人教高中数学必修一A版《函数的应用》指数函数与对数函数说课复习(函数模型的应用)

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问题导学 预习教材 P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
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第四章 指数函数与对数函数
几类常见的函数模型
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(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10＝12
a，即(1－x)10＝12，解得 x＝1－12110.
(2)设经过 m 年后森林剩余面积为原来的 22，则 a(1－x)m＝ 22a，
即121m0＝1212，则1m0＝12，解得 m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年．
是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
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第四章 指数函数与对数函数
【解】
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(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原 来的多少倍．
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【解】 (1)由 v＝12log31θ00可知， 当 θ＝900 时，
第四章 指数函数与对数函数
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解析：选 A.由题意可得 a＝100.当 x＝7 时，y＝100log2(7＋1)＝300.
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第四章 指数函数与对数函数
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2．某种产品今年的产量是 a，如果保持 5%的年增长率，那么经过
x 年(x∈N*)，该产品的产量 y 满足( )
4．5 函数的应用(二)
第三课时 函数模型的应用
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第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
指数、对数函数模型 会利用已知函数模型
在实际问题中的应用 解决实际问题
根据实际问题建立函 数模型
能根据实际问题，建 立恰当的函数模型求 解问题
核心素养 数学建模
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第四章 指数函数与对数函数
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第四章 指数函数与对数函数
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(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个 课件
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单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
解：(1)将 θ＝8 100 代入函数解析式，
得 v＝12log381＝12×4＝2 (m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时，它的游速是 2 m/s.
(2)令 v＝0，得12log31θ00＝0，即1θ00＝1，则 θ＝100，所以一条 鲑鱼静止时的耗氧量为 100 个单位．
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第四章 指数函数与对数函数
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v＝12log3910000＝12log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是 1 m/s.
(2)由 v2－v1＝1， 即12log3 1θ020－12log31θ010＝1，
得θθ21＝9. 所以耗氧量的单位数为原来的 9 倍．
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第四章 指数函数与对数函数
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度
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v(米/秒)和燃料的质量 M(千克)、火箭(除燃料外)的质量 m(千克)
的函数关系式是 v＝2 000·ln1＋Mm.当燃料质量是火箭质量的 ____________倍时，火箭的最大速度可达 12 千米/秒． 解析：当 v＝12 000 米/秒时，
a(1＋x)n(其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，
往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．
(2)函数 y＝c·akx(a，c，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在
电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类
给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意
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解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息． (2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型．(3)求函数解析 式．(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．
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第四章 指数函数与对数函数
某药材种植基地准备种植某种药材，从历年市
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第四章 指数函数与对数函数
解析式
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y＝b·ax＋c
y＝mlogax＋n y＝axn＋b
条件 a>0 且 a≠1，
b≠0 a>0 且 a≠1，
m≠0 a≠0
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第四章 指数函数与对数函数
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2 000·ln1＋Mm＝12 000， 所以 ln1＋Mm＝6，所以Mm＝e6－1. 答案：e6－1
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第四章 指数函数与对数函数
以图表信息为背景的函数应用题
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某医院研究开发了一种新药，据检测，如
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指数函数模型问题的求解策略 课件
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(1)对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 y＝N(1
＋p)x(其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型 y＝
＋b，现已知该厂今年 1 月份、2 月份生产该产品分别为 1 万件、 课件
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1.5 万件，则此厂 3 月份该产品产量为________． 解析：由11＝ .5＝a·a0·.50.15＋2＋b，b，
得ab＝＝－2，2， 所以 y＝－2×0.5x＋2，
A．y＝a(1＋5%x) C．y＝a(1＋5%)x－1
B．y＝a＋5% D．y＝a(1＋5%)x
解析：选 D.经过 1 年，y＝a(1＋5%)，经过 2 年，y＝a(1＋5%)2，…，
经过 x 年，y＝a(1＋5%)x.
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第四章 指数函数与对数函数
3．已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y＝a·0.5x
确定相关的系数．
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第四章 指数函数与对数函数
某
工
厂
生
产
过
程
中
产
生
的课件
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废
气
必
须
经
过
过
滤
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后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量 p(单位：
毫克/升)与过滤时间 t(单位：小时)之间的关系为 p(t)＝p0e－kt(式 中的 e 为自然对数的底数，p0 为污染物的初始含量)．过滤 1 小 时后，检测发现污染物的含量减少了15.
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1．某种动物繁殖数量 y(单位：只)与时间 x(单位：年)的关系式为 y
＝alog2(x＋1)．若这种动物第 1 年有 100 只，则到第 7 年它们发展 到( )
A．300 只
B．400 只
C．500 只
D．600 只
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对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或 给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据 数值回答其实际意义．
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第四章 指数函数与对数函数
对数型函数模型的应用
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大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究
发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v＝12log31θ00，单位是 m/s，θ 是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)求函数关系式 p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的1 0100，至少还需过滤几个
小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
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解：(1)根据题意，得45p0＝p0e－k， 所以 e－k＝45，所以 p(t)＝p045t. (2)由 p(t)＝p045t≤1 0100p0，得45t≤10－3，两边取对数并整理得 t(1－3lg 2)≥3，所以 t≥30.因此，至少还需过滤 30 个小时．
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【解】 (1)当 0≤t<1 时，y＝8t；
第四章 指数函数与对数函数
当 t≥1 时，将 A(1，8)，B(2，4 2)代入 y＝kat， 课件
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得 a＝ 22，k＝8
8t，0≤t<1，
2.所以 y＝ 8
果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的
含药量 y(单位：μg)与服药后的时间 t(单位：h)之间 近似满足图中的曲线，其中 OA 是线段，曲线 ABC 是函数 y＝kat(t≥1，a>0，且 k 与 a 是常数)的图象． (1)写出服药后 y 关于 t 的函数关系式； (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于 2 μg 时治疗疾病有效， 假如某病人第一次服药为早上 6：00，为了保持疗效，第二次服 药最迟应在当天几时？
所以 3 月份产量为
y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75 万件
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指数型函数模型的应用
一片森林原来的面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每
年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间
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名称
解析式
一次函 数模型
y＝kx＋b
反比例函 数模型
y＝kx＋b
二次函 数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2
条件 k≠0 k≠0
a≠0
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名称 指数函 数模型 对数函 数模型 幂函数模型
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场行情可知，从 2 月 1 日起的 300 天内，该药材的市场售价 P(元
/千克)与上市时间 t(天)的关系可以用如图①所示的一条折线表
示，该药材的种植成本 Q(元/千克)与上市时间 t(天)的关系可以
用如图②所示的抛物线表示．
2×
22t，t≥1.
(2)设第一次服药后最迟经过 t h 第二次服药，
依题意有 t≥1.
所以 8
2×
22t＝2，解得
t＝5.
因此第二次服药最迟应在第一次服药后 5 h，即当天上午
11：00 服药．
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第四章 指数函数与对数函数
(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式 P＝
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f(t)，写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式 Q＝ 课件
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