+的最大值为M ，最小值为m ，且0M m +=，则实数a 的值为_____________．10．已知()cos 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()13f α=，则sin α=____________．11．若函数2,0ln ,0x a x y x a x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________．12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2*427n n S a n n n N =-+∈，则11a =______________．13．已知正实数,a b 满足37a b +=，则1412a b +++的最小值为___________． 14．已知正实数,x y 满足22ln ln 2x y x y +-=+，则y x =___________． 15．已知三点()()()1,1,3,0,2,1,A B C P -，为平面ABC 上的一点，AP AB AC λμ=+且0,3AP AB AP AC ==.（1）求AB AC ；（2）求λμ+的值.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点.求证：（1）1//BD 平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面1AB C .17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cosB b A =.（1）求B ；（2）若cos sin A C =A . 18．某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系. 模拟函数1:b y ax c x=++；模拟函数2:s y m n s =+. （1）已知4月份的产量为万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.19．已知正项数列{}n a 为等比数列，等差数列{}n b 的前n 项和为()*n S n N ∈，且满足： 139********,41,,S S S a b a b =-===.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()*1122n n n T a b a b a b n N =+++∈，求n T ； （3）设,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，问是否存在正整数m ，使得()121283m m m m m m c c c c c c +++++=++.20．已知函数()sin x x f x e=的定义域为[]()0,2,g x π为()f x 的导函数． （1）求方程()0g x =的解集；（2）求函数()g x 的最大值与最小值；（3）若函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围.参考答案1．真【解析】试题分析: 因为函数x y ln =是单调递增函数,故由ln ln a b >可得a b >,故应填答案真. 考点:命题真假的判定．2．10【解析】试题分析:由题设乙类产品抽取的件数为106054212=⨯+++,故应填答案10. 考点：分层抽样的计算．3．[]12，【解析】试题分析:由题设可得210201≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x ,故应填答案[]12，.考点：函数的定义域及不等式的解法．4．1112⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，， 【解析】试题分析:由题设212=a ,则1-=a ,又B ∈21,则21=b ,故A B =1112⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，,故应填答案1112⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，. 考点：集合的交集并集运算．5．2【解析】试题分析:当2,1==M i 时,42,1<=-=i M ；当1,2-==M i 时,43,21<==i M ；当21,3==M i 时,44,2===i M .故应填答案2. 考点：算法流程图的识读和理解．6．0【解析】试题分析:因为02≠+i ,所以0)1(1=++-i y x ,故1,1-==y x ,则0=+y x ,故应填答案0.考点：复数的概念及运用．7．13【解析】试题分析:抽取的所有能有)2,3(),1,3(),3,3(),3,2(),1,2(),2,2(),3,1(),2,1(),1,1(共九种,其中)3,3(),1,2(),2,1(的数字之和都是3的倍数,所以两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为3193==P ,故应填答案13. 考点：古典概型公式及运用． 8．0120【解析】试题分析:因为12)2(2=-,即12444=+⋅-b a ,也即21cos ->=⋅<,所以a 与b 的夹角为0120,故应填答案0120.考点：向量的数量积公式及运用．9．1-【解析】 试题分析:画出不等式组2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如图,结合图形可以看出当动直线z x y +-=3经过点),(a a A 和)1,1(B 时,y x z +=3分别取最小值a m 4=和最大值4=m ,由题设可得044=+a ,所以1-=a ,故应填答案1-.y=-3x+z考点：线性规划的知识及运用．10．79- 【解析】试题分析:由题设可得31)42cos(=-πα,即322sin 2cos =-αα, 也即97)32(12sin 2cos 22=-=-αα.97sin -=α,故应填答案79-. 考点：二倍角的正弦及同角平方关系的运用．【易错点晴】三角变换公式及诱导公式是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以函数的解析式()cos 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭和()13f α=为背景,考查的是三角变换的公式及转化化归的数学思想等有关知识和方法的综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的条件信息求出31)(=αf 建立方程322sin 2cos =-αα,然后运用两边平方及正弦二倍角公式求出97sin -=α,从而使得问题获解. 11．[)0,2ln 2+试题分析:由题设可知函数a x y -=2与函数x a x y ln +-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个根,结合图象可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-02ln 2040a a a ,即⎪⎩⎪⎨⎧+<<≥2ln 240a a a ,所以2ln 20+<≤a ,故应填答案[)0,2ln 2+.考点：函数的图象及零点的确定．【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0ln ,0x a x y x a x x ⎧-≤=⎨-+>⎩背景的零点个数的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息和图形信息,将问题等价转化为两个函数a x y -=2与函数x a x y ln +-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个零点的问题.然后数形结合建立不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-02ln 2040a a a ,通过解不等式组从而获得答案.12．2-【解析】试题分析:由题设()2*427n n S a n n n N =-+∈可得)1(7)1(24211-+--=--n n a S n n ,将以上两式两边相减可得7122241++--=-n a a a n n n ,即41+--=-n a a n n ,所以41+-=+-n a a n n ,又因为31=a ,所以14232-=+--=a ,故34213=+-=a ,依次可推得211-=a ,应填答案2-.考点：数列的递推式及运用．【易错点晴】数列的前n 项和与数列的通项公式之间的关系等有关知识是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查数列的通项n a 与其前n 项和n S 的关系)1(1>-=-n S S a n n n 及数列中的列举法归纳法等有关知识的灵活运用.求解时先依据题设条件()2*427n n S a n n n N =-+∈,进而得到()2*427n n S a n n n N =-+∈,然后逐一验证探求得到211-=a ,从而使得问题巧妙获解.13．1314+试题分析: 因为1412a b +++1141[(1)3(214121b a a b a b a b ++=++++=++++++1313+≥,故应填答案1314+. 考点：基本不等式及灵活运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为1412a b+++133413]2)1(41)2(313[141)2411)](2(3)1[(141+≥++++++=++++++=b a a b b a b a ,然后再运用基本不等式最后达到获解之目的.14【解析】试题分析:由题设可得22222ln -≥-+=xy y x xy (当且仅当y x 4=时取等号),即22ln -≥xy xy ,也即⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==21222ln 4y x xy xy y x ,所以2=y x ,考点：函数方程思想及基本不等式的运用条件．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知22ln ln 2x y x y +-=+变形为222ln -+=y x xy ,然后再运用基本不等式得到22ln -≥xy xy ,再用取得等号时的条件⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==21222ln 4y x xy xy y x ,使得问题获解.15．(1)4；(2)13λμ+=. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式求解；(2)借助题设运用向量的坐标形式运算建立方程组探求.试题解析：（1）因为()()2,1,1,2AB AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以224AB AC =+=．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为0AP AB =，所以AP AB ⊥，因为()2,1AB =，设(),2AP a a =-，．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为3AP AC =，所以()(),21,23,43,1a a a a a -=-==-，．．．．．．．．．．．8分()1,2AP =-，因为()1,2AC =，所以()()()1,22,11,2λμ-=+，．．．．．．．．．．10分 所以1222λμλμ-=+⎧⎨=+⎩，则13λμ+=．．．．．．．．．．．．．．14分 考点：向量的数量积公式及坐标形式的运算公式等有关知识的综合运用．16．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.试题解析：证明：（1）连BD 交AC 于O ，连EO ，因为O 为BD 的中点，E 为1DD 的中点，所以1//EO BD ．．．．．．．．．．．．3分又1BD ⊄平面,EO EAC ⊂平面EAC ，所以1//BD 平面EAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为1,AC BD DD ⊥⊥平面ABCD ，所以11,DD AC BDDD ⊥于D ， 所以AC ⊥平面1BDD ，所以1AC BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分同理可证11AB BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又1AC AB 于A ，所以1BD ⊥平面1AB C ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分因为1//EO BD ，所以EO ⊥平面1AB C ，又EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面1AB C ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分考点：线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理等有关知识的综合运用．17．(1)3B π=；(2)125π. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用正弦定理建立方程求解；(2)借助题设运用三角变换公式建立方程探求. 试题解析： （1）因为sin sin a bA B=，所以sin sinB b A a =，又sin cos b A B =cos sin B a B =，．．．．．．．．．．3分即tan B =3B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为cos sin A C =21cos sin 34A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．8分21131cos 211cos cos sin cos sin cos sin 222222244A A A A A A A A ⎛⎫++=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1sin 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 因为203A π<<，所以52,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以752,3612A A πππ+==．．．．．．．．．．．．．．14分 考点：正弦定理及三角变换的公式等有关知识的综合运用． 18．(1)by ax c x=++；(2)13.875. 【解析】 试题分析：(1)借助题设条件运用已知建立方程组分析探求；(2)借助题设运用函数的思想分析探求. 试题解析：（1）若用模拟函数1：by ax c x=++，则有 1012221333a b c b a c b a c ⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩，解得125,3,22a b c ==-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 即32522x y x =-+，当4x =时，13.75y =．．．．．．．．．．．．．．5分 若用模拟函数2：xy m n s =+，则有23101213mn smn s mn s=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得18,,142m n s =-==，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即3142xy -=-，当4x =时，13.5y =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以选用模拟函数1好．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 （2）因为模拟函数1：32522x y x =-+是单调增的函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量，．．．．．．．．．13分 模拟函数2：3142xy -=-，也是单调增，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：3142xy -=-好．．．．．．．．．．．15分当6x =时，3614213.875y -=-=，所以预测6月份的产量为13.875万件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 考点：函数思想、函数求值及分析探求思想等有关知识的综合运用． 19．(1)()1*2n n a n N -=∈；(2)()()*3828n n T n n N =-⨯+∈；(3)2m =.【解析】 试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列的有关知识建立方程组求解；(2)借助题设运用错位相减法求和；(3)依据题设运用分类整合思想分析推证和探求. 试题解析：（1）因为数列{}n b 为等差数列，且1397208,41S S S =-=，即13797981320841S b S S b b ==⎧⎨-=+=⎩，解得716b =，公差为3，．．．．．．．．．．．．．2分所以12b =-，得35n b n =-．．．．．．．．．．．．．．3分 又12331,4a b a b ====，所以()1*2n n a n N -=∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()111222112352n n n n T a b a b a b n -=+++=-⨯+⨯++-⨯，．．．．．．．．．① 则()222212352n n T n =-⨯+⨯++-⨯，．．．．．．．．．．．．．．② 将①—②得：()()()()()212322235232235228328n nn nnnT n n n --=-+⨯+++--⨯=⨯---⨯-=-⨯-所以()()*3828n n T n n N =-⨯+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）因为12,35,n n n n c n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当1m =时，()1231238114812,318c c c c c c +=+=++=，不等，．．．．．．．．．．．9分 当2m =时，2348147836c c c +=+=，()()2343314736c c c ++=++=成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分 当3m ≥且为奇数时，2,m m c c +为偶数，1m c +为奇数，所以128m m m c c c +++为偶数，()123m m m c c c ++++为奇数，不成立，．．．．．．．．．．．．．12分 当4m ≥，且m 为偶数时，若()121283m m m m m m c c c c c c +++++=++，即()()()352318335231m m m m m m -++=-+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 得()2912821820m m m m --=-．．．．．．．．．．．．．（*）因为()()24912823612821820m m m m m m --≥-->-，所以（*）不成立．．．．．．．15分综上得2m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：等差数列的有关知识及错位相减法求和等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以等差数列等比数列的前n 项和与通项的关系式为背景,考查的是运用数列、不等式等有关知识进行推理论证的思维能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.第一问求解时充分借助题设条件中的有效信息利用等差数列的通项公式及前n 项和之间的关系建立方程组进行求解.第二问则运用错位相减法求和法进行求解；第三问分类整合的思想进行分析推证探求,从而使得问题获解. 20．(1)4x π=或54x π=；(2)最大值为()01g =，最小值为212g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(3)22ea eππ---<<或32a eπ-=.【解析】 试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识建立方程求解；(2)借助题设运用导数的知识求解；(3)依据题设运用导数的知识分析探求. 试题解析：（1）因为()sin cos x x x xf x e e'=-+，．．．．．．．．．．．．．．．．1分 所以()cos sin 0x x x x g x e e =-=，解得4x π=或54x π=；．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）因为()cos sin sin cos cos 2x x x x x x x x x xg x e e e e e'=--+-=-，．．．．．．．．．．．4分令()0g x '=，解得x π=或3x π=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以()g x 的最大值为()01g =，所以()g x 的最小值为212g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．7分 （3）因为()()sin cos x x x xF x a g x a e e'=-+-=-， 所以函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，等价于()0g x a -=在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即()y g x =与y a =的图象恰有两个交点．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分由（2）知()()2001,22F g a a F g a e a πππ-⎛⎫⎛⎫''=-=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()32233,2222a F g a e F g a e a ππππππ---⎛⎫⎛⎫''=-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若02F π⎛⎫'≥⎪⎝⎭，则3022F F ππ⎛⎫⎛⎫''>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0F x '=至多只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以只有02F π⎛⎫'<⎪⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 若302F π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，则()20F π'<，所以()0F x '=只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．12分所以302F π⎛⎫'≥⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．13分 若302F π⎛⎫'=⎪⎝⎭，即32a e π-=，在32x π=处同号，不成立；若()20F π'≤，则()0F x '=有3个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 所以只有()20F π'>．所以满足的条件为：()()22022220F g a e a F g a e a ππππππ--⎧⎛⎫⎛⎫'=-=--<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪'=-=->⎩， 解得22ea eππ---<<或32a eπ-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分注：利用图像直接得出22e a e ππ---<<或32a eπ-=扣4分．考点：导数的知识及分析推证法等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()sin xxf x e =为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和最值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.第一问求解时直接运用导数的求导法则建立求出4x π=或54x π=；第二问求解时,直接运用导数和函数的单调性之间的关系求出其最值；第三问则是运用函数的零点之间的关系建立等式,然后分析推证的方法求出参数a 的取值范围是22ea eππ---<<或32a eπ-=.。

