工程测量 测量误差的基本知识

•••
F xn
xn
此式子是一线性表达式：mF2Βιβλιοθήκη (F x1)2
m2 x1
(
F x2
)
2
m2 x2
•
•
•
(
F xn
)
2
m2 xn
得函数F的中误差为：mF
(
F x1
)
2
m2 x1
F ( x2
)
2
m2 x2
•••
F ( xn
)
2
m2 xn
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P87例3：由A点放样B点，距离为 D=206.125±0.003m，方
②上下半测回限差 m m半 2 2 12 17
取2倍作为允许误差 f允 2 17 34（ 规范取 36）
③测角中误差
m
m半 2
12 2
8.5
④测回差的中误差 m测回差 m 2 8.5 2 12
取2倍作为允许误差 f测回差允 2 12 24
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3、菲罗列公式
每km多于16站：fh允 10 n第m13m页/共2每3页km少于16站： fh允 40 nmm
2、有关水平角观测的精度分析 DJ6观测一个方向的一个测回的中误差为±6″，则照准一 个方向的半测回的中误差为：m方 2 6 8.5 1）用测回法观测水平角的限差分析 ①半测回中误差
m半 m方 2 2 8.5 12
n
n
n2
n
n 1
即用观测值的改正数求观测值的中误第差 16页。/共23页
二、算术平均值的中误差
算术平均值的函数表达式为：L [l] l1 l2 • • • ln
n nn
n
则有误差传播定律可得算术平均值L的中误差M为：
M ( 1 m)2 ( 1 m)2 • • • ( 1 m)2 M m M [VV ]
v
-2 +1 0 -2 +2 +1 [v]=0
vv
4 1 0 4 4 1 [vv]=50
❖ 解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛
尔公式）：
m [vv] 50 3.2″ n第6页1/共23页 6 1
第四节 误差传播定律
有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而 得。 由于观测值存在误差，由其计算的结果自然也就存在误 差。描述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的 定律称为误差传播定律。
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一、线性函数的中误差
1、观测值的和、差函数
设倍函数F kx
则
F
F
k（x
）可得
x
F k x
则 F1 k x1 F 2 k x2 • • • Fn k xn
得2F1 k 2 2x1 2F 2 k 2 2x2 • • • 2Fn k 2 2xn
n个式子相加得：[2F
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二、不同观测精度的最或是值
不同观测精度的最或是值采用加权平均的办法计算。
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第二节 等精度条件下观测值的算术平均 值
设在相同条件下对X观测了n次：
1 l1 X 2 l2 X • • • • • • n ln X
n个式子相加： [] [l] nX 得 [] [l] X nn
令 [] L [l] 得 L X
n
n
由误差的抵偿性：lim [] 0 得 lim L X
可
偶以然形误象差描的述规偶律然性误：差的规律性。当观测条件足够多时， 1、直有界性：偶然误差的绝对 值 2方、不图大会中小超各性过矩：一形绝定顶对的部值限就小值的可；比以绝形成一条对称、光滑的曲线。 对值大的出现的可能性大； 3、对称性：误差出现正负的 可能性相同； 4）抵偿性：偶然误差的算术 平均值随观测次数增加而趋 于零；
算358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间为
若3观”，测并数按据绝对只值含大有小偶进行然排误列差，，分别在统观计测在次各数区间多的的正情负况误差下出，现 误的频率k／n，结果列于下表 ：
差呈现出统计学上的规律。
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以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值，
