2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学

1、 x = 0 是 f (x) = x sin 1 的 x
A、可去间断点
B、跳跃间断点
C、第二类间断点
2、若 x = 2 是函数 y = x − ln( 1 + ax) 的可导极值点，则常数 a = 2
A、 − 1
B、 1 2
C、− 1 2
3、若 ∫ f ( x)dx = F( x) + C ，则 ∫ sin xf (cos x)dx =
四、证明题（本题 8 分）
21、证明方程： x 3 − 3x +1 = 0在 [−1,1]上有且仅有一根.
五、综合题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，满分 30 分）
22、设函数 y = f ( x) 的图形上有一拐点 P(2,4) ，在拐点处的切线斜率为 − 3 ，又知该函数的二阶导数 y '' = 6x + a ，求 f (x) .
（2）、求 F ' (2) .
3
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2005 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学参考答案
1、A 5、A
9、 π 2
12、 (−1,1)
2、C 6、C 10、5
3、D
4、B
7、2
8、 e − 1
1
y −1
∫ ∫ 11、 dy
f (x, y)dx
0
− 1− y 2
0
在
R 内连续，并满足：
f
(0)
= 0、
f
' ( 0)
=
6 ，求 a .
x=0
14、设函数
y
=
y(x) 由方程
⎧
⎨ ⎩
y
=
x = cos t sin t − t cos t
所确定，求
dy dx
、
d2 y dx2
.
∫ 15、计算 tan 3 x sec xdx.
∫ 16、计算
1
arctan xdx
0
17、已知函数 z = f (sin x, y 2 )，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 ∂z 、 ∂2 z ∂x ∂x∂y
2005 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
核分人
注意事项： 1、考生务必将密封线内的各项填写清楚； 2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效； 3、本试卷共 8 页，五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）
A、 F(sinx) + C
B、 − F(sinx) + C
C、 F(cos)+ C
D、连续点
D、1
D、 − F(cosx) + C
4、设区域 D 是 xoy 平面上以点 A(1,1) 、 B(−1,1) 、 C(−1,−1) 为顶点的三角形区域，区域 D1是 D 在第一
象限的部分，则： ∫∫ (xy + cos x sin y)dxdy = D
13、因为 F( x) 在 x = 0处连续，所以 lim F (x) = F(0) ， x→ 0
lim F (x) = lim
x→ 0
x→ 0
f ( x) + 2 sin x
x
= lim x →0
f (x) − f (0) +2=
x
f ' (0) + 2 = 6 + 2 = 8 ，
F(0) = a ，故 a = 8 .
1 1 y 2 dy = 1 y3
02
6
1 0
=
1 6
∫ （2） Vx
=π
1
2 (12
0
1
− 2x)dx = π ( x − x 2 ) 2 0
=
π 4
24、解：积分区域 D为： 1 ≤ y ≤ u ， y ≤ x ≤ u
∫∫ ∫ ∫ ∫ u
x
u
（1） F(u) = f (x)dσ = dx f (x)dy = ( x −1) f ( x)dx ；
A、 2∫∫ (cos x sin y)dxdy
D1
C、 4∫∫ (xy + cos x sin y)dxdy
D1
B、 2∫∫ xydxdy
D1
D、0
5、设 u(x, y) = arctan x ， v(x, y) = ln x2 + y 2 ，则下列等式成立的是 y
1
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A、 ∂u = ∂v ∂x ∂y
B、 ∂u = ∂v ∂x ∂x
C、 ∂u =
∞
∞
∑ ∑ 6、正项级数(1) un 、(2) un 3 ，则下列说法正确的是
n=1
n=1
A、若（1）发散、则（2）必发散
B、若（2）收敛、则（1）必收敛
C、若（1）发散、则（2）不定
3
∫ ∫ 16、原式 =
x arctan
x
1 0
−
1x
π
dx =
0 1+ x2
4
1 −
2
1 d (1 + x2 ) 0 1+ x2
=
π 4
−
1 2
ln(1 +
x2
)
1 0
= π − 1 ln 2 42
17、
∂z ∂x
=
cos x ⋅
f1' ，
∂2z ∂x∂y
=
cos x(
f '' 12
⋅ 2y)
=
2
18、求过点 A(3,1,−2)且通过直线 L : x − 4 = y + 3 = z 的平面方程.
5
21
2
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19、把函数 f (x) = x 2 展开为 x 的幂级数，并写出它的收敛区间. 2− x −x2
20、求微分方程 xy' + y − e x = 0满足 yx=1 = e 的特解.
由连续函数零点定理知， f (x) 在 (−1,1) 上至少有一实根.
（致远为学 提醒：本题亦可用反证法证明）
22、设所求函数为 y = f (x)，则有 f (2) = 4， f '(2) = −3 ， f '' (2) = 0 .
由 y '' = 6x + a ， y '' (2) = 0 得 a = −12 ，即 y '' = 6x −12.
4
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19、 f (x) = x 2 ( 1
+
1
x2
)= ⋅
1
x2 +⋅
1
3 2 + x 1− x 6 1+ x 3 1− x
2
∑ =
x2 3
∞ ⎡ (−1)n
⎢ n =0 ⎣
2 n+1
+
⎤ 1⎥x
n
，收敛域为
−
1
<
⎦
x <1.
20、 y ' + 1 ⋅ y = e x ，通解为 xx
因为 y '' = 6x −12，故 y ' = 3x 2 −12x + C1 ，由 y '(2) = −3 ，解得 C1 = 9.
故 y = x 3 − 6x 2 +9x + C2 ，由 y(2) = 4 ，解得 C2 = 2 .
所求函数为： y = x 3 − 6x 2 + 9x + 2 .
∫ 23、（1） S =
∫ ∫ 0
11、交换二次积分的次序 dx
1− x 2
f (x, y)dy =
−1 x +1
∞
∑ 12、幂级数 (2n −1)x n 的收敛区间为
n=1
； ；
； ；
三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）
13、设函数
F( x)
=
⎪⎧ ⎨
f ( x)
+ 2sin x
x
⎪⎩ a
x
≠
∫ y
=
e
−
∫
1 x
dx
⎜⎜⎛
⎝
ex x
e
∫
1 x
d
x
dx
+
C ⎟⎟⎠⎞
=
C x
+
ex x
因为 y(1) = e ， e = e + C ，所以 C = 0 ，故特解为 y = ex . x
21、证明：令 f (x) = x3 − 3x +1， x ∈[−1,1]，且 f (−1) = 3 > 0， f (1) = −1 < 0， f (−1) ⋅ f (1) < 0 ，
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y
cos
x
f ''
12
18、 l = {5,2,1}， B = {4,−3,0}， AB = {1,−4,2}
i jk
π = l × AB = 5 2 1 = {8,−9,−22}
1 −4 2
平面点法式方程为：Welcom.to :
8(x − 3) − 9(y −1) − 22(z + 2) = 0，即 8x −9y − 22z = 59.