江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析

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江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．） 1.已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B = _________.【答案】{}1考点：集合的交集运算．2.函数()f x = _________.【答案】(【解析】试题分析:由题设0log 216≥-x ,即21log 6≤x ,也即60≤<x ,故应填答案(.考点：对数函数的性质及运用．3.已知角α的终边经过点(),6P x --，且4cos 5α=，则x 的值为_________. 【答案】8- 【解析】试题分析: 因为362+=x r ,所以54362=+-x x ,解之得8-=x ,故应填答案8-.考点：三角函数的定义及运用．4.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m =_________. 【答案】8 【解析】试题分析: 因为)2,3(),2,4(-=-=+m ,所以由题设0)2(212=--m ,解之得8=m ,故应填答案8.考点：向量坐标形式的运算．5.已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a ≤ 【解析】试题分析:由题设方程022=++a x x 有解,故044≥-a ,即1≤a ,故应填答案1a ≤. 考点：含一个量词的命题的否定及二次方程有解的判定．6.函数()()sin 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________. 【答案】,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：三角函数的图象和性质及运用．7.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析: 因为)1()1(22112212q qa q a a a n n n n +=+=+---,故当0<q 时, n n a a 212+-未必小于0,所以“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的非充分条件；当0212<+-n n a a ,则0)1(221<+-q qa n ,即01<-<q ,故“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的必要条件.应填答案必要不充分条件. 考点：充分必要条件的判定．8.在ABC ∆中，()30AB AC CB -=，则角A 的最大值为_________. 【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得0cos 3cos =+C ab B ac ,即C b B c cos 3cos -=,也即C B B C cos sin 3cos sin -=,故B C tan 3tan -=,由于C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,因此0tan tan 2tan tan 32=+-A B B A ,故0tan 1242≥-A ,所以33tan 33≤≤-A ,所以6max π=A ,应填答案6π. 考点：向量的数量积公式及三角变换公式的综合运用． 9.已知函数()2ay x a R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________.【答案】0考点：导数的几何意义及求导法则的运用． 10.已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最大值是_________.【答案】【解析】试题分析:由题设可知1262==ππT ,则),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,所以2236,436,A RQ A PQ A PR +=+==,由余弦定理可得02222120cos 36236364+-++=+A A A A A ,解之得32=A ,故应填答案考点：三角函数的图象和性质及余弦定理的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的周期及最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息求出周期1262==ππT ,再利用周期确定点),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,然后运用余弦定理再建立方程02222120cos 36236364+-++=+A A A A A 求出32=A ,从而使得问题获解.11.设数列{}n a 首项12a =,前n 项和为n S ，且满足()123n n a S n N *++=∈，则满足234163315n n S S << 的所有n 的和为_________. 【答案】4考点：数列的通项与前n 项和的关系及等比数列的公式及综合运用．【易错点晴】等差数列等比数列的有关知识是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查数列的通项n a 与其前n 项和n S 的关系)1(1>-=-n S S a n n n 及等比数列等有关知识的灵活运用.求解时先依据题设条件321+=+n n S S ,进而得到3)3(21-=-+n n S S ,即)3(2131-=-+n n S S ,故数列}3{-n S 是公比为21的等比数列,所以1)21)(32(3--=-n n S ,即1)21(3--=n n S .所以122)21(3--=n n S ,则nn n n n n n S S 223123)21(3)21(312121122-⋅-⋅=--=----,由此逐一验证1,2,3,4,n =⋅⋅,确定n 的值,从而使得问题巧妙获解.12.已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程 ()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭2考点：函数的图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以方程的解的个数为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息,将问题等价转化为两个函数x y -=2与|)(|x f y =的图象有两个交点的问题.解答时先画出函数|)(|x f y =的图象,再数形结合求出函数|)(|x f y =中参数a 取值范围是3231≤≤a 或43=a ,从而获得答案. 13.在平面内，定点,,,A B C D满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-，动点,P M 满足2,AP PM MC ==，则BM 的最大值是__________. 【答案】1考点：向量的几何运算与坐标形式的运算等知识的综合运用．【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查平面向量的几何形式的运算和向量的数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的加法的几何形式运算,确定向量的模及夹角分别为0120,22,并充分利用这一隐含信息建立平面直角坐标系.从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解.14.定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，xx x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________. 【答案】605考点：函数的零点、函数的图象、函数的周期性等知识的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以函数解析式所满足的条件为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件16)5()(=++x f x f ,探求出其周期10=T ,由于函数)(x f y =在)4,1(-有三个零点.因此在一个周期内有3个零点,将问题等价转化为计算区间]2016,0[上零点的个数问题.最后求出零点为605个,从而获得答案.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==.（1）若,3m n c a =,求角A ；（2）若43sin ,cos 5m n b B A ==, 求cos C 的值. 【答案】(1)6π；(2)15283-.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的垂直及正弦定理等有关知识求解；(2)借助题设运用向量的数量积公式、正弦定理、三角变换等有关知识求解. 试题解析： （1）,cos cos m n a A c C ∴=.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得()sin 2sin 2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+=或.从而A C =（舍）或,22A CB ππ+=∴=.在Rt ABC ∆中，tan 6a A A c π===. （2）3cos ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=,由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=,从而()()2sin 3sin ,,sin sin A C B A B C A C B π+=++=∴+=.从而()143sin ,cos 0,0,,0,,sin .sin sin ,3525B A A A A A B a b ππ⎛⎫==>∈∴∈=>∴> ⎪⎝⎭,从而,A B B >为锐角,()cos cos cos cos cos sin sin 3B C A B A B A B =∴=-+=-+431553=-+⨯=考点：正弦定理、三角变换、向量的数量积公式等有关知识的综合运用.16.（本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 满足:1122,1b a b a ==-, 若数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】(1)12-=n a n ；(2)n n n S 2)32(3-+=.（2）()11121,2,2,212n n n n n n b b b c a b n --==∴=∴==-,()()011121232...212,21232...212n n n n S n S n -=+++-=+++-.两式相减可得: ()0121122222...22212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---，()()()()11141212121242122321212n n n n n n n S n n n -++-∴-=+--=+---=----，()()1321223232n n n n S n n +∴=+--=+-考点：等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用.17.（本小题满分14分）已知函数()221f x x x kx =-++,且定义域为()0,2. （1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ，求k 的取值范围. 【答案】；(2)712k -<<-. （2）当01x <≤时,1kx =-, ① 当12x <<时，2210x kx +-=, ② 若0k =则①无解，②的解为()1,22x =±∉，故0k =不合题意.若0k ≠，则①的解为1x k =-.(i)当(]10,1k-∈时，1k ≤-时，方程②中280k ∆=+>，故方程②中一根在()1,2内，一根不在()1,2内.设()221g x x kx =+-，而12102x x =-<，则()()110,7202k g k g <-⎧<⎧⎪⎪⎨⎨>->⎪⎪⎩⎩，又1k ≤-，故712k -<<-.(ii) 当(]10,1k -∉时，即10k -<<或0k >时，方程②在()1,2须有两个不同解，而12102x x =-<，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故712k -<<-.考点：函数的零点及函数方程等有关知识的综合运用.18.（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数θ为锐角）. 拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.【答案】(1)211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭；(2)224tan l S θ=；(3)应选择方案一.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用弧长公式建立函数关系；(2)借助题设运用余弦定理与基本不等式求解；(3)依据题设运用导数的有关知识进行分析探求. 试题解析：（1）设OP r =，则2l r θ=，即12r θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.（2）设,OC a OD b ==.由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-,所以22cos 2l ab θ≥,所以()221cos 2l ab θ≤-,当且仅当a b =时，“=”成立.所以()221sin 2sin 2241cos 24tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=- ,即224tan l S θ=.答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.考点：余弦定理、导数、基本不等式、三角函数等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的湖边养殖区的面积问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用弧长公式直接建立函数关系使得问题获解；第二问的求解过程中则借助余弦定理和基本不等式进行求解；第三问则构造函数,然后再运用导数的知识研究出函数的单调性,从而使得问题最终获解.19.（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列. 记n n n c b a =-.（1）求证: 数列{}1n n c c d +-+为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为9,17,30,53. ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合{}()12,,...,,4,k A n n n k k N*=≥∈，使得数列12,,...,k n n n c c c 等差数列？证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；(2)①131,52n n n a n b -=--=；②不存在满足题意的集合A .【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的定义推证；(2)借助题设运用等差数列及分析推证法探求. 试题解析： （1）证明: 依题意，()()()()()1111110n n n n n n n n n n n c c d b a b a d b b a a d b q ++++-+=---+=---+=-≠, 从而()()121111n n n n n n b q c c d q c c d b q ++++--+==-+-, 又()21110c c d b q -+=-≠,所以{}1n n c c d +-+是首项为()11b q -，公比为q 的等比数列 .（2）① 由（1）得，等比数列{}1n n c c d +-+的前3项为8,13,23d d d +++, 则()()()213823d d d +=++,解得3d =-, 从而2q =, 且()111192317b a b a -=⎧⎪⎨--=⎪⎩, 解得114,5a b =-=,所以131,52n n n a n b -=--=.②假设存在满足题意的集合A ,不妨设(),,,l m p r A l m p r ∈<<<, 且,,,l m p r c c c c 等差数列, 则2m p l c c c =+, 因为0l c >, 所以2m p l c c c =+ ① 若1p m >+, 则2p m ≥+,结合①得, ()15231n n c n -=++, 则()()()11125231523152321m p m m p m --+⎡⎤++>++>+++⎣⎦, 化简得, 32105m m -<-<, ② 因为2,m m N *≥∈, 不难知3205m m->,这与②矛盾，所以只能1p m =+,同理2r p l m =+=+, 所以,,m p r c c c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+,即()()()11222m m m m m m b a b a b a ++++-=-+-,又122m m m a a a ++=+.故122m m m b b b ++=+,又212m m m b b b ++=，故1q =， 这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A .考点：等差数列等比数列及推理论证的能力等有关知识的综合运用. 20.（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求a 的值；（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值.【答案】(1)增区间x ⎛∈ ⎝；减区间⎫+∞⎪⎪⎭；(2)a e =-；(3)4. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设运用分类整合思想探求；(3)借助题设构造函数,运用导数的有关知识分析探求.（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.②若01a <⎧≥, 即10a -≤<时, (]0,1⎛⊆ ⎝,则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.③若01a <⎧<, 即1a <-时，()f x在⎛ ⎝上是增函数 ，在⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(]0,1上的最大值是12ln 2f =-+=-, 解得a e =-，符合. 综合①、②、③得: a e =-.（3）()()21ln 1g x a x ax =+++, 则()2121'2a ax a g x ax x x+++=+=,当2a ≥-时，()'0g x <,故2a ≤-时，当()g x 在()0,+∞上是减函数，不妨设210x x ≥>，则()()21g x g x ≤，故()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()()21ln 1x a x ax kx ϕ=++++得: ()221'0ax kx a x x ϕ+++=≤,故()12a k ax x -+≤-+恒成立，()12a ax x-+-+≥ ()()21h a a a =+在(],2-∞-上单调递减，()()()124,24a h a h ax x-+∴≥-=∴-+≥,4k ∴≤.故当2a ≥-时，k 的最大值为4.考点：分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的最值运用导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围；第三问则运用等价转化的数学思想将问题转化为不等式恒成立的问题,从而使得问题简捷巧妙获解.。

