圆的有关概念和性质
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的一个基本概念，在我们的日常生活中也经常出现。
对于圆的概念和性质，我们需要进行深入的探究。
本文将从圆的定义、圆的性质以及圆相关的计算方法等方面进行阐述。
一、圆的定义圆是由一个平面上的所有到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
这个固定点称为圆心，用O表示；到圆心距离相等的点与圆心之间的距离称为半径，用r表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意两点与圆心之间的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆的直径与半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度等于半径的两倍，即d=2r，其中d代表直径的长度。
2. 圆的周长圆的周长是圆周的长度，通常用C表示。
周长的计算公式为C=2πr，其中π是一个数学常数，取近似值3.14。
3. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的区域的大小，通常用A表示。
面积的计算公式为A=πr²，即圆的面积等于半径的平方乘以π。
4. 圆的弧长圆的弧长是圆周上一部分的长度，通常用L表示。
弧长的计算公式为L=2πr，其中r是弧所对应的半径，即弧长等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以周长。
5. 圆的扇形面积圆的扇形是由一个圆心角和与其所对应的弧组成的图形，通常用S 表示。
扇形的面积计算公式为S=πr²θ/360°，其中θ是圆心角的度数，r 是半径。
6. 圆的切线与法线圆上的切线是与圆周只有一个交点的直线，切线的斜率等于半径的斜率。
圆上的法线是与切线垂直，并通过圆心的直线。
三、圆的应用圆在日常生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 圆形运动：物体在圆周上做匀速运动时，我们可以利用圆的性质来计算物体的位移、速度、加速度等。
2. 圆的建筑：许多建筑设计中都会使用圆形的建筑物，比如圆形剧场、圆形广场等，给人以艺术美感。
3. 圆的通信：在无线通信中，天线辐射出的信号范围就是一个圆形的区域，我们可以通过圆的性质来计算信号的传播距离与强度。
初中数学知识归纳圆的概念及性质
初中数学知识归纳圆的概念及性质圆是初中数学中的一个重要概念，它具有独特的性质和应用。
本文将对圆的概念及其性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识点。
一、圆的定义与基本概念圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用符号表示为O(A,r)，其中O为圆心，A为圆上的任意一点，r为半径。
二、圆的性质1. 圆的直径圆上的任意两点连线，经过圆心，则称为圆的直径。
直径的长度是半径的两倍，用符号表示为d=2r。
2. 圆的弦圆上的任意两点连线，不经过圆心，则称为圆的弦。
圆的直径是一条特殊的弦，它同时也是最长的弦。
3. 圆的弧圆上的部分曲线，是由两个弦之间的交点所夹的部分，称为圆的弧。
同一个圆上的两个弧可以互补称为对称弧。
4. 圆的周长圆的周长是圆上所有点与圆心的距离之和，也就是圆的一周的长度。
圆的周长公式为C=2πr，其中π取约等于3.14。
5. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心的距离之和，也就是圆所围成的区域的大小。
圆的面积公式为A=πr²。
6. 圆的切线与切点从圆外一点引一条直线与圆相交，该直线在圆上的切点和与圆相切的直线称为圆的切线。
7. 圆的切圆两个圆相切于一点，称为圆的切圆。
8. 圆的切线定理如果一条直线与一个圆相切，那么与这条直线相垂直的半径也是与这条直线相切的。
9. 圆的相交性质两个圆相交于两个点，这两个点到各自的圆心的距离相等，且此两点不在任一圆内部。
10. 弧长与弧度圆的弧长是指圆心角所对应的弧的长度。
弧度是表示弧长与半径之比，记作θ，弧度大小等于圆心角大小的弧长除以半径，即θ=弧长/半径。
11. 弧长公式圆的弧长公式为L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的大小（弧度制），r表示半径。
12. 扇形的面积公式扇形是由圆心角和半径所夹的弧围成的区域，扇形的面积公式为S=1/2θr²，其中S表示扇形的面积。
圆的有关概念及性质
①形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫，线段OA叫做．②描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合．定点叫，定长叫．（1）弦：连结圆上任意两点的叫做弦．（2）弧：圆上任意两点间的叫做弧，大于半圆的弧叫，小于半圆的弧叫．（3）弦心距：到的距离．（4）等圆：相等的圆叫等圆，半径和圆心都相同的圆叫．（5）等弧：在中，能够的弧叫．（6）同心圆：圆心，半径的两个圆叫同心圆．①圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角．②圆周角定义：顶点在，并且两边都和圆的角叫圆周角．①轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴．②中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是．圆具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都与原来的图形重合．垂直于弦的直径，并且平分弦所对的．①垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：I、过圆心；II、垂直于弦；III平分弦；IV、平分弦所对的优弧；V、平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用．②圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线．