圆的概念及性质

一、圆的相关概念1. 圆的定义（1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3. 圆心角和圆周角（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1. 旋转对称性（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． （2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，圆的概念及性质A注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2） 推论1： ①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( )（2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( ) （7）两个劣弧之和等于半圆( )D（8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B =B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为____________．【例3】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．图1图2ON MHGFE DCB A二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例4】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【巩固】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例5】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例6】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【巩固】如图，量角器外缘边上有A P Q，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（）A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【例7】如图，O⊙是ABC∆的外接圆，已知60B∠=︒，则CAO∠的度数是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒OA【巩固】如图，AB是O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC AD，，若35CAB∠=︒，则ADC∠的度数为．【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且32AD AC==，，则sin B的值是________．DCABCOA【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例9】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【巩固】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例10】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDCB A【例11】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为（ ）B.4D.5CA【巩固】如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠=︒=，，则O ⊙的半径为______cm ．【巩固】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD 的长．【例12】如图，ABC，重合)，△是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(点C不与A B 设OABα∠=，Cβ∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；【巩固】如图，O⊙分成度数比为12⊙相交于B、C两点，BC是P⊙与P⊙的直径，且把O∶的两条弧，A是BmC上的动点(不是B、C重合)，连结AB、AC分别交P⊙于D、E两点．（1）当ABC∆是钝角三角形时，判断PDE∆的形状．（2）当ABC∆是直角三角形时，判断PDE∆的形状．（3）当ABC∆是锐角三角形时，判断PDE∆的形状．这种情况加以证明．【例13】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D（如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABCD OS 1S 2【巩固】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CDPG FEDCBA【例14】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．B【巩固】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、．⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．B【例15】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．E DCBA【巩固】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB 上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例16】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【巩固】已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例17】 已知AD 是O ⊙的直经，AB AC 、是弦，若2AD AB AC ===，求由A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【巩固】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD 的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．CA【例18】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例19】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BCD【巩固】圆内接矩形CEDF，过D作圆的切线AB，分别与CE、CF的延长线相交于A、B，求证：33BF BCAE AC=．A3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例20】在同圆中，CD的度数小于180︒，且2=，那么弦AB和弦CD的大小关系为（）AB CDA．AB CD< D．无法确定= C．AB CD> B．AB CD【巩固】如图所示在O=，那么（）AB CD⊙中，2<> B.2AB CDAB CDA.2AB CD= D.AB与2CD的大小关系不能确定C.2【例21】已知AB AC∥交AC于P，求证：OP⊙于D，弦DE AB、是O⊙的弦，AD平分BAC∠交O平分APD∠．C【巩固】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴ BEC ADF =；⑵AM BN =．A【例22】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．dN cb aN【巩固】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例23】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根． ⑴ 求证：AE BD =；⑵若ACBC ⊥，求证：AD BD +．使得BFC BAD∠=∠．若2BAD DFC∠=∠，求BEDE的值．图 4FEDCBA【例24】已知：如图，D是Rt ABC∆中直角边BC上的一点，以BD为直径的圆交斜边AB于点E，连结EC交此圆于点F，BF交AC于点G．求证：GF CA CF EA⋅=⋅．【巩固】AB是半圆的直径，C点在圆上，过点A、B分别作过C点的切线的垂线AD、BE，D、E为垂足，求证：24=⋅．DE AD DEA三、垂径定理【例25】如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对【巩固】下列判断中正确的是（）A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦A ．80︒B ．50︒C ．40︒D ．20︒D【巩固】如图，ABC △内接于O ，点D 是CA 延长线上一点，若120BOC ∠=︒，则BAD ∠等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【例27】 如图，AB O ⊙是的直径，弦CD AB ⊥于E ，30CDB ∠=°，O ，则弦CD的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cmC ABOE D半径为2，则结论错误的是（ ）A ．AD DB = B ．AE EB =C ．1OD = D．ABE【例28】 如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【巩固】如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9【例29】 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．B 【巩固】如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C D、两点，42AB CD==，，AB的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．【例30】在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．【巩固】O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则O的半径长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【巩固】若O⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为，则O⊙的半径是_______．【例31】如图，已知O⊙的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度．【巩固】如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【例32】如图，O是等边三角形ABC的外接圆，O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）A BC．D．