江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版-含答案)

江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版-含答案)

2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷 数学 2016．11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{02}A x x =≤≤，{11}B x x =-<≤，则A B = ▲ ．2．若命题2:,10p x x ax ∃∈++<R 使，则p ⌝： ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ． 4．曲线cos y x x =-在点(,)22ππ处的切线的斜率为 ▲ ．5．已知4tan 3α=-，则tan()4πα-= ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 ▲ ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -= ▲ ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9．已知函数221,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩≤，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是▲ ．10．若函数cos21tan (0)sin 22y θπθθθ+=+<<，则函数y 的最小值为 ▲ ．11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：111(1),1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前13．设ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ，若A ,B ,C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数2()()x af x x a -=+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．16．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．17．(本题满分15分) 已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =2b =，3c =，求cos()A B -的值．如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米． （1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．BD19． (本题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，求实数a 的取值范围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2016．11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(0,8)．（1）求矩阵M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2(,0)sin 2x r r y r θθθ=+⎧>⎨=+⎩为参数．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin()104θ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 的概率均为a (01)a <<，且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望()E X （用a 表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围．23．(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，90DAB ABC ︒∠=∠=，SA AB BC a ===，3AD a =(0)a >，E 为线段BS 上的一个动点．（1）证明：DE 和SC 不可能垂直；（2）当点E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）时，求二面角S CD E --的余弦值．DBC2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{|0}x x ≤≤1 2．2,10x x ax ∀∈++R 使≥ 3．(2,1]- 4．2 5．7 6．9 7．2- 8．3π9．1(,0]4-10．2 11．3 12．101113．(1,2] 14．0a ≥ 二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分) 解：（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即3333(1)(33)0xxxxxxλλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立， ∴1λ=-． ．．．．．．．．．．3分 此时()331x x f x -=->即2(3)310x x -->，解得133)2x x -><舍去， ．．．．．．．．．．6分 ∴解集为3{|log }2x x >． ．．．．．．．．．．7分 （2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， ．．．．．．．．．．．10分 令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈，∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤． ．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21311820a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ．．．．．．．4分 ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． ．．．．．．．．．．6分（2）∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-⋅， ．．．．．．．．．．7分∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅， ……① )22)1(2221(S 2132+⋅+⋅-++⨯+⨯-=n n n n n ， ……②②-①得23122222n n n S n +=++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-． ．．．．．．．．．．12分 ∵1262n n S n ++⋅>，∴12262n +->，∴16n +>，5n >， ．．．．．．．．．13分∴使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分 17．(本题满分15分)解：（1）()(sin )cos f x x x x =+x x x 2cos 3cos sin +=1sin 22x x =+sin(2)3x π=++． ．．．．．．．．2分由02x π≤≤得，423x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤，．．．．．．．4分∴0sin(2)132x π+++≤，即函数)(x f 的值域为[0,12+． ．．．6分 （2）由()sin(2)3f A A π=+=得sin(2)03A π+=， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=．．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ．．．．．．．10分由正弦定理sin a b A =，得sin sin 7b AB a ==，．．．．．．12分 ∵ba <，∴B A <，∴cos B =，∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12==．．．．．15分 18．(本题满分15分)解：（1）平行四边形ABCD 的面积为1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=， 当点F 与点D 重合时，13sin1204CFE S CE CD ∆=⋅⋅=，∵14CFE ABCD S S ∆=，∴44x ，1x =（百米），∴E 是BC 的中点． ．．．．3分 （2）①当点F 在CD 上时，∵011sin120CFE ABCDS CE CF S∆=⋅⋅=，∴1CF =， ．．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-⋅⋅，∴y =，当且仅当1x =时取等号，此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当点F 在DA 上时，∵()124ABCD CEFD x FD S S +===梯形1DF x =-， ．．．．．．．．．．9分 Ⅰ．当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ； Ⅱ．当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ；由Ⅰ、Ⅱ可得y ．．．．．．．．．．．．13分∴当14x =时，min y =，此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且34DF =（百米），符合题意； ．．．．14分 ∴由①②可知，当14x =（百米）时，路EF最短为2（百米） ． ．．．．15分19．(本题满分16分) 解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， ∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ，∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．．3分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =，∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．．．5分 （2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++， ∴12n n T c c c =+++1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++，∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．7分 设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分∴min 14()3n R R ==，∵对任意正整数n ，都有2T n a -≥恒成立，∴4a ≤． ．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(5)2n n n B +=．①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式；③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+．综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ． ．．．．．．．．．．．16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵函数32()31f x ax x =-+，∴2'()363(2)f x ax x x ax =-=-． ．．．．．．．．．．1分 令'()0f x =,得10x =或22x=，∵0a >，∴12x x <，列表如下： ∴()f x 的极大值为(0)1f =，极小值为222()11f a a a a =-+=-．．．．．．．．3分（2）2363)()(x ax x f x x g -='=，∵存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[1,2]x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+-≥在[1,2]x ∈上有解，即不等式3132a x x+≤在[1,2]x ∈上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分 设233[1,32]131()x y x x x x +∈=+=，∵2433'0x y x --=<对[1,2]x ∈恒成立，∴313y x x =+在[1,2]x ∈上单调递减，∴当1x =时，313y x x=+的最大值为4，∴24a ≤，即2a ≤． ．．．．．．．．．7分（3）由（1）知，()f x 在(0,)+∞上的最小值为224()1f a a=-，①当2410a->，即2a >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上无零点． ．．．．．．．．．8分②当2410a-=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，又(1)0g =，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有一个零点． ．．．．．．．．．9分③当2410a-<，即02a <<时，设32()()()31ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-(01)x <<，∵211'()366(1)0x ax x x x x xϕ=--<--<，∴()x ϕ在(0,1)上单调递减，又232123(1)20,()0a e a e e e ϕϕ-=-<=+>，∴存在唯一的01(,1)x e∈，使得0()0x ϕ=． Ⅰ．当00x x <≤时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-=≥，∴()()h x f x =且()h x 为减函数，又0000()()()ln ln10,(0)10h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在0(0,)x 上有一个零点； Ⅱ．当0x x >时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵(1)0g =，∴()h x 在0(,)x +∞上有一个零点；从而()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有两个零点． ．．．．．．．．．15分 综上所述，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点． ．．．．．．．．．．16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)证明：连接AD ，∵AB 为圆的直径，∴AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，∴BD BE BA BF ⋅=⋅． ．．．．．．．．．．．．．5分 又ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． ．．．．．10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解:（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及1038ab c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得883038a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设原曲线上任一点(,)P x y 在M 作用下对应点'(',')P x y ，则'6244'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'62'44x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，解之得2''82'3'8x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 代入320x y +-=得'2'40x y -+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=． ．．．．．．10分 C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）由cos 2:sin 2x r C y r θθ=+⎧⎨=+⎩得222(2)(2)x y r -+-=，∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆，∴圆心的极坐标为)4π． ．．．．．．．．．．．．．5分（2）由πsin()104l θ++=得:10l x y ++=，从而圆心(2,2)到直线l的距离为d == ∵圆C 与直线l 有公共点，∴d r ≤，即r ．．．．．．．．．．10分 D ．(不等式选讲，本小题满分10分) 证明：∵2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2+≥2()1a b c d =+++=， ．．．．．．．．．．．．5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， ∴2222111115a b c d a b c d +++++++≥． ．．．．．．．．．．．．10分 22．(本题满分10分)解：（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．022211(0)(1)C (1)(1)22P X a a ==--=-； 021222111(1)C (1)(1)C (1)(1)222P X a a a a ==-+--=-； 122222111(2)C (1)(1)C (2)222P X a a a a a ==-+-=-； 222211(3)C 22P X a a ===． 从而X 222211141()0(1)1(1)2(2)322222a a E X a a a a +=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=． ．．．．．．5分 （2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P X P X a a a a =-==---=-， 22112(1)(2)[(1)(2)]22a P X P X a a a -=-==---=， 222112(1)(3)[(1)]22a P X P X a a -=-==--=． 由2(1)012021202a a a a ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是1(0,]2． ．．．．10分 23．(本题满分10分)解：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，90DAB ︒∠=，∴AB 、AD 、AS 两两垂直．以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．．．．．．1分则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵SA AB a ==且SA AB ⊥，∴设(,0,)E x a x -其中0x a ≤≤， ∴(,3,)DE x a a x =--，(,,)SC a a a =-， ．．．．．．．．．．．．．．．．2分 假设DE 和SC 垂直，则0DE SC ⋅=，即2223240ax a a ax ax a --+=-=，解得2x a =， 这与0x a ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直． ．．．．．．．．4分 （2）∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ），∴21(,0,)33E a a ． 设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z =，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z =， ∵(,2,0)CD a a =-，(0,3,)SD a a =-，∴1100n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n =， ．．．．．．．．．．．．6分 ∵(,2,0)CD a a =-，21(,3,)33DE a a a =-，∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220213033ax ay ax ay az -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n =， ．．．．．．．．．．．．8分 设二面角S CD E --的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角， ∴12121242105cos |cos ,|||||1430n n n n n n θ⋅+=<>===⋅⋅， 即二面角S -CD -E 2105． ．．．．．．．．．．．．10分。

江苏省扬州市2017届高三(上)期中数学试卷(解析版)

江苏省扬州市2017届高三(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°=．2．复数z=i（1﹣i）的虚部为．3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为．4．不等式的解集为．5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=．8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=．9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D 为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．11．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．24．已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．sin240°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由诱导公式sin=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin=﹣sinα得：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣2．复数z=i（1﹣i）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．4．不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．故答案为：{x|x＜0或x＞1}．5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=x z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=﹣2或1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D 为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：2711．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．【考点】基本不等式．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是[﹣2，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…所以A∩B=（2，4]；…（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min…因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为k，则l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…所以sin∠ABC=．…（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣）…令H（θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．…此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间所以θ=时，运输总成本最小．答：θ=时，运输总成本最小．…19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S=△APQ•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，…则，代入得：=，=，=•3c•4y1=6cy1=，∵△APQ的面积为S△APQ解得：c2=，∴c2=4，…∴椭圆方程为：．…20．已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，=0 …又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…三、解答题（共4小题，满分40分）21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．【考点】特征向量的定义；矩阵特征值的定义．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…24．已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．【考点】并集及其运算．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，={a1，a2}当n=k+1时，A1∪A2∪…∪A k+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当A k+1={a1}时，A1∪A2∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，当A k+1或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；同理当A k+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，当A k+1或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k=∅，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…2016年12月10日。

2016-2017学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)

2016-2017学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)

