2021年湖南省中考数学总复习训练：二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质
基础题
1. (2020宿迁)将二次函数y＝(x－1)2＋2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为( )
A. y＝(x＋2)2＋2
B. y＝(x－4)2＋2
C. y＝(x－1)2－1
D. y＝(x－1)2＋5
2. (2020菏泽)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
3. (2020甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )
第3题图
A. a＜0
B. 图象的对称轴为直线x＝－1
C. 点B的坐标为(1，0)
D. 当x＜0时，y随x的增大而增大
4. (2020温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )
A. y3<y2<y1
B. y3<y1<y2
C. y2<y3<y1
D. y1<y3<y2
5. (2020成都)关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )
A. 图象的对称轴在y轴的右侧
B. 图象与y轴的交点坐标为(0，8)
C. 图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)
D. y的最小值为－9
6. (2020眉山)已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x 的增大而增大，则a的取值范围是( )
A. a≥－2
B. a<3
C. －2≤a<3
D. －2≤a≤3
7. (2020泸州)已知二次函数y ＝x 2－2bx ＋2b 2
－4c (其中x 是自变量)的图象经过不同两点A (1－b ，m )，B (2b ＋c ，m )，且该二次函数的图象与x 轴有公共点，则b ＋c 的值为( ) A. －1 B. 2 C. 3 D. 4
8. (2020淮安)二次函数y ＝－x 2
－2x ＋3的图象的顶点坐标为________．
9. (2020上海)如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是________． 10. (2020青岛)抛物线y ＝2x 2
＋2(k －1)x －k (k 为常数)与x 轴交点的个数是________．
11. (2020牡丹江)将抛物线y ＝ax 2
＋bx －1向上平移3个单位长度后，经过点(－2，5)，则8a －4b －11的值是________．
12．抛物线y ＝x 2
－4x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，抛物线的顶点为P ，则△PAB 的面积是________． 13. (2020温州)已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋1经过点(1, －2)，(－2，13)． (1)求a ，b 的值；
(2)若(5，y 1)，(m ，y 2)是抛物线上不同的两点，且y 2＝12－y 1，求m 的值．
能力题
14. (2020杭州)设函数y ＝a (x －h )2
＋k (a ，h ，k 是实数，a ≠0)，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，( ) A. 若h ＝4，则a <0 B. 若h ＝5，则a >0 C. 若h ＝6，则a <0
D. 若h ＝7，则a >0
15. (2020南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y ＝ax 2
的图象与正方形有公共点，则实数a 的取值范围是( )
第15题图
A. 19≤a ≤3
B. 19≤a ≤1
C. 13≤a ≤3
D. 1
3
≤a ≤1 16. (2020陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2
－(m －1)x ＋m (m ＞1)沿y 轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
D. 第四象限
17. (2020枣庄)如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1.给出下列结论：
①ac<0；②b2－4ac>0；③2a－b＝0；④a－b＋c＝0.其中，正确的结论有( )
第17题图
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
18. (2020贵阳)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m>0)有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0<n<m)有两个整数根，这两个整数根是( )
A. －2或0
B. －4或2
C. －5或3
D. －6或4
19. (2020北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上任意两点，其中x1<x2.
(1)若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
(2)设抛物线的对称轴为x＝t.若对于x1＋x2>3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
20. (2020安徽)在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x＋m经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
提升题
21. (2020福建)已知P1(x1，y1)，P2 (x2，y2)是抛物线y＝ax2－2ax上的点，下列命题正确的是( )
A. 若|x1－1|>|x2－1|，则y1>y2
B. 若|x1－1|>|x2－1|，则y1<y2
C. 若|x1－1|＝|x2－1|，则y1＝y2
D. 若y1＝y2，则x1＝x2
22. (2020荆州)我们约定：(a ，b ，c )为函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为(m ，－m －2，2)的函数图象与x 轴有两个整交点(m 为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为________．
参考答案
1. D 【解析】二次函数y ＝(x －1)2
＋2的图象的顶点坐标为(1，2)，向上平移3个单位长度后，顶点坐标为(1，5)，所以平移后的二次函数表达式为y ＝(x －1)2
＋5.
2. B 【解析】∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a >0，b ＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A 错误；∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴左侧，∴a >0，b >0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B 正确；∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a <0，b >0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C 错误；∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a ＜0，b ＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D 错误．
3. D 【解析】由题图可知，抛物线的开口向下，∴a <0，选项A 正确；∵y ＝a (x ＋1)2
＋k ，∴对称轴为直线x ＝－1，选项B 正确；∵抛物线与x 轴交于A (－3，0)，B 两点，∴－3＋x B 2＝－1，解得x B ＝1，∴B (1，
0)，选项C 正确；当x <－1时，y 随x 的增大而增大，当x >－1时，y 随x 的增大而减小，∴选项D 错误． 4. B 【解析】∵y ＝－3x 2
－12x ＋m ＝－3(x ＋2)2
＋12＋m ，∴对称轴为直线x ＝－2，∴点(－2，y 2)为抛物线的顶点，(－3，y 1)关于对称轴的对称点为(－1，y 1)，∵a ＝－3<0，∴抛物线的顶点为最高点，即y 2最大．在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，∵－1<1，∴y 1>y 3，∴y 3<y 1<y 2.
