23.与圆有关的概念及性质(讲)
圆的有关概念及性质 课件
4. 圆周角、圆周角定理及其推论
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角. （2）①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ③推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径. ④推论3：圆内接四边形的对角互补.
feixuejiaoyu
中考考点精讲精练
考点1 垂径定理和弧、弦、圆心角的关系
考点精讲
【例1】（2014佛山）如图1-5-1-1，⊙O的 直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一 个动点，求OP的长度范围. 思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
由垂径定理可知AE=BE=
AB，再根据勾股
考点演练 3. 如图1-5-1-5，AB是⊙O的直径， 34°，则∠AEO的度数是
A. 51° B. 56° C. 68°
∠COD= （ A ） D. 78°
4. 一条排水管的截面如图1-5-1-6所示，已知该排水管的半 径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 （ D ） A. 8 B. 6 C. 5
（ C ） D. 120°
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考点演练 4. 如图1-5-1-11，已知点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB= 80°，则∠ACB等于 （ D ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 40°
5. 如图1-5-1-12，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD= 53°，则∠BCD为 A. 37° B. 47° C. 45° （ A ） D. 53° feixuejiaoyu
2. （2015深圳）如图1-5-1-9，AB为⊙O直径，已知∠DCB= 20°，则∠DBA为 A. 50° B. 20° C. 60° （ D ） D. 70°
圆的基本概念
圆的基本概念圆是几何学中一个常见的形状，它在我们日常生活中无处不在。
圆具有独特的特征和性质，本文将详细介绍圆的基本概念及其相关内容。
一、圆的定义在几何学中，圆是由与其内部的所有点到一个固定点（称为圆心）的距离相等的点的集合。
圆的周长是圆的边界，由无数个点连续构成。
圆的内部区域称为圆的内部，外部区域称为圆的外部。
二、圆的要素1. 圆心：圆的中心点叫做圆心，通常用大写字母O表示。
在圆上任意取两点，连接圆心和这两个点，这两条线段就是半径。
2. 半径：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，它的长度决定了圆的大小。
3. 直径：直经是通过圆心，且两端点都在圆上的线段。
直径是圆最长的线段，通常用大写字母D表示，它的长度是半径的二倍。
4. 弦：弦是圆上两点之间直线段，可以不经过圆心。
5. 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。
圆的周长可以看作无限个弧的总和，其中半径为弧长的一半，而直径为整个圆的弧长。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长可以通过公式C = 2πr计算，其中C表示周长，r表示半径。
可以看出，圆的周长与半径成正比关系。
2. 圆的面积：圆的面积可以通过公式A = πr²计算，其中A表示面积，r表示半径。
圆的面积与半径的平方成正比关系。
3. 弧长、扇形面积和圆心角：圆上的弧长可以通过弧度制或度数制进行度量。
当我们以弧度制来度量时，一个完整的圆周长为2π弧度。
扇形指的是圆心和圆上两点所对应的弧所形成的图形，可以根据圆的半径和圆心角来计算扇形的面积。
4. 圆与其他几何图形的关系：圆与直线、多边形等几何图形之间有着紧密的关联。
例如，圆与直线只有两个交点；圆与正多边形相切于多个点；圆与圆之间可以相切、相离或相交。
四、应用领域圆的基本概念和性质在日常生活和各个领域中得到广泛应用。
以下是一些例子：1. 建筑和设计：在建筑和设计中，圆的形状经常被使用，例如圆形的建筑结构、圆形的花园设计等。
2. 工程和机械：在工程和机械领域，圆的运动学和动力学特性经常被应用，例如圆形齿轮、同心轴、传动系统等。
圆的概念及性质知识点梳理
圆的概念及性质知识点梳理一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是由平面上到一定点的距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的符号表示：以大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径，圆可以表示为O(r)。
3. 圆的元素：圆心、半径、直径。
二、圆的性质 1. 对称性： a. 圆心对称：圆内任意一点都可以通过圆心的对称变换到另外一个点。
b. 直径对称：圆内任意一点都可以通过圆的直径对称变换到另外一个点。
2. 圆与直线的关系： a. 圆与直线的交点：一条直线与圆相交的点数可能为0、1、2个。
b. 切线：一条直线切圆的条件是直线与圆有且仅有一个交点。
c. 弦：一条直线与圆有两个交点，这两个交点与圆心连接形成的线段称为弦。
3.圆与角的关系： a. 圆心角：圆内的两条半径所对应的角称为圆心角，圆心角的度数等于弧度的两倍。
b. 弧度：弧长等于半径的弧对应的角的度数称为弧度。
c. 弧度制与度数制转换：弧度 = 度数× π / 180。
4. 圆与面积的关系： a. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
b. 圆周长与面积的关系：半径一样的两个圆，周长较大的圆面积也较大。
5. 圆与体积的关系：a. 圆柱的体积公式：圆柱的体积等于底面积乘以高，即V = πr^2h。
b. 圆锥的体积公式：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V = (1/3)πr^2h。
c. 球体的体积公式：球体的体积等于(4/3)πr^3。
三、圆的应用 1. 圆的几何应用： a. 轮胎：轮胎通常采用圆形设计，便于车辆转向和行驶。
b. 钟表：钟表上的指针转动的轨迹是一个圆弧。
2. 圆的物理应用： a.运动：物体在做圆周运动时，其运动轨迹是一个圆。
