课时37圆的有关概念与性质

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圆的有关概念及性质

圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

圆的概念及性质 ppt课件

析
圆中”，而所谓“等圆”，是指圆心不同，但半径相等的
圆，如“面积相等”“周长相等”的两个圆都是等圆.正确
理解这两个概念是避免出现错误的关键.
28.1 圆的概念及性质
方 ■方法：利用圆的定义证明多点共圆问题（数形结合）
法
这类问题一般是给出一个圆和另一个几何图形，判断几
技
巧何图形上某些点是否在同一个圆上.解决此类问题时，可运
［答案］解：连接 OC，如图，∵CE=AO，OA=OC，
重
难
题 ∴OC=EC，∴ ∠E = ∠1，∴∠2 =∠E+∠1 =2∠E，
型 ∵OC=OD，∴∠D=∠2=2∠E，∵∠BOD=∠E+∠D，
突
破 ∴∠E+2∠E=75°，∴∠E=25°．
28.1 圆的概念及性质
变式衍生如图，OA 是⊙O 的半径，B 为 OA 上一点
重
难
题（且不与点 O，A 重合），过点 B 作 OA 的垂线交⊙O 于
型点 C．以 OB，BC 为边作矩形 OBCD，连接 BD．若 BD=10
突
破，BC=8，则 AB 的长为 ______.
4
28.1 圆的概念及性质
易 ■判断“等弧”忽略在“在同圆或等圆中”
错
例下列说法错误的是（
）
易
混
读
续表
优弧
大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的
ABC，读作“弧 ABC”）叫做优弧
弧
劣弧
图示
小于半圆的弧（如图中的AC，读作“弧
AC”）叫做劣弧
28.1 圆的概念及性质
考
点
清
单
解
读
续表
能够完全重合的两个圆叫做等圆

圆的概念及性质

圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（2）推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为．【例16】如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状．（2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是．【例34】如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于．【例43】如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒．现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=．其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值．图 4F EDC BA【例58】已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。

圆的有关概念及性质复习课件

可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
4、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理:一条弧所对的圆周角等于这弧所对的
圆心角的一半.
推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
90°的圆周角所对的弦是直径 .
直径所对的圆周角是直角 .
三、【基本能力练习】
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
二. 圆的基本性质
圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
．
1、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且
平分这条弦所对的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（） A．50°B．80° C．100°D．130°
五、【强化训练】
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在 CD的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）

圆的有关概念及性质PPT课件

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小，如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大，此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10，共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )

圆的有关概念及性质运用

1、圆的有关概念（1）圆的定义定义1在一个平面内，一条直线绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。

定义2圆是到定点的距离的定长的所有点组成的图形。

（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦。

（3）直径：直径是经过圆心的，是圆内最的弦。

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有之分，能够完全重合的弧叫做。

（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（6）同心圆：圆心相同的圆叫做同心圆。

2、圆的对称性（1）圆的对称性1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过的直线。

2）圆是中心对称图形，其对称中心是。

（2）垂径定理1）定理：垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的两条。

2）推论：平分弦（不是直径）的直径弦，并且弦所对的两条弧。

3）圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。

3、圆周角（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且都和圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。

2）推论①同弧或等弧所对的圆周角。

②半圆（或直径）所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是。

③圆内接四边形的对角。

规律总结：（1）在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将问题转化为解直角三角形的问题；（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。

【答案】1、相等，线段，弦，长，优弧、半圆、劣弧，等弧；2、圆心，圆心，平分，弧，垂直于，平分，相等；3、两边，一半，相等，直角，直径，互补。

【教法】采用讲述法，着重进行定理及推论的推导论证，将与之前所学知识相互联系。

【学法】勾画记录，对于不理解的定理，详细写出证明过程，与以前所学的相联系，分析运用了哪些知识。

例题精讲例1、如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°【解析】利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．例2、如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵点A是点A是劣弧的中点，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OB=OB=AB=6cm，∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故B正确；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正确；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧的中点，∴AB=BO=OC=CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选B．例3、如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为．【解析】作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．例4、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．【解答】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．例5、如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．【解析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13，∴PA===．（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因为AB为直径∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因为∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴ = ，又∵AB=13 AC=5 OP=，代入得ON=，∴AN=OA+ON=9∴在RT△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在RT△ANP中有PA===3∴PA=3．【教法】讲练结合，可先让学生说说自己的想法，再指出其中不足的地方，当没有思路时，适当地给出一些提示。