【巩固】如图所示，ABC∆中，10AB AC==，12BC=，求其外接圆的半径．CBA【例33】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米 B．8米 C．7米 D．DCBA【巩固】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽16cmAB=，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【例34】如图所示，在Rt ABC∆中90C∠=︒，AC1BC=，若以C为圆心、CB的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．PCBA【巩固】如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证AC BD =．DC B AO【例35】 在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、BAC ∠的度数为________．【巩固】如图所示，已知O ⊙的直径AB 和弦CD 相交于点E ，6cm AE =，2cm EB =，30BED ∠=︒，求CD 的长．BA【例36】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．【巩固】已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．图(4)图(3)图(2)图(1)【例37】 如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上．（1）若52AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．【巩固】如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC OC BC ，，．（1）求证：ACO BCD ∠=∠．（2）若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．B【例38】 如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．【巩固】如图，O ⊙中，AB 是直径，弦GE EF HF EF ⊥⊥，，GE HF 、交AB 于C D 、．求证：AC BD =．B【例39】 如图，AE CD ，是O 的两条直径，弦AB CD ⊥，BC DE ，交于点F ，求证：OF AB ∥．OF EDCBA【巩固】当AB CD ，是O 的直径，弦CF AP ∥，BF PD ，相交于点E ，求证：OE PA ∥．OPFEDCBA【例40】 如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B ，到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h -等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8B【巩固】如图，O 的直径15AB cm =，有一条定长为9cm 的动弦CD 在AmB 上滑动（点C 与A ，点D与点B不重合），且CE CD⊥交AB于E，DF CD⊥交AB于F．（1）求证：AE BF=．（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【例41】如图，半径为O⊙内有互相垂直的两条弦AB CD、相交于P点．（1）求证：PA PB PC PD⋅=⋅；（2）设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF AD⊥；（3）若86AB CD==，，求OP的长．B【巩固】如图，已知：在O中，直径4AB=，点E是OA上的任意一点，过E作弦CD AB⊥，点F是BC上一点，连接AF交CE于H连接AC CF BD OD，，，．（1）求证：ACH AFC △∽△；（2）猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S =△△？并加以说明．FB【例42】 （1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13． （2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是ABC △的面积的13．A【例43】 如图，AM 是O ⊙的直径，过O ⊙上一点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，其延长线交O ⊙于点C ，弦CD 交AM 于点E ．⑴ 如果CD AB ⊥，求证：EN NM =；⑵ 如果弦CD 交AB 于点F ，且CD AB =，求证：2CE EF ED =⋅ ．M【例44】 如图，Rt ABC ∆内接于O ⊙，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与O ⊙交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD 与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． ⑴判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；⑵求证：AE BF =；⑶若(32OG DE ⋅=，求O ⊙的面积．B1.如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．A2.如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3.如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒P4.如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒B ．40︒C ．30︒D ．50︒E 5.如图，已知AB为⊙O的直径，20∠=______．∠=︒，则CBEDBC∠=︒，50E6.如图，AB是O的直径，点C，D，E都在O上，若C D E∠∠∠，求A B==+∠∠．AB 7.如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若CD E∠∠∠，求A B==∠∠．+BA8.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．9.如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．B10.已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．11.已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．12.如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．PEC B A13.如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =求PC 的长．P DCBA14.如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．15.已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E 是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A16.如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB 等于 ．A ． 60° B． 90° C． 120° D． 150°mOBA17.如图所示，AB 是O 的直径，AD DE =，AE 与BD 交于点C ，则图中与BCE ∠相等的角有（ ）OEDCBAA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18.O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且3AB =，则弦AB 所对圆周角的度数为_____________．19.若O ⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为123，则O ⊙的半径是_______．20.如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥于D 交O ⊙于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD BD =B ．ACB AOE ∠=∠C ．AE BE =D ．OD DE =OED CB A21.O ⊙的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是__________．22.如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．OGFE B23.如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是AC 的中点，MN AB ⊥于N ，则MN 与AC 的关系是___________．ONMCA24.已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．25.把正ABC ∆的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点'A 上，若5BC =，则折痕在ABC ∆内的部分长为（ ）A ．B ．103C D ．5226.如图，O 的半径为5，BC OA OD AB ⊥⊥，，求22OD CD +的值．27.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD AB∥，且24mCD=，OE CD⊥于点E．已测得12 sin13DOE∠=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？BA28.如图，P为O⊙外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M N，分别是AB CD，的中点，连结MN交AB，CD与E F，．求证：PEF∆为等腰三角形．MD 29.如图，AD是O⊙的直径．⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3BB C 230.已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝．（1）求圆心O 到弦MN 的距离； （2）求∠ACM 的度数．AMNA31.如图，在O 中，60ACB BDC ∠=∠=︒，AC =．（1）求BAC ∠的度数；（2）求O的周长．D32.如图，AB是O⊙的直径，BC是弦，OD BC⊥于E，交BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若8⊙的半径．BC=，2ED=，求OD33.圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半．A34.如图，在O的内接ABCAD=，设O的半径⊥于D，且3AB AC△中，12+=，AD BC为y，AB的长为x．（1）求y与x的函数关系式．（2）当AB的长为多少时，O的面积最大？并求出O最大面积．。