信号与系统阶跃信号和冲激信号
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f ( t)( t) f ( 0 )( t) f ( 0 )( t)
(t) du(t) t ()du(t)
dt
X
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。
主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
X
一．单位斜变信号R(t)
1． 定义
0 R(t)t
4. 对(t)的标度变换（scale尺度）
at 1 t
a
另外：冲激偶的标度变换
at 1 1t
aa
(k)at
1 a
1 ak
(k)t
X
四.总结： R(t)，u(t)，(t) 之间的关系
R(t )
45° u(t)
(t)
1 1
O1
t
O
(1)
t
t
O
R(t)
↓↑
求导
u(t) 积分
↓↑
(t)
(-<t< )
(t)
强度值1
(1 )
(t t0 )
时移的单位冲激函数
(1 )
o
t
若面积为k，则强度为k。
o
t0
t
意义： 瞬间脉冲
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限下，都可以进化成单位冲激信号。
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
② 平均面积 (t)dt0, 单边面积 t (t)dtt
③ (t)(t), (t0t) (tt0)
所 以(t)是 奇函 数
④ f t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t ， 和连续函数的乘积
（ 与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不 同 ） X
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。
但由于 t 是一个广义函数，它还有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
X
1. 抽样性(筛选性)
如果某信号f(t)在t = 0处连续，且t0处处处f(有t0)界的，函则数有值
(t)f(t)f(0 )(t)
f (t)
(t)f(t)dtf(0)
斜率为单位1 t 0 t 0
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(tt0)tt0
tt0 tt0
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0 3．锯齿（单边三角形）单脉冲
f(t)K R(t)
0
0t
其它
R (t) 1
45度角
O1
t
R(t t0) 1
O t0 t0 1 t
f (t) K
任意斜角
O
t
X
二．单位阶跃信号u(t)
1. 定义
任意幅度呢？
u(t)
0 u(t)1
t0
0点
无
定1义
1
或
t0
2
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号
u(t t0 )
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
1
O
t0
t
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
u(t t0 ) 1
由宗量 t t0 0 可 t 知 tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,即 时 t0 O
间 为，t0时 函数有断点，跳变点 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
t X
3．用单位阶跃信号u(t)描述其它信号
门函数：也称窗函数(宽为τ)
f t
ftut2ut2G (t)
其他函数只要被门函数处理(即乘以门
2
1 O
Gτ t
t
2
函数)，就只留下该门内的部分。
符号函数：(Signum)
sgn t
1
sgnt)(11
t 0 t0
O
t
-1
st ) g u ( n t ) u ( ( t ) 2 u ( t ) 1 u(t)1[sgtn)(1] 2
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f(t)(t)f(0 )(t)
f(t)(t)dtf(0)
（5）卷积性质 ft tft
（6）冲激偶
(t)(t) 奇函数
（2）奇偶性：偶
(t)(t)
（3）比例性
(at) 1 t
a
（4）微积分性质
(t)dt 0
t (t)dt(t)
f(t)(t)dtf(0)
X
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
定义1：狄拉克δ(t)函数 (Dirac)
(t)dt 1
(t) 0
t 0
(t)dt 0(t)dt
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零，其他为0；
➢ 积分总面积为1；
➢ t =0 时，t，为无界函数。
3个特征
X
定义2 （极限法定义）
f(0)
X
3.冲激偶（冲激的导数）
s(t )
1 1
o
求导
s(t )
1
2 1
2
O
1 2
1
2
成为
t
0
成为
t
(t)
(1)
O
t
(t)
求导关系
t
O
X
冲激偶δ’(t)的性质
① (t)f(t)dtf(0)
结合时移，则：
(tt0)f(t)dtf(t0)
对t的k阶 导 数： (k)tftdt1kf(k)0
p(t)1ut2ut2
p(t )
1
0
O 2
t
2
面积1；当脉宽τ↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积保持为=1 三个特点： ★宽度为→0
物理意义：闪电， 瞬间放电
★幅度无 0 穷
t 0 t 0
X
描述（公式或图形表达）
(t)l i0p m (t)l i01 m u t2 u t2
f (0)
对于移位情况：
o
t
冲激抽样信号的表达式
(t t0 )f(t) f(t0 )(t t0 ) 筛出了t0点的函数值
(tt0)f(t)dtf(t0)
X
2. 奇偶性
(t)(t)
在t=0处偶 对称
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
(t)f(t)dt
f(t)(t) f(t)(t)d t
(t) du(t) t ()du(t)
dt
X
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。
主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
X
一．单位斜变信号R(t)
1． 定义
0 R(t)t
4. 对(t)的标度变换（scale尺度）
at 1 t
a
另外：冲激偶的标度变换
at 1 1t
aa
(k)at
1 a
1 ak
(k)t
X
四.总结： R(t)，u(t)，(t) 之间的关系
R(t )
45° u(t)
(t)
1 1
O1
t
O
(1)
t
t
O
R(t)
↓↑
求导
u(t) 积分
↓↑
(t)
(-<t< )
(t)
强度值1
(1 )
(t t0 )
时移的单位冲激函数
(1 )
o
t
若面积为k，则强度为k。
o
t0
t
意义： 瞬间脉冲
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限下，都可以进化成单位冲激信号。
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
② 平均面积 (t)dt0, 单边面积 t (t)dtt
③ (t)(t), (t0t) (tt0)
所 以(t)是 奇函 数
④ f t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t ， 和连续函数的乘积
（ 与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不 同 ） X
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。
但由于 t 是一个广义函数，它还有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
X
1. 抽样性(筛选性)
如果某信号f(t)在t = 0处连续，且t0处处处f(有t0)界的，函则数有值
(t)f(t)f(0 )(t)
f (t)
(t)f(t)dtf(0)
斜率为单位1 t 0 t 0
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(tt0)tt0
tt0 tt0
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0 3．锯齿（单边三角形）单脉冲
f(t)K R(t)
0
0t
其它
R (t) 1
45度角
O1
t
R(t t0) 1
O t0 t0 1 t
f (t) K
任意斜角
O
t
X
二．单位阶跃信号u(t)
1. 定义
任意幅度呢？
u(t)
0 u(t)1
t0
0点
无
定1义
1
或
t0
2
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号
u(t t0 )
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
1
O
t0
t
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
u(t t0 ) 1
由宗量 t t0 0 可 t 知 tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,即 时 t0 O
间 为，t0时 函数有断点，跳变点 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
t X
3．用单位阶跃信号u(t)描述其它信号
门函数：也称窗函数(宽为τ)
f t
ftut2ut2G (t)
其他函数只要被门函数处理(即乘以门
2
1 O
Gτ t
t
2
函数)，就只留下该门内的部分。
符号函数：(Signum)
sgn t
1
sgnt)(11
t 0 t0
O
t
-1
st ) g u ( n t ) u ( ( t ) 2 u ( t ) 1 u(t)1[sgtn)(1] 2
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f(t)(t)f(0 )(t)
f(t)(t)dtf(0)
（5）卷积性质 ft tft
（6）冲激偶
(t)(t) 奇函数
（2）奇偶性：偶
(t)(t)
（3）比例性
(at) 1 t
a
（4）微积分性质
(t)dt 0
t (t)dt(t)
f(t)(t)dtf(0)
X
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
定义1：狄拉克δ(t)函数 (Dirac)
(t)dt 1
(t) 0
t 0
(t)dt 0(t)dt
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零，其他为0；
➢ 积分总面积为1；
➢ t =0 时，t，为无界函数。
3个特征
X
定义2 （极限法定义）
f(0)
X
3.冲激偶（冲激的导数）
s(t )
1 1
o
求导
s(t )
1
2 1
2
O
1 2
1
2
成为
t
0
成为
t
(t)
(1)
O
t
(t)
求导关系
t
O
X
冲激偶δ’(t)的性质
① (t)f(t)dtf(0)
结合时移，则：
(tt0)f(t)dtf(t0)
对t的k阶 导 数： (k)tftdt1kf(k)0
p(t)1ut2ut2
p(t )
1
0
O 2
t
2
面积1；当脉宽τ↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积保持为=1 三个特点： ★宽度为→0
物理意义：闪电， 瞬间放电
★幅度无 0 穷
t 0 t 0
X
描述（公式或图形表达）
(t)l i0p m (t)l i01 m u t2 u t2
f (0)
对于移位情况：
o
t
冲激抽样信号的表达式
(t t0 )f(t) f(t0 )(t t0 ) 筛出了t0点的函数值
(tt0)f(t)dtf(t0)
X
2. 奇偶性
(t)(t)
在t=0处偶 对称
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
(t)f(t)dt
f(t)(t) f(t)(t)d t