BOCA DAB CO ⋅⋅⋅⋅M⋅DOCBA在中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弧所对的弦、弦心距中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的．推论1.在同圆或等圆中，如果两个圆周角，那么它们所对的弧．推论2.半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是．【名师提醒】：作直径所对的圆周角是直角是圆中常作的辅助线．①圆内接四边形的对角；②圆内接四边形的任意一个外角等于它的．例1：如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD例2：如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为．例3：如图3，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=32，0C=1，则半径OB的长为．例4：如图4，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．例5：如图5，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．图4⋅OFDCEBA图5FAB CO ⋅⋅⋅⋅EAB C图6OO ⋅AB CD图7图1 图2图3BDBC=例6：如图6，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且8==CD AB ， 则OP 的长为 ．例7：如图7，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧上一点，则APB ∠的度数为（ ）例8：如图8，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AC OD ⊥，垂足为E ，连结BD ，032=∠A ，则=∠CBD ．例9：如图9，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OB OA ⊥，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为 ．例10：如图10，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ．060=∠BAD ，则B CD ∠的度数为 ． 例11：如图11，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，060=∠B ，0100=∠BOD ，则C ∠的度数为 ．例12：如图12，在半径为5的⊙O 中，弦6=AB ，点C 是优弧AB 上一点（不与A ，B 重合）， 则cosC 的值为．例13：如图13，四边形ABCD 内接于⊙Ｏ，0110=∠C ，则=∠A,BOD ∠= .AMB 图9图10图11图6图4图5图8图7例14：如图14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，∠1=∠C 若BC=4，32sin =M ，则⊙O 的直径AB 的长是 ．例15：如图15，△ABC 内接于⊙O ，AB 、CD 为⊙O 直径，DE ⊥AB 于点E ，sinA=12， 则∠D 的度数是 ．例16：如图16，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，OP ⊥AC 于点P ，OP=32，则⊙O 的半径为 ． 例17：如图17，△ABC 中，BC=3，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，若D 是AC 中点，∠ABC=120°． 则（1）∠ACB 的度数是 ．（2）点A 到直线BC 的距离是 ．例18：如图18，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，030=∠A ，CE 平分ACB ∠交⊙O 于E ，交AB 于点D ，连结BE ，则=∆∆CD A BD E S S : .例19：如图19，AD 是ABC ∆的高，AE 是ABC ∆的外接圆⊙O 的直径，24=AB ，5=AC ，4=AD ，则的直径=AE ．例20：如图20，以ABC ∆的边BC 为直径的⊙O ，点A 在⊙O 上，过点A 作BC AD ⊥于D ，53cos =∠CAD ，4=AB，则=AC . 图15图16图17CBAO图20ED∙AEO B DC 图18D ABC图19∙O图12图14⋅ABC图13D O例21：⊙O 的半径为17cm ，弦CD AB //，cm AB 30=，cm CD 16=，则AB 与CD 之间的距离是 .。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。
一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。
所有半径的长度都相等。
2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。
3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。
弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。
4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。
一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。
角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。
5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。
6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。
7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。
8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。
9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。
圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。
三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。
2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。
3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。
4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。
总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。
圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。
对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。
圆的概念和性质
圆的概念和性质圆是我们数学中重要的几何概念之一，广泛应用于各个领域。
无论是日常生活中的测量、建筑设计，还是工程技术、科学研究中的模型和计算，都离不开圆的概念和性质。
本文将从圆的定义、常见性质以及应用等方面进行详细的探讨。
一、圆的定义圆可以定义为平面上一组到一个定点的距离都相等的点的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
以圆心为中心、以半径为半径的线段称为圆的半径。
圆内的任意两点到圆心的距离都小于半径，而圆外的任意一点到圆心的距离都大于半径。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
直径是圆中最长的线段，并且它的长度等于半径的两倍。
2. 圆的周长圆的周长是圆上一周的长度，也称为圆周。
圆周的长度可以通过圆的直径或者半径与圆周率之间的关系来计算。
根据定义，圆周的长度等于直径乘以π(圆周率)。
3. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心之间的连线围成的区域。
圆的面积也是通过圆的半径与圆周率之间的关系来计算。
根据定义，圆的面积等于半径平方乘以π。
4. 圆的切点两个圆相切时，它们有一个共同的切点。
切点是两个圆相切时，位于两个圆的切线上的点。
5. 圆的切线圆的切线是与圆只有一个公共点的直线。
圆的切线与半径垂直，并且切线的斜率等于半径与圆心连线的斜率的相反数。
三、圆的应用1. 圆在日常生活中的应用圆在日常生活中有很多应用，比如钟表中的表盘、轮胎的设计、圆桌的使用等。
同时，圆的性质也可以用来解决一些实际问题，比如判断一个物体是否能通过一个洞的尺寸、计算环形花坛的面积等。
2. 圆在几何图形中的应用圆在几何图形中也有广泛的应用。
例如，圆可以用来构造其他几何图形，比如正多边形、扇形、圆锥等。
同时，圆也可以与其他几何图形相交，形成复杂的图形结构。
3. 圆在科学与工程中的应用圆的概念和性质在科学与工程领域中也有重要的作用。
例如，在物理学中，圆的运动轨迹和碰撞规律可以用来描述天体运动、粒子动力学等现象。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何中的一种基本图形，具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本概念和性质，探讨其在数学和日常生活中的应用。
一、圆的基本概念圆是由一个平面内距离中心固定点相等的所有点构成的集合。
其中，固定点称为圆心，距离圆心的长度称为半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是连接圆上任意两点，并通过圆心的线段。
直径的长度等于圆半径的2倍。
2. 圆的周长圆的周长是指圆上任意两点之间的距离，也可以理解为圆的边界长度。
周长的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
3. 圆的面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域。
面积的计算公式为A=πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
4. 弧圆上两点之间的部分称为圆弧。
弧对应的圆心角等于弧所夹的圆心角。
5. 弦圆上连接两点的线段称为弦。
如果弦通过圆心，则称为直径。
否则，称为弦。
6. 切线与圆相切且仅有一个切点的直线称为圆的切线。
切线与半径垂直。
7. 弦切角圆的内部一点与两条相交弦之间的角称为弦切角。
同弧切角相等。
三、圆的应用圆的概念和性质在数学中有广泛应用，也在日常生活中有所体现。
以下为几个常见的应用场景：1. 几何图形圆是许多其他几何图形的基础，例如圆柱体、圆锥体和圆环等。
了解圆的概念和性质，有助于我们更好地理解和应用这些几何图形。
2. 建筑设计在建筑设计中，圆形结构常常被运用。
圆形的建筑物可以提供良好的结构稳定性和美观性。
例如，圆形拱门和圆顶常常用于教堂和宫殿等建筑中。
3. 工程测量圆的性质在工程测量中有重要的应用。
通过测量圆的半径或直径，可以计算出工程中需要的其他参数，如周长、面积和体积。
4. 自然现象许多自然现象中都存在圆形，例如太阳、月亮、风旋涡等。
理解圆的概念和性质，有助于我们更好地解释和研究这些自然现象。
结语圆是几何学中的基本概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。
通过了解圆的基本概念和性质，我们能够更好地理解几何学知识，并将其应用于实际生活中。
初中数学知识归纳圆的概念和性质
初中数学知识归纳圆的概念和性质圆是初中数学中的一个重要概念，它有许多独特的性质。
下面将对圆的概念和性质进行归纳。
一、圆的概念圆是由平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
固定点叫做圆心，等距离叫做半径。
圆可以用圆心和半径表示，通常表示为∠O(r)，其中O表示圆心，r表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点的距离都相等。
即圆上的任意两点A和B，都有AB = r，其中r为圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点间的最大距离。
直径d等于半径的两倍，即d = 2r。
3. 相交弧：圆上的两条弧如果有一个公共点，则称它们为相交弧。