b. 电子：电子的轨道运动也是一个圆形的。
c. 光学：光学中的透镜和曲率半径有关，曲率半径越小，透镜越强。
3. 圆的数学应用： a. 数学公式：圆的周长和面积的计算公式是数学中的基本公式之一。
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
圆的概念及性质
圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】 如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】 如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】 已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】 如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为 ．【例16】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（ ） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】 如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】 两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】 如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状． （2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】 已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【例34】 如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例43】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】 已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】 圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】 在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值． 图 4F EDC BA【例58】 已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。
圆的有关概念及性质
圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。
【提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。
第23讲 圆的基本性质
1 1 如图，连结 OB，OC，∵OD＝ r＝ OC，OD⊥BC，∴∠OCD＝ 2 2 30°，∠DOC＝60°.同理，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠A＝ 120°. 正解
2．圆的有关性质
(1)圆的对称性： 过圆心的任意一条直线 ． 轴对称 图形，其对称轴是__________________________ ①圆是________
中心对称 圆心 ． ②圆是_____________ 图形，对称中心是________
③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形
1．常见的辅助线 (1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边 的直角三角形，利用勾股定理知识求解(如图①)；
图① 图② 图③ (2)有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证 明或计算(如图②)； (3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心) 角(如图③)． 2．分类讨论 在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种，则其 所对的圆周角不一定相等；另外，有关于弦的问题也需要分类讨论，如有 两条弦时，需要分在同侧还是异侧等．
点与圆的位置关系
【例 4】 (2016· 连云港)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为 1 个 单位)选取 9 个格点(格线的交点称为格点)． 如果以 A 为圆心， r 为半径画 圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为( B ) A．2 2＜r＜ 17 B. 17＜r＜3 2 C. 17＜r＜5 D．5＜r＜ 29
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第23讲 圆的基本性质
1．主要概念 定长 的所有点组成的图形叫做圆 (1)圆：平面上到________ 定点 的距离等于______ 定点 叫做圆心，_______ 定长 叫做半径，以O为圆心的圆记作⊙O. ．_______
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5．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口， 假设钢珠的直径是 20 mm，测得钢珠顶端离零件表面 的距离为 16 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 16 mm.
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解析：如图，设圆心为 O，过点 O 作 OD⊥AB 于 点 D ，根据题意知， OA ＝ 10 mm ， OD ＝ 16 － 10 ＝ 6(mm)， 根据勾股定理， 得 AD＝ OA2－OD2＝8(mm)， 则 AB＝2AD＝16(mm)．
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∴OE ＝
132－122 ＝ 5(cm) ． 同 理 OF ＝
12(cm)．∴EF＝12－5＝7(cm)，即 AB，CD 之间的距 离为 7 cm.(2)当 AB，CD 在圆心 O 的两侧时，同理可 得 AB，CD 之间的距离为 17 cm.故选 D.
