上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题

上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算：AB AC BC -+=______.
2．三阶行列式123
456789
的元素4的代数余子式是___________.
3．已知点(4,3)A ，(1,15)B -，则向量AB 的单位向量为______.
4．若线性方程组的增广矩阵为122332c c ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则c 1–c 2=_________． 5．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE 可以用a 和b 表示为____________.
6．若行列式4a b b
a b a +-=+，则a b +=______.
7．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
______. 8．设(2,7),(,3)p q x ==-，若p 与q 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 9．在ABC ∆中，若B C BA BC A A =⋅⋅，则ABC ∆的形状为__________.
10．在ABC ∆中，14
AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．
11．已知平行四边形ABCD ，4AB =
，AD =A 为锐角，
且sin A =，点0P 是边CD 上一定点，点P 是边CD 上一动点，若00PA PB P A P B
⋅≥⋅恒成立，则0P D =______.
12．设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ABC ∠=______.
二、单选题
13．已知直线l 的方程为
1221x y --=-，则l 的法向量n 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1)
C ．(1,2)-
D ．(1,2) 14．已知(,),(5,0)a m n b ==-且向量a 在向量b 方向上的投影是2-，则（ ） A ．2,2m n ==-
B ．2,2m n =-=
C ．2m =，n 取任意实数
D ．2m =-，n 取任意实数
15．．已知向量,a e 满足：,||1a e e ≠≡，对任意t R ∈，恒有||a te a e ≥－－，则( ) A ．a e ⊥
B ．()a e a ⊥－
C ．()e e a ⊥－
D ．()()a e e a ⊥+-
16．对于非零向量m 、n ，定义运算“#”：#||||sin m n m n θ=⋅，其中θ为m 、n 的夹角，有两两不共线的三个向量a 、b 、c ，下列结论：①若##a b a c =，则b c =；②##a b b a =；③若#0a b =，则//a b ；④()
###a b c a c b c +=+；⑤()
##a b a b =-；其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
三、解答题
17．已知O 为原点，(3,1)OA =，(1,2)OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求OC 的坐标. 18．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩
，并对解的情况进行讨论.
19．已知(3)22,4a b -=-， ()2,2c =-，2a c ⋅=，4b =，求b 与c 的夹角. 20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．
（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且
CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49
，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 21．已知ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设APQ 的面积
为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =.
（1）求GA GB GC ++；
（2）求证：111p q
+=. （3）求
12
S S 的取值范围.
参考答案
1．
【分析】
由向量的减法和加法运算直接得解.
【详解】
0AB AC BC CB BC -+=+=
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算，属于基础题.
2．2389
- 【分析】
利用代数余子式定义直接求解．
【详解】 在三阶行列式1
23456789
中，
元素4的代数余子式的为：323
23
(1)8989-=-．
∴元素4的代数余子式的为2389
-． 故答案为2389
-． 【点睛】
本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．
3．512, 1313⎛⎫- ⎪⎝⎭或512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
首先求向量AB 的坐标，再设单位向量为(),e x y =，根据条件列出关于,x y 的方程，求解向量.
【详解】
因为点(4,3)A ，(1,15)B -，所以()5,12AB =-,
设向量AB 的单位向量为(),e x y =，
则2251201y x x y --=⎧⎨+=⎩ ，解得：5131213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或5131213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 所以向量AB 的单位向量是512, 1313⎛⎫- ⎪⎝⎭或512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：512, 1313⎛⎫-
⎪⎝⎭或512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】
本题考查向量的坐标运算，共线向量和单位向量，重点考查计算能力，属于基础题型. 4．–1；
【分析】
根据题意得到122317c =⨯+⨯=，223128c =⨯+⨯=，计算得到答案.
【详解】
线性方程组的增广矩阵为122332c c ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩ 则122317c =⨯+⨯=，223128c =⨯+⨯= ，故121c c -=-
故答案为：1-
【点睛】
本题考查了增广矩阵，意在考查学生的计算能力.
5．12
BE b a =-
【分析】
利用平面向量基本定理，取a 和b 为基底，将BE 用基向量表示出即可．
如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+
-=-． 故答案为：12
BE b a =-.
【点睛】
考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．
6．2±
【分析】
化简行列式得2(a b)4+=，即得解.
【详解】
由题得()()4a b a b a b +⋅+⋅+=，
所以2(a b)4+=，
所以2a b +=±.
故答案为：2±
【点睛】
本题主要考查行列式的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
7．881820⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
利用矩阵乘法的法则直接计算.
【详解】
122412231422883432324334421820⨯+⨯⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：881820⎛⎫ ⎪⎝⎭.
本题考查矩阵的乘法，属于基础题.
8．6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∪ 【分析】
利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.
