抛物线的参数方程课件

题型二 抛物线参数方程的应用
例 2 过点 A(1，0)的直线 l 与抛物线 y2＝8x 交于 M、N 两点， 求线段 MN 的中点的轨迹方程．
分析：本题有多种解法，下面选取两种较典型方法． 解析：解法一 设抛物线的参数方程为xy＝＝88tt2，(t 为参数)，可 设 M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)， 则 kMN＝88tt222－－88tt121＝t1＋1 t2. 又设 MN 的中点为 P(x，y)，
∴y1＋y2＝2y.由 kPA＝x－y 1， 又 kMN＝xy11－－yx22＝y1＋8 y2＝4y， ∴x－y 1＝4y，即 y2＝4(x－1)． ∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
►变式训练
2．如图所示，设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定 点M0(－1，0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨 迹方程．
即 2pt21·2pt22＋2pt1·2pt2＝0，所以 t1·t2＝－1. △AOB 的面积为 S△AOB＝12|OA|·|OB| ＝21·2p|t1| t21＋1·2p|t2| t22＋1 ＝2p2|t1t2| （t21＋1）（t22＋1） ＝2p2 t21＋t22＋2＝2p2 t21＋t121＋2 ≥2p2 2＋2＝4p2，
解析：根据题意设点 A，B 的坐标分别为 A(2pt12，2pt1)，B(2pt22， 2pt2)(t1≠t2，且 t1t2≠0)，则：
|OA|＝ （2pt21）2＋（2pt1）2＝2p|t1| t21＋1， |OB|＝ （2pt22）2＋（2pt2）2＝2p|t2| t22＋1， 因为 OA⊥OB，所以O→A·O→B＝0，
分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解 题方法是本题的解法之一．
解析：令 y＝2t，则 x＝y22＝2t2， 得抛物线的参数方程x＝2t2，
y＝2t， 设点 P 的坐标为(x，y)， 动点 M(2t2，2t)，定点 M0(－1，0)，由中点的坐标公式得点 P 的
坐标为 xy＝＝2112（（0－＋12＋t）2t，2），即xy＝＝t－. 12＋t2，
抛物线的参数方程
题型一 抛物线参数方程的理解
例 1 写出圆锥曲线 y2＝4x 的参数方程． 解析：y2＝4x，令 x＝4t2，则 y＝4t. ∴参数方程为xy＝＝44tt2，(t 为参数)．
►变式训练 1．已知抛物线的参数方程为xy＝＝22pptt2，(t 为参数)，其中 p＞0， 焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF| ＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p＝________． 答案：2
则 yx＝＝88tt121＋＋22 88tt222＝＝44（（tt121＋＋tt222））.，∴kAP＝4（4（t21＋t1＋t22）t2）－1，
由 kMN＝kAP 知 t1t2＝－81， 又x＝4（t21＋t22），
y＝4（t1＋t2）， 则 y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝164x－14＝4(x－1)． ∴所求轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
解法二 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 M、N 在抛物线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy2＝8x 上知yy2221＝＝88xx21，， 两式相减得 y21－y22＝8(x1－x2)， 即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)， ∴xy11－－yx22＝y1＋8 y2＝kMN. 设线段 MN 的中点为 P(x，y)，
这就是点 P 的轨迹的参数方程，可化为普通方程 y2＝x＋21，这是以 x 轴为对称轴，顶点在－21，0的抛物线．
3 右图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物 线y2＝2px(p>0)上异于定点的两个动点，且 OA⊥OB于O，A，B在什么位置时，△AOB的面积 最小？最小值是多少？
点拨：利用抛物线的参数方程，将△AOB 的面积用其参数表示， 再利用均值不等式求最值．
当且仅当 t12＝t112，即 t1＝1，t2＝－1 或 t1＝－1，t2＝1 时， 等号成立． 所以 A，B 的坐标分别为(2p，2p)，(2p，－2p)或(2p，－2p)，(2p， 2p)时，△AOB 的面积最小，最小值为 4p2.