第24课时 圆的有关概念及性质
人教版九上数学第24章 圆 24.1.3 弧 弦 圆心角教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。
人教版九年级数学上第24章24.1圆的基本性质教案
圆基本性质1、圆的定义(1)圆的定义点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．(2)弦与直径①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．②直径：经过圆心弦，称为直径．（注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．）(3)弧、优弧、劣弧、半圆①弧：圆上任意两点问的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．②半圆．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．3、垂径定理及推理定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．4、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．6、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．二、重难点知识归纳重点：垂径定理、三组量之间的关系、圆周角定理．难点：以上定理的综合应用．三、典例剖析例1、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB=2DE，∠E=18°．求∠AOC的度数．例2、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．例3、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC距离为6cm，圆的半径为10cm．求腰AB的长．例4、要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h=8mm(如图)，求此小孔的直径d．例5、已知，如图，AD=BC．求证：AB=CD．例6、已知：如图，A点是半圆上一个三等份点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值是多少？例7、如图，半圆O的直径是AB，CF⊥AB，弦AC的垂直平分线交CF于点D，连结AD并延长AD交半圆O于点E，相等吗？请证明你的结论．例8、如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．例9、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连结DE．求证：DE=AB．课堂练习与作业：圆：1、已知，⊙O的半径为3cm，P是⊙O内一点，OP=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是______cm，最大距离是_________cm．2、如图，已知OA、OB是圆的两条半径，∠OAB=45°，OA=8cm，则AB=__________．3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=__________．4、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，分别以A、B为圆心，AC、BC为半径画弧，交斜边于E、F，则EF的长是__________．图2图3图4图65、平面直角坐标系中有一个点M（2，3），⊙M的半径为r，若⊙M上的点不全在第一象限内，则r的取值范围是（）A．r=2 B．r=3 C．r≥2 D．r≥36、如图，点C在以AB为直径的半圆上，O是圆心，连接OC，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．不能确定7、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式正确的是（）A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b ＞c＞a8、如图，BD、CE分别是△ABC的两条高，试说明点E、B、C、D四点在同一个圆上，并画出这个圆．9、如图所示，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3千米内的水域为危险区域．有一渔船误入与A距离2千米的B处．为了尽快驶离危险区域，该船应怎样航行？并说明理由．垂径定理：1、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是__________．2、如图，水平铺设的圆柱形排水管的截面半径是0.5m，其中水面宽为AB=0.6m，则水的最大深度为_____m．3、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=__________．4、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O 的半径是（）5、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm图1图2图3图4图65、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm6、如图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分 D．随点C的移动而移动7、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．8、离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米．问这条公路在免疫区内有多少千米？9、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．10、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．弧、弦、圆心角：1、如果⊙O的半径为R，则⊙O中60°的圆心角所对的弦长为_______，90°的圆心角所对的弦长为_____．2、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦DE∥AB，则AC与AE的大小关系是__________．3、如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE．则的大小关系是________．4、如图，在半径为2cm的⊙O内有长为的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）A．60°B．90° C．120° D．150°图2图3图4图55、如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确6、AD是⊙O的直径，弦AB、AC交于A点，且AD平分∠BOC，则下列结论不一定成立的是（）A．AB=AC B． C．AD⊥BC D．AB=BC9、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于D、E，求证：BD=DE=EC．10、已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦且∠DPB=∠EPB，求证：（1）CD=EF；（2）．圆周角：1、如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．2、如图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．3、如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．4、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．5、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．6、如图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B． C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC图1图2图3图4图5图6图77、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50° C．40°D．20°8、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．9、如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CN为⊙O的直径，CM⊥AB，交⊙O于M，点F 为的中点．求证：（1）；（2）CF平分∠NCM．10、如图（1），已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图（2），若∠A=60°，AB≠AC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．。
第二十四章《圆》复习课件
．r
O
S = nπr2
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2024/10/13
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
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5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
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a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
本 第1部分 圆的基本性质
章 第2部分 与圆有关的位置关系
安
排 第3部分 正多边形和圆
复 习
第4部分
弧长和面积的计算
内 容
第5部分
有关作图
2024/10/13