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解析：∵ AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为 M， ∴ M 为 CD 的中点，即 CM＝ DM，故 A 成立； B 为 CD 的中点，即 CB ＝ DB ，故 B 成立；在 △ ACM 和 △ ADM 中， ∵ AM＝ AM， ∠ AMC＝ ∠ AMD＝ 90° ， CM＝ DM， ∴△ ACM≌△ ADM， ∴∠ ACD＝ ∠ ADC， 故 C 成立； 而 OM 与 MD 不一定相等， 故 D 不成立． 故 选 D.
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与圆有关的概念和性质
《与圆有关的概念和性质》复习课学案【学习目标】1.通过对与圆有关的概念和性质（垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理及其推论）的结构化整理，进一步理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念以及相互关系，掌握圆的基本性质；2.结合具体的问题情境，分析和解决与圆的概念和性质有关的问题，掌握常用辅助线作法：作半径、从圆心作一条与弦垂直的线段；理解此类问题可以通过圆的性质转化为一个三角形（特殊三角形）或者二个三角形（全等三角形或相似三角形）的问题来解决，进一步体会转化思想.【学情分析】本班学生在4月天河区前测中数学平均分约75分（满分120）. 学生对于与圆有关的概念和性质有基本了解，相关知识的掌握较为零散，未能搭建知识之间的联系，形成知识网络；能解决单个知识点的简单题目，而综合题解题能力较为薄弱.【学习过程】一、以题点知1.如图1，☉O的半径为13，BC是☉O的一条弦，BC=24，则圆心O到BC的距离为.2.若点A、B、C在☉O上，BC是☉O中最长的弦，则∠BAC= °.3.如图2，已知点B、C在☉O上，点A在优弧BC上，∠BOC=132°. （1）∠BAC= °；（2）若点D是圆上除A、B、C外某一点，则∠BDC= °；（3）若点D为弧BC中点，则∠BOD= °.设计意图：通过单个知识的题目，复习和回顾与圆有关的概念和性质，为下面梳理与圆有关的概念和性质进行铺垫.二、经典再现COB图1COBA图2设计意图：通过对与圆有关的概念和性质（垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理及其推论）的结构化整理，进一步理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念以及相互关系，掌握圆的基本性质.理解圆的有关概念和性质，提供了证明线段相等、弧相等、垂直关系的方法，为与圆有关问题的计算和证明提供了重要依据.三、典例分析已知：☉O 是△ABC 的外接圆，AD 为☉O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为E .连接BO 并延长交AC 于点F .（1）如图3，求证：∠BFC =3∠CAD ；（2）如图4，过点D 作DG ∥BF 交☉O 于点G ，点H 为DG 的中点，连接OH .求证：BE =OH .设计意图：此题考查了圆心角、圆周角之间的关系，垂径定理，三角形内角、外角关系，全等三角形的判定和性质.圆内角或圆外角可以通过三角形的性质转化为圆周角、圆心角解决.FE DAO BC图3 HG FE DAOBC图4与圆有关的问题可以通过圆的性质转化为一个三角形（特殊三角形）或者二个三角形（全等三角形或相似三角形）的问题来解决，进一步体会转化思想.掌握常用辅助线：作半径、从圆心作一条与弦垂直的线段，四、技能训练1.点P是☉O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）.A.3cm B .4cm C.5cm D.6cm2.如图5，点A，B，C，D，E在☉O上，AB=CD，∠AOB=42°，则∠CED=（）.A.48°B.24°C.22°D.21°3.如图6，四边形ABCD是☉O的内接四边形，BE是☉O的直径，连接AE，若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE=（）.A．30° B.35° C.45° D.60°图5图6图7图84.如图7，A，B，C是半径为1的☉O上三个点，若AB=√2，∠CAB=30°，则∠ABC= .5.如图8，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC= .6.如图9，☉O的半径为4，△ABC是☉O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC 互补，求弦BC的长.图9五、课堂小结六、作业 A 组1.如图10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A =50°，则∠BOC 的度数为（ ）.A.40°B.50°C.80°D.100°2.如图11，已知⊙O 是∠ ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD=（ ）.A.116°B.32°C.58°D.64°3.如图12，AB 是圆O 的弦，OC ⊥AB ，交圆O 于点C ，连接OA ，OB ，BC ，若∠ABC =20°，则∠AOB 的度数是（ ）A.40°B.50°C.70°D.80°图11 图12图13图144.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图13所示，若水面宽AB =48cm ，则水的最大深度为（ ）.A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm5.