纵轴代表频率，图中直方图的面积总和为1，此直方图
n
n
又 L X [l] X [l X ] []
n
n
n
2 []2 n2
[1 2 • • • 3 ]2 n2
1 n2
(21 22 • • • 2n ) 21 2 21 3 • • •
1 n2
[2 ]
2 n2
(1 2
1 3
• • •)
1 n2
[2 ]
[] [VV ] [] n[] n[VV ] [] m [] [VV ]
由于受人视 ②0瞄.1准5误差
觉
限
制
，
气
泡
偏
离
中
点的 m1
误差为 0.15
分S划
值
的
人倍眼，把其两影点响的在视水角准小尺于上1的′的读情数况为看：做为一点。用放大倍
数为v的望远镜照准目标，照准精度为： 60 30
2v
v
照准精度在水准尺上的影响为：m2 ③读数误差
30 S
v
读数误差与水准尺的分划有关，对分划为1cm的水准尺， 读数误差约为1.5mm，水准尺上的读数影响为：m3 1.5mm 综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为：m读 m12 m22 m32
n
n
n
n
n(n 1)
即用改正数计算算术平均值的中误差
由公式可见，增加观测次数，可以 提高算术平均值的精度，但实际观 测中不可能完全依靠增加观测次数 来提高算术平均值的精度。
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第六节 不同精度观测
由于在测量过程中，可能采用不同的测量仪器、 不同 的观测方式，因此所得到的观测数据精度就不一致，如 何 由不同观测精度的测量数据计算观测对象的最或是值， 就 必须考虑各观测值的可靠程度，即考虑观测值的权。
解：B点坐标增量为：x D cos；y DSin
位则角：αm2=x 1(1m9D c°o4s5)′200(″D±Si4n″m， )计2 算m2y放 (样mDBSi点n )点2 位(D中cos误 m差 )。2
则点位中误差为：
mB2
m2x
m2y
(mD
cos )2
(DSin
m
)2
(mDSin )2
(D cos
四等水准测量中，τ″=20″，v=25倍，S最大为100m，相应 水准尺上读取一个数的中第误12页差/共为23页m读=±2.1mm。
2）一个测站高差的中误差
一个测站高差为后视读数减前视读数，则一个测站的
高差
m站 2m读 3mm
3中）误水差准为路：线的高差中误差及允许误差
设在两点间设了n个测站，其测得的高差中误差为
不同λ的取值，并不影响各观测值的权的比值：
Pi：Pj
：
mi2
m
2 j
m2j：mi2
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2）从实际观测情况出发来确定权的大小
水准测量中，设每km的观测路线的高差为mo，则不 同长
度水准路线的高差中m误1 差m0 为L1 ：m2 m0 L2
则其相应的权为：
P1
m02 L1
P2
m02 L2
m
)2
mD 2
(D
m
)2
mB
mD 2
(D
m
)2
代入：mD 3mm，m 4， 206265，D 206.125m;
mB
32 (206.1251000 4 )2 5mm 2第06112页65/共23页
三、测量精度分析
1、有关水准测量的精度分析
1）在水准尺上读一个数的中误差
①水准仪置平的误差
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一、权
测量中的权，就是表示观测数据可靠程度的相对性数 值，
用P表示。 1、确定权的方法 1）利用观测值中误差来确定权的大小 设不同精度观测值为l1、l2…… ln ，对应精度为m1、 m2、 …… mn，各观测值 权的计算式 为：
P1 m12 P2 m22 • • • Pn mn2
设以同精度观测一系列三角形的三内角，即：
m mai mbi mci
三角形的闭合差的计算关系式为：
fi ai bi ci 180
由误差传播定律得：
m
2 f
3m2
m
mf 3
由中误差的定义得三角形闭合差的中误差为：
可推导出：
m
mf
[ fi fi ] 3n
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[ fi fi ] n
mh m站 n 3 n mm
取3倍中误差作为限差，并考虑其他因素，得四等水准测量 高差闭和差的允许值为： fh允 10 n mm 平坦地区每km取16站，得 fkm 3 16 mm 12 mm 则环形闭合差或往返不符值的中误差为：mh Smkm mm 12 Smm