一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
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∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A．
A
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
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特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.3正多边形和圆》教学设计
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.3正多边形和圆》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.3正多边形和圆》的内容包括正多边形的定义、性质和圆的定义、性质。
本章节的目的是让学生理解正多边形和圆的关系，掌握正多边形的计算方法，以及了解圆的性质和应用。
本节课的教学内容是24.3正多边形和圆，主要包括正多边形的定义、性质和圆的定义、性质。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，对于图形的理解和计算能力有一定的基础。
但是，对于正多边形和圆的关系，以及圆的性质和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索正多边形和圆的性质，提高他们的空间想象能力和思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正多边形的定义、性质，理解圆的定义、性质，能够运用正多边形和圆的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质，圆的定义、性质。
2.难点：正多边形和圆的关系，圆的性质和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物、图片、几何画板等直观教具，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识和交流能力。
4.归纳总结法：引导学生通过总结归纳，形成系统的知识结构。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，包括图片、几何画板等直观教具。
2.教学素材：准备相关的实物、图片等教学素材。
3.教学用具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等教学用具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物、图片等教学素材，引导学生观察正多边形和圆的实例，激发学生的学习兴趣。
初中数学教材解读人教九年级上册第二十四章圆圆的有关性质PPT
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
(C )
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3 c m ，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( A.1cm B.2cm C. 5 cm
点.
连M和N并反向延长交圆于P和Q两点.
求证: PM=NQ.
A
PM HN Q
B
O
C
•例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E
为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求
2022年九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质第1课时教案新版新人教版
24.1圆的有关性质第1课时教学内容1．圆的有关概念．2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个．2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：问题1：图上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结．（1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形． 同时，我们又把①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．AC AC ABC AC BC④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到：（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，，，即直径CD 平分弦AB ，并且平分及． 这样，我们就得到下面的定理：下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，，.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BMAC BC =AD BD =AB ADB AC BC =AD BD =OA OBOM OM =⎧⎨=⎩B∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合． ∴，进一步，我们还可以得到结论：（本题的证明作为课后练习）例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O 是的圆心，其中CD=600m ，E 为上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m∵OE ⊥CD ∴CF=CD=×600=300（m ） 根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2即R 2=3002+（R-90）2解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ． 三、巩固练习 教材练习 四、应用拓展例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m 是否需要采取紧急措施，只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 解：不需要采取紧急措施设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324解得R=34（m ）连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16342=162+（34-x ）2162+342-68x+x 2=342 x 2-68x+256=0 解得x 1=4，x 2=64（不合设） ∴DE=4∴不需采取紧急措施．五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：1．圆的有关概念；AC BC AD BD AC BC =AD BD =CD CD CD 12122．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业1．教材复习巩固1、2、3． 2．车轮为什么是圆的呢？ 3．垂径定理推论的证明． 4．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题．1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（）．A ．CE=DEB ．C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD(1) (2) (3)2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．D ．PO=PD 二、填空题1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．(4) (5)2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______．3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题1．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM ⊥CD ，分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．BC BD =CAD BD =BC BA2．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC 的度数．答案:一、1．D 2．D 3．D二、1．8 2．8 10 3．AB=CD三、1．AN=BM 理由：过点O 作OE ⊥CD 于点E ，则CE=DE ，且CN ∥OE ∥DM ． ∴ON=OM ，∴OA-ON=OB-OM ，∴AN=BM ．2．过O 作OF ⊥CD 于F ，如右图所示 ∵AE=2，EB=6，∴OE=2，∴，OF=1，连结OD ，在Rt △ODF 中，42=12+DF 2，．3．（1）AC 、AD 在AB 的同旁，如右图所示:∵AB=16，AC=8，∴AC=（AB ），∴∠CAB=60°， 同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．（2）AC 、AD 在AB 的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．121212。
第24课 圆的基本性质
(2)由 CD＝83AB，可设 CD＝3x，AB＝8x， ∴FG＝CD＝3x. ∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x， ∴BG＝8x－3x－3x＝2x. ∵EG∥CF，∴BEEC＝BGGF＝23. ∵BE＝4，∴AC＝EC＝6，∴BC＝6＋4＝10， ∴AB＝ 102－62＝8＝8x，∴x＝1，∴AF＝3x＝3. 在 Rt△ ACF 中，∵AF＝3，AC＝6， ∴CF＝ 32＋62＝3 5， 即⊙O 的直径为 3 5.
⊙O 上的一个动点，且∠ABC＝45°.若 M，N 分别是
AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是
．
【答案】
52 2
图 24-6
题型一 点和圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在 圆内. 判断点与圆的位置关系主要是通过点到圆心的距 离与半径的比较．判断几个点是否在同一个圆上，主要是 看这几个点是否到某一点的距离都相等．
∴CCAE＝CCBA， ∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4， ∴CA＝2(负值舍去)． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ CA2＋CB2＝ 22＋42＝2 5， ∴⊙O 的半径为 5.
【类题演练 3】 (2019·株洲)如图 24-11，AB 为⊙O 的直 径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与 OB 相交于点 E，满足∠AEC＝65°，连结 AD，则∠BAD ＝______．
图 24-10
【解析】 (1)如解图，连结 OD． ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC． ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC． ∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，
︵︵ ∴AC＝CD. (2)如解图，连结 AC．
︵︵ ∵AC＝CD，∴∠CBA＝∠CAD． 又∵∠BCA＝∠ACE，∴△CBA∽△CAE，
第24章圆的垂径定理圆周角定理(教案)
-学会应用圆的垂径定理和圆周角定理来证明圆内接四边形的性质。
-能够计算弓形的面积，并理解其与圆心角的关系。
举例解释：
-圆的垂径定理：通过具体作图，演示如何通过一点作圆的切线，并证明此切线与通过该点的直径垂直。
-圆周角定理：通过实际测量和计算，让学生观察并理解圆周角与圆心角的关系。
关于小组讨论，我觉得在分组时要更加科学合理，尽量保证每个小组内都有不同水平的学生，以促进他们之间的相互学习和交流。在讨论过程中，我要注意观察每个小组的进展，及时给予指导和帮助，确保讨论能够顺利进行。
在课堂总结环节，我发现有些学生对所学知识点的掌握仍然不够扎实。为了加强学生的记忆，我决定在课后增加一道与圆的垂径定理和圆周角定理相关的巩固练习，让学生在练习中进一步巩固所学知识。
-圆内接四边形：通过构造图形，让学生直观感受四边形内接于圆时，对角线互相平分的性质。
-弓形计算：给出具体弓形的半径和圆心角，指导学生计算弓形的面积，并总结规律。
2.教学难点
-理解并掌握圆的垂径定理的证明过程，尤其是对于几何证明的逻辑推理。
-理解圆周角定理中，圆周角与圆心角的对应关系，以及在不同情况下如何应用定理。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对圆的垂径定理和圆周角定理的理解程度参差不齐。有些学生能够迅速掌握定理的要点，并能将其应用到实际问题中；而有些学生则在理解上存在一定的困难。针对这种情况，我认为在今后的教学中需要注意以下几点：
首先，对于定理的讲解，我需要更加生动形象，通过举例、图示等方法，让学生更直观地感受和理解定理的含义。同时，在讲解过程中，要注重引导学生积极参与，鼓励他们提问和思考，以提高课堂的互动性。
第24章圆的垂径定理圆周角定理（教案）
2024-2025学年沪科版初中数学九年级(下)教案第24章圆24.2圆的基本性质(第1课时)
第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：弧,弦,圆心角》
听课记录：2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：弧，弦，圆心角》教学目标（核心素养）1.知识与技能：理解弧、弦、圆心角的概念及其相互关系，掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”这一定理，并能应用于解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，培养学生的观察能力和逻辑思维能力，体验数学定理的发现与证明过程。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨的科学态度和探索精神，增强学习数学的自信心。
导入教师行为•在黑板上画出一个圆，并标出圆上的一些点、弦和圆心角。
•提问：“同学们，我们在圆中看到了哪些基本元素？它们之间可能存在怎样的关系呢？”•引导学生观察图形，鼓励他们提出自己的猜想和疑问。
学生活动•认真观察图形，尝试识别圆上的点、弦和圆心角等基本元素。
•思考并回答教师的提问，提出自己对弧、弦、圆心角之间关系的猜想。
过程点评•导入环节通过直观的图形展示和启发式的提问，有效地吸引了学生的注意力，激发了他们的探究欲望，为后续的学习做了良好的铺垫。
教学过程1.1 概念讲解与关系探索教师行为•明确弧、弦、圆心角的概念，通过图示和举例帮助学生理解。
•引导学生探索弧、弦、圆心角之间的关系，提出“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的猜想。
•讲解定理的证明过程，注意逻辑清晰，步骤详细，适时提问引导学生思考。
学生活动•认真听讲，理解弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
•积极参与讨论，尝试用自己的语言复述定理内容，并提出疑问和见解。
•跟随教师的思路理解证明过程，思考每一步的推理依据。
过程点评•通过概念讲解和关系探索，学生不仅掌握了弧、弦、圆心角的基本概念，还初步理解了它们之间的相互关系，为后续定理的学习打下了坚实的基础。
1.2 定理应用与练习教师行为•设计几道与定理相关的练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生独立完成。
•巡视学生的解题情况，给予必要的指导和帮助，特别是针对理解有困难的学生。
【单元一遍过】第二十四章 圆复习【过知识】数学九年级上册单元复习一遍过(人教版)
C
B
知识梳理
考点4 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半 径r比较得到. 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r d=r d＞r
