高一数学下学期学情检测试题含解析 试题

历城第二中学2021-2021学年高一数学下学期学情检测试题〔含解
析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.复数z 满足5312i
z i i
=--+，那么z 的虚部为〔 〕
A. 3-
B. 2
C. 4i
D. 4-
【答案】D 【解析】 【分析】
由复数的综合运算求出z ，然后根据定义得结论． 【详解】55(12)5(12)
333232412(12)(12)5
i i i i i z i i i i i i i i i ----=
-=-=-=-+-=--+-+--，
其虚部是－4． 应选：D ．
【点睛】此题考察复数的综合运算，考察复数的概念，掌握复数的除法运算是解题关键． 2.向量(3,2),3(1,4)m m n →
→
→
=-+=-，那么||n →
=〔 〕
A. B. 10
C. D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
设(,)n x y →
=，根据向量的坐标运算建立方程可求出(10,10)n →
=-，求向量模即可. 【详解】设(,)n x y →
=， 所以3(9,6)m n x y →
→+=+-+． 因为3(1,4)m n →
→+=-，
所以91,6 4.x y +=-⎧⎨-+=⎩
解得10
10x y =-⎧⎨
=⎩
，
所以(10,10)n →
=-，所以||n →
==
应选：A
【点睛】此题主要考察了向量线性运算的坐标表示，向量的模，考察了运算才能，属于中档题.
3.甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，m ，40，50；乙组：24，n ，34，43，48，52；假设这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，那么m
n
等于〔 〕 A.
127
B.
107
C.
43
D.
74
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意求出甲组的第30百分位数为第2项，求出28n =，第50百分位数为中位数，从而求出40m =，即可求出
m n
, 【详解】因为30%6 1.8,
50%63⨯=⨯=，
所以第30百分位数为28n =，第50百分位数为
373443
22
m ++=，
所以40m =，所以4010287
m n == 应选：B
【点睛】此题考察了样本数据中的数字特征，考察了根本运算求解才能，属于根底题. 4.袋内有大小一样的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸到白球〞，用B 表示“第二次摸到白球〞，用C 表示“第一次摸到黑球〞那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. A 与B 为互斥事件 B. B 与C 为对立事件 C. A 与B 非互相HY 事件 D. A 与C 为互相HY 事件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据互斥事件和互相HY 事件的概念逐一判断即可.
【详解】A 与B 可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件，也非互相HY 事件；
B 与
C 可以同时发生所以不是对立事件；
A 与C ，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是互相HY 事件.
应选：C.
【点睛】此题考察互斥事件和互相HY 事件的概念，是根底题.
5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为
11
,AB BC 的中点，那么异面直
线EF 与1BD 的夹角为〔 〕
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 90°
【答案】D 【解析】 【分析】
根据E 为1A B 中点，F 为1BC 中点，由三角形的中位线定理得到11//EF A C ，那么异面直线EF 与1BD 的夹角即1BD 与11A C 的夹角，然后再利用线面垂直的断定定理证明11A C ⊥平面11BB DD 即可.
【详解】因为E 为1A B 中点，F 为1BC 中点， 所以EF 为11A BC 的中位线， 所以11//EF A C ，
所以异面直线EF 与1BD 的夹角即1BD 与11A C 的夹角， 在正方体中，
因为1DD ⊥平面1111D C B A ，
所以111DD AC ⊥，又1111AC B D ⊥，且1111DD B D D =，
所以11A C ⊥平面11BB DD ，又1BD ⊂平面11BB DD ， 所以111AC BD ⊥，
所以异面直线的夹角为90°． 应选：D
【点睛】此题主要考察异面直线所成的角的求法以及线线垂直，线面垂直的转化，还考察了转化化归的思想和空间想象、运算求解的才能，属于中档题. 6.在ABC 中，2cos 0a c B -=那么此三角形的形状为〔 〕 A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三
角形 【答案】A 【解析】 【分析】
等式利用正弦定理化简，将sin sin()A B C =+代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin()0B C -=，确定出B C =，即可得出三角形的形状.
【详解】解：由正弦定理sin 2sin cos 0A C B -=，又因为A B C π++=， 所以sin sin()A B C =+．
即sin()2sin cos B C C B +=，用两角和的正弦公式展开左边，得：
sin cos cos sin 2sin cos B C B C C B +=，
整理得sin cos sin cos 0B C C B -=， 所以sin()0B C -=，
又因为B 和C ∠是三角形的内角， 所以0,B C B C -==，此三角形为等腰三角形．
应选：A.