六年级圆的知识点难点

六年级圆的知识点难点圆是数学中的重要几何概念之一，也是六年级学生需要掌握和理解的内容之一。

本文将介绍六年级圆的知识点和难点，并解析相关例题，帮助学生更好地掌握这一知识。

一、圆的定义与性质圆是由平面上到定点距离相等的所有点组成的集合。

圆上的定点称为圆心，圆心到圆上任意一点的距离称为半径。

半径长度相等的圆称为相等半径圆。

半径作为圆的重要属性，决定了圆的大小。

圆的性质包括：1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等；2. 圆上的任意一条弦把圆分成两部分，而两部分弧长之和等于360°；3. 圆上的任意一点与圆心连线都与该圆相交，并且相交点处的线段长度等于半径长度。

二、圆的相关公式在解决和计算与圆相关的问题时，六年级学生需要了解一些与圆相关的公式。

1. 圆的周长公式圆的周长计算公式为：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

该公式的推导可以通过将圆展开成一条直线，然后利用直线的周长公式得到。

例如，给定一个半径为5cm的圆，其周长为：C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.4 cm。

2. 圆的面积公式圆的面积计算公式为：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

该公式的推导可以通过将圆展开成一个扇形，然后利用扇形的面积公式得到。

例如，给定一个半径为5cm的圆，其面积为：A = π × 5² = 25π ≈ 78.5 cm²。

三、圆的难点解析与例题分析在学习圆的过程中，六年级学生可能会遇到以下几个难点，下面将针对这些难点进行解析，并结合例题进行分析。

1. 圆的直径与半径的关系难点解析：六年级学生容易混淆圆的直径与半径的概念。

直径是连接圆上两点并经过圆心的线段，而半径是连接圆心与圆上一点的线段。

直径是半径的两倍。

例题分析：已知一个圆的半径为6cm, 求其直径的长度。

解析：根据直径与半径的关系，直径等于半径的两倍，所以直径的长度为2 × 6 = 12cm。

圆的基本概念与性质

圆的基本概念与性质圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的性质和特点。

本文将介绍圆的基本概念和性质，并以简明扼要的方式展示出来。

1. 圆的定义圆是由平面内到一个定点距离等于该定点到平面内所有点的距离的所有点组成的集合。

这个定点称为圆心，到圆心距离等于半径的线段称为半径，圆上的任一线段都等于半径的长度。

2. 圆的元素（1）圆心：圆心是圆的核心点，通常用大写字母O表示。

（2）半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，通常用小写字母r表示。

（3）直径：直径是通过圆心并且两端点处于圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，通常用小写字母d表示。

（4）弦：弦是圆上任意两点之间的线段。

（5）弧：弧是圆上两点之间的一段曲线。

3. 圆的性质（1）圆是由无数个点组成的闭合曲线。

（2）圆的直径是圆中最长的线段，且等于半径的两倍。

（3）圆的半径在圆上任一点都是垂直于切线的。

（4）圆上任意两条弦所对应的圆心角相等。

（5）切线与半径的夹角是直角。

（6）对于同一个圆，如果两条弧的夹角相等，则它们所对应的弦的长度也相等。

4. 圆的重要定理（1）圆的半径平分弦和弧。

（2）在圆上，两条弦和它们所夹的弧所对应的圆心角相等。

反之，两条弦所对应的圆心角相等，则它们所夹的弧也相等。

（3）在圆上，两条相等的弧所对应的圆心角也相等。

（4）在圆上，夹在同一弧上的两个圆心角互补（合为180度）。

（5）在圆内，夹在同一弧上的两个角互为补角（合为90度）。

总结圆作为几何学中基本的图形之一，具有许多重要的性质和定理。

通过对圆的基本概念的理解和对其性质的掌握，我们能更好地应用它们解决实际问题。

对于进一步学习几何学和进行相关研究，圆的基本概念与性质是必不可少的基础知识。

《圆的概念及性质》PPT教学课件

点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=OC=
OB=OD =

AC，

A
O

BD，AC=BD.