2016-2017学年省市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）sin240°= ．2．（5分）复数z=i（1﹣i）的虚部为．3．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为．4．（5分）不等式的解集为．5．（5分）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．6．（5分）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．（5分）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ．8．（5分）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ．9．（5分）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值围是．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．11．（5分）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．12．（5分）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值围是．13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．16．（14分）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，数m的取值围．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．（16分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．（16分）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）已知矩阵M=的一个特征值为4，数a的值．22．（10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．23．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．2016-2017学年省市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2010•一模）sin240°= ．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．2．（5分）（2016秋•期中）复数z=i（1﹣i）的虚部为 1 ．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•期中）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y ．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的标准方程的应用，属于基础题．4．（5分）（2015•校级三模）不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．故答案为：{x|x＜0或x＞1}．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5．（5分）（2016秋•期中）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．6．（5分）（2016秋•期中）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8 ．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=x z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．7．（5分）（2016秋•期中）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ﹣2或1 ．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016秋•期中）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ﹣．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值围是[﹣1，1] ．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．10．（5分）（2016秋•期中）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B 两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27 ．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：27【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，考查计算能力．11．（5分）（2016秋•期中）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．【点评】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．12．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值围是[﹣2，0）．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．【点评】本题考查函数的图象的作法，考查数形结合以及转化思想的应用．13．（5分）（2016秋•期中）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x ．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x ∈R恒成立，则实数a的取值围是[，+∞）．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用和化简能力．三角函数的图象平移变换规律．属于中档题．16．（14分）（2016秋•期中）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，数m的取值围．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值围．【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…（2分）若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…（4分）所以A∩B=（2，4]；…（6分）（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min…（10分）因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．17．（14分）（2016秋•期中）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．18．（16分）（2016秋•期中）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…（3分）所以sin∠ABC=．…（5分）（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…（9分）设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣）…（11分）令H（θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．…（14分）此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间所以θ=时，运输总成本最小．答：θ=时，运输总成本最小．…（16分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）（2016秋•期中）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …（3分）∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（6分）（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，…（10分）则，代入得：=，=，∵△APQ的面积为S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，解得：c2=，∴c2=4，…（14分）∴椭圆方程为：．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2分）（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …（5分）且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（8分）（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…（12分）当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…（16分）【点评】本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）（2016秋•期中）已知矩阵M=的一个特征值为4，数a的值．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．【点评】本题考查矩阵特征值的性质，考查矩阵特征多项式的应用，属于基础题．22．（10分）（2016秋•期中）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．则ξ0 1 2P∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．【点评】本题考查了“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）（2016秋•期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…（2分）=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（4分）（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…（6分）设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…（8分）令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…（10分）【点评】本题考查线线面的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．24．（10分）（2016秋•期中）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…（1分）设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…（2分）设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（4分）（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…（5分）假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，当n=k+1时，A1∪A2∪…∪A k+1={a1，a2}当A k+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当A k+1={a1}时，A1∪A2∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；同理当A k+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；当A k+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k=∅，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…（9分）所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…（10分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和数学归纳法的合理运用．。

江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编：三角函数 Word版含答案

江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编：三角函数 Word版含答案

江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .2、（南通市2017届高三第一次调研测）函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ▲ ． 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若函数()s i n ()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）若832παtan tan =，则=-)tan(8πα7、（泰州市2017届高三第一次调研）函数)πy=2sin(3x-3的最小正周期为＿＿＿8、（无锡市2017届高三上学期期末）设()2sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为 . 9、（盐城市2017届高三上学期期中）在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ．10、（扬州市2017届高三上学期期中）0240sin = 。

11、（扬州市2017届高三上学期期末）已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲ ．12、（镇江市2017届高三上学期期末）将函数)sin(425π+=x y 的图象向左平移)(20πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则=ϕ ．二、解答题 1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.2、（南通市2017届高三第一次调研测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小；（2）若3c =，求b 的长． 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值；（2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =2b =，3c =，求cos()A B -的值．6、（盐城市2017届高三上学期期中）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示. （1）求,,ωϕA 的值；（2）设θ为锐角，且()f θ=()6πθf -的值.7、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。

江苏省盐城市2017届高三上学期期中数学试卷(解析版)

江苏省盐城市2017届高三上学期期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．函数y=2sin（πx）的最小正周期是2．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ【解答】解：函数y=2sin（πx，故答案为：2．2（2，﹣6）（﹣1，m）m=3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理，列出方程求解即可．（2，﹣6）（﹣1，m）可得2m=6，解得m=3．故答案为：3．3．命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题（选填“真”或“假”）．【考点】命题的真假判断与应用；二次函数的性质．【分析】举出正例x0=﹣1，可判断命题的真假．【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，故存在∃x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，即命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题，故答案为：真．4．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B={1，4}．【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故答案为：{1，4}，5．已知函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点（1，4）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】由指数函数恒过定点（0，1），再结合函数的图象平移得答案．【解答】解：∵y=a x恒过定点（0，1），而函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象是把y=a x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，∴函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点（1，4）．故答案为：（1，4）．6．在等比数列{a n}中，已知a1+a2=1，a3+a4=2，则a9+a10=16．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由{a n}是等比数列，可得a1+a2，a3+a4，…，a9+a10构成等比数列，再由等比数列的通项公式求解．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1+a2=1，a3+a4=2，可得a9+a10=（a1+a2）×24=1×24=16．故答案为：16．7．若函数f（x）3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；函数f（x）3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；【解答】解：对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；函数f（x）3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；f'（x）为一元二次函数，其对称轴为：x=﹣1，开口朝上，故f'（x）在[1，2]上为单调递增函数；故只需满足：f'（1）≥0 解得：a≤3；故答案为：（﹣∞，3]．8．已知α为钝角，则【考点】半角的三角函数．【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得又由α是钝角，的范围，由此可得【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°90°，∴cosα＜0，0，∴cosα=∴9．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，然后设出三角形的三边长，利用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数．【解答】解：由sinA：sinB：sinC=3：5：7，a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k，显然C为最大角，根据余弦定理得：由C∈（0，π），得到10．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=e x+x2，则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设x＞0，则﹣x＜0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x＞0的解析式，求得导数，代入x=1，计算即可得到所求切线的斜率．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=e﹣x+x2，由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣e﹣x﹣x2，x＞0．导数为f′（x）=e﹣x﹣2x，则曲线y=f（x）在x=12．2．11．若函数f（x）∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0]．【考点】函数单调性的性质．【分析】反比例函数∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，要使x＜a在区间（﹣∞，a）上单调递减，那么：a≤0．在（a，+∞）上单调递增，则函数y=|x+1|的单调增区间必须在（a，+∞）内，则a+1≥0，即可求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）∞，0）上单调递减，要使函数f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递减，则：a≤0．那么：函数f（x）=|x+1|在（a，+∞）上单调递增，那么：a+1≥0，解得：a≥﹣1．故得实数a的取值范围是[﹣1，0]．故答案为：[﹣1，0]．12．在数列{a n}中，a1=﹣2101，且当2≤n≤100时，a n+2a102﹣n=3×2n恒成立，则数列{a n}的前100项和S100=﹣4．【考点】数列的求和．【分析】当2≤n≤100时，a n+2a102﹣n=3×2n恒成立，可得：a2+2a100=3×22，a3+2a99=3×23，…，a100+2a2=3×2100，累加可得数列{a n}的前100项和．【解答】解：∵当2≤n≤100时，a n+2a102﹣n=3×2n恒成立，∴a2+2a100=3×22，a3+2a99=3×23，…，a100+2a2=3×2100，∴（a2+2a100）+（a3+2a99）+…+（a100+2a2）=3（a2+a3+…+a100）=3（22+23+…+2100）．∴a2+a3+…+a100=2101﹣4，又a1=﹣2101，∴S100=a1+a2+a3+…+a100=﹣4．故答案为：﹣4．13．在△ABC中，已知AC=4，B，，点D在边BC上，且AD=BD=3，6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件画出图形，容易判断出∠BDA为锐角，而在△ACD中，根据正弦定理可求出sin∠ADC的值，进而得出cos∠BDA【解答】解：如图，AD=BD；∴∠DAB=∠B；；；在△ACD中，AC=4，AD=3，；=6．故答案为：6．14．设函数f（x）=kx2﹣kx，g（x）f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，则实数a的值为2．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意：g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），所以二次函数图象过（1，0），即k=1，可得函数f（x）=x2﹣x，当0＜x＜1时，要使f（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：由题意：函数f（x）=，g（x）当g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，即kx2﹣kx﹣lnx≥0，令m（x）=kx2﹣kx﹣lnx≥0则m′（x）=2kx﹣k0．实数k存在且唯一，当x=1时，解得k=1．即k=1．可得函数f（x）=x2﹣x．当0＜x＜1时，要使f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．令h（x）=x2﹣ax+a﹣1≥0，∵对一切正实数x恒成立且唯一，∴△=a2﹣4（a﹣1）=0，解得：a=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x0．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，q，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，即可得出；（2）根据p是q的必要不充分条件，即可得出．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…q x﹣2）（x﹣3）＜0，得2＜x＜3，…即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．若p∨q为真，则实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2）p是q的必要不充分条件，等价于q⇒p且p推不出q，设A={x|a＜x＜3a}，B={x|2＜x＜3}，则B⇐A；…所以实数a的取值范围是1≤a≤2．…16．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）设θ为锐角，且f（θ）=f（θ【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求ωk∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ的值（2求cos（2θ【解答】（本题满分为14分）解：（1……，k∈Z，k∈Z，∵0＜φ＜π，．…（2，，…∴17．如图，在四边形ABCD，E为AC的中点．（1）若cos∠ABC的面积S△ABC；（2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）容易求出sin∠即可求出△ABC的面积；（2）可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并可得到A（﹣2，0），C（2，0），并设D（x，y），根据条件可求得E量积的坐标运算即可求得x2+y2=4【解答】解：（1，∠ABC∈（0，π）；；=（2）以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系：则A（﹣2，0），C（2，0），设D（x，y）；B（﹣2x，﹣2y）；=12；∴x2+y2=4；18．如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）该商业区的环境舒适度指数S1最小．转化为求其最小值．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A （0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，而EG⊥AF，故EG则EG令x=0令y=0；，即入口F的选址需满足BF km）．（2S1最小．则，令f'（a）=0，a，f'（a），f（a）的情况如下表：19．设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f线y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t x﹣t），构造函数g（x）g（x）在（0，+∞）上是增函数，【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x），∴f∴，得，即a=﹣2；（2）f′（x）当a f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae；a＜1时，若x∈[1，f′（x）＞0，x∈，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]，f（1）=﹣a，f（e2）=2﹣ae2，；f（x）max=﹣a=1﹣ae，得当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得；综上，（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t x﹣t），令g（x），则g（x）在（0，+∞）上是增函数，又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，⇒作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=0＜t＜2．20．若数列{a n}中的项都满足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），则称{a n}为“阶梯数列”．（1）设数列{b n}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；（2）设数列{c n}是“阶梯数列”，其前n项和为S n，求证：{S n}中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{d n}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），记数列的前n项和为T n，问是否存在实数t，使得（t﹣T n）（0对任意的n∈N*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】（1）设数列{b n}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），b2016=b2015，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由数列{c n}是“阶梯数列”，可得c2n﹣1=c2n．即可得出S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，即可证明{S n}中存在连续三项成等差数列．假设{S n}中存在连续四项成等差数．S n+1﹣S n=S n+2﹣S n+1=S n+3﹣S n+2，可得a n+1=a n+2=a n+3，得出矛盾．（3）设数列{d n}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），利用等差数列的通项公式可得：d2n﹣1=2n﹣1=d2n．n=2k（k∈N*）时，T n=T2k…“裂项求和”及其数列的单调性可得T n∈t﹣T n）（0t＜T n．n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=T2k2k【解答】（1）解：设数列{b n}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），∴数列{b2n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为9．∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014．（2）证明：∵数列{c n}是“阶梯数列”，∴c2n﹣1=c2n．∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，因此{S n}中存在连续三项成等差数列．假设{S n}中存在连续四项成等差数．∴S n+1﹣S n=S n+2﹣S n+1=S n+3﹣S n+2，∴a n+1=a n+2=a n+3，n=2k﹣1时，a2k=a2k+1=a2k+2，与数列{c n}是“阶梯数列”矛盾；同理n=2k时，也得出矛盾．（3）解：设数列{d n}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），∴数列{d2n﹣1}是等差数列，公差为2，首项为1．∴d2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1=d2n．n=2k（k∈N*）时，T n=T2k…=2=1∴T n∴（t﹣T n）（0，＜t＜T n，解得﹣1≤①n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=T2k2k=112k﹣1﹣12k+1）=1∈[﹣3，﹣1）．∴（t﹣T n）（0，＜t＜T n，∴﹣1≤．②．由①②可得：实数t的取值范围是﹣1≤2016年12月3日。