4. 弧度：圆心角对应的弧长与圆的半径的比值叫做弧度。
常用弧度符号表示为θ。
5. 弧长：圆周上任意两点间的弧长等于该圆心角的弧度数乘以圆的半径。
即L = θr。
三、圆的相关公式1. 圆的面积公式：S = π * r²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
π是一个常数，约等于3.14。
2. 圆的周长公式：C = 2π * r，其中C表示圆的周长，r表示半径。
3. 弓形的面积公式：A = 1/2 * θ * r²，其中A表示弓形的面积，θ表示圆心角的弧度数，r表示半径。
4. 弦与弦的关系公式：如果两条弦相交，且其中一条被另一条平分，则两条弦的乘积等于交叉部分之间的弦的乘积。
即AB * CD = BC * AD。
四、圆的常见问题类型1. 判断关系：判断两个图形是否为圆，判断是否为同心圆等。
2. 计算问题：根据已知条件计算圆的面积、周长等。
3. 推理问题：利用圆的性质进行推理，解决几何问题。
4. 证明问题：根据已知条件进行推导，证明一个几何命题。
5. 应用问题：将圆的概念和性质应用于生活实际，解决实际问题。
五、常见解题思路1. 利用定义：根据圆的定义进行判断或运用相关公式进行计算。
2. 运用性质：根据圆的性质推导出结论，解决几何问题。
3. 运用变换：将圆的问题转化为其他图形的问题，通过转换求解。
圆的概念及性质
圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】 如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】 如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】 已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】 如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为 ．【例16】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（ ） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】 如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】 两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】 如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状． （2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】 已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【例34】 如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例43】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】 已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】 圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】 在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值． 图 4F EDC BA【例58】 已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的形状和性质。
本文将对圆的基本概念和一些重要性质进行详细介绍。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点一定距离的所有点组成的集合。
这个固定点被称为圆心，而这个距离被称为半径。
二、圆的常用符号在几何学中，圆常用符号“O”表示圆心，用字母“r”表示半径。
因此，一个圆可以用符号“O(r)”表示。
三、圆的性质1. 圆的对称性由于圆的定义是以一个固定点为中心，所有距离这个点相等的点的集合，因此圆具有天然的对称性。
任意一条直径将圆分成两个等边的半圆，半圆上的所有点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径、半径和弦在圆中，直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段；半径是从圆心到圆上的任意一点的线段，它等于圆的半径；弦是圆上连接两个点的线段，不经过圆心。
3. 圆的周长和面积圆的周长定义为圆上的一条完整弧所对应的长度，可以用公式C =2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。
圆的面积定义为圆内所有点所组成的区域的大小，可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。
4. 圆的切线和法线圆上的切线是与圆相切的直线，它只与圆在切点相交。
切线与半径构成的夹角为90度。
法线是与切线垂直的直线，它通过切点并与切线垂直相交。
5. 圆的弧度制和度数制圆的弧度制是一种用弧长比半径的面度来度量角度的方式。
一个圆的弧长等于半径的弧度数。
度数制是人们常见的度量角度的方式，一个圆被等分为360度，1度等于圆的1/360。
四、圆的相关定理和应用1. 圆上的三角形圆上的三角形是指三个顶点都在圆上的三角形。
它有很多特殊性质，如圆上的两条弧所对应的角相等，半径与割线所包围的弧所对应的角相等等。
2. 切线定理和切割定理切线定理指的是切线与半径的关系，即切线的平方等于切点处外切圆的半径与切点到圆心的距离之积。
切割定理指的是弦分割定理和切线分割定理，它们描述了切线和弦所分割的弧长和线段之间的关系。
高中-圆的有关概念和性质
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
圆的有关概念及性质