点P在圆内； 点P在圆上； 点P在圆外.
【注意】点与圆的位置关系可以 转化为点到圆心的距离与半径之 间的关系；反过来，也可以通过 这种数量关系判断点与圆的位置 关系．
4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 . (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2 r . (3)圆锥的侧面积为 lr .
(4)圆锥的全面积为 lr r2 .
知识梳理
考点9 与圆有关的计算
5.圆内接正多边形的计算
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(1)正n边形的中心角为 n
半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的
·
三个点确定一个圆.
知识梳理 考点2 与圆有关的概念 9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接 各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个 圆是这个正多边形的外接圆. 10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
知识梳理
考点6 垂径定理及其推论 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的 两条弧 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中 的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条 弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
知识梳理
考点3 圆的有关性质
1.圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条__直__径___所在的直线都
2022秋九年级数学上册 第24章 圆24.1 圆的有关性质 3弧、弦、圆心角说课稿新人教版
24.1.3 《弧、弦、圆心角》说课稿教材分析：本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。
主要研究弧，弦，圆心角的关系。
教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。
在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。
同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。
教学目标分析：1、让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性.2、结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角.3、引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题.4、培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。
由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。
2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。
这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。
在最后小结时运用自学模式。
3．教学手段：学生动手，现场板演，多媒体辅助教学.教学过程分析：一、创设情景，引入新课1.看一看、思考（1）多媒体动态演示：平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？（2）多媒体动态演示：圆绕圆心O旋转180度后，你发现了什么？这两个问题设置是让学生感性认识，发现平行四边形和圆旋转180度后都能与自生重合，是中心对称图形。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 圆
24.1 圆的有关性质24.1.1 圆一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆.【情感态度与价值观】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.观察下列生活中的图片,找一找你所熟悉的图形.（出示课件2）观察漫画《骑车运动》,思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？（出示课件3）（二）探索新知探究一圆的定义教师问：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？（出示课件5）学生答：为了使游戏公平,在目标周围围成一个圆排队.因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.（出示课件6）教师演示画圆,学生观察画圆的过程,尝试说出圆是如何画出来的.（出示课件7）教师加以规范：圆的旋转定义（描述性定义）在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.有关概念：固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,一般用r表示．教师强调：确定一个圆的要素（出示课件8）一是圆心,圆心确定其位置；二是半径,半径确定其大小．教师出示同心圆等圆的定义：同心圆：圆心相同,半径不同；等圆：半径相同,圆心不同.出示课件9,10：师生共同探究深化认知：1.圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.2.（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长r．（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．3.圆的集合定义圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．出示课件11：教师通过课件演示,得到圆的基本性质：同圆半径相等.教师问：圆是一条曲线,还是一个曲面?