2017年江苏省扬中、中华、江浦、华罗庚七校联考高三上学期期中数学试卷含解析答案

2017年江苏省扬中、中华、江浦、华罗庚七校联考高三上学期期中数学试卷含解析答案

2016-2017学年江苏省扬中、六合、句容、省溧、中华、江浦、华罗庚七校联考高三（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．1．（5分）已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z1﹣z2对应的点在第象限．2．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是．3．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．4．（5分）执行如图所示的伪代码，输出的结果是．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则=．6．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax（a∈R），且f（2）=6，则f（1）=．7．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．则A+ω+φ=．8．（5分）如图，在2×4的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量2+与﹣的夹角余弦值是．9．（5分）已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=，sinαsinβ=，则tan（β﹣α）的值为．10．（5分）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．11．（5分）已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．12．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若•=﹣14，则•=．13．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=kn2+n，n∈N*，其中k是常数．若对于任意的m∈N*，a m，a2m，a4m成等比数列，则k的值为．14．（5分）若f（x）=x﹣1﹣alnx，g（x）=，a＜0，且对任意x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜|﹣|的恒成立，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．15．（14分）在△ABC中，已知C=，向量=（sinA，1），=（1，cosB），且．（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．17．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率为，左准线方程是x=﹣2，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB．（1）求椭圆C的方程；（2）求△AOB面积取得最小值时，线段AB的长度．18．（16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）若∠PBC=，求PQ的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．19．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n=．求n．20．（16分）对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．（1）求f（x）=sinx（x∈R），g（x）=cosx（x∈R）的差距；（2）设f（x）=（x∈[1，e]），g（x）=mlnx（x∈[1，e]）．（e≈2.718）①若m=2，且||f（x），g（x）||=1，求满足条件的最大正整数a；②若a=2，且||f（x），g（x）||=2，求实数m的取值范围．三、附加题部分说明：本部分共4大题，每题10分，共40分.考试时间为30分钟.请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤[选修4-2：矩阵与变换]21．已知a、b∈R，若M=所对应的变换T把直线2x﹣y=3变换成自身，试求实数a、b．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在极坐标系中，已知点P（2），直线l：ρcos（θ+）=2，求点P到直线l的距离．23．已知曲线C：y2=2x﹣4．（1）求曲线C在点A（3，）处的切线方程；（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．24．已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A 1，A2，A3，…，．设A 1，A2，A3，…，中所有元素之和为S n．（1）求S4，S5，S6并求出S n；（2）证明：S4+S5+…+S n=10C n+26．2016-2017学年江苏省扬中、六合、句容、省溧、中华、江浦、华罗庚七校联考高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．1．（5分）已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）．在复平面内，z1﹣z2对应的点在第二象限．【解答】解：∵复数z1=1+3i，z2=3+i，∴z1﹣z2=（1+3i）﹣（3+i）=﹣2+2i，对应的点为（﹣2，2）．∴在复平面内，z1﹣z2对应的点在第二象限．故答案为：二．2．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是30．【解答】解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人；故答案为：30．3．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1=，S2=，∵S1＞2S2，∴AP＞2BP，∴S1＞2S2的概率是．故答案为：．4．（5分）执行如图所示的伪代码，输出的结果是11．【解答】解：本题程序为当型循环结构的算法，算法的功能是求满足S=1×3×5×…×I＞0的I+2的值，∵S=1×3×5×7=105＜200，S=1×3×5×7×9=945＞200，∴输出的I=9+2=11．故答案为：11．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则=．【解答】解：∵=，∴3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．则==．故答案为：．6．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax（a∈R），且f （2）=6，则f（1）=4．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），而f（2）=6则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣6将x=﹣2代入小于0的解析式得f（﹣2）=4﹣2a=﹣6解得a=5，∴f（1）=﹣f（﹣1）=4故答案为4．7．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．则A+ω+φ=3+．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x ∈R）的部分图象，可得A=2，=﹣，∴ω=1，再根据五点法作图可得1×+φ=，∴φ=，∴A+ω+φ=3+，故答案为：．8．（5分）如图，在2×4的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量2+与﹣的夹角余弦值是．【解答】解：建立坐标系，如图：可得=（2，1）﹣（0，2）=（2，﹣1），=（4，2）﹣（1，0）=（3，2），则2+=（4，﹣2）+（3，2）=（7，0），﹣=（2，﹣1）﹣（3，2）=（﹣1，﹣3），（2+）•（﹣）=7×（﹣1）+0×（﹣3）=﹣7，|2+|=7，|﹣|==，可得向量2+与﹣的夹角余弦值cos＜2+，﹣＞===﹣．故答案为：．9．（5分）已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=，sinαsinβ=，则tan（β﹣α）的值为．【解答】解：∵0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=，sinαsinβ=，∴cos（β﹣α）=cosαcosβ+sinαsinβ=，∴sin（β﹣α）==，则tan（β﹣α）==，故答案：．10．（5分）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴===9，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．11．（5分）已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．【解答】解：把圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线AC的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|==．故答案为：．12．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若•=﹣14，则•=﹣2．【解答】解：•=（+）（﹣）=（+）（﹣）=﹣﹣=﹣14，∴﹣=﹣2∴•=（﹣）=（﹣）=﹣=﹣2答案：﹣2．13．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，S n=kn2+n，n∈N*，其中k是常数．若对于任意的m∈N*，a m，a2m，a4m成等比数列，则k的值为k=0或k=1．【解答】解：（1）由题意当n=1，a1=S1=k+1，当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1（*）．经检验，n=1时（*）式成立，∴a n=2kn﹣k+1．（2）∵a m，a2m，a4m成等比数列，∴a2m2=a m a4m，即（4km﹣k+1）2=（2km﹣k+1）（8km﹣k+1），整理得：mk（k﹣1）=0，对任意的m∈N*成立，∴k=0或k=1．故答案为：k=0或k=1．14．（5分）若f（x）=x﹣1﹣alnx，g（x）=，a＜0，且对任意x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜|﹣|的恒成立，则实数a的取值范围为[3﹣，0）．【解答】解：易知在x∈[3，4]上均为增函数，不妨设x1＜x2，则等价于，即；令，则h（x）在x∈[3，4]为减函数，则在x∈（3，4）上恒成立，∴恒成立；令，∴，∴u（x）为减函数，∴u（x）在x∈[3，4]的最大值为；综上，实数a的取值范围为[3﹣，0）．故答案为：[3﹣，0）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．15．（14分）在△ABC中，已知C=，向量=（sinA，1），=（1，cosB），且．（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵=（sinA，1），=（1，cosB），且⊥，∴sinA+cosB=0，又C=，A+B+C=π，∴sinA+cos（﹣A）=0，即sinA﹣cosA+sinA=sin（A﹣）=0，又0＜A＜，∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣=0，即A=；（2）设||=x，由3=，得||=3x，由（1）知A=C=，∴||=3x，B=，在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，解得：x=1，∴AB=BC=3，则S=BA•BC•sinB=×3×3×sin=．△ABC16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．【解答】证明：（1）记A1B∩AB1=O，连接OD．∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．…2分又∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．…6分注意：条件“A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．…8分∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．…10分∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．…12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D⊂平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D．又∵BM⊂平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．…14分．17．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率为，左准线方程是x=﹣2，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB．（1）求椭圆C的方程；（2）求△AOB面积取得最小值时，线段AB的长度．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，则离心率e==，准线方程：x=﹣=2，解得：c=1，a=，由b2=a2﹣c2=1，椭圆C的方程：；…（4分）（2）由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，若k=0时，则A（，0）或（﹣，0），B（0，2），此时△AOB面积为，AB=．（6分）若k≠0时，则直线OA：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx代入椭圆，整理得：（1+2k2）x2﹣2=0，解得：x2=，y2=丨OA丨==，（8分）直线OB：y=﹣x与y=2联立得：B（﹣2k，2），则|OB|=2，（10分）S△OAB=|OA|•|OB|=•⋅，令t=＞1，（12分）=•=（t+）＞，则S△OAB的最小值为，在k=0时取得，此时AB=．…（14分）∴S△OAB18．（16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）若∠PBC=，求PQ的长度；（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【解答】解．（1）如图示：，连接BP，过P作PP1⊥BC，垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，在Rt△PBP1中，，PQ=1；（2）设∠PBP1=θ，，∴，在Rt△QBQ1中，，∴总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），f′（θ）=sinθ﹣cosθ﹣1=2sin（θ﹣）﹣1，令f'（θ）=0，，当时，f'（θ）＜0，当时，f'（θ）＞0，所以当时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．19．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n=．求n．【解答】解：（1）当n=1时，S1=a1=2﹣a1，所以a1=1．当n≥2时，S n=2﹣a n﹣1，且S n=2﹣a n，﹣1所以a n=2（2﹣a n）﹣（2﹣a n﹣1）得：a n=a n﹣1，则数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴数列{a n}的通项公式是a n=（）n﹣1．（2）由b n=b n+a n，且a n=（）n﹣1，+1﹣b n=（）n﹣1，∴b n+1则b2﹣b1=（）0，b3﹣b2=（）1，b4﹣b3=（）2，…，b n﹣b n﹣1=（）n﹣2，以上n个等式叠加得：b n﹣b1=（）0+（）1+（）2+…+（）n﹣2==2[1﹣（）n﹣1]=2﹣，∵b1=1，∴b n=3﹣．（3）由题意知．则T n=4﹣=，﹣T n=（4﹣）﹣（4﹣）=﹣=＞0，∵T n+1∴T n＜T n恒成立，+1∵T6=4﹣=，∴n=6．20．（16分）对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．（1）求f（x）=sinx（x∈R），g（x）=cosx（x∈R）的差距；（2）设f（x）=（x∈[1，e]），g（x）=mlnx（x∈[1，e]）．（e≈2.718）①若m=2，且||f（x），g（x）||=1，求满足条件的最大正整数a；②若a=2，且||f（x），g（x）||=2，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意：|f（x）﹣g（x）|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|≤，当x=kπ+，k∈Z时取“=”，所以||f（x），g（x）||=；（2）①令h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣2lnx．则h′（x）=﹣=，令h′（x）=0，则x=16．列表：∵h （1）=1；当a=3时，h （）=﹣3，由于e 3＞16，因此＞2，所以﹣3＞﹣1； 当a=4时，h （）=e ﹣4＜﹣1，故满足条件的最大正整数为3．②令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=﹣mlnx，则h′（x ）=﹣=．（1）若m ≤，则h′（x ）≥0，从而h （x ）在[1，e ]上递增，又h （1）=1，h （e ）=﹣m ，所以﹣m=2，m=﹣2；（ii ）若m ≥，则h′（x ）≤0，从而h （x ）在[1，e ]上递减，又h （1）=1，h（e ）=﹣m ，所以﹣m=﹣2，m=﹣2；（iii ）若＜m ＜，则由h′（x ）=0，可得x=4m 2，列表 ﹣m因为﹣m ＜﹣＜2，所以2m ﹣mln （4m 2）=﹣2，令u （m ）=2m ﹣mln （4m 2）=m （2﹣ln4）﹣2mlnm ∴u′（m ）=2﹣ln4﹣2﹣2lnm=﹣ln4﹣2lnm=﹣2 ln2m ＜0， ∴u （m ）＞u （）=﹣=，故该情况不成立． 综上，m 的取值范围是{﹣2，+2}．三、附加题部分说明：本部分共4大题，每题10分，共40分.考试时间为30分钟.请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知a 、b ∈R ，若M=所对应的变换T 把直线2x ﹣y=3变换成自身，试求实数a、b．【解答】解：设=，则（3分）∵2x0﹣y0=3，∴2（﹣x+ay）﹣（bx+3y）=3．即（﹣2﹣b）x+（2a﹣3）y=3．（6分）此直线即为2x﹣y=3，∴﹣2﹣b=2，2a﹣3=﹣1．则a=1，b=﹣4．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在极坐标系中，已知点P（2），直线l：ρcos（θ+）=2，求点P到直线l的距离．【解答】解：由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴点P的直角坐标为，将直线l的方程展开得：ρcosθ﹣ρsinθ=4，即其普通方程为x﹣y﹣4=0．从而点P到直线l的距离为=．23．已知曲线C：y2=2x﹣4．（1）求曲线C在点A（3，）处的切线方程；（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）y＞0时，y=，∴y′=，∴x=3时，y′=，∴曲线C在点A（3，）处的切线方程为y﹣=（x﹣3），即x﹣y﹣1=0；（2）设l：y=kx，M（x，y），则y=kx代入y2=2x﹣4，可得k2x2﹣2x+4=0，∴△=4﹣16k 2＞0，∴设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，∴y 1+y 2= ∴x=，y=，∴y 2=x （x ＞4）．24．已知整数n ≥4，集合M={1，2，3，…，n }的所有含有4个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，．设A 1，A 2，A 3，…，中所有元素之和为S n ．（1）求S 4，S 5，S 6并求出S n ； （2）证明：S 4+S 5+…+S n =10C n +26．【解答】解：（1）由题意：整数n ≥4，集合M={1，2，3，…，n }的所有含有4个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，．当n=4时，集合M 只有1个符合条件的子集，S 4=1+2+3+4=10， 当n=5时，集合M 每个元素出现了次，S 5==60， 当n=6时，集合M 每个元素出现了次，S 6==210， 所以，当集合M 有n 个元素时，每个元素出现了，故S n =•．（2）证明：由（1）可得S n =•．∵S n =•=，则S 4+S 5+…+S n =10（）=．得证．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案