【详解】 p 与q 的夹角为钝角，
∴0p q ⋅<，即2210x -<，解得212
x <. 当p 与q 方向相反时，设p q λ=且0λ<，
(2,7)∴(,3)x λλ=-，
∴273x λλ
=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x 的范围为212x <且67
x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】
本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．
9．等腰三角形
【分析】
由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.
【详解】
作CD AB ⊥交AB 于D ，
因为AB AC BA BC ⋅=⋅
所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=，
所以AD BD =，则D 为AB 的中点，
由三角形底边AB 中线与高合一，
所以ABC ∆为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.
10．304m <<
【详解】 试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4
DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =
时，M E =，所以304
m <<. 考点：向量加法的几何意义
11．1
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，可得()()()0,0,4,0,5,2A B C (),1,2D ，设(),2P m ，15m ≤≤，则可计算出PA PB ⋅取最小值是对应的P 即为0P ，即可得解.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，
A 为锐角，且sin A =cos A =，
则sin 5D y A AD ==，即2D y =，又cos 5
D x A AD ==，即1D x =， ()1,2D ∴，可知()()()0,0,4,0,5,2A B C ，
设(),2P m ，15m ≤≤，
()()()2
2,24,24+42PA PB m m m m m ∴⋅=--⋅--=-=-，
当2m =时，PA PB ⋅取得最小值为0，此时()2,2P ，
若00PA PB P A P B ⋅≥⋅恒成立，则()02,2P ， 01P D ∴=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，建立直角坐标系利用坐标运算是解决此类问题的有效方法，属于基础题.
12．21
【分析】
利用三角形的垂心与向量的关系得解.
【详解】
先证明：已知O 是ABC ∆内的一点，,,BOC AOC AOB ∆∆∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，
求证：•••0A B C S OA S OB S OC ++=
证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则
图1 图2
BOD ABD BOD C
ABD ACD COD ACD COD B
S S S S S BD DC S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆-====- OD =
DC
BC OB +BD BC OC =B B C S S S +OB +C B C
S S S +OC
BOD COD BOD COD A BOA COA BOA COA B C
S S S S S OD OA S S S S S S +====++ ∴ A
B C S OD S S =-
+OA
∴A B C S S S -
+OA =B
B C S S S +OB +C B C S S S +OC
∴•••0A B C S OA S OB S OC ++=
再证明：O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan BOC COA AOB S S S A B C ∆∆∆=
⇔tan ?tan ?tan ?0A OA B OB C OC ++=
证明：如图O 为三角形的垂心，tan ,tan CD CD
A B AD DB
=
=
⇒tan :tan :A B DB AD = :BOC COA S S ∆∆=:DB AD ∴:tan :tan BOC COA S S A B ∆∆=
同理得:tan :tan COA AOB S S B C ∆∆=，:tan :tan BOC AOB S S A C ∆∆=
∴::tan :tan :tan BOC COA AOB S S S A B C ∆∆∆=
tan tan tan 0A OA B OB C OC •••∴++=
由以上结论得：
H 是ABC ∆的垂心⇔
::tan :tan :tan BHC CHA AHB S S S A B C ∆∆∆=
⇔tan tan tan 0A HA B HB C HC •••++=
由题设得tan tan tan
345A B C
λ===.再由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得λ=，
tan B =
故cos ABC ∠=.
故答案为【点睛】
本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题. 13．D 【分析】
可知直线的方向向量为()2,1m =-，则找出与m 垂直的向量即可. 【详解】
由直线方程可知其方向向量为()2,1m =-， 则可得m n ⊥，即0m n ⋅=，则可以判断D 选项符合. 故选：D. 【点睛】
本题考查直线的方向向量的求解，考查方向向量与法向量的关系，属于基础题. 14．C 【分析】
由向量a 在向量b 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||
a b
a a
b b ⋅-=<>=，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系. 【详解】
由向量a 在向量b 方向上的投影定义得：2||cos ,||
a b
a a
b b ⋅-=<>=
， 所以5225
m
m --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.
故选：C. 【点睛】
本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题. 15．C 【详解】
由条件可知2
2
||te a e a ≥－－对t R ∈恒成立，又
1e ＝，
22?·2?10t a e t a e ∴≥－＋－对t R ∈恒成立，
即()
2
4840a e a e ∆⋅⋅≤＝－＋恒成立．
20(1)a e ∴≤⋅－恒成立，
而2·10(·10)a e a e ≥∴－，－＝.
