信号与系统L09CH4

半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次 谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
例4 求图示周期信号f(t)的傅里叶级数
f (t)
2 1
f (t) 1.5
Sa ( nπ ) cos( nπt )
n1
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f1(t)
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
f (t) = f (t)
t
T / 2 0
T/ 2
an
2 T
T /2 T / 2
f
(t) cos(n0t)dt
4 T
T /2
0 f (t) cos(n0t)dt
bn
2 T
T /2
T / 2 f (t) sin(n0t)dt 0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含
有直流项与余弦项。
二、傅里叶级数的基本性质
1
f (t)
Cne jn0t C0
Cne jn0t Cne jn0t
n
n
n1
C0
Cne jn0t Cne jn0t
C0 2
Re( Cne jn0t )
n1
n1
令
Cn
an
ห้องสมุดไป่ตู้
jbn 2
由于C0是实的，所以 b0= 0，故
C0
a0 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
f (t)
a0 2
(an
n1
cos n0t
bn sin n0t)
其中：a0
2 T
T /2
f (t)dt
T / 2
an
2 T
T /2
T / 2 f (t) cos(n0t)dt
(n = 1,2 )
2
bn T
T /2
T / 2 f (t) sin(n0t)dt
(n = 1,2 )
一、周期信号的傅里叶级数展开
n=
利用频域特性求解系统的输出信号及系统函数
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合 意义：
➢ 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率复 指数分量的线性组合，为不同信号之间进行比 较提供了途径。
➢ 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦 信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量 通过系统后的变化。
f (t) A
-T 0
T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，
Cn
T1AT2ST2 af((nt)e0jn)0t
dt
1 T
2 2
Ae jn0tdt
Asin(n0 / 2) Tn0 / 2
T
2
因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为
f
(t)
Cn
n=
e jn0t
A
T
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
连续信号的分解
1、连续信号分解为单位冲激信号的线性组合
f (t) f ( ) (t )d
利用单位冲激响应求解系统的输出信号
2、连续信号分解为复指数信号的线性组合
f (t)
Cn
e jn0t
一、周期信号的傅里叶级数展开
1. 周期信号展开为傅里叶级数条件
周期信号f (t)应满足Dirichlet条件，即：
(1)
在一个周期内绝对可积，即满足
T / 2
T / 2
f (t) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；
(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
n1
若 =T/2，则有
f
(t)
A 2
2A π
(cos0t
1 3
cos30t
1 5
cos50t
)
0
2π T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅 里叶级数展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
Cn
1 T
T / 2
T / 2
f
(t)ejn0t dt
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
f (t)
Cn
e jn0t
n=
其中
Cn
1 T0
T0 f (t)e jn 0tdt
0
n 0 这一项是一个常数，称为信号的直流分量
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
则有 f1 (t) * f 2 (t) T0C1n C2n
➢ 微分特性
若
则有
f (t) Cn
f ' (t) jn0Cn
二、傅里叶级数的基本性质
➢ 对称特性
(1) 若 f(t) 为实信号 则 | Cn || Cn | n n
二、傅里叶级数的基本性质
➢ 对称特性
(2) 纵轴对称信号
f(t) A
1 2
(01 tejn0t dt
01tejn0t dt)
1 (te jn0t
2 jn0
0 1
0
1
e
jn0t
dt
te jn0t
1 0
1
0
e
jn0t
dt)
1 (cos nπ 1) (nπ) 2
0
2π T
π
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅 里叶级数展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解:
-2 1 0 2
t
解:
由
f (t) C0 2
Re( Cne jn0t )
n1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
f (t) 1
2 m=1
[(2m
4 1)π]2
cos(2m
1)0t
0
2π T
π
1 2
4 π2
cos 0t
4 9π 2
cos 30t
4 25π 2
cos 50t
例3
f (t) 3cos(0t 4) 求 Cn 。
n=
Sa ( n0
2
)e jn0t
0
2π T
例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶级数展开式。
f (t) A
-T 0
T
t
解:
由
f (t) C0 2
Re( Cne jn0t )
n1
可得， f(t)的三角形式傅里叶级数展开式为
f (t) (A / T )
(2A / T )Sa(n0 / 2) cosn0t
解: f (t) 3cos(0t 4)
3 1 e j(0t4) ej(0t4) 2
3 e j4e j0t 3 e j4e j0t
2
2
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
3 2
e j4 ,
C1
3 2
e j4
Cn 0, n 1
二、傅里叶级数的基本性质
➢ 线性特性
若
f1(t) C1n , f2 (t) C2n
3. 三角形式傅里叶级数
✓ 纯余弦形式傅里叶级数
f (t) a0 2
An cos（n0t n）
n1
其中 An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0/2称为信号的直流分量，
An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶级数展开式。
二、傅里叶级数的基本性质
➢ 对称特性
(4) 半波重迭信号
f (t) = f (t±T/2)
f(t)
t
T/2
T/2
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次
谐波分量，而无奇次谐波分量。
二、傅里叶级数的基本性质
➢ 对称特性
(5) 半波镜像信号
f (t) f (t) = f (t±T/2)
T/2 T
t
0
n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
物理含义：
周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
f (t)
Cn
e jn0t
n=
Cn
1 T0
T0 f (t)e jn0tdt
0
T0 f (t)e jk0tdt T0
0
0
Cne j(nk )0tdt
C e dt T0 j(nk )0t n0
n
n
根据{en(t)}正交性
T0 0
e
dt j(nk )0t
T0 [n
k]
Cn
1 T0
T0 f (t)e jn0tdt
0
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
若 f (t)为实函数，则有
Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
➢ 对称特性
(3) 原点对称信号
f(t) f (t) = f (t)
A
T / 2
0 T/ 2
t
-A
an
2 T
T /2
T / 2 f (t) cos(n0t)dt 0
bn
2 T
T /2 T / 2
f
(t) sin(n0t)dt
4 T
T /2 0
f (t) sin(n0t)dt
原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只 含有正弦项。
2 /(nπ)2, n为奇数
Cn
1 (nπ)2
(cos nπ
1)
1/ 0
2,
n0 , n为偶数
周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
f
(t)
Cn
n=
e jn0t
1 2
m=
2
e j(2m1)0t
[(2m 1)π]2
0
2π T
π
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅 里叶级数展开式。
f (t)
则有 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1 C1n a2 C2n
➢ 时移特性
若
则有
f (t) Cn f (t t0 ) e jn0t0 Cn
二、傅里叶级数的基本性质
➢ 卷积性质
若 f1(t) 和 f2(t) 均是周期为T0的周期信号，且 f1 (t) C1n , f 2 (t) C2n
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f (t) = f1(t) f2(t)
f1(t) 2
t
f 2 (t)
0.5
n1
Sa ( nπ) cos( nπt )
2
2
t