新高一数学下期中一模试卷附答案

新高一数学下期中一模试卷附答案
一、选择题
1．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A ．满足条件的截面不存在
B ．截面是一个梯形
C ．截面是一个菱形
D ．截面是一个三角形
2．对于平面
、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )
A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥
B ．若//,a b b α⊂,则//a α
C ．若//,,,a b αβα
γβγ==则//a b
D ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα
3．已知圆O ：2
2
24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和
BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）
A ．42
B ．24
C ．21
2
D ．6
4．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．
72
π B ．56π
C ．14π
D ．64π
5．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角
B A
C
D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）
A ．
125
12
π B ．
125
9
π C ．
125
6
π D ．
125
3
π 6．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中
心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A 31+ B 31
C ．
22
D 51
- 7．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为
2
3
，则这个球的表面积为（ ）
A ．
1256
π
B ．8π
C ．
2516
π
D ．
254
π
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．13
B ．
12
C ．
16
D ．1
10．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2
a C 2a
D ．
22
a 11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其
沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的
顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．
3
π C ．4π
D ．
3π 12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，
BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面
BDF ，则
1
AF
FA 的值为( )
A ．1
B ．
1
2
或2 C ．
2
2
或2 D ．
13
或3 二、填空题
13．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2
2
44x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．
14．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．
15．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 16．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______
17．函数2291041y x x x +-+_________.
18．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________． 19．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥
A BEF -的体积是2，则四棱锥
B ECDF -的体积为_______________．
20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.
三、解答题
21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．
（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥； （Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC =
==，三棱锥1A PBC -的体积为
3
，求AP PC 的值.
22．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且
2BD AE =，F 为CD 的中点.
（1）求证：//EF 面ABC
（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值 23．如图，已知四棱锥
的底面
是菱形，
平面
，点为
的中点.
（1）求证：∥平面
；
（2）求证：
.
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，
90ADC ∠=︒，1
2
BC AD =
，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．
（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．
25．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.
（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；
（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30，试求三棱锥M ANC -的体积. 26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】
取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，
易得PD ∥VB 且12PD VB =
，EF ∥VB 且1
2
EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又
11
22DE AC VB PD =
==，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当
和
为相交
线时,才有
错误；
若
此时由线面平行的判定定理可知,只有当
在平面
外时,才有
错误；
由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若
//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确；
若
此时由面面平行的判定定理可知,只有当
、
为相
交线时,才有//,D βα错误. 故选C.
考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222
128d d MO +==，
1
2S AC BD =
⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()2
2
1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.
()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.
11
22
S AC BD =
⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.
故选：B . 【点睛】
本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】
设长方体的棱长分别为,,a b c ，则2
36ab bc ac =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以()
2
36abc =，于是213a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】
因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，
即22115222r AC AB BC ==+=，所以3
34451253326
V r π
ππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.
故选：C 【点睛】
本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】
由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，2
2
2
(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2
220,(0,1)e e e +-=∈，
解得212
312
e -=
=， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面
积ABC
S
不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为
12·
3
3ABC S DQ =，即12
133
DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()2
2212R R =+-，∴5
4
R =
，则这个球的表面积为：2
525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭
；故选Ｄ．
考点：球内接多面体，球的表面积．
8．D
解析：D 【解析】
该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为
,选D.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】
由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111
211323
⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求
HI 的长度即可.
【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面，
且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ， 112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径. 【详解】
设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E， 因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD
又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径
3DE =
2
343S ππ== 故选A 【点睛】
求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方
程.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】
1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，
所以1BD CC ⊥，
又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC
CC C =，
所以BD ⊥平面11AAC C ，
1C F 平面11AAC C ，
所以1C F BD ⊥， 因为DF
BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，
在四边形11AAC C 中，123
1AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，
由222
11C D DF C F =+得(
)()2
2
19143x
x ⎡⎤+=+++-⎣⎦
， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，
所以11
2AF FA =或者1
2AF
FA =， 故选：B.
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题
13．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=
【解析】 【分析】
设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，
2222112244,44x y x y -=-=，
()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-= ()()12121680x x y y ∴---=，
121216
28
y y x x -==- 2AB k ∴=，
∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.
【点睛】
本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.
14．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围
解析：3
2
a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】
判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围． 【详解】
解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，
计算513402PA k +=
=-，21
310
PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤， 则PA a k ≤-或PB a k ≥-， 即实数a 的取值范围是：3
2
a ≤-或3a ≥． 故答案为：3
2
a ≤-或3a ≥． 【点睛】
本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．
15．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：()4,2-
【解析】 【分析】
先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得
()4,2-的对称点，由此得出结论.
【详解】
已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则81
6102
AB k =
=---.
∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.
设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，
则2214422022b
a
a b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩
，解得42a b =⎧⎨
=-⎩.
∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】
本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.
16．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=
【解析】 【分析】
设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||
||
CD DB ，利用共线向量坐
标关系，求出D 点坐标，即可求解
. 【详解】
设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，
1
||||sin ||210||221||||10
||||sin 2
ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55
,33
a b ==，
55
(,)33
D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.
故答案为:0x y -=.
【点睛】
本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.
17．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距
离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】 解析：74
【解析】 【分析】
将2291041y x x x =++-+变形为()
2
222354y x x =++
-+，设()0,3A ，
()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到
()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离
和的最小值； 【详解】
解：()
2
2222291041354y x x x x x =++-+=++
-+，设()0,3A ，()5,4B ，
(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则
1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=
min 74y ∴=
故答案为：74
【点睛】
本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.