5. D 【解析】y ＝x 2
＋2x －8＝(x ＋1)2
－9，∴抛物线对称轴为直线x ＝－1，在y 轴的左侧，故A 错误；当
x ＝0时，y ＝－8，∴图象与y 轴的交点坐标为(0，－8)，故B 错误；当y ＝0时，(x ＋1)2－9＝0，解得x
＝2或x ＝－4，∴图象与x 轴的交点坐标为(2，0)和(－4，0)，故C 错误；∵y ＝x 2
＋2x －8＝(x ＋1)2
－9，
a ＝1>0，∴图象开口向上，当x ＝－1时，y 有最小值为－9，故D 正确．
6. D 【解析】令y ＝0，即x 2
－2ax ＋a 2
－2a －4＝0，∴Δ＝(－2a )2
－4(a 2
－2a －4)＝4a 2
－4a 2
＋8a ＋16＝8a ＋16≥0.∴a ≥－2.∵图象的对称轴为直线x ＝－－2a 2＝a ，抛物线开口向上，且当x >3时，y 随x 的增大
而增大，∴a ≤3，∴a 的取值范围是－2≤a ≤3.
7. C 【解析】∵二次函数y ＝x 2
－2bx ＋2b 2
－4c 的图象经过A (1－b ，m )，B (2b ＋c ，m )，∴对称轴为直线
x ＝
1－b ＋2b ＋c 2，即x ＝1＋b ＋c 2，又∵对称轴为直线x ＝－－2b 2＝b ，∴1＋b ＋c
2
＝b ，化简得c ＝b －1，∵该二次函数的图象与x 轴有公共点，∴(－2b )2
－4×(2b 2
－4c )＝－4b 2
＋16c ＝－4b 2
＋16(b －1)＝－4(b －2)2
≥0，∴b ＝2，即c ＝1，∴b ＋c ＝3.
8. (－1，4) 【解析】y ＝－x 2
－2x ＋3＝－(x ＋1)2
＋4，∴顶点坐标为(－1，4)．
9. y ＝x 2＋3 【解析】根据抛物线平移的规律可知平移后的抛物线的表达式是y ＝x 2
＋3.
10. 2 【解析】令y ＝0，则2x 2
＋2(k －1)x －k ＝0，∵Δ＝4(k －1)2
－4×2×(－k )＝4k 2
＋4>0，∴该抛物线与x 轴有两个交点．
11. －5 【解析】将抛物线y ＝ax 2
＋bx －1向上平移3个单位长度后，得到的抛物线表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋2，∵平移后经过点(－2，5)，代入，得4a －2b ＝3，则8a －4b －11＝2(4a －2b )－11＝2×3－11＝－5. 12. 1 【解析】∵抛物线y ＝x 2
－4x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，∴A ，B 两点的横坐标为方程x 2
－4x ＋3＝0的两根，解得x 1＝1，x 2＝3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2.∴顶点P 的纵坐标＝22
－4×2＋3＝－1，∴△
PAB 的面积＝1
2·AB ·|－1|＝12
×2×1＝1.
13. 解：(1)把(1，－2)，(－2，13)代入y ＝ax 2
＋bx ＋1，
得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝a ＋b ＋113＝4a －2b ＋1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4； (2)由(1)得函数表达式为y ＝x 2
－4x ＋1， 把x ＝5代入y ＝x 2
－4x ＋1，得y 1＝6， ∴y 2＝12－y 1＝6，
∵y 1＝y 2，对称轴为直线x ＝2， ∴
m ＋5
2
＝2，解得m ＝－1.
14. C 【解析】∵对于函数y ＝a (x －h )2
＋k ，当x ＝1时，y ＝1，当x ＝8时，y ＝8，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a （1－h ）2
＋k ＝1①
a （8－h ）2
＋k ＝8②，②－①，得a (9－2h )＝1；若h ＝4，则a ＝1>0，A 选项错误；若h ＝5，则a ＝－1<0，B 选项错误；若h ＝6，则a ＝－13<0，C 选项正确；若h ＝7，则a ＝－1
5
<0，D 选项错误．
15. A 【解析】根据题图可得，抛物线y ＝ax 2
的图象经过点(1，3)时，a 取得最大值，此时a ＝3；抛物线
y ＝ax 2的图象经过点(3，1)时，a 取得最小值，此时9a ＝1，解得a ＝1
9.∴实数a 的取值范围为19
≤a ≤3.