如图14，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠AOB =110°，则∠ACB = .6.⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB =24cm ，CD =10cm ，求AB 和CD 之间的距离.B DOACBOACCOBA 图10B 组7.如图15，⊙O 的直径AB =10，弦AC =8，连接BC .（1）尺规作图：作弦CD ，使CD =BC （点D 不与B 重合）， 连接AD ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD 的周长.8.如图16-1，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E . （1）求证：DE =DB ；（2）若AD 与BC 交于点P ，求证：DE 2=DP ·DA ；（3）如图16-2，若∠BAC =90°，BD =5√2，AB =6，求△ABC 外接圆的半径和弦AD 的长.图15ED BCA图16-1 EDOBCA 图16-2。
圆的知识点概念公式大全
圆的知识点概念公式大全圆是数学中的一个基本几何图形，是由平面上与一个定点距离相等的所有点组成的集合。
在这里，我们将介绍圆的一些基本概念、公式和性质。
1.圆的定义：圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
2.圆的元素：一个完整的圆主要由以下几个元素组成：-圆心：圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。
-半径：半径是从圆心到圆上的任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
-直径：直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上，直径的长度是半径的两倍。
-弦：弦是通过圆上的两点，它的两个端点都在圆上。
-弧：弧是通过圆上的两点，它的两个端点都在圆上，但是弧的长度小于整个圆的周长。
3.圆的周长和面积：-面积：圆的面积是圆内部的所有点组成的面积，它的公式是A=πr²。
4.圆的弧长和扇形面积：-弧长：弧长是弧上的一段线段的长度。
如果圆的半径是r，弧长是s，弧度数是θ，则弧长的公式是s=rθ，其中θ以弧度为单位。
-扇形面积：扇形是圆上的一段弧和两个半径组成的图形。
扇形的面积是扇形所占的圆的面积的比例，它的公式是A=(θ/360°)⋅πr²。
5.圆的性质：-圆的直径是圆的一条最长的弦，它的长度是半径的两倍。
-圆上的任意两条弦的长度之积等于这两条弦所各自对应的两个弧的长度之积。
-圆的半径垂直于半径所在的弦。
-圆的内接四边形的内角和为360°，而外接四边形的内角和为180°。
这些是一些基本的关于圆的知识点、概念和公式。
理解了这些基本概念和公式，可以帮助我们解决与圆相关的数学问题，并应用于实际的计算和测量中。
当然，关于圆还有更多的深入知识和性质，如切线、余切线、弧度等。
如果想要更深入地学习圆的话，可以进一步研究这些内容。
圆的基本性质知识点总结
圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。
圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。
-圆心：圆的中心点，通常表示为O。
-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。
-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。
-弦：在圆上连接两点的线段。
-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。
3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。
4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。
周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。
-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。
面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。
5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。
-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。
否则，弦将分割圆周上的两个弧。
并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。
6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。
7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。
-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。
-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。
以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。