圆得有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆得定义及性质:1、圆得定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成得图形叫做圆,固定得端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆就是到定点得距离等于得点得集合2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点得叫做弦弧:圆上任意两点间得叫做弧,弧可分为、、三类3、圆得对称性:⑴轴对称性:圆就是轴对称图形,有条对称轴, 得直线都就是它得对称轴⑵中心对称性:圆就是中心对称图形,对称中心就是【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆得半径决定圆得2、直径就是圆中得弦,弦不一定就是直径;3、圆不仅就是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来得图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦得直径,并且平分弦所对得。
2、推论:平分弦( )得直径,并且平分弦所对得。
【提醒:1、垂径定理及其推论实质就是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对得优弧⑸平分弦所对得劣弧五个条件中得两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中得灵活运用2、圆中常作得辅助线就是过圆心作弦得线(即弦心距)。
3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d与弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间得关系:1、圆心角定义:顶点在得角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应得其余各组量也分别【提醒:注意:该定理得前提条件就是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都与圆得角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对得圆周角都等于这条弧所对得圆心角得推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对得弧推论2、半圆(或直弦)所对得圆周角就是,900得圆周角所对得弦就是【提醒:1、在圆中,一条弦所对得圆心角只有一个,而它所对得圆周角有个,就是类,它们得关系就是,2、作直径所对得圆周角就是圆中常作得辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形得所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质。
本文将详细介绍圆的基本概念以及一些常见的性质，以帮助读者更好理解和掌握圆这一几何形状。
一、圆的定义圆是由平面内与一定点之间的距离都相等的所有点的集合构成的几何图形。
二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点。
通常用字母O 表示圆心。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，两个端点在圆上。
直径的长度是半径的两倍，即d=2r。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，通常用字母C表示。
由于圆上任意两点之间的距离都是一样的，所以圆的周长可由半径或直径表示。
周长公式为：C=2πr或C=πd。
2. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。
用字母A表示。
根据圆的性质，圆的面积可由半径或直径表示。
面积公式为：A=πr²或A=π(d/2)²。
3. 圆的弧长：圆的弧是圆上两点之间的一段弧，圆弧长度即为弧长。
弧长与圆心角的大小有关，公式为：L=2πr × (θ/360°)，其中θ为圆心角的度数。
4. 圆的扇形面积：扇形是由圆心、圆上两点以及与圆心连线的弧所围成的图形。
扇形的面积是圆的一部分面积。
扇形面积与圆心角的大小有关，公式为：S=πr² × (θ/360°)。
5. 圆的切线：切线是与圆相切且仅切于圆上一个点的直线。
切线与半径垂直，相切点就是切线与圆的唯一公共点。
6. 圆的切点：切点是切线与圆相交的点。
由于切线仅与圆相交于一个点，所以切点也是圆上的唯一点。
7. 圆的弦：弦是圆上两点之间的线段。
弦的长度可以小于、等于或大于直径。
直径是弦的特殊情况，即直径是连接圆上任意两点的弦。
8. 圆与直线的关系：直线可以与圆有三种不同的关系：相离、相切和相交。
如果直线与圆没有相交点,则称直线与圆相离；如果直线只有一个切点,则称直线与圆相切；如果直线与圆有两个相交点,则称直线与圆相交。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中常见的一个基本图形，有着丰富的性质和应用。
本文将为您介绍圆的概念、性质以及在实际生活中的应用。
一、圆的概念圆是由平面中与一个确定点距离相等的所有点组成的集合。
该确定点称为圆心，与圆心距离相等的距离称为半径。
以圆心为原点，以半径长度为半轴的线段构成的曲线称为圆的周长，用C表示。
圆的周长与直径的比值称为圆周率，用π表示，其值约为3.14159。
二、圆的性质1. 圆的内外点关系：圆内的任意点到圆心的距离小于半径，而圆外的任意点到圆心的距离大于半径。
2. 圆的直径与半径：直径是连接圆上两个点且经过圆心的线段，它的长度是半径的两倍。
3. 圆的切线与半径：切线是与圆仅有一个交点的直线，该交点与圆心连线垂直。
切线与半径的关系是垂直关系。
4. 圆的弦与半径：弦是圆上任意两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直。
弦和半径的关系是垂直关系。
5. 圆的弧与扇形：圆的弧是两个端点在圆上的弧线，可以用弧长来表示。
扇形是由圆心、圆上的两个点以及所对应的圆心角组成的区域。
6. 圆的面积：圆的面积可以用半径或者直径来计算，其公式为πr²或者π(d/2)²，其中r为半径，d为直径。
三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 圆的运动轨迹：许多自然界中的运动都以圆形轨迹进行，比如行星绕太阳的轨道以及地球自转产生的地球日等。