18．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档
题 解析：1-
【解析】 【分析】
根据直线垂直的条件计算即可. 【详解】
因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直， 所以110a ⨯+= 解得1a =-.故填1-. 【点睛】
本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.
19．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以
解析：【解析】 【分析】
以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】
设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以5
6
ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以
⨯=11
236
Sh ，36Sh =，所以153610318
B ECDF ECDF V S h -=
=⋅=. 故答案为10. 【点睛】
本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.
20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：
23
【解析】 【分析】
作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.
【详解】
设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中
2EF =，2222213BE =++=，所以2
sin 3
EF EBF BE ∠=
=. 故答案为：
23
【点睛】
本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）3． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：
（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得
BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，
可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得
AP
PC
．（也可设
PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．
试题解析：
（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，
∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1
AA AD A =，∴BC ⊥平面11AA B B ，
∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.
（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.
∵2AB BC ==，∴AC BE ==
∴12PBC S BE CP x ∆=
⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥
∵1,2AA BA AD AB ⊥=，
在Rt ABD ∆中，1BD ==，又2
1AD BD A D =⋅，∴13A D =，
在1Rt ADA ∆中，1AA ===
∴1
113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.
又三棱锥1A PBC -x =
，解得4
x =.
∴4
AP =
，∴
53AP PC =.
22．（1）见解析（2【解析】 【分析】
（1）取BC 中点G 点，连接AG ，FG ，由F ，G 分别为DC ，BC 中点，知
//FG BD 且12
FG BD =，又//AE BD 且1
2AE BD =，故//AE FG 且AE FG =，由
此能够证明//EF 平面ABC ．
（2）在面EFGA 内过点F 作FO EG ⊥，连接BO ，则FO ⊥面BCE ，OBF ∠即为BF 与平面BCE 所成角，由此可求出答案． 【详解】
（1）证：取BC 中点G ，连接AG 和FG ，
由于F 为CD 的中点，则//FG BD 且2BD FG =， 又已知//BD AE 且2BD AE =
故可得//FG AE 且FG AE =，∴EFGA 是平行四边形. ∴//EF AG ，所以//EF 面ABC ； （2）解：∵//FG BD ，BD ⊥面ABC ， ∴FG ⊥面ABC ∴FG BC ⊥，
又正三角形ABC ∆且G 是BC 中点，∴AG BC ⊥， 则得BC ⊥面EFGA ，∴面EFGA ⊥面BCE ， 又面EFGA ⋂面BCE EG =，
在面EFGA 内过点F 作FO EG ⊥，连接BO ， 则FO ⊥面BCE ，
∴OBF ∠即为BF 与平面BCE 所成角，
在矩形EFGA 中，3AE FG ==，33EF AG ==，
33
FO ∴=
， 在直角三角形CBD 中，6BC BD ==，
1
322
BF DC =
=， 3362sin 4
32FO OBF BF ∴∠===
．
【点睛】
本题主要考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想，属于中档题． 23．（1）详见解析；（2）详见解析。

【解析】
试题分析：(1)设BD 与AC 交于点O,利用三角形的中位线性质可得,从而证明平面;(2)由平面,得
,根据菱形的性质可得
,从而证得
平面
,进而
.
试题解析：（1）连结交于，连结，点，分别为的中点，所以
为
的中位数，，又面
，面
，所以
面
. （2）在菱形
中，
，又因为
面，
面，所以
，又，面，所以
面，又
面
，所以
.
24．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；
（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论. 【详解】
（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ． 因为//AM BC ，1
2
AM AD BC =
=， 所以四边形ABCM 是平行四边形， 所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点， 所以//NQ PA ，
因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ， 所以//PA 平面MNB ；
（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥， 因为//MD BC ，MD BC =， 所以四边形BCDM 是平行四边形，
所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥， 因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ， 所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，
所以平面PAD ⊥平面PMB ．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
25．（1）证明见解析（2）463 【解析】
【分析】
（1）先证明AM ⊥平面11BB C C ，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据线面角求得棱柱的高，即可由棱锥的体积公式求得结果.
【详解】
（1）证明：如图，由直三棱柱111ABC A B C -知1AM BB ⊥，
又M 为BC 的中点知AM BC ⊥，又1
BB BC B =，
所以AM ⊥面11B BCC ，
又AM ⊂平面AMN ，
所以平面AMN ⊥平面11B BCC .
（2）如图：设AB 的中点为D ，连接1A D ，CD .
因为ABC 是正三角形，所以CD AB ⊥.
由直三棱柱111ABC A B C -知1CD AA ⊥.
所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CA D ∠为直线1A C 与平面11A ABB 所成的角.
即130CA D ∠=︒，
所以13224432
A C CD ==⨯
=，所以16A D =， 在1Rt AA D △中， 221136442AA A D AD =-=-=111422222
AA NC =⨯== 三棱锥M ANC -的体积即为三棱锥N AMC -的体积，所以
21114332AMC S V NC ⎫⋅=⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭=△. 【点睛】
本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由线面角求线段长，涉及棱锥的体积求解，属综合中档题.
26．（1）43y-19=0x +（2）见解析（3）221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】
【分析】
【详解】
（1）直线AB 方程为：
y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB 514-1-43
k -==； BC 5231--34
k -==（）， ∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥
∴△ABC 为直角三角形
（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
半径为r=|AC |=22， ∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。