关于方程的一些问题的探讨

都会有不 同见解 ，一些基础好思维敏捷的学生往往认 为 上面各式不是方程，理 由如下 ： （ 不可能相等不是等式 。 １ ） （ 运算错误两边 不等 。 ２ ） （ 概念错误 √ ＝ＩＩ ３ ） Ｘ 由 于定 确切发 匕 生 面回答是很自 然的。 虽然我们不必改动书上方程的定义，但把下叙思想渗透给 学生对数学是有利的，即 “ 方程不是陈叙，方程本身是一个问 题。 ”也就是上面各式不应理解为左式 “ 就是”等于右式；具体 的说（应理解为提问：ｘ为何值时 ３ ＋ 会等于零？在我的教 １ ） ｌ 学中，学生完全能够接受这种解释 ，再判 断时意 见统一 了。 ’ ２ 相关定义 ：把方程理 解为 问题 后 ，对 理解相关 的 定义也很有好处，既然方程是提 出问题，我们就要解答 ，使 方程两边相等的未知数 的值 就是方程 的 “ ”（ ）是必然 ， 解 答 此外方程是提 问，解 （ 答）主可能是正面肯定的。也有可能 是否定的。可举例 ，我们完全可 以问某人有几个 哥哥 ，如果 有就可正面回答，如果没有也可回答 。这 时决不能说这 问题 “ 意义 ” 无 ，如前两例 ３ Ｘ ＋ ＝ ｌ ０，不能说方程 “ ｚ 无意义 ” ， 只能说 “ 无解 ” ，这样使学生明白了，在方程 中只有 “ 无解 ” 之 说 ，而 没有 “ 意 义 ” 之说 ，“ 意 义 ”是 指运 算 中 无 无
能失根最好 不采 用
三 ．一元 二 次方 程 及其 相 关 方程 的一 些解 法
１．一元 二次方程 的解法 为 ：① 开平 方法 ②因式 分 解 ③配方法 ④公式化法 ⑤观察法 其中公式法 为最基 本方法 ，但 也应 随时注意培养学生选择 最佳 解法 的能
例 如 ：７ ２ ｘ １＝ ｘ １＋４０
整的解答为：当ａ 时：＝ ≠０ ｘ 詈
ａ０ 时 ：ｂ≠ ０ 解 ＝ 无 ｂ ０ 全体实数 这原因是多方面的。 ＝ 是否可把字母系数方程解的定义进一步明确一下，口使方程转化 Ｂ‘ ‘
［ 关键 词］ 方程， 关 问题， 讨 相 探
一
② 方程两边 “ 或除”同一个 “ 等于零的数 ” 乘 不 可知① ，②所得方程 与原方程 同解 ③ 方程 两边 乘同一个 “ 整式 ” ④ 方程 两边 乘 “ 同一次方 ” 可知③ ，④所得方程 是原方程的结果 。 解方程 的主要依据是①代 数的恒等变形②上 叙性 质。 应 当使 同学 明确 ：
・ 解方程过程中只用恒等变形和同解变形最后可以不必验根。 ・ 用了结果变形最后可能增根， 验根是必不可少的步骤。 ・ 以上性质未提及的变形， 最好不用， 以免失根。 对 下列 学生 中常 见错 误 应及 时纠 正 。 例 ：
、
有 关 概 念
１方程定 义 ： ． 现行 教材把方程 定义为 “ 含有未知数的等 式” 。这个定义是不十分确切 的，没有 体现方程的实质，因 此学生也就会对一些具体 问题判别不清 ，我在数学 小组活动 中，请 同学判别下列各式是否为方程 ，并说 出理 由： （ ３Ｘ ｌ０ １ ２＋ ＝ ） （）３ ２— Ｘ ２ ２ ２ Ｘ ５ ２＝ Ｘ （） Ｘ ３Ｊ
（ 再用数学方法解之 ：Ｘ ＝ ７Ｘ一 ６ Ｘ ＝ ６ Ｘ ＝ ｌ就 解 答 了 问题 ） 此外对字母系数方 程，学生往往不考虑对参 数的讨论 。
√ Ｘ一 ）√ （２Ｘ ｘ一 ３ ２ ｘ ３（ ２Ｘ ＝ ２ Ｘ＋ ） ｚ ） ６ 等等 ２ 分式 ”无理 ，简单的高次方程 ．“ 教材上 已经 介绍 了 ・ 用 方 程 性 质 化 去 分 母 或 根 号 ， 这 段 教 学 应 提 醒 利 学生注意，方程能化简时先化简 ，如 ． ２ ＝ ． ４ 应先 （
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关于方程 的一些 问题 的探讨
（ 敬， 山第一职 业 中专， 米 唐 河北唐 山， ６ ０ ０ ０ ０） ３
［ 摘 要］ 方程是 中学数 学教 学重点 内容，多年教学中发 现在 方程的概念 、主要性质 和解 方程 中还存在一 些认 知误 区，本文作者就相关问题提 出了 自己的观 点并进行 阐述。以 此在提 高教 学质 量，改进教学方法方面 同大家共勉
化 为． ＋ 之后再平方 。 ２ ・因式分解法和换元法，这段教学要培养学生的观察能力，式 子变形能力和综合应用能力，以下各题可供成度较好的学生练习
１． ２ ４ ５ ｘ ＋ ９ ５ ｘ ２ ０ ｉ ｘ － ６ ８ ｘ 一 ６ ＋ｉ ＝
例如解方程 ａ＝ 一般学生得 ｘ詈 很少有同学能完 ｘｂ ＝
解： ３１ 一 ＝ 而应移项提取公因式解之）
此 外在解指 数 ，对数方程 时还会 有取 对数或 去对数 符 号 的步骤 。一般 的说 ： （ 使方程未知数 的取值范 围扩大，或次数增高的变形有 １ ） 可 能使方程产 生增根 ，验根步骤不可少 。 （ 使方程未知数 的取值范 围缩小，或次数 降低 ，就有可 ２ ）
无结果（ ） 或结果不确定 （ ）。 “ 解方程 ”是 “ 出方程 的一切解 或判定方程无解 的过 求 程” 也就很容易理解了， 列方程解应用题就 是把语言形式的问 题先化成数学形式的问题再解之。例如：什么数的平方等于它 的７ 倍与 ６的差？化成数学形式的问题 即：Ｘ２ ７Ｘ一 ６ ＝
．
解 ：４ ９ ｏ ｘ ＾ ｕ
一
ｘ 一一 ‘ ４
（ ’ 相等”与 ’ 分辨不清 对 “一 ’ 同 … … 解” ’ 驰 矛 盾）
＝ ± ｘ 手 ＝
②器 小
解： ２Ｘ＋ ３理解
，
⑨ （ｘ １（ ＋ ） ｌ 丁 （ 应” 边” 整 会失根 －） ＿ ２ ３ ＝ 一 不 两 除以 式 ｘ