2. 圆形建筑物：圆形的建筑物在设计上具有良好的稳定性和视觉效果，比如宫殿中的圆形大厅、圆形会议室等。
3. 轮胎和车轮：轮胎和车轮的形状往往为圆形，这是为了减少摩擦力，提高行驶的平稳性。
4. 交通信号灯：交通信号灯上的圆形灯表示停止，该形状的选择是因为圆形视觉上相对于其他形状更容易辨认和传达信息。
综上所述，圆作为几何学中的一个基本图形，具有独特的概念和性质。
了解圆的性质和应用能够帮助我们更好地理解几何学知识并应用于实际生活中。
无论是在设计、建筑还是科学研究领域，对圆的理解和运用都起着重要的作用。
小学数学点知识归纳圆的概念与性质
小学数学点知识归纳圆的概念与性质圆是小学数学中重要的几何概念之一，它具有一些独特的性质。
下面我们将对圆的概念和性质进行归纳和解释。
一、圆的概念圆是由平面上所有离一个固定点相等距离的点所组成的图形。
固定点称为圆心，相等距离称为圆的半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上所有点到圆心的距离都相等，所以圆的半径是固定的。
2. 圆上任意两点的距离等于半径的长度：取圆上两点A和B，连接圆心O与点A、B，得到线段OA和OB。
根据定义，OA和OB的长度等于半径的长度，即|OA|=|OB|。
3. 圆的直径：圆上通过圆心的两个相对点，称为圆的直径。
直径的长度是半径长度的两倍，即直径=2*半径。
4. 圆的周长：圆的周长是指围绕圆的一段线段的长度。
根据定义，圆的周长等于直径长度乘以圆周率π。
即周长=直径*π。
5. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小。
根据定义，圆的面积等于半径的平方乘以圆周率π的值的一半。
即面积=半径^2*π。
6. 切线：过圆上一点且垂直于半径的直线称为圆的切线。
切线的特点是与圆只有一个交点。
7. 弦：连接圆上两点的线段称为圆的弦。
圆的直径是最长的弦。
8. 弧：圆上的弧是指圆上两点间的一段曲线。
9. 弧长：圆的弧长是指圆上弧的长度。
根据定义，弧长等于弧所对的圆心角的度数/360度再乘以圆的周长。
以上是关于圆的概念和性质的简单归纳。
理解并掌握这些基本知识，对小学数学学习和几何问题的解决会有很大帮助。
希望本文能够对你有所启发。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是初等几何学中的基本图形之一，它具有独特的几何性质和重要的应用价值。
本文将介绍圆的概念和性质，并探讨它在现实生活中的应用。
一、圆的概念圆是由平面上的一点到另一点距离不变的点集合。
其中，确定圆的两个点是圆心和圆上的任意一点，圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径。
用数学符号表示，圆可以写为O(A,r)，其中O表示圆心，A 表示圆上的一点，r表示圆的半径。
二、圆的性质1. 圆周与圆心之间的关系：圆周上的点与圆心的距离都相等，即圆周上的任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径和半径：圆的直径是通过圆心，并且两端点同时在圆周上的线段，直径的长度是半径的两倍。
即d = 2r。
3. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆周的长度，记为C，可以通过公式C = 2πr计算得到。
其中，π是一个常数，约等于3.14159，它代表圆周率。
圆的面积是指圆内部的所有点的集合，记为S，可以通过公式S = πr²计算得到。
4. 弧、弦和扇形：圆周上的弧是由两个点确定的圆上的一段弧线，弧的长度与圆的周长成比例。
圆上两点间的线段称为弦，弦的长度小于或等于直径。
圆周上通过圆心的两条弦将圆分成了两个部分，每个部分叫做扇形。
扇形的面积由圆心角的大小决定。
5. 切线和切点：圆周上的一条直线称为圆的切线，切线与半径的夹角为90度，也就是说切线垂直于半径。
切点是切线与圆的交点，一个圆可能有多个切点。
三、圆的应用圆作为一种基本的几何形状，在现实生活中有许多应用，以下介绍几个常见的例子：1. 圆形建筑和雕塑：圆形的建筑和雕塑在城市的景观中非常常见，如圆形剧场、罗马竞技场等。
圆形的外形能够给人以稳定和和谐的感觉。
2. 车轮和飞盘：车轮和飞盘都是圆形的，这是因为圆形对于旋转和滚动更加稳定和效果好。
车轮的直径也决定了车辆的速度和行驶稳定性。
3. 钟表和指南针：许多钟表面和指南针刻度都是圆形的，便于阅读时间和方向。
钟表的指针也是围绕圆盘转动。
30圆的有关概念及性质
温馨提示： 1.圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角 联系在一起. 2.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆 周角相等或互补. 3.半圆所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弧 是半圆. 4.已知条件中如果有直径时，常常作直径所对的圆 周角，这是圆中常添加的辅助线.
考点五 圆的性质的应用 1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心 距)，则垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角 三角形来达到求解的目的
3.①过圆心；②平分弦；③垂直于弦；④平分弦 所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.若一条直线具备 这五项中任意两项，则必具备另外三项，其中由① 、②得③、④、⑤时，被平分的弦不是直径.
考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． 2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等； (2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心 距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都 成立．
30°，⊙O 的半径为 3 cm，则弦 CD 的长为( B )
A.32 cm
B．3 cm
C．2 3 cm
D．9 cm
4．如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6，那么 BD＝_3___3_.