取3倍中误差作为限差，其允许值为： fh允 40 Smm 依据测站数计算中误差：
• • • mn m0 Ln
• • • Pn
m02 Ln
令λ＝Cm2o，得：
C P1 L1
C P2 L2
C • • • Pn Ln
此即为按照路线的长度定权的公式。同样可以得出按照测
站数定权的公式：
C P1 N1
C P2 N 2
C • • • Pn N n
２、权的性质 １）权越大，表示其精度越高，越可靠； ２）权始终为正值； ３）权是个相对数值，对单独的一个观测值无意义； ４）权中λ的取值不同，不改变权的相对性。
第五节 一、同精度观测值的 观测 中误差 值及算术平均值的中误 差 设真值为X的一系列观测值li , 相应的平均值为L，真误差为 i ,改正数为Vi :
1 l1 X 2 l2 X • • • n ln X
V1 L l1 V2 L l2 • • • Vn L ln
对应式子相加得：1 V1 L X 2 V2 L X • • • n Vn L X
一、系统误差
在相同的观测条件下，误差保持同一数值、同一符号， 或
者遵循一定的变化规律的误差，称为系统误差。
比如：
水准尺端部磨损；
水准尺倾斜；
水准尺弯曲；
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二、偶然误差
在相同的观测条件下，对某对象作一系列观测，观测 误差
的大小和符号表面上没有规律，这种误差称为偶然误 ❖ 差例如。：某一测区在相同条件下观测了358个三角形的全部内角，计
得2F1 2x1 2y1 2 x1 y1 2F 2 2x2 2y2 2 x2 y2 • • • 2Fn 2xn 2yn 2 xn yn
n个式子相加得：[2F
]
[2x
]
[2y
]
2[
x
y
]
[2F n
]
[2x n
]
[2y n
]
2[ x n
y
]
令 [2F n
]
m
2；
F
[2x n
]
m
2 x
n n
n
算术平均值接近于真值，是测量对象的可靠结果，又称为
最或是值。
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第三节 衡量精度的标准
一、平均误差
1
2
• • • n
[]
n
n
二、中误差
m 21 22 • • •2n []
n
n
测量一般采用中误差作为衡量精度的标准。
三、允许误差
测量规定允许中误差为 f允 （2 ~ 3）m
四、相对误差
m k
1
D (D / m )
相对误差不能用于衡量角度测量的精度。
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例：
❖ 某水平角用经纬仪进行6次等精度丈量，其结果如下 表，试计算该角度观测值中误差。
序号
1 2 3 4 5 6
观测值l
25°23′20″ 25°23′17″ 25°23′18″ 25°23′20″ 25°23′16″ 25°23′17″ β= 25°23′18″
[2y n
]
m
2 y
由于lim [ x y ] 0 n n
m
2 F
m
2 x
m
2 y
mF
m
2 x
m
2 y
同样可以推导出F x1 x2 • • • xn
其函数中误差公式为：mF
m
2 x1
m x22
•••
mx2n
3、线性函数的中误差
线性函数： F k1x1 k2 x2 • • • kn xn
令 L X 整理得：1 V1 2 V2 • • • n Vn
等式平方得：21 V12 2 2V1 22 V22 2 2V2 • • • 2n Vn2 2 2Vn
所有式子相加，整理得：[] [VV ] 2 [V ] 2
n
n
n
由[V ] 0 [] [VV ] 2
]
k
2 [2x
]
[2F n
]
k
2
[2x n
]
令
[2F n
]
m
2；
F
[2x ] n
m x2
mF2
k
2
m
2 x
mF
kmx
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2、观测值的和、差函数
设函数F x y
则
F
F
（x
x）（y
）可得
y
F x y
则 F1 x1 y1 F 2 x2 y2 • • • Fn xn yn
其函数中误差公式为：
mF
第9页k/1共2m23x2页1
k
m 2 2
2 x2
• • • kn2mx2n
二、非线性函数的中误差
设非线性函数 F f (x1, x2,• • •, xn )
取全微分：dF
F x1
dx1
F x2
dx2
•••
F xn
dxn
则真误差关系式为： F
F x1
x1
F x2
x2