江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案

2017届高三上学期数学期中测试（理科）本试卷分为数学I （必做题)和数学II （附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．数学I(必做题 共160分）一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ,则A B =▲ ．2．命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤"的否定是 ▲ ．3．函数0.2log y x =的定义域为▲ ．4．若角α的终边经过点P (a ，2a )(a<0），则cos α= ▲ ． 5．设nS 是等比数列{}na 的前n 项的和，若3620aa +=，则36S S 的值是 ▲ ．6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝ ▲ ．（用AB 和AD 表示）7．已知命题p ：｜x －a |<4，命题q ：(x －1)（2－x )>0，若p 是q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ． 9．在△ABC 中，BC ＝1,B ＝错误!,△ABC 的面积S ＝错误!，则边AC 等于 ▲ ．10．已知函数f (x )＝错误!是奇函数且函数f (x ）在区间［－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．AB CO（第12题） 11．函数y ＝2sin 错误!与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．12．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ▲ ．13．已知nS 为数列{}na 的前n项和，11a=,2(1)n nS n a =+，若关于正整数n 的不等式222nn ata t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ．14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<,记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4,且经过点1(1,)2M ．(1）求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16．(本小题满分14分）设公差不为零的等差数列{}na 的前5项的和为55,且249a a -成等比数列．(1)求数列{}na 的通项公式．(2)设数列4(6)(4)nn n ba a =--,求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．17．（本小题满分14分）如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． （Ⅰ）求ABC ∠；（Ⅱ）若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．18．(本小题满分16分)如图,某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．（1）写出S 关于x 的函数关系式S (x ），并指出x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,19． (本小题满分16分) （第18题）(1)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (2）求函数()f x 的单调区间；(3）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知数列}{na 的前n 项和为nS ，且4=+n na S,∈n N＊（1)求数列}{na 的通项公式；(2）已知32+=n cn(∈n N＊），记=ndn C n a c log +（0>C 且1≠C ），是否存在这样的常数C ，使得数列}{nd 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．（3)若数列}{nb ,对于任意的正整数n ,均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列．数学II （附加题 共40分）21． (本小题满分10分）设矩阵A ＝错误!的逆矩阵为1-A ，矩阵B 满足AB ＝错误!，求1-A ，B ．22．(本小题满分10分)设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23．（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为sin(θ＋π6)＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点,求实数m的值．24． (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：错误!(为参数，∈R ）,直线l ：错误!(t 为参数，t ∈R ),求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．参考答案：2017届高三上学期数学期中测试(理科）本试卷分为数学I （必做题)和数学II(附加题)两部分．共200分，考试用时150分钟．数学I （必做题 共160分)一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B =▲ ．{}32．命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤"的否定是 ▲ ．2,10x xx ∀∈-+>R3．函数0.2log y x =的定义域为▲ ．(0,1]4．若角α的终边经过点P （a ，2a ）（a<0）,则cos α= ▲ ．55- 5．设nS 是等比数列{}na 的前n 项的和,若3620aa +=，则36S S 的值是 ▲ ．26．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点,那么EF ＝ ▲ ．（用AB 和AD 表示)1223AB AD -7．已知命题p :|x －a |<4,命题q ：(x －1)（2－x )>0,若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．［－2，5]8．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ．2- 9．在△ABC 中,BC ＝1，B ＝错误!，△ABC 的面积S ＝错误!,则边AC 等于 ▲ ．1310．已知函数f （x ）＝错误!是奇函数且函数f （x )在区间［－1，a －2］ABCO（第12题）上单调递增,则实数a 的取值范围为 ▲ ．(1,3]．11．函数y ＝2sin 错误!与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．6x π=-12．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =,则AC BC ⋅的值为 ▲ ．3213．已知nS 为数列{}na 的前n 项和，11a=，2(1)nnSn a =+,若关于正整数n 的不等式222nn ata t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ．3(1,)214．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．23a <≤二、解答题：本大题共6小题,共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+,(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值． 15．解：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b ab x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+………………4分 由题意得：周期24T πω==,故2πω=………………6分 （2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=,则()cos()26f x x ππ=-+． ………………10分当11x -≤≤时,23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤∴当13x =-时，min()1f x =-，当1x =时，max1()2f x =． (14)分16．（本小题满分14分)设公差不为零的等差数列{}na 的前5项的和为55,且2674,,9a a a a +-成等比数列．(1）求数列{}na 的通项公式． (2)设数列4(6)(4)nn n ba a =--,求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <．16．解：(1)设等差数列的的首项为1a ，公差为d ，则112111154555722(56()(39)a d a d a d a d a d a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+++=++-⎩或1110a d =⎧⎨=⎩(舍去) 故数列{}na 的通项公式为72(1)nan =+-即25n a n =+．………… 7分(2）由（1）25na n =+，得11111()(6)(4)(21)(21)22121nn n ba a n n n n ===----+-+． (10)分12111111[(1)()()]23352121n n S b b b n n =+++=-+-++--+111(1)2212n =-<+． ………14分17．（本小题满分14分)如图，在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． （Ⅰ)求ABC ∠；(Ⅱ)若=2A π∠,D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．17．解：(Ⅰ）在ABC ∆中，∵(sin cos )a b C C =+,∴sin sin (sin cos )A B C C =+， ……………………………………………1分∴sin()sin (sin cos )B C B C C π--=+，∴sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+，……………………………………………2分∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+, ……………………… 3分 ∴cos sin sin sin B C B C =， 又∵(0,)C ∈π,故sin 0C ≠, ……………………………………………4分 ∴cos sin B B=,即tan 1B =． ……………………………………………5分 又(0,)B ∈π，∴4B π=． ……………………………………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中，2DB =，1DC =，A222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D=-． ………………………………7分 又=2A π,由(Ⅰ)可知4ABC π∠=,∴ABC∆为等腰直角三角形， …………………………………………8分21115cos 2244ABC S BC BC BC D∆=⨯⨯⨯==-， ……………………………… 9分 又1sin sin 2BDCSBD DC D D ∆=⨯⨯⨯=， (10)分∴55cos sin 2sin()444ABDCSD D D π=-+=+-四边形． ……………………12分∴当=4D 3π时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为524+分18．（本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心,AB 为直径），现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ,OD ＝80 m,在半圆上选定一点C ,改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成,其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．（1）写出S 关于x 的函数关系式S （x )，并指出x 的取值范围； （2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．18．(本小题满分16分）解：(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m,∠AOC ＝x rad,所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC＝错误!＝800x ，0＜x ＜π． …………… 2分C（第18题）在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝错误!·OC ·OD ·sin∠COD ＝1600sin （π－x )＝1600sin x ． ………………… 5分从而 S ＝S △COD ＋S扇形AOC＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． …………………7分（2)由（1）知， S (x ）＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600（cos x ＋错误!）． ……………… 9分由 S ′(x )＝0，解得x ＝错误!．从而当0＜x ＜错误!时，S ′（x )＞0；当错误!＜x ＜π时, S ′(x )＜0 ． 因此 S (x ）在区间(0，错误!)上单调递增；在区间(错误!，π）上单调递减． …………… 14分所以 当x ＝错误!,S （x ）取得最大值．答：当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．……………… 16分19． (本小题满分16分） 已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． （Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围． 19．解：（1)当1=a 时，1()=-f x x x ,21()1f x x'=+ …………2分3(2),2=f5(2)4f '=…………3分所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为35(2)24-=-y x即：5440--=x y …………4分(Ⅱ)函数的定义域为：{|0}≠x x2'222(2)()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x …………6分当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时,令'()0=f x ，即：220+-=axa ，1222,--=-=a a xx aa'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ,所以，()f x 单调递增区间为22(,)(,)和---∞-+∞a a a a，单调减区间为22(,0))和(0,---a a a a．(Ⅲ）因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有2222ln 0(0)-++--≥>a ax a x a x在[1,)+∞上恒成立．所以，令2()222ln -=++--a g x ax a x x，则2'2222222(1)[(2)]()---+-+-=--==a ax x a x ax a g x a x x x x ．令'()0,=g x 则1221,-==-a x xa若21--=a a，即1=a 时，'()0≥g x ，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0=g所以，()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立;若21-->a a ,即1<a 时，当2(0,1),(,)-∈-+∞a x a时，'()0,()>g x g x 单调递增;当2(1,)-∈-a x a时，'()0<g x ，()g x 单调递减所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为2()--a g a ，因为(1)0,=g 所以2()0--<a g a 不合题意．21,--<a a即1>a 时，当2(0,),(1,)-∈-+∞a x a时，'()0,()>g x g x 单调递增，当2(,1)-∈-a x a时,'()0,()<g x g x 单调递减，所以,()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立 综上知，a的取值范围是[1,)+∞． …………16分20．(本题满分16分)已知数列}{na 的前n 项和为nS ,且4=+n na S，∈n N*(1)求数列}{na 的通项公式；（2)已知32+=n cn(∈n N＊)，记=ndn C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{nd 是常数列，若存在，求出C 的值;若不存在，请说明理由．(3)若数列}{nb ，对于任意的正整数n ,均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证:数列}{n b 是等差数列． 20．解：（1）114a a-=，所以21=a ………………1分由4=+n na S得2≥n 时,411=+--n n a S两式相减得，12-=n na a，211=-n n a a …………2分数列}{na 是以2为首项，公比为21的等比数列, 所以n na-=22(*N n ∈）……………4分(2）由于数列}{nd 是常数列n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++=……………6分=2log 2log 232C C n n -++2log 23)2log 2(C C n ++-=为常数,只有02log 2=-C ;解得2=C ,此时7=n d ………8分（3)2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b ab nn n n n……① 1=n ，1232111-=-=a b ，其中21=a ，所以 211-=b …10分当2≥n 时，2121111332211+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++-----n a b a b a b a b n n n n n ② …12分②式两边同时乘以21得，41212123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++---n a b a b a b a b nn n n n ③ …14分①式减去③得，431--=n a b n,所以838--=n b n 且811-=-+nn b b所以数列}{nb 是以21-为首项,公差为81-的等差数列． …16分数学II(附加题 共40分）21． （本小题满分10分)设矩阵A ＝错误!的逆矩阵为1-A ，矩阵B 满足AB ＝错误!,求1-A ，B ．21．解:因为A ＝错误!，所以|A |＝错误!＝－7＋6＝－1．由逆矩阵公式得，A －1＝［［7 －2，3 －1． …5分因为AB ＝错误!，所以B ＝A－1AB ＝错误!错误!＝错误!．…………………………10分22．（本小题满分10分)设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．答案：矩阵A的逆矩阵为12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则特征多项式为221421()()3933f λλλλ=+-=+-令()0f λ=，解得1211,3λλ=-=，设特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12332133x x y y ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 易算得特征值11λ=-对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，同理可得特征值213λ=对应的一 个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(10分)23．(本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为sin(θ＋错误!)＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．23．解：曲线C 的极坐标方程为＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ． 即(x －1）2＋y 2＝1，表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆． …………………… 3分直线l 的极坐标方程是 sin(θ＋错误!）＝m ，即错误!cos θ＋错误!sin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋错误!y －2m ＝0． …………………6分因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以错误!＝1，解得m＝－错误!或m＝错误!．所以，所求实数m的值为－错误!或错误!． (10)分24．（本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:错误!(为参数，∈R),直线l：错误!（t为参数,t∈R),求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．21．C．解:将直线l的参数方程错误!化为普通方程为x－y－6＝0．因为点P在曲线C：错误!（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．点P到直线l的距离d＝错误!＝错误!，其中tanφ＝错误!，φ是锐角．所以当cos(θ＋φ)＝1时，d min＝错误!．所以点P到直线l的距离的最小值为错误!．…………………………………10分。

