高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数第一册数学教案

3．3 幂函数
最新课程标准：通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝1
x
，y ＝x 2
，y
＝x ，y ＝x 3
的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y ＝x α
叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 状元随笔 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
知识点二 幂函数的图象与性质
函数 y ＝x
y ＝x 2
y ＝x 3
y ＝x 1
2
y ＝1
x
定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性
奇函数
偶函数 奇函数
非奇非 偶函数
奇函数
单调性
在R 上 递增
在(－∞，0)
上递减， 在(0，＋∞) 上递增
在R 上 递增
在(0，＋∞) 上递增
在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
状元随笔 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y ＝x α
是增函数；当α<0时，y ＝x α
是减函数．
[教材解难]
教材P90思考
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
[基础自测]
1．在函数y＝1
x4
，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：函数y＝1
x4
＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．答案：B
2．幂函数f(x)的图象过点(3，3
9)，则f(8)＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，
3
9)，可得3
9＝3α
，∴α＝2
3
，则幂函数f (x )＝x 23，∴f (8)＝823＝
4.
答案：C
3．已知幂函数f (x )＝(m 2
－3m ＋3)x m ＋1
为偶函数，则m ＝( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．3
解析：∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x
m ＋1
为偶函数，∴m 2
－3m
＋3＝1，即m 2
－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数
f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇
函数，不满足条件．故选A.
答案：A
4．判断大小：0.20.2
________0.30.2
. 解析：因为函数y ＝x 0.2是增函数， 又0.2<0.3， ∴0.20.2
<0.30.2
. 答案：<
题型一 幂函数的概念[经典例题] 例1 (1)下列函数：①y ＝x
3
；②y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
；③y ＝4x 2；④y ＝x
5
＋1；⑤y ＝(x －1)2
；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x
(a >1)．
其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
(2)若函数y ＝(m 2
＋2m －2)x m
为幂函数且在第一象限为增函
数，则m 的值为( )
A.1 B ．－3 C ．－1 D ．3
(3)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝
⎛⎭⎪⎫
3，19，则
f (4)＝_____.
【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
(2)因为函数y ＝(m 2
＋2m －2)x m
为幂函数且在第一象限为增函数，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
＋2m －2＝1，m >0，所以m ＝1.
(3)设f (x )＝x α
，所以19
＝3α
，α＝－2，
所以f (4)＝4－2
＝1
16
.
【答案】 (1)B (2)A (3)1
16
(1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)依据幂函数的定义列方程求m.
(3)先设f(x)＝x α
，再将点(3，1
9
)代入求α.
方法归纳
(1)幂函数的判断方法
①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y ＝x α
(α∈R )的函数才是幂函数．
②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
(2)求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据．
若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
②常用方法．
设幂函数解析式为f (x )＝x α
，根据条件求出α. 跟踪训练1 (1)给出下列函数：
①y ＝1
x
3；②y ＝3x －2；③y ＝x 4
＋x 2
；④y ＝3
x 5；⑤y ＝(x －1)2
；
⑥y ＝0.3x
.其中是幂函数的有( )
A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
(2)函数f (x )＝(m 2
－m －1)·x
23
m m ＋－是幂函数，且当x ∈(0，
＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．
解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y ＝1x 3＝x －3
和y ＝3
x 5
＝x 5
3
符合幂函数的定义，是幂
函数，其余四个都不是幂函数．
(2)根据幂函数定义得m 2
－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1，
当m ＝2时，f (x )＝x 3
在(0，＋∞)上是增函数，
当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． 故f (x )＝x 3
.
答案：(1)B (2)f (x )＝x
3
(1)利用幂函数定义判断．(2)由幂函数的系数为1，求m 的值，然后逐一验证．
题型二 幂函数的图象及应用[经典例题]
例2 幂函数y ＝x m
，y ＝x n
，y ＝x p
，y ＝x q
的图象如图，则将m ，
n ，p ，q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．
【解析】 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n <0， 当x >1时，在直线y ＝x 上方的α>1，下方的α<1，所以p >1，0<m <1，0<q <1；x >1时，指数越大，图象越高，所以m >q ，综上所述n <q <m <p .
【答案】 n <q <m <p
依据α<0,0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断． 方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1
或y ＝x 1
2
或y ＝x 3
)来判断．
跟踪训练2 当
α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，1
2，1，2，3时，幂函数
y ＝x α的
图象不可能经过第__________象限．
解析：幂函数y ＝x －1
，y ＝x ，y ＝x 3
的图象经过第一、三象限；
y ＝x 12
的图象经过第一象限；y ＝x 2的图象经过第一、二象限．
所以幂函数y ＝x α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＝－1，1
2，1，2，3的图象不可能经过
第四象限．
答案：四
要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点． 题型三 幂函数的单调性质及应用[教材P 91例1] 例3 证明幂函数f (x )＝x 是增函数． 【证明】 函数的定义域是[0，＋∞)． ∀x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，有
f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2
＝
x 1－x 2x 1＋x 2
x 1＋x 2
＝x 1－x 2
x 1＋x 2
.