（出示课件12）学生交流后回答：圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.出示课件13：例矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.学生独立思考后,师生共同解答如下：证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=OC,OB=OD.又∵AC=BD,∴OA=OB=OC=OD.∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.巩固练习：（出示课件14）如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.教师分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.学生解答：连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF（SAS）,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.探究二圆的有关概念弦（出示课件15）连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．教师强调：1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.出示课件16：通过课件演示,得出：直径是最长的弦.弧（出示课件17）圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的.优弧：大于半圆的弧叫做优弧.如图中的教师强调：劣弧用两个字母表示,优弧用三个字母表示.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.（出示课件18）教师强调：等圆是两个半径相等的圆.等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.教师问：长度相等的弧是等弧吗？（出示课件19）教师举例：如图,如果和的拉直长度都是10cm,平移并调整小圆的位置,是否能使这两条弧完全重合？教师演示课件后强调：两条弧不可能完全重合,实际上这两条弧弯曲程度不同,“等弧”要区别于“长度相等的弧”.师生共同深化认知：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.出示课件20：例1 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;劣弧：优弧：(2)请写出以点A为端点的弦及直径；弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.（3）请任选一条弦,写出这条弦所对的弧.答案不唯一,如：弦AF,它所对的弧是和.巩固练习：（出示课件21） 在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;③如图所围成的图形是半圆. 其中正确的命题有 .学生思考后独立解答：弧不但包括半圆,还包括优弧、劣弧,所以①正确,③不正确；弦包括经过圆心的弦(即直径)与不经过圆心的弦所以②不正确.出示课件22：例2 如图,MN 是半圆O 的直径,正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上,顶点B 、C 在直径MN 上.（1）求证：OB=OC.（2）设⊙O 的半径为10,则正方形ABCD 的边长为 .学生独立思考后,师生共同解答如下：解：（1）连接OA,OD,证明Rt ∆ABO ≌Rt ∆DCO.（2）设OB=x,则AB=2x,在Rt △ABO 中,222AB BO AO ,22210x x +=(2)即 解得：25x .巩固练习：（出示课件23）CD 为⊙O 的直径,∠EOD=72°,AE 交⊙O 于B,且AB=OC,则∠A=_______.图4D B ON M A C学生自主解决：∵OB=OC,AB=CO,∴AB=OB,∴∠A=∠BOA.又∵OB=OE,∴∠E=∠EBO,∵∠EBO=2∠A,∴∠E=2∠A,又∵∠EOD=∠E+∠A,∴3∠A=∠EOD,∵∠EOD=72°,∴∠A=24°.（三）课堂练习（出示课件24-30）1.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理2.如图,⊙O的半径为1,分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,为半径作圆,则图中阴影部分的面积为（）A．πB．0.5πC．0.25πD．2π3.填空：（1）______是圆中最长的弦,它是______的2倍．（2）图中有______条直径,______条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有______条,劣弧有______条．4.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,则这个圆的半径是______.5.判断下列说法的正误,并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.6.一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域．7.求证：直径是圆中最长的弦.参考答案：1.B2.B3.⑴直径；半径⑵一；二；四；四4.7cm或3cm5.⑴×⑵√⑶×⑷×⑸×⑹√⑺×6.解：如图所示：7.证明：如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,半径是r. CD是不同于AB的任意一条弦.连接OC、OD,则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.在△OCD中,OC+OD＞CD,∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.（四）课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义,弦（直径）,弧（半圆、优弧、劣弧、等弧）,等圆等知识点.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.1.2）的相关内容.七、课后作业1.教材81页练习1,2,3.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.。