【最新经典文档】2017年江苏省无锡市高三上学期期中数学试卷含解析答案

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9．（5 分）已知 x，y 满足
，若 z=3x+y 的最大值为 M，最小值为 m，且
M+m=0，则实数 a 的值为 ﹣1 ．
【解答】 解：解：由 x， y 满足
作出可行域如图，
联立
，解得： A（a， a），
联立
，解得： B（1，1），
化目标函数为直线方程斜截式 y=﹣3x+z， 由图可知，当直线过 A（ a，a）时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 m=4a， 当直线过 B（1，1）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 M=4， 由 M +m=0，得 4+4a=0，即 a=﹣ 1． 故答案为：﹣ 1
为
．
9．（5 分）已知 x，y 满足
，若 z=3x+y 的最大值为 M，最小值为 m，且
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M+m=0，则实数 a 的值为
．
10．（ 5 分）已知 f （x） =cos（ ﹣ ），若 f（α）= ，则 sin α＝ ．
11．（ 5 分）若函数 y=
，在区间（﹣ 2，2）上有两个零点，则实
5．（5 分）执行如图所示的流程图，则输出的 M 应为 2
【解答】 解：由题意，执行程序框图，可得 i=1，满足条件，则 M= =﹣ 1，
i=2，满足条件，则 M=
=，
i=3，满足条件，则 M= =2，
i=4 不满足条件，退出循环，输出 M 的值为 2． 故答案为： 2
6．（5 分）若复数 [ x﹣1+（ y+1）i] （2+i）=0，（x，y∈R），则 x+y= 0 【解答】 解：由 [ x﹣1+（ y+1）i] （2+i）=0，

2020届江苏省南京市2017级高三上学期期初联考数学试卷及解析

2020届江苏省南京市2017级高三上学期期初联考数学试卷及解析

2020届江苏省南京市2017级高三上学期期初联考数学试卷★祝考试顺利★一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤ 【解析】 【分析】根据交集定义直接求得结果.【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 2.已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2．3.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200. 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：2004.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______．【答案】13.【解析】 【分析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：135.函数21log y x +的定义域为______．【答案】1[,)2+∞【解析】 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由21log 0x +≥，得12x ≥， ∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.6.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17 【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=177.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一45C 的方程为_______． 【答案】2212016x y -=. 【解析】 【分析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程.【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-=∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a±=+，解得：220a = ∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32.【解析】 【分析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ== 本题正确结果：329.函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3. 【解析】 【分析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：310.在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q=，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14.【解析】 【分析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q -=++=和2311a a q ==可构造方程求得q ，代入求得结果.【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=Q ，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q = 114a ∴=本题正确结果：1411.已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】(0，1). 【解析】 【分析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x Q 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m -+-<得：()()()22111f m f m f m -<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,112.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=o Q ，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==o，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y +=Q 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABAD=_______．3【解析】 【分析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD uuu v ，AB u u u v表示出CD uuu v ，FA u u u v ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD =u u u v u u u v ，从而得到结果.【详解】作//FG AD ，交BD 于点GAED FEG ∆∆Q : GF EG AD DE ∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+== 又23BC AD =，可得：2DE EG = 3344DF DG EG DC DB EG ∴=== 2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB =++=++=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v Q()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22133********2FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 223122AB AD ∴=u u u v u u u v ，即223122AB AD =u u uv u u u v 3AB AB AD AD ∴==u u u v u u u v 314.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________. 【答案】[32ln 2,)-+∞ 【解析】 【分析】首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x <<，根据()()122f x f x +=即可得出122212ln x x x x +=-+，最后通过构造函数()()12ln 1g x x x x =-+>以及对函数()()12ln 1g x x x x =-+>的性质进行分析即可得出结果。

江苏省盐城市2017届高三上学期期中考试数学试题(WORD版)

江苏省盐城市2017届高三上学期期中考试数学试题(WORD版)

盐城市2017届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 2．设向量(2,6)a =-，(1,)b m =- ，若//a b ，则实数m = ▲ ．3．命题2000:,210p x R x x ∃∈++≤是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．已知集合{}1,2,3,4A =，{}|32,B y y x x A ==-∈，则A B = ▲ ． 5．函数()13x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象所经过的定点为 ▲ ． 6．在等比数列{}n a 中，已知121a a +=，342a a +=，则910a a += ▲ ． 7．若函数321()33f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知4sin 29α=，且α为钝角，则cos 2α= ▲ ．9．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ．10．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．11．若函数1,,()|1|,x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在区间(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．在数列{}n a 中，10112a =-，且当2100n ≤≤时，102232n n n a a -+=⨯恒成立，则数列{}n a 的前100项和100S = ▲ ． 13．在ABC ∆中，已知4AC =，4C π=，(,)42B ππ∈，点D 在边BC 上，且3AD BD ==，则AB AD ⋅= ▲ ．14. 设函数()2f x kx kx =-，()()32ln , 1,1,01,x x g x x a x ax x ≥⎧⎪=⎨-++-<<⎪⎩，若使得不等式()()f x g x ≥ 对一切正实数x 恒成立的实数k 存在且唯一，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >； q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分14分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（1）求,,ωϕA 的值； （2）设θ为锐角，且3()35f θ=-，求()6πθf -的值.17．（本小题满分14分）如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅= ，E 为AC 的中点.（1）若12cos 13ABC ∠=，求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）若2BE ED =，求DA DC ⋅ 的值.18．（本小题满分16分）如图所示，有一块矩形空地ABCD ，AB =2km ，BC =4km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口，其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口F 的选址范围；（2）设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为21S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？19．（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -（e 为自然对数的底数），求实数a 的值； （3）若关于x 的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围.20．（本小题满分16分）若数列{}n a 中的项都满足21221n n n a a a -+=<（*n N ∈），则称{}n a 为“阶梯数列”.（1）设数列{}n b 是“阶梯数列”，且11b =，21219n n b b +-=（*n N ∈），求2016b ；（2）设数列{}n c 是“阶梯数列”，其前n 项和为n S ，求证：{}n S 中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{}n d 是“阶梯数列”，且11d =，21212n n d d +-=+（*n N ∈），记数列21n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . 问是否存在实数t ，使得()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对任意的n N *∈恒成立？若存在，请求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．2 2. 3 3. 真 4. {}1,4 5. ()1,4 6. 16 7. 3a ≤ 8.13 9. 120︒ 10. 12e- 11. [1,0]- 12.4- 13. 6 14. 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<, 又0a >,所以3a x a <<,当1a =时,1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<. …………………2分q 为真时302x x -<-等价于(2)(3)0x x --<，得23x <<, …………………4分 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<.若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<. …………………7分 （2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q ⇒p 且p ⇒/q ,设{|3}A x a x a =<<, {|23}B x x =<<, 则B A; …………………10分则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号 ，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤. ………………14分 16．解：（1）由图像，得3A =, ……………2分最小正周期473126πππT ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，22T πω∴==， ……………4分 ()3sin(2)ϕf x x ∴=+，由7312f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得722122ππϕπk ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈， 523πϕπk ∴=-+，k Z ∈，0ϕπ<< ，3πϕ∴=. ……………7分（2）由3()3sin(2)335f πθθ=+=-，得3sin(2)35πθ+=-， (0,)2πθ∈ ，42,333πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又sin(2)03πθ+<，所以42,33ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，24cos(2)1sin (2)335ππθθ∴+=--+=-， ……………10分()3sin 23sin (2)633πππθθθf ⎡⎤∴-==+-⎢⎥⎣⎦3sin(2)cos cos(2)sin 3333ππππθθ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦314312333525210⎛⎫-=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. ……………14分17．解：（1） 12cos 13ABC ∠=，()0,ABC π∠∈， 2125sin 11313ABC ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭， ……………2分1212cos ,13BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅13,BA BC ∴⋅= ……………4分1155sin 1322132ABC S BA BC ABC ∆∴=⋅∠=⨯⨯=. ……………7分（2）以E 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (－2,0)，C (2,0)，设D (),x y ，由2BE ED =，可得(2,2)B x y --， 则2212(22,2)(22,2)444,BA BC x y x y x y ⋅==-⋅+=-+224,x y ∴+= ……………11分 ∴()()222,2,40DA DC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-=. ……………14分18．解：（1）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为a ， 而EG AF ⊥，故EG 的斜率为1a-， 则EG 的方程为()11y a x a-=--， 令0x =，得1G y a a=+； ……………2分 令0y =，得21E x a =+； ……………4分由04020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪<≤⎨⎪⎩，得23230102a a a ⎧-≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩， 231a ∴-≤≤，即入口F 的选址需满足BF 的长度范围是[423,2]-（单位：km ）. ……………6分（2）因为()23111212AEG S S AE AG a a a a a a ∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭，故该商业区的环境舒适度指数121111811ABCDABCD S S S S S S S S -==-=-， ……………9分所以要使21S S 最大，只需1S 最小. 设()3112,[23,1],S f a a a a a==++∈- ……………10分则()()()()()()222422222231311311132132a a a a a a a f a a a a a a -++-++-'=+-===，令()0f a '=，得33a =或33a =-（舍）， ……………12分()(),,a f a f a '的情况如下表：a 23-323,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1 ()f a '-0 +()f a减极小增故当33a =，即入口F 满足233BF =km 时，该商业区的环境舒适度指数最大. ……16分 19．解：（1）()ln f x ax x =-+ ，()1f x a x'∴=-,设切点横坐标为0x ，则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩………………2分消去a ，得0ln 0x =，故01x =，得 2.a =- ………………4分（2）()22111,1,1,f x a x e x e x '=-≤≤≤≤ ①当21a e≤时，()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增， 则()()22max 21f x f e ae ae ==-=-，得2211a e e e=>-,舍去; ………………5分 ②当1a ≥时，()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则()()max 11f x f a ae ==-=-，得111a e =<-,舍去; ………………6分 ③当211a e <<时，由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩，得11x a ≤<；由()201f x x e '⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩，得21x e a <≤，故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在21,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，得2ln 0ae a --=, ………………8分设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭当211,a e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()10g a e a '=-<,()g a 单调递减， 当1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10g a e a '=->,()g a 单调递增，故()min 10g a g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e =.综上①②③，1a e =. …………………10分（3）方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-， 令()1ln 2h x x x =+，故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-， …………………12分 由（2）可知()h x 在()0,+∞上单调递增，故2230x x t x tx t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=（※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根， …………………13分①当410t ∆=+=，即14t =-时，方程（※）的实数根为1124x =>-，满足题意； ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ）若1,x t =2,x t >代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =， 当0t =时方程（※）的两根为0,1，符合题意；当2t =时方程（※）的两根为2,1-，不合题意，舍去；Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<；综合①②，实数t 的取值范围为02t ≤<或14t =-. …………………16分 20．解：（1）21219n n b b +-= ，11b =，{}21n b -∴是以11b =为首项9为公比的等比数列，12221193n n n b b ---∴=⨯=，201420153b ∴=，∵数列{}n b 是“阶梯数列”，∴201420162015==3b b . …………………3分 （2）由数列{}n c 是“阶梯数列”得212n n c c -=，故2122221n n n n S S S S ----=-,∴{}n S 中存在连续三项()22212,,2n n n S S S n --≥成等差数列； ……………5分 （注：给出具体三项也可） 假设{}n S 中存在连续四项123,,,,k k k k S S S S +++成等差数列， 则12132k k k k k k S S S S S S +++++-=-=-，即123k k k c c c +++==， 当*21,k m m N =-∈时, 22122m m m c c c ++==，① 当*2,k m m N =∈时, 212223m m m c c c +++==，②由数列{}n c 是“阶梯数列”得221m m c c +<2223m m c c ++=<，③①②与③都矛盾，故假设不成立，即{}n S 中不存在连续四项成等差数列. …………………8分 （3）∵21212n n d d +-=+,11d =,{}21n d -∴是以11d =为首项2为公差的等差数列，()2111221n d d n n -∴=+-⨯=-，又数列{}n d 是“阶梯数列”，故21221n n d d n -==-， ()()2222121111111212122121k k k k d d d d k k k k +-+⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭, …………………10分①当()*2n k k N =∈时,2132435462121222111111n k k k k k T T d d d d d d d d d d d d -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭133521211112k k d d d d d d -+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭11111111221,1213352121213k k k ⎛⎫⎡⎫=⨯-+-++-=-∈ ⎪⎪⎢-++⎝⎭⎣⎭ ,13,12n T ⎡⎫∴-∈--⎪⎢⎣⎭, 又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n nt T T ∴-<<恒成立, 213t ∴-≤<. …………………13分②当()*21n k k N =-∈时, 2122222221211111122121n k k k k k k k k T T T T T d d d d k k -+-+⎛⎫==-=-=-- ⎪-+⎝⎭1111,142423k k ⎡⎫=--∈⎪⎢-+⎣⎭,[)13,1n T ∴-∈--,又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 113t ∴-≤<. …………………15分综上①②, 存在满足条件的实数t ，其取值范围是11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. …………………16分注：()()22, 2,,21421, 21,,2121n k n k k N k T k k n k k N k k ⎧=∈*⎪+⎪=⎨--⎪=-∈*-+⎪⎩也可写成()2,11,2nn n T n n n n ⎧⎪+⎪=⎨+-⎪+⎪⎩n 为正偶数， n 为正奇数.。