因为x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，
所以f (x 1)<f (x 2)，即幂函数f (x )＝x 是增函数. 利用定义法证明幂函数的单调性． 教材反思
幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减．
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．
跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小．
(1)3.11.3与2.91.3
； (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14 32
-
与⎝ ⎛⎭
⎪⎫1332
-
；
(3)⎝ ⎛⎭
⎪
⎫121
3与⎝ ⎛⎭
⎪⎫321
4.
解析：(1)函数y ＝x 1.3
在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3
>2.91.3
.
(2)方法一 函数y ＝x
32
-
在(0，＋∞)上为减函数，又因为14<1
3
，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1432
->⎝ ⎛⎭
⎪⎫133
2-
.
方法二 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫143
2-
＝4
32
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫133
2-＝332
.
而函数y ＝x 32
在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以432
>332
，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫1432
-
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1332
-
.
(3)因为⎝ ⎛⎭⎪
⎫1213
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫120
＝1； 而⎝ ⎛⎭
⎪⎫3214
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫320
＝1； 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1213
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫3214
.
(1)利用函数y ＝x 1.3
的单调性来判断．
(2)利用函数y ＝x
32
-
的单调性来判断．
(3)找中间量判断． 一、选择题
1．下列结论正确的是( ) A ．幂函数图象一定过原点
B ．当α<0时，幂函数y ＝x α
是减函数 C ．当α>1时，幂函数y ＝x α
是增函数 D ．函数y ＝x 2
既是二次函数，也是幂函数
解析：函数y ＝x －1
的图象不过原点，故A 不正确；y ＝x －1
在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B 不正确；函数y ＝x 2
在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C 不正确．
答案：D
2．设α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1，2，3，1
2，－1，则使函数
y ＝x α的定义域为R
且函数y ＝x α
为奇函数的所有α的值为( )
A ．－1,3
B ．－1,1
C ．1,3
D ．－1,1,3
解析：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3
，y ＝x 12
，y ＝x －1
是常见的五个幂函数，显然y ＝x α
为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R ，所以α≠－1，故α＝1,3.
答案：C
3．在下列四个图形中，y ＝x 12
-的图象大致是( )
解析：函数y ＝x 1
2
-的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D. 答案：D
4．函数y＝x35在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x35在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x35，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)35＝－x35＝－f(x)，所以f(x)＝x35是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x35也是增函数．
当x＝0时，y＝0，故y＝x35在[－1,1]上是增函数且是奇函数．答案：A
二、填空题
5．已知幂函数f(x)＝x
21
m－
(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无
交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1<m<1；
∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.
答案：α<0
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
则不等式f (|x ． 解析：由表中数据知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝1
2， ∴f (x )＝x 12
，
∴|x |12
≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：{x |－4≤x ≤4} 三、解答题
8．已知函数f (x )＝(m 2
－m －1)x －5m －3
，m 为何值时，f (x )：
(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数．
解析：(1)∵f (x )是幂函数， 故m 2
－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－4
5.
此时m 2－m －1≠0，故m ＝－4
5
.
(3)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，
则m ＝－25，此时m 2
－m －1≠0，
故m ＝－2
5
.
(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2
－m －1≠0，故m ＝－1. 9．比较下列各题中两个值的大小； (1)2.334，2.434
；
(2)(2)
32
-
，(3)
32
-
；
(3)(－0.31)65
，0.3565
.
解析：(1)∵y ＝x 34
为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴2.334<2.434
. (2)∵y ＝x
32
-为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，
∴(2)
32
-
>(3)
32
-.
(3)∵y ＝x 65
为R 上的偶函数，∴(－0.31) 65
＝0.3165
. 又函数y ＝x 65
为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35， ∴0.3165
<0.3565
，即(－0.31) 65
<0.3565
.
[尖子生题库]
10．已知幂函数f (x )＝x 21
()m m －＋ (m ∈N *
)经过点(2，2)，
试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
解析：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2
21
()m m －＋，即212
＝2
21
()m m －＋.
∴m 2
＋m ＝2.
解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *
，∴m ＝1.
∴f (x )＝x 1
2
，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f (2－a )>f (a －1)， 得⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <3
2
.
∴a
的取值范围为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫
1，32.。