∴OA=OC=OB=OD.
D
B
C
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
例2 如图.
(1)请写出以点B为端点的劣弧及优弧；
(
(
(
(
B
D
劣弧：BF，BD, BC, BE.
称为☉O的半径.
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同圆的半径相等.
二、圆的对称性
1.什么是轴对称图形、中心对称图形?
2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
3.圆是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心是什么?
4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗?
劣
弧
半
圆
优
弧
能够互相重合的两段弧
半圆是特殊的弧
首先,小惠把绳子的一端固定在操场上
的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴
上一小段竹签,然后,小亮将绳子拉紧,
再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是
圆.
一、圆的概念
平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形,叫做圆,这个定点叫圆心,这条定长叫
做圆的半径.
如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径
的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也
28.1 圆的概念及性质
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）
2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等

初中数学：有关圆的概念及性质

初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。

垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。

圆的概念与性质

圆的概念与性质圆是几何学中的重要概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。

本文将从圆的定义、性质以及相关应用三个方面，对圆进行深入探讨。

一、圆的定义圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。

其中，距离恒定的两个点称为圆的中心和半径。

以此为基础，我们可以得出圆的一些重要定义和性质。

二、圆的性质1. 半径与直径的关系：直径是连接圆上两个点，并通过圆心的线段。

圆的直径是半径的两倍，即直径等于2倍半径。

2. 弧与弦的关系：弧是圆上的一段曲线，而弦是连接圆上两个点的线段。

对于相同的弧，弦越长，对应的圆心角就越大。

3. 弧度制：弧度制是一种用弧长来度量角度的单位制。

一圆周的弧度为2π，通常用符号“rad”表示。

4. 圆的面积：圆的面积由半径决定，可以通过公式A = πr²计算得到。

其中，π是一个常数，约等于3.14159。

5. 圆的周长：圆的周长也称为圆周，可以通过公式C = 2πr计算得到。

三、圆的应用圆作为几何学中的基础概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、工程等。

1. 数学应用：圆被广泛运用于解决几何问题，比如测量与计算圆的面积和周长，利用弧与弦的关系求解圆心角，以及在三角函数中的应用。

2. 物理应用：在物理学中，圆常用于描述物体的运动轨迹，如行星、卫星绕星球的轨道就是圆形或近似圆的。

此外，光的传播也符合圆的特性，如光的折射和反射。

3. 工程应用：圆形结构在工程设计中经常出现，比如建筑设计中的圆形柱、圆形桥梁等。

此外，在制造业中，如汽车制造和工业加工中，也需要利用圆的特性来完成各类工艺和设计。

总结：圆作为一个基本的几何概念，具有独特的定义和性质。

了解圆的概念和性质，有助于我们进一步理解几何学的其他相关知识，并将其应用于实际问题的解决。

无论是数学领域的计算，物理领域的运动描述，还是工程领域的设计应用，圆都扮演着重要的角色，为我们解决问题提供了有力的工具。

同时，深入理解圆的概念与性质，有助于我们更好地掌握几何学的基础知识，为未来的学习与应用打下坚实的基础。

圆的概念和性质

圆的参数方程：$x=a\cos\theta+b\sin\theta$，$y=b\cos\thetaa\sin\theta$，其中$(a,b)$为圆心，$\theta$为参数
单击此处添加标题