即2
·1()·0a e e a e e ∴＝＝，－＝，即()e e a ⊥－． 16．B
【分析】
由向量不共线可判断①、③；由新定义运算可判断②、⑤；举出反例可判断④；即可得解. 【详解】
由向量a 、b 、c 两两不共线可得①、③错误；
对于②，#sin ,a b a b a b =⋅，#sin ,b a b a a b =⋅，所以##a b b a =， 故②正确；
对于④，若a 、b 、c 均为单位向量且两两夹角均为120，如图，
易得()
//a b c +，
1a b +=，
所以()
#sin1800a b c a b c +=+⋅=，
##sin120sin1203a c b c a c b c +=⋅+⋅=，
所以()
###a b c a c b c +≠+，故④错误；
对于⑤，#sin ,a b a b a b =⋅，()
()#sin ,sin ,a b a b a b a b a b
π-=-⋅-=⋅，
故⑤正确. 故选：B. 17．(14,7). 【分析】
设C 为(),x y ,则(),OC x y =,故BC OC OB =-,由题可得0OC OB ⋅=,BC 与OA 平行,
进而求出点C 坐标即可 【详解】
由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =,所以()1,2BC OC OB x y =-=+- 因为OC 与OB 垂直,则0OC OB ⋅=,即20x y -+=①, 又因为BC 与OA 平行,则
12
31
x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =, 所以OC 的坐标为()14,7 【点睛】
本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力
18．当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组
有唯一解21
41m x m m y m --⎧
=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩
【分析】
将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】
系数矩阵对应的行列式221233
m D m m m
-=
=--，
当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，
1621m m m m x D m -----==+，62341
m m m y m D m ----==
--+． 2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．
当3m =时，原方程为3
339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩
无数个解，
当1m =-时，原方程组为31
33x y x y -+=⎧⎨-=-⎩
无解．
【点睛】
本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力．
19．arccos 16
π-. 【分析】
设(),b x y =，表示出cos ,
b c <>=，利用已知条件求得3
2
y x -=-代入得解.
【详解】
设(),b x y =，则cos ,82
b c b c b c
<>=
=
，
(3)22,4a b -=-，22(
)324
,3
y a x -+∴= 2a c ⋅=，2243
(2)222332
y x y x -+∴-⨯+⨯=⇒-=-
2cos ,16
82
y x b c -=
=-
b 与
c 的夹角范围为[0,]π，b 与c 的夹角为π-【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算求夹角，属于基础题. 20．（1）370x y -+=；（2）1133
y x =+或1
33y x =+.
【分析】
（1）作出图形，可得出CDE
ABC ∆∆，根据面积比为4
9
得出
23CD AC =，从而得出2CD DA =，
设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；
（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式.
【详解】 （1）
//l AB ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆，且
2
49CDE ABC
CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
， 2CD DA ∴=，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--，()1,2DA m n =--，
()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩
，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴.
直线AB 的斜率为211
123AB k -=
=+，//l AB ，则直线l 的斜率为13
. 因此，直线l 的方程为()1
323
y x -=-，即370x y -+=；
（2）直线AB 的方程为()1
213
y x -=
-，即350x y -+=，
AB =
=
设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆
的面积为11
222ABC S AB d d ∆=
⋅=
=， 得d =
，另一方面，由点到直线的距离公式得
d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =
+或1
33y x =+.
因此，y 关于x 的函数关系式为1133
y x =+或1
33y x =+
.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
21．（1）0；（2）证明见解析；（3）41,92⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
（1）延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，可得+2GB GC GD =，2GA GD =-，即可求出；
（2）设,AB a AC b ==，可得1+p AP a p =，1+q
Q b A q
=，可得()
AQ AP AG AP λ-=-，即可建立关系求得；
（3）可得12
1
sin 211+1+sin 2
AP AQ BAC AP AQ S p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅⋅∠，再根111p q +=结合p 的范围求出. 【详解】
（1）延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，
+2GB GC GD ∴=,
G 是重心，2GA GD ∴=-，
2+20GA GB GC GD GD ∴++=-
=；
（2）设,AB a AC b ==,
AP pPB =，1+p
AP a p =
∴， AQ qQC =，1+q
AQ b q
∴=
，
,,P G Q 三点共线，
则存在λ，使得PQ PG λ=，即()
AQ AP AG AP λ-=-，
即
11++1+1+331+31+3
q p p p a a b a b q p b a p p λλλ
λ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1+31+1+3
p p p p q q λλλ⎧-=-⎪⎪
∴⎨⎪=
⎪⎩，整理得33211p q p q λ==-+，
即
211p q p q -+=，即1121p q
-=+，即11
1p q +=；
（3）由（2）1+p AP AB p
=
，1+q
AQ AC q =， 121
sin 211+1+sin 2
AP AQ BAC AP AQ
S p q S p q
AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅∴===⋅⋅⋅⋅∠， 111p q +=，1
p q p =-，可知1p >， 212
2222111111+1+1+211192+24
S p q p p S p q p p p p p p
p p ∴=⋅=⋅===+-⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭-，
1p >，1
01p
∴<
<， 则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =时，12S S 取得最大值1
2，
11p ≠，则12S S 的取值范围为41,92⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.。