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2017届高三七校联考期中考试数学试卷第Ⅰ卷 2016年11月说明：本卷满分为160分.考试时间为120分钟.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位．．．．．．．置上．．． 1.已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在第 ▲ 象限．2．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在[70，80)内的人数是 ▲ ．(第2题) (第4题) 3.在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是 ▲ ．4．执行右上边的伪代码，输出的结果是 ▲ ． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5353a a =，则53SS = ▲ ． 6．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)6f =，则(1)f = ▲ ．7.设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.则A ωϕ++= ▲(第7题)8.如图，在24⨯的方格纸中，若a →和b →是起点和终点均在格点的向量，则向量2a b +r r 与a b -r r 的夹角余弦值是 ▲ ．9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝15，sinαsinβ＝25，则tan(β－α)的值为 ▲ ．10.正数x 、y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为 ▲ ．11.已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2+y 2－2x ＋2y －1=0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ▲ ． 12．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，若14AC BD ⋅=-uu u r uu u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r▲ ．13．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为 ▲ ． 14．若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC V 中，已知6C π=，向量()sin ,1m A →=，()1,cos n B →=，且m n →→⊥.(1) 求A 的值；(2) 若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积．16. （本小题满分14分）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点． （1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（2）设M 为棱CC 1的点，且满足BM ⊥B 1D ，求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ．17.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，，左准线方程是2x =-，设O 为原点，点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求ΔAOB 面积取得最小值时，线段AB 的长度；18.（本小题满分16分）ABDMC1A 1B1C如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在¼MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ． (1).若3PBC π∠=，求PQ 的长度；(2).当点P 选择在何处时，才能使得修建的小路»MP 与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．19.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2,1,2,3n n S a n =-=g g g . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足b =11，且n n n b b a +=+1，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()32n n n b C -=，数列{}n C 的前n 项和为158n T =.求n .20．（本小题满分16分）对于两个定义域均为D 的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M ，使得对于任意x ∈D ，都有|f(x)－g(x)|≤M ，则称M 为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作||f(x)，g(x)||．PDQCNBAM（1）求f(x)＝sinx(x∈R)，g(x)＝cosx(x∈R)的差距；（2）设f(x)＝x(x∈[1,e a2])，g(x)＝mlnx(x∈[1, e a 2])．(e≈2.718)①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求满足条件的最大正整数a；②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求实数m的取值范围．2017届高三七校联考数学试卷第Ⅱ卷 附加题部分说明：本部分共4大题，每题10分，共40分.考试时间为30分钟.请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21(B)．（选修４－２：矩阵与变换） 已知a 、b ∈R ，若M ＝13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.21(C)．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点P 6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭P 到直线l 的距离．22．（本小题满分10分）已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程；(2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23．（本小题满分10分）已知整数n≥4，集合M ＝{1，2，3，...，n}的所有含有4个元素的子集记为A 1，A 2，A 3， (4)C A .设A 1，A 2，A 3， (4)C A 中所有元素之和为S n .(1) 求456,,S S S 并求出S n ；(2) 证明：S 4＋S 5＋…＋S n ＝6210n C .参考答案及评分标准2017届高三七校联考期中考试数学试卷第Ⅰ卷 2016年11月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在第 ▲ 象限．答案：二 解析：z 1－z 2＝(1－3)＋(3－1)i ＝－2＋2i ，从而z 1－z 2在第二象限． 本题考查了复数的四则运算．本题属于容易题．2．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则分数在[70，80)内的人数是 ▲ ．答案：30 解析：由题设可知a ＝0.03，从而[70，80)人数为0.03×10×100＝30人．本题考查频率直方图的基础知识，属于容易题．(第2题) (第4题)3.在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是 ▲ ．答案：13 解析：由题设可知P(S 1>2S 2)＝PA PB ＝13.本题考查几何概型的基础知识．本题属于容易题．4．执行右上边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．答案：11 解析：由流程图知13579,11S I =⨯⨯⨯⨯=.本题考查流程图中当循环语句．本题属于容易题．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5353a a =，则53SS = ． 答案：52.本题主要考查等差数列的通项、前n 项和公式．本题属于容易题．6．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R )f x x ax a =+∈，且(2)6f =，则(1)f = ．答案：4.本题属于容易题．7.设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.则A ωϕ++= ▲答案：36π+.本题考查三角函数的图像和性质．本题属于容易题． 8．如图，在24⨯的方格纸中，若a →和b →是起点和终点均在格点的向量，则向量2a b +r r 与a b -r r的夹角余弦值是 ▲ ．答案：本题主要考查向量的运算．本题属于中等题．9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝15，sinαsinβ＝25，则tan(β－α)的值为 ．答案：43.本题考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式.本题属于中等题． 10.正数x 、y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为 ▲ ．答案： 9 解析：x ＋8y xy ＝1182y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ＋2y)＝12(2＋8＋x y ＋y x ·16)≥12(10＋216)＝12×18＝9，当且仅当x y ＝4，x ＋2y ＝2，即y ＝13，x ＝43时“＝”成立．本题考查基本不等式综合应用．本题属于中等题．11.已知直线l ：x ﹣y=1与圆M ：x 2+y 2﹣2x+2y ﹣1=0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ▲ ．本题考查直线与圆的位置关系．本题属于中等题． 12．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，若14AC BD ⋅=-uu u r uu u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r▲ ．答案：2-.13．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为 ▲ ．答案：0或1 解析：∵ S n ＝kn 2＋n ，∴ 数列{a n }是首项为k ＋1公差为2k 的等差数列，a n ＝2kn ＋1－k.又对于任意的m ∈N *都有a 22m ＝a m a 4m ，∴ a 22＝a 1a 4，(3k ＋1)2＝(k ＋1)(7k ＋1)，解得k ＝0或1.又k ＝0时a n ＝1，显然对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列；k ＝1时a n ＝2n ，a m ＝2m ，a 2m ＝4m ，a 4m ＝8m ，显然对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 也成等比数列．综上所述，k ＝0或k ＝1.本题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查推理变形的能力．本题属于中等题． 14.若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<- 的恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 答案：22[3,0)3e -，解析：易知1(),()f xg x 在[]3,4x ∈上均为增函数，不妨设12x x <，则121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-等价于212111()()()()f x f xg x g x -<-即212111()()()()f x f xg x g x -<- 令1()()1ln ()xe h xf x x a xg x ex=-=---，则()h x 在[]3,4x ∈为减函数，则()'21()10x e x a h x x ex -=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立 令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x e e x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21211331,'()0244x e e u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值范围为22[3,0)3e -. 本题主要考查函数导数的有关知识，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力．本题属于难题．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分14分）在ABC V 中，已知6C π=，向量()sin ,1m A →=，()1,cos n B →=，且m n →→⊥.(1) 求A 的值；(2) 若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积． 解：(1)由题意知m·n＝sinA＋cosB＝，(2分)又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sinA ＋cos 5()6A π-＝0， (4分)即sinA－32cosA＋12sinA＝，即sin()6A π-＝0.(6分)又0＜A ＜5π6，所以()6A π-∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6. (7分)注：不写范围扣1分.(2) 设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x)2＋x 2－2×3x×xcos2π3， (10分)解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，(12分)所以S△ABC＝12BA ·BC ·sinB ＝12×3×3×sin 2π3＝934. (14分)16. （本小题满分14分）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点． （1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（2）设M 为棱CC 1的点，且满足BM ⊥B 1D ，求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ． 证明：(1) 记A 1B ∩AB 1＝O ，连接OD.∵四边形AA 1B 1B 为矩形，∴O 是A 1B 的中点， 又∵D 是BC 的中点，∴A 1C ∥OD. ………2分 又∵A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D. ………6分注意：条件“A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！(2)∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC. ………8分∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C.【或利用CC 1⊥平面ABC 证明AD ⊥平面BB 1C 1C.】 ………10分 ∵BM ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BM. ………12分 又∵BM ⊥B 1D ，AD ∩B 1D ＝D ，AD,B 1D ⊂平面AB 1D ， ∴BM ⊥平面AB 1D.又∵BM ⊂平面ABM ，∴平面AB 1D ⊥平面ABM ． ………14分17．（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率为2，左准线方程是2x =-，设O 为原点，点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求ΔAOB 面积取得最小值时，线段AB 的长度；ADMC1A 1B 1C ABDMC1A 1B 1C O解析：(1)设椭圆的半焦距为c，则由题意的222c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a c b ⎧=⎪⎨==⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.........4分（2）由题意，直线OA 的斜率存在，设直线OA 的斜率为k ，若k ＝0，则A( 2，0)或(－ 2，0)，B(0，2)，此时ΔAOB 面积为 2，AB ＝6．6分 若k ≠0，则直线OA ：y ＝kx 与椭圆x 22＋y 2＝1联立得：(1＋2k 2)x 2＝2，可得OA ＝1＋k 2⋅2 1＋2k 2， 8分直线OB ：y ＝－1kx 与y ＝2联立得：B(－2k ，2)，则OB ＝2 1＋k 2， 10分S ΔOAB ＝12OA ⋅OB ＝2⋅1＋k 21＋2k 2，令t ＝ 1＋2k 2>1， 12分则S ΔOAB ＝2⋅1＋t 2－12t ＝ 22(t ＋1 t)> 2，所以S ΔOAB 的最小值为 2，在k ＝0时取得，此时AB ＝6． ..........14分(注：若利用S ΔOAB ＝22(t ＋1 t)≥2，忽略k ≠0的条件，求出答案的，本问给2分) 18.（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在¼MN上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．(1).若3PBC π∠=，求PQ 的长度；（2）当点P 选择在何处时，才能使得修建的小路»MP与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．解．（1）连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q在1Rt PBP ∆中，1111122PP QQ BP CQ ====，1PQ =……………4分 PD QCN BA M（2）设1PBP θ∠=()2π03θ<<， »2π3MP θ=- 若20πθ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==， 若,2πθ=则11sin cos PP BP θθ==， 若，322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP 2cos PQ θθ∴=- …………………8分在1Rt QBQ ∆中，111sin CQ QQ PP CQ θθθ===，， ，2DQ θ= 所以总路径长，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f …………………………10分1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf …………………………12分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2π23θ<< 时，()'0f θ> …………………………14分所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC⊥时，总路径最短. …………………………16分19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2,1,2,3n n S a n =-=g g g . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足b =11，且n n n b b a +=+1，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()32n n n b C -=，数列{}n C 的前n 项和为154n T =.求n .解：(1)当n=1时，S a =-112，所以a =11 （1分） 当n ≥2时， n n S a --=-112，且n n S a =-2所以()()n n n a a a -=---122得：n n a a -=112（3分）则数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，数列{}n a 的通项公式是 ()n n a -=112。

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