圆的直径：通过圆心且两端点在圆上的线段即为直径，直径等于半径的两倍
圆的度量单位
圆的周长与直径之比为常数，称为圆周率圆的直径是从圆的一侧到另一侧的最长距离圆的半径是从圆心到圆上任一点的线段长度圆周长的度量单位是周长与直径的比值，即π
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外切圆：两个圆有一个公共点，称为外切圆
相离圆：两个圆没有任何公共点，称为相离圆
圆和直线的位置关系
相交：直线与圆有且仅有一
个交点
相切：直线与圆有且仅有一
个公共点
相离：直线与圆没有公共点
相交弦定理：直线与圆相交时，过圆心作弦的垂线，垂足为弦的中点
圆的周长和面积
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圆上任一点到圆心的距离相等，这个距离称为圆的半径。
圆心是圆中所有点的中心点，也是圆的对称中心。
圆的形成
圆上三点确定一个圆
圆上所有点到定点（圆心）的距离相等
圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形圆是平面内所有点与一定点（圆心）的距离之和等于定值（直径）的点组成的图形
圆的基本性质
圆的对称性
圆关于任何直径对称圆关于任何经过中心的直线对称圆关于其本身对称圆关于其直径的中点对称
圆心和半径的性质
圆心性质：圆心到圆上任一点的距离相等
半径性质：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，长度相等

圆性质的概念

圆性质的概念圆是几何中的一个基本图形，在学习几何学时经常会接触到圆的相关知识。

圆具有很多独特的性质，这些性质是由圆的定义所决定的。

下面是圆的性质的概念。

首先，圆的定义是：在平面上，以一个固定的点为圆心，以一个固定的长度为半径，画出的所有点与圆心之间的距离都等于该半径的点的集合。

根据这个定义，我们可以得出圆的基本性质：圆的所有点到圆心的距离相等。

其次，圆的周长是其半径的长度乘以2π。

这个性质是通常所了解的，也是解决许多几何问题的关键。

第三，圆是对称的，这意味着它可以经过某个轴或中心对称而不改变形状。

当然，这只是对于圆心和轴的位置而言的。

如果圆的半径不同，则圆不具有该性质。

第四，圆的面积等于其半径的平方乘以π。

这个性质是通过将圆分成一些小部分并对它们进行计算得出的。

第五，两个圆相交的部分是一个切线平面上的部分。

这意味着它们在该平面上只有一点相交。

此外，如果两个圆不相交，则它们的距离是它们半径的差。

第六，如果一个点与圆心的距离等于圆的半径，则该点在圆上。

反之，如果一个点在圆上，则它到圆心的距离等于圆的半径。

这个性质十分重要，它可以在许多几何问题中得到应用。

第七，圆的切线与该点到圆心的半径垂直。

这意味着圆的切线的方向与圆心到该点的方向垂直。

第八，两条切线的交点在圆的直径上。

这个性质可以解决很多与圆有关的几何问题。

第九，圆的直径是通过圆心的线段，它的长度等于半径的长度的两倍。

这种性质十分重要，因为它给出了圆的周长与其半径之间的关系。

通过这个关系，我们可以计算出圆的周长和面积。

总之，圆的性质是几何学中的基础内容之一。

掌握圆的这些性质对于解决许多几何问题是非常重要的。

在学习几何学的过程中，这些性质也是必须掌握的知识点。

圆的基本概念和性质—知识讲解(基础)

圆的基本概念和性质—知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB ≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√②×③×④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．3．直角三角形的三个顶点在⊙O上，则圆心O在 .【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等.4．判断正误：有AB、CD，AB的长度为3cm, CD的长度为3cm，则AB与CD是等弧. 【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O中的优弧AmB，中的劣弧CD，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．（2016•呼伦贝尔校级一模）如图所示，三圆同心于O，AB=4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为cm2．【思路点拨】根据圆的对称性可得图中阴影部分的面积正好是圆的面积的阴影部分的面积应等于圆面积的．进而就可以求得．【答案与解析】解：阴影部分的面积应等于=圆=π（4÷2）2=πcm2．【总结升华】圆是轴对称图形，两条互相垂直的直径是这个圆的对称轴．注意把不同的部分转移到一个图形中作答．。