圆形的认识与性质
圆形的认识与性质圆形，作为几何形状中的一种，一直以来都受到人们的重视和研究。
无论是在数学领域还是日常生活中，我们都会频繁地遇到圆形。
本文旨在从认识和性质两个方面，探讨圆形的相关知识。
一、认识圆形圆形是一个在平面上呈现出完全闭合的曲线，该曲线上的任意两点到一个固定点的距离都相等，该固定点被称为圆心，这个相等的距离称为半径。
圆形的直径则是通过圆心的两条线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
圆形具有无限个对称轴，其中最重要的一个是通过圆心的直径。
二、圆形的性质1. 圆的面积和周长：圆的面积公式为S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径。
而圆的周长公式为C=2πr，其中C表示圆的周长。
这两个公式都包含了圆的半径，说明圆形的性质与半径密切相关。
2. 弧度与角度：圆形的度量方式有两种，一种是角度制，一种是弧度制。
角度制以圆心为顶点，两条射线所夹的弧度为1度。
而弧度制则是以半径为1的圆，其圆心角所对应的弧长为1弧度。
弧度制更适合于圆形的相关计算，在数学推导和物理应用中更为常见。
3. 圆周角圆周角是指由两条射线所夹的圆弧对应的圆心角。
圆周角度数为360度或2π弧度，它是圆形最基本的角度度量。
4. 切线和法线：圆形上的任意一点到圆心的连线称为半径，半径与切线的夹角称为切线的斜率。
而垂直于切线并通过圆心的线称为法线。
切线和法线是圆形与其它几何形状相交的重要性质。
5. 圆与圆的关系：圆与圆之间有多种关系，包括相切、相离和相交等。
相切是指两个圆之间只有一个公共切点，相离是指两个圆之间没有公共点，相交则是指两个圆之间有两个或更多个公共点。
这些关系在实际应用中有着广泛的应用，例如圆的包络、圆的相交面积计算等。
三、圆形在实际生活中的应用圆形在日常生活中有着丰富的应用，下面列举几个常见的例子：1. 圆形的交通标志：道路上的交通标志往往采用圆形，如禁止标志、指示标志等，这是因为圆形在视觉和识别上有着良好的效果。
2. 圆形的器具和工具：许多日常常用的器具和工具也采用圆形设计，如碗、盘子、轮胎、盘锦等。
圆的概念与性质
PART
03
圆的习题
例4：如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB，垂足为C，OD=13cm， AB=24cm，则CD= cm
解析：连接AO，由垂径定理，得AC=1/2AB=12cm。由半径相等， 得OA=OD=13cm，由勾股定理，得OC=√OA2-AC2 =√132-122=5cm。 故CD=OD-OC=13-5=8cm。
PART
03
圆的习题
例3：如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上， 且∠ABD=52°，则∠BCD等于 A.32° B.38° （ ） D.66°
C.52°
解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=52°， ∴∠A=90°-∠ABD=38°，∴∠BCD=∠A=38°。
圆的概念与性质
PART
01
圆的基本概念
1.描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A
随之旋转所形成的图形；固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径；记作⊙O，读作 “圆O”； 2.集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长
叫做圆的半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（相邻的内 角的对角）
PART
03
圆的习题
例1：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°， 则∠BCD的度数为（ A.50° B.80° ） C.100° D.130°
解析：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°/2=50°，∴∠BCD=180°-∠BAD= 180°-50°=130°
第一讲 与圆有关的概念及性质
模块六 圆第一讲 与圆有关的概念及性质知识梳理 夯实基础知识点1：与圆有关的概念1.圆的定义如图,在平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,则另一个端点A 所形成的封闭曲线叫做圆,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 的长为r,叫做半径.以点O 为圆心的圆,记作“ O”,读作“圆O”.注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.2.圆的有关概念同心圆圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆。
等圆能够重合的两个圆叫做等圆半圆圆的任意一条 的两端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“ ”表示。
大于半圆的弧叫做 ，如 ABC ；小于半圆的弧叫做 ，如AB .等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦连接圆上任意两点的叫做弦，如弦AC弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
直径经过 的弦叫做直径，如直径BC 。
圆心角顶点在 的角叫做圆心角，如∠AOB 。
圆周角顶点在圆上，并且 都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角，如∠ACB 。
3.确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
4.圆的对称性(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自身重合,旋转中心为圆心,圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.(3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.知识点2：垂径分弦1.垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且 弦所对的两条弧。
注意:垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。
2.垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。
知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。
圆的有关概念及性质说课稿
《圆的相关概念及性质》尊敬的各位老师：大家好，今天我说课的题目是“圆的相关概念及性质”。
下面我从教材分析、教法与学法分析、教学流程三个方面来说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用圆的相关知识，被广泛地应用于工农业生产、交通运输方面，所涉及的数学知识较为广泛，能解决生产、生活中很多问题。
圆是初中数学最核心内容之一，在中考中所占的分量较重。
而本节复习的内容是圆的相关概念及性质，它表达了运动的观点，也为后面复习与圆相关的位置关系作了铺垫。
2、教学目标新课标下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验的基础上。
新数学课程理念下的数学教学不但是知识的教学技能的训练，更应重视水平的培养和情感的教育。
所以，根据本节课教材的地位和作用，结合学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：知识与技能：理解圆及其相关结论概念, 理解圆的轴对称性和中心对称性；掌握垂径定理，圆心角、弧、弦之间相等关系定理以及圆周角和圆心角关系定理。
过程与方法：教师采用PPT的形式，使学生经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，形成自主探究、合作交流的良好习惯。
情感态度与价值观：利用我国悠久的数学研究历史，对学生实行爱国主义教育；渗透数学的应用价值。
3、教学重、难点重点：掌握垂径定理，圆心角、弧、弦之间相等关系定理以及圆周角和圆心角关系定理。
难点：圆中相关知识的综合使用，培养学生分析问题解决问题的水平。
4、教学准备：课件、多媒体设备。
二、教法与学法分析本节课采取“学生为主体，老师为主导”的探索归纳式教学模式。
在教师的组织引导下，学生采用“个人自主探究、小组合作交流”的研讨式学习法，让学生先回顾和获取知识，再通过解题过程，掌握解题方法、提炼数学思想，进而培养学生动手、动脑、动口的综合水平。
三、教学流程1、考点自主梳理与热身反馈首先，让学生独立完成圆的相关概念的3个基础题目，然后通过小组讨论的形式，归纳总结出圆的相关概念的知识；其次，让学生独立完成圆的轴对称性的3个基础题目，然后通过小组讨论的形式，归纳总结出圆的轴对称性的知识；再次，让学生独立完成圆的旋转不变性的2个基础题目，然后通过小组讨论的形式，归纳总结出圆的旋转不变性的知识；最后，让学生独立完成圆周角定理的2个基础题目，然后通过小组讨论的形式，归纳总结出圆周角定理的知识。
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【名师点拨】应用定理时，一定注意“在同圆或等圆 中”的条件，同时要注意：(1)一条弦所对的弧有两条； (2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
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基础点5 圆内接四边形的性质
1．圆内接四边形的对角30 ＿互_补___，如 图，∠A＋∠BCD＝ 31_18_0_°，∠B＋∠D＝ 32 _1_8_0_°； 2．圆内接四边形的任意一个外角等于 它的 33 _内__对__角_(和它相邻的内角的对 角)如图，∠DCE＝ 34 _∠__A_．
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基础点6 正多边形与圆的关系
以正六边形为例： 名称 正六边形
内角
120°
外角
60°
中心角 边长
60° R
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在Rt△OAB中，r2+
R
＝
R2,
即边心距r＝ R .
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答：不一定相等．圆内同一条弦所对的圆周角
互补或相等，如解图，弦AB所对的圆周角为
∠ACB或∠ADB，若AB所对的圆周角分别在A⌒CB
失分点12题图
和
A周⌒D角B 上都，在则A⌒弦CBAB或所A对⌒D的B圆上周，角则互弦补A；B若所A对B的所圆对周的角圆相等．
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∴sin∠D＝sin60°＝BC
4
3 2
＝2
3
.
