2021年优质数学教学课件初中数学角平分线常见题型

如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。
M A
P
O
BN
模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等
三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角
进行转移，这是经常使用的一种解题技巧
典例精选
1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
A DE
B
C
5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC
求证：AD=AB-BC
AD
E
B
C
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B 结论：△AOB是等腰三角形
O
M A
P
BN
模型分析：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C
A
E 12 D
C
B
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E
求证：BE= 1（AC-AB） 2
A
E
B
D
C
模型4：角平分线+平行线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形
5．如图在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E． （1）试说明：AC是⊙O的切线；
A
求证：EF=AC
F
BE
D
C
3．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'． 判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
4.如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分∠BAC． 求证：AC⊥BC．
以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个 模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来
模型实例
如 图 ， 已 知 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 ， ∠ A=90° ， AB=AC ， BD 平 分 ∠ ABC ， CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE
A DE
BC典例精选来自MQP
O
N
模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行
线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线 与等腰三角形之间的密切关系
模型实例
解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出 线段EF与BE、CF有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF 与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交 AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？
a . 如图1，在ABC中,若ABC与ACB的 平分线交于点P,则有BPC 90 1 A;
2
c. 如图3，在ABC中,若CBD与BCE的 平分线交于点P,则有BPC 90 1 A;
2
b. 如图2，在ABC中,若ABC与ACD的 平分线交于点P,则有BPC 1 A;
2
模型2：截取构造对称全等
求证：∠BAD+∠BCD=180°
A D
B
C
2．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线 段BC的长
C
A
D
B
3．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB+CD
A D
B
C
4．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长 BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE
模型实例
1.如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直 线AB的距离是 .
A
C
D
B
?1
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若
∠BPC=40°，则∠CAP=
。
P
A
B
C
D
补充知识
三角形内、外角平分线所构成的角与第三角的关系：“内加、外减、旁一半”．
初中数学角平分线常见题型
模型1：角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA
O
M A
P BN
模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离
相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件， 进而可以快速找到解题的突破口
A
A
EF
ED F
B
图1
C
B 图2 C
A
D
C B
F
E
D
G
M
图3
N
典例精选
1.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于
点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为
.
A
M B
E
N
C
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD