湖南省高中数学 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函

【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及
三角函数模型的简单应用提能训练 理 新人教A 版
(40分钟 80分)
一、选择题（每小题5分，共20分）
1.(2012·岳阳模拟)函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是( ) (A)θ=2k π+
2
π
(k ∈Z) (B)θ=2k π+π(k ∈Z) (C)θ=k π+
2
π
(k ∈Z) (D)θ=k π+π(k ∈Z)
2.(2012·衡阳模拟)若函数f(x)＝sin(ωx+φ)(|φ|<
2
π
)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的值是( )
(A)ω=1,φ=
3π (B)ω=1,φ=-3π
(C)ω=12,φ=6π
(D)ω=12,φ=-6
π
3.（易错题）已知函数f(x)=1+cos2x-2sin 2
（x-6
π
)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( ) (A)f(x)是最小正周期为π的偶函数 (B)f(x)的一条对称轴是x=3
π (C)f(x)的最大值为2
(D)将函数3的图象左移
6
π
个单位得到函数f(x)的图象 4.（2012·东北师大附中模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+4
π
)(x ∈R,ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函
数g(x)=cos ωx 的图象，只要将y=f(x)的图象( ) (A)向左平移
8π个单位长度 (B)向右平移8
π
个单位长度
(C)向左平移
4π个单位长度 (D)向右平移4
π
个单位长度 二、填空题（每小题5分，共15分） 5.已知函数f(x)＝sin(ωx+3
π
)(ω>0)的最小正周期为π，则ω=_______． 6.函数f(x)=2sin(ωx+3π)(x ∈R)，f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2
π
,则正数ω的值为_______.
7．给出下列命题： ①函数f(x)＝4cos(2x+
3π)的一个对称中心为(5,12
π-0); ②已知函数f(x)＝min{sinx ，cosx}，则f(x)的值域为[-1,
2
2
]; ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β,其中所有真命题的序号是_______． 三、解答题（每小题15分，共30分） 8.(预测题)已知函数f(x)＝2sin(2x )1.4
π
-＋ (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[-
2π,2
π
]上的图象．
9.已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin(2t+
3
π
)，t ∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题. （1）小球在开始振动(t=0)时，离开平衡位置的位移是多少？
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？ （3）经过多长时间，小球往复振动一次？ 【探究创新】
（15分）已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
，x ∈R)的图象的一部分如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式； (2)当x ∈[-6,-
2
3
]时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 答案解析
1. 【解析】选C.只要使sin(2x+θ)能转化为±cos2x 的θ的值均可.
2. 【解析】选C.由图可知
T 2T 4433
ππ
+⇒=π＝, 221T 42ππω===π,又图象过(-3π，0)，故其解析式为11y sin (x )sin(x )2326ππ=+=+,
则ω=12,φ=6
π.
3.【解题指南】先将f(x)的解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，然后判断可知. 【解析】选D.∵f(x)=cos2x+cos2(x-6
π
) =cos2x+cos2xcos
3π+sin2xsin 3
π 33cos2x sin2x 3sin(2x )233sin2(x ).
6π
=
+=+π
=+
∴D 正确.
4.【解析】选A.由T=π,∴2π
ω
=π,∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+
4π)，又∵g(x)=cos2x=sin(2x+2π)=sin(2x+4π+4π)=sin ［2(x+8π+ 8
π
)］, ∴y=f(x)的图象向左平移8
π
个单位长度得g(x)的图象.
5.【解析】T=2π
ω
=π，所以ω=2.
答案：2
6.【解析】由f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π可知T ,42
π
=T=2π. ∴ω=1. 答案：1
7．【解题指南】根据三角函数的性质，逐一进行判断，要注意每个题目所给出的条件. 【解析】对于①，令x ＝5,12-
π则2x ＋3π＝－56π＋3π＝－2π，
有f(512-π)＝0，因此(5
,12
-π0)为f(x)的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为[-1,2
2
]，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有 390°＞60°，但sin390°＝
1
2
＜sin60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②. 答案：①②
8.【解题指南】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象.
【解析】(1)f(x)＝2sin(2x-4
π
)＋1的振幅为2， 最小正周期T ＝22π＝π，初相为-4
π
.
(2)列表并描点画出图象：
x 2
π- 38
π-
8
π- 8
π 38
π 2
π y
2
1
1-2
1
1+2
2
故函数y ＝f(x)在区间[-
2,2
]上的图象是
t
12π 3
π 712π 56
π 1312π
2t+3π 2
π π 32
π 2π 52
π sin(2t+3
π
)
1 0 -1 0 1 s
4
-4
4
描点作图如图所示.
（1）将t=0代入s=4sin(2t+
3π),得s=4sin 3
π
=23, 所以小球开始振动时的位移是23cm.
（2）小球上升到最高点和下降到最低点的位移分别是4 cm 和-4 cm.
（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 【探究创新】
【解题指南】由图象直接得到A ，再根据周期求出ω，由定点求出φ，得到函数解析式.通过代入经变换求出最值.
【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝
2πω＝8，∴ω＝.4
π 又图象经过点(－1,0)，∴2sin(-4
π
+φ)＝0. ∴φ=k π+
4π
,k ∈Z, ∵|φ|＜2π，∴φ＝.4π∴f(x)＝2sin(4πx+4
π
).
(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)
＝2sin(
4πx+4π)＋2sin(4πx+2π+4
π) ＝22sin(4πx+2π)＝22cos 4π
x.
∵x ∈[-6,- 23]，∴－32π≤4πx ≤-6
π
.
∴当4πx ＝-6π，即x ＝-2
3时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；
当4
π
x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－22. 【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧
（1）给出图象求y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的难点在于ω,φ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式； ②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．
（2）由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点. 【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<
2
π
)的部分图象如图所示．
(1)试确定f(x)的解析式；
(2)若f(
a 2π)＝12，求cos(23
π－a)的值． 【解析】(1)由题干图可知A ＝2，T 511
4632
＝－＝，
∴T ＝2，ω＝2T π
＝π.
将点P(13，2)代入y ＝2sin(πx ＋φ)，得2sin(3
π
＋φ)＝2.
∴φ=2k π+6π
(k ∈Z),
又∵|φ|<2π，∴φ＝6
π
.
故所求解析式为f(x)＝2sin(πx ＋6
π
)(x ∈R)．
(2)∵f(a 2π)＝12，∴2sin a 1
()262π＋＝，
即sin a 1().264π＋＝
∴cos(23π－a)＝cos[π－2(a 62π＋)]
＝－cos2(a 62π＋)＝2sin 2(a 62π＋)－1＝7.8
－。