，∴BC＝4× 练习2题图
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第六单元 圆
第23课时 与圆有关的概念及性质
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基础点1 与圆有关的概念及性质
１．圆的定义
在平面内，线段 OA绕着它固定的一 个端点 O旋 转一周，另一个端点 Ａ 所形成的封闭曲线叫做 圆，固定的端 点O叫做①＿圆＿心＿＿，线段 OA的 长叫 做②＿半＿径＿＿．以点 O为圆心的圆，记作
同弧或等弧所对 的 ＿2＿2 圆＿周＿角相
⌒ 所对的圆周角⇒∠A
BC
＝ ＿＿＿24；∠D
等，相等的圆周
角所对的弧也相 (2)⌒BC＝⌒BD⇒∠A＝
等
25＿∠＿BCD
证明 圆周 角相 等
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推论２
(1) AB是直径
半圆(或直径)所对的 ⇒∠ACB＝ 圆周角是 26 ＿直＿角，
例题图
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练习 1 (2016济宁)如图，在⊙O中，A⌒B＝ A⌒C， ∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是( C )
A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°
【解析】如解图，连接CO，∵36 A⌒B ＝ A⌒C ，
∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC＝
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4. 圆的基本性质 (1)圆的直径等于同圆或等圆半径的⑪__２____倍； (2)同圆或等圆的半径⑫相__等____； (3)弧的度数等于它所对⑬圆__心__角__的度数； (4)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何 一条直径所在的直线都是它的对称轴，⑭_圆__心___是它的对 称中心； (5)旋转不变性：围绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与 原来的圆重合．
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基础点2 垂径定理及其推论
1. 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的⑮两__条__弧__．
2. 推论 (1)圆的两条平行弦所夹的弧⑯相__等____． (2)一条直线如果具有：a.经过圆心，b.垂直于弦，c.平分 弦，d.平分弦所对的弧，这四条中有两条成立，则这条 直线也满足其余的两条．
(3)弦、弦心距 连接圆上两点间的线段叫做⑦__弦____；经过圆心的弦叫 做⑧_直__径___；直径是圆内最长的弦；直径等于半径的二 倍．圆心到弦的距离叫做弦心距．
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(4)圆心角、圆周角 顶点在⑨_圆__心___的角，叫做圆心角．顶点在⑩_圆__上___， 并且两边分别和圆还有另外一个交点，这样的角叫做圆 周角．
ห้องสมุดไป่ตู้
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(2)弧、半圆 圆上任意两点间的部分叫做③__弧__；圆的任意一条直径的 两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做④_半__圆___；小于 半圆的弧叫做⑤_优__弧__；大于半圆的弧叫做⑥_劣__弧__．在同 圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
28 ＿90＿°＿； 90°的圆周角所对
的弦是27 直＿径＿
(2)∠ACB＝
29 ＿＿90＿°⇒AB
(1)连直径， 得直角；(2) 确定圆的直 径
是直径
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失 分 点 12
弦所对应的圆周角“相等”陷阱
同一条弦所对应的圆周角一定相等吗？为什么？.
1 ∠AOC＝1 ×40°＝20°.
2
2
练习1题图
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练习2 (2016马鞍山市当涂县四模)如图，⊙O的直径
BD＝4，∠A＝60°，则BC的长度为 ( C )
A. 3
B. 2
C. 2 3
D.4 3
【解析】∵BD为直径，∴∠BCD
＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，
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基础点4 圆周角定理及其推论
1．定理 内容
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ⑳＿一＿半＿
常见 图形
结论
1 ∠APB＝ ＿＿2＿∠AOB
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２．推论
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文字描述
数学符号
作用
推论１
在同圆或等圆中， (1)∠A和 23＿∠＿D 是
类型 圆周角定理及其推论
例 (2016自贡)如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝
45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是( C )
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 75°
【思维教练】根据“三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角之和”与“在同圆中 同弧所对的圆周角相等”即可求解 .
【解析】∵∠C＝∠AMD－∠A＝75° －45°＝30°，又∵∠C与∠B为同弧 所对的圆周角，∴∠B＝∠C＝30°.
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基础点3 圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系
1. 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑰_弧_____相等、所 对的⑱_弦_____相等、所对弦的⑲弦_心__距___相等．
2.推论 在同圆或等圆中，(1)圆心角相等，(2)弦相等，(3)弦的 弦心距相等，(4)弦对的弧相等，如果以上四条中有一条 成立，那么另外三条也成立．
“⊙Ｏ”，叫 做“圆Ｏ”，如图．
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2. 圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆．圆心确定圆的 位置，半径确定圆的大小．
3. 圆的有关概念 (1)同心圆、等圆 同一平面上，同一圆心而半径不同的圆叫做同心圆；可以 完全重合的两个圆叫做等圆．
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