6. 如图，在⊙O 中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2 3 cm. (1)求∠BAC 的度数； (2)求⊙O 的周长．
A．2 B．3 C. 3 D．2 3
10．(2011·海南)如图，在以AB为直径的半圆O中，
C是它的中点，若AC＝2，则△ABC的面积是( B )
初中数学：有关圆的概念及性质
初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中的重要概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将从圆的定义、性质以及相关应用三个方面，对圆进行深入探讨。
一、圆的定义圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
其中，距离恒定的两个点称为圆的中心和半径。
以此为基础，我们可以得出圆的一些重要定义和性质。
二、圆的性质1. 半径与直径的关系：直径是连接圆上两个点，并通过圆心的线段。
圆的直径是半径的两倍，即直径等于2倍半径。
2. 弧与弦的关系：弧是圆上的一段曲线，而弦是连接圆上两个点的线段。
对于相同的弧，弦越长，对应的圆心角就越大。
3. 弧度制：弧度制是一种用弧长来度量角度的单位制。
一圆周的弧度为2π，通常用符号“rad”表示。
4. 圆的面积：圆的面积由半径决定，可以通过公式A = πr²计算得到。
其中，π是一个常数，约等于3.14159。
5. 圆的周长：圆的周长也称为圆周，可以通过公式C = 2πr计算得到。
三、圆的应用圆作为几何学中的基础概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、工程等。
1. 数学应用：圆被广泛运用于解决几何问题，比如测量与计算圆的面积和周长，利用弧与弦的关系求解圆心角，以及在三角函数中的应用。
2. 物理应用：在物理学中，圆常用于描述物体的运动轨迹，如行星、卫星绕星球的轨道就是圆形或近似圆的。
此外，光的传播也符合圆的特性，如光的折射和反射。
3. 工程应用：圆形结构在工程设计中经常出现，比如建筑设计中的圆形柱、圆形桥梁等。
此外，在制造业中，如汽车制造和工业加工中，也需要利用圆的特性来完成各类工艺和设计。
总结：圆作为一个基本的几何概念，具有独特的定义和性质。
了解圆的概念和性质，有助于我们进一步理解几何学的其他相关知识，并将其应用于实际问题的解决。
无论是数学领域的计算，物理领域的运动描述，还是工程领域的设计应用，圆都扮演着重要的角色，为我们解决问题提供了有力的工具。
同时，深入理解圆的概念与性质，有助于我们更好地掌握几何学的基础知识，为未来的学习与应用打下坚实的基础。
圆全部知识点
圆全部知识点圆是数学中的重要概念，广泛应用于几何学、物理学等领域。
本文将逐步介绍圆的定义、性质、相关定理，并探讨其在实际生活中的应用。
一、圆的定义圆是由平面上到一点的距离恒定的所有点的集合。
这个恒定的距离被称为半径，用字母r表示。
圆心是到圆上任意一点的距离恒定的点，通常用字母O表示。
二、圆的性质1.圆的直径：通过圆心的任意两点构成的线段称为圆的直径，记作d。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍，即d = 2r。
2.圆的周长：圆的周长是指围绕圆的一条线段的长度，通常用字母C表示。
根据圆的性质，周长可以用公式C = 2πr计算，其中π是一个常数，约等于3.14159。
3.圆的面积：圆的面积是指圆所占据的平面的大小，用字母A表示。
根据圆的性质，面积可以用公式A = πr²计算。
4.圆的弧长：圆上两点之间的弧长是指连接这两点的圆弧的长度。
弧长可以用圆的半径r和夹角θ计算，公式为L = rθ，其中θ用弧度表示。
三、圆的相关定理1.弧长定理：弧长L与圆心角θ的关系可以用公式L = rθ表示。
2.弧度定理：角度θ与弧度的关系可以用公式θ = L / r表示。
3.切线定理：过圆外一点的切线与半径的关系是垂直。
切线与半径的夹角等于该切点所对应的弧的一半。
4.弦切角定理：一条弦与切线所夹的角等于弦所对应的圆心角的一半。
四、圆的应用圆的应用非常广泛，以下是一些实际生活中的例子：1.圆形建筑物：许多建筑物采用圆形设计，如剧院、球场等。
圆形结构能够为人们提供更好的视野和空间感。
2.轮胎：汽车、自行车等交通工具的轮胎一般采用圆形设计。
圆形轮胎能够提供更好的平衡和行驶稳定性。
3.圆形运动场：许多体育运动需要在圆形运动场上进行，如足球、篮球等。
圆形运动场能够提供更好的比赛体验和公平性。
4.圆形碗具：许多碗具、盘子等餐具采用圆形设计。
圆形碗具能够更好地容纳食物和提供更好的使用体验。
总结本文通过逐步介绍圆的定义、性质、相关定理和应用，帮助读者全面了解圆这一重要的数学概念。
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C
C
A
C
D
C
O
A
O
B
O
O
O
A
B
D
A
B
D
B
（2①）如果将图② ①中的弦③AB改成直径④ (AB与CD⑤ 相互垂直的条件不变)，结果又如何？将图②中 的直径AB改成怎样的一条弦，图②中将变成轴 对称图形.
1、以矩形ABCD的顶点A为圆心画⊙A，使得B、 C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A 外，若BC=12,CD=5.探求⊙A的半径r的取值范围
(√ )
(√ )
(7)面积相等的两个圆是等圆。
(√ )
(8)同一条弦所对的两条弧一定是等弧。 ( × )
(9)半圆是弧一定比劣弧长。 (√ )
小试牛刀:
（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中 心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称
图形，指出它的对称轴.
A C
E
D
B
O
例1：如图在 ABC中， C=90，B=28，以C为圆心， 以CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E， 求AD ， DE 的 度数 。
B
D
E
A
C
5、 如图，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，DC、 EB的延长线相交于点A，∠EOD=75°,AB=OC, 求∠A的度数.
B
AC
E
O
D
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
知识回顾：
1、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，过圆心 的每条直线都是它的对称轴
2、垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并 且平分弦所对的弧
C 提示：CD是直径有时可改为过圆心的线
A
B
M└
●O
由 ① CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
3、圆是到定点距离等于定长的点的集合.
4、点到圆心O的距离为d，那么：
点A在圆 内 d ＜ r 点B在圆 上 d ＝ r 点C在圆 外 d ＞ r
5、到一个定点距离相等的4个点共圆
知识回顾：
1、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧， 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组都分别相等。
Ｅ
Ｆ
8、如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦， AC与BD相等吗？为什么？
G
F E
9、（1）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最 长距离为8，则该圆的半径是＿＿．
（2）已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最 长距离为8，则该圆的半径是＿＿
10、在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O的 半径为5cm，则点P(3，－4)与⊙O的位置关系 是：点P在⊙O_______．
D
3、垂径定理的作用:可以求弦长、求半径长、求
圆心角相等、求弧相等、求线段相等，等等。
练习：判断下列结论是否正确。
(1)弦是直径
(× )
(2)直径是弦,是圆中最大的弦。 (3)等弧长度相等
(√ ) (√ )
(4)长度相等的两条弧一定是等弧。 ( × )
(5)半径相等的两个圆是等圆。 (6)周长相等的两个圆是等圆
例2：如图,已知AB是⊙O的直径,AB与弦CD相交于点M, ∠AMC=300 ,AM=6cm，MB=2cm,求CD的长。
例2：如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8， D是AC的中点，连结CD，求CD的长。
例3. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦， AE⊥CD，垂足为E, BF⊥CD，垂足为F， 且AE=3cm，BF=5cm．若⊙O的半径为5cm， 求CD的长.
1.过圆心作已知弦的垂线，是常用的辅助线 2.之一，这条辅助线通常称之为弦心距，
6、 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假 设钢珠的直径是12毫米， 测得钢珠顶端离零件 表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的 直径AB是多少毫米？
C
O
AE
B
D
7、如图，⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过 点A作直线CD平行于O1O2，交两圆于点C、 D，探索O1O2与CD之间的数量关系，并说 明理由.
2、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，
CE的度数为40°，求∠AOC的度数.
3、如图，⊙O的直径是10，弦AB的长为8，P 是AB上的一个动点，求OP的求值范围.
4.在同圆中，若 AB =2 CD ，则AB与2CD的大小关系是（ B ）
（A）AB＞2CD (B)AB ＜2CD (C) AB＝2CD (D) 不能确定
圆的有关概念和性质
复习课
知识要点
｛ 圆的定义
点与圆的位置关系
｛圆
点的集合的概念
圆的性质
｛ 轴对称性
垂径定理及推论
旋转不变性
圆心角、弧、弦、 弦心距之间关系
知识回顾：
1、在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转 一周，另一端点P运动所形成的图形叫做圆。
2、要确定一个圆,必须确定圆的圆心和半径，圆心确定 圆的位置,半径确定圆的大小.