16. D 【解析】由题意，得y ＝x 2
－(m －1)x ＋m ＝(x －m －1
2
)2
－m 24＋3m 2－1
4
，沿y 轴向下平移3个单位后y ′
＝(x －
m －1
2
)2
－m 24＋3m 2－134，平移后顶点为(m －12，－m 24＋3m 2－134)，∵m ＞1，∴m －12＞0，令y 1＝－m 24＋3m
2
－
134，开口向下且b 2
－4ac ＝(32)2－4×(－14)×(－134)＝－1＜0，∴－m 2
4＋3m 2－134＜0，∴平移后得到的抛物线的顶点在第四象限．
17. C 【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＜0，故①正确；
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2
－4ac >0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，则－b
2a ＝1，即2a
＝－b ，∴2a ＋b ＝0，故③错误；∵抛物线经过点(3，0)，且对称轴为直线x ＝1，∴抛物线经过点(－1，0)，则a －b ＋c ＝0，故④正确；∴正确的有①②④，共3个．
18. B 【解析】∵二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象过(－3，0)与(1，0)两点，∴对称轴为直线x ＝－3＋12＝
－1，∵关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＋m ＝0(m >0)有两个根，其中一个根是3，∴二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与直线y ＝－m (m >0)有两个交点，其中一个交点是(3，－m )，∵对称轴为直线x ＝－1，∴二次函数y ＝ax
2
＋bx ＋c 的图象与直线y ＝－m (m >0)的另一交点为(－5，－m )，∵二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象过(－3，0)与(1，0)两点，∴二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象的开口向下，∵关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＋n ＝0(0<n <m )有两个整数根，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与直线y ＝－n (0<n <m )两个交点的横坐标为整数且分别介于－3与－5，1与3之间．即这两个整数根为－4或2. 19. 解：(1)若抛物线的对称轴为x ＝1，则b ＝－2a ， ∴抛物线解析式为y ＝ax 2
－2ax ＋c ，
令y ＝c ，则ax 2
－2ax ＋c ＝c ，即ax (x －2)＝0， ∵a ＞0，x 1＜x 2，∴x 1＝0，x 2＝2； (2)∵x 1＋x 2>3且y 1<y 2，
∴x 2到对称轴x ＝t 的距离大于x 1到对称轴x ＝t 的距离． ∴|x 2－t |>|x 1－t |.
①当x 1，x 2在对称轴左侧，不成立；
②当x 1，x 2在对称轴右侧，则必有y 1<y 2成立； ③当x 1，x 2在对称轴异侧时，x 2－t >t －x 1， ∴x 1＋x 2>2t ，
∵x 1＋x 2>3，∴2t ≤3，∴t ≤32.
综上所述，t ≤3
2
.
20. 解：(1)点B 在直线y ＝x ＋m 上，理由如下： ∵直线y ＝x ＋m 经过点A (1，2)， ∴2＝1＋m ，解得m ＝1， ∴直线的表达式为y ＝x ＋1， 将x ＝2代入y ＝x ＋1得y ＝3，
∴点B (2，3)在直线y ＝x ＋m 上；
(2)∵直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋1都经过点(0，1)，且B 、C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A 、C 两点，
把A (1，2)，C (2，1)代入y ＝ax 2
＋bx ＋1得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＋b ＋1＝24a ＋2b ＋1＝1
，
解得a ＝－1，b ＝2；
(3)由(2)知，抛物线解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋1，
设平移后的抛物线为y ＝－x 2
＋px ＋q ，则其顶点坐标为(p 2，p 2
4＋q )，与y 轴交点纵坐标为q .
∵顶点仍在直线y ＝x ＋1上， ∴p 24＋q ＝p
2
＋1， ∴q ＝－p 24＋p
2＋1＝－14(p －1)2
＋54，
∵－1
4
<0，
∴当p ＝1时，q 取最大值，最大值为54，即平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标的最大值为5
4
.
21. C 【解析】∵抛物线的解析式为y ＝ax 2
－2ax ，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴若|x 1－1|＝|x 2－1|，则y 1＝y 2，故C 选项正确；若y 1＝y 2，则x 1＝x 2或x 1＝2－x 2，故D 选项错误；当a ＞0时，若|x 1－1|＞|x 2－1|，即x 1到对称轴的距离大于x 2到对称轴的距离，则y 1＞y 2；当a ＜0时，若|x 1－1|＞|x 2－1|，即x 1到对称轴的距离大于x 2到对称轴的距离，则y 1＜y 2，∵a 值不确定，故A ，B 选项错误．
22. (1，0)或(2，0)或(0，2) 【解析】将关联数为(m ，－m －2，2)代入函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 得y ＝mx 2
＋(－
m －2)x ＋2，∵关联数为(m ，－m －2，2)的函数图象与x 轴有两个整交点，∴b 2－4ac ＝(－m －2)2－8m ＝(m
－2)2＞0，∴m ≠2，令mx 2＋(－m －2)x ＋2＝(mx －2)(x －1)＝0，解得x 1＝1，x 2＝2m
，∴m ＝1，∴y ＝x 2
－3x
＋2，令y ＝0，解得x ＝1或x ＝2，即与x 轴交点坐标为(1，0)或(2，0)，令x ＝0，解得y ＝2，即与y 轴交点坐标为(0，2)，∴这个函数图象上整交点的坐标为(1，0)或(2，0)或(0，2)．。