【点睛】此题主要考察利用正余弦定理和三角恒等变换来判断三角形的形状，属于中档题. 7.如下图，,,A B C 表示3个开关，假设在某段时间是内，它们正常工作的概率分别为，那么该系统的可靠性〔3个开关只要一个开关正常工作即可靠〕为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知，当三个开关都不正常工作时，系统不可靠，再根据对立事件的概率公式和互相HY 事件同时发生的概率公式即可求出．
【详解】由题意知，所求概率为1(10.9)(10.8)(10.8)10.0040.996----=-=． 应选：C ．
【点睛】此题主要考察对立事件的概率公式和互相HY 事件同时发生的概率公式的应用，属于容易题．
8.如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，3,AE EC CD =与BE 交于点O ，那么
BO
OE
=〔 〕
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据向量一共线定理设CO CD λ=，再根据向量的中点公式以及题意可得，
22
CO CB CE λ
λ=
+，由三点一共线的性质可求得λ，然后利用向量减法运算可得
4BO OE =，即解出．
【详解】112222
22CO CD CB CA CB CA CB CE λ
λλλλλ⎛⎫==+=+=+
⎪⎝⎭，
因为,,O B E 三点一共线，所以212
λ
λ+=，解得：2
5
λ=
所以1455CO CB CE =
+，即14
()()55
CO CB CE CO -=-，所以4BO OE =，所以4BO
OE
=． 应选：C.
【点睛】此题主要考察向量一共线定理以及其推论的应用，向量中点公式的应用，以及向量的线性运算，意在考察学生的转化才能和数学运算才能，属于中档题．
二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分． 9.甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的选项是〔 〕
A. 甲、乙两班学生成绩的平均数一样
B. 甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C. 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数〔每分钟输入汉字数≥150个为优秀〕
D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 【答案】ABC 【解析】 【分析】
根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数≥150个的人数分析即可.
【详解】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数一样，A 正确；
22191110s s =>=甲乙，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B 正确.
甲、乙两班人数一样，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C 正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D 错误. 应选：ABC
【点睛】此题主要考察了根据平均数、方差和众数分析实际意义的问题,属于根底题型. 10.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．假设,36
C c π
==且该三角形有两
解，那么a 的值可以为〔 〕 A. 4 B. 5
C. 6
D. 7
【答案】AB 【解析】 【分析】
根据正弦定理可求出a ，再根据该三角形有两解可知，a c >，即得角A 的取值范围，根据正弦函数的图象即可求出a 的取值范围，从而得解．
【详解】由正弦定理
sin sin a c
A C =得，6sin ,a A =且a c >，所以566
A ππ<<，即
1sin ,12A ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
．
因为该三角形有两个解，当sin 1A =时只有一解，所以36a <<．
应选：AB ．
【点睛】此题主要考察由三角形解的个数求某一边的取值范围，可采用正弦定理，余弦定理，以及几何法等求解，属于根底题．
11.两不重合的直线,m n 与两个不重合的平面,αβ那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. 假设//,//m m αβ，那么//αβ B. 假设平面//γα，平面//γβ，那
么//αβ
C. ,m m αβ⊥⊥，那么//αβ
D. ,m n αα⊥⊥，那么//m n 【答案】BCD 【解析】 【分析】
根据线面关系，逐项判断，即可求得答案.
【详解】对A ，由//,//m m αβ，平面α与β可以相交或者平行，故A 错误；
对B ，因为平面//γα，平面//γβ，根据平行于同一平面的两平面平行，可得//αβ，故B 正确；
对C ，因为,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得//αβ，故C 正确； 对D ，因为,m n αα⊥⊥，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得//m n ，故D 正确
应选：BCD
【点睛】此题解题关键是掌握线面关系根本定理，考察了分析才能和空间想象才能，属于根底题.
12.设点M 是ABC 所在平面内一点，以下说法正确的选项是〔 〕 A. 假设AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，那么ABC 的形状为等边三角形 B. 假设11
22
AM AB AC =
+，那么点M 是边BC 的中点 C. 过M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，假设
0AD BE CF ++=恒成立，那么点M 是ABC 的垂心
D. 假设2,AM AB AC =-那么点M 在边BC 的延长线上 【答案】AB 【解析】 【分析】
对于A ，由BC CA CA AB ⋅=⋅，利用投影通过三线合一判断||=AB BC ；对于B ：由
1122AM AB AC =
+，变形为1111
2222
-=-AM AB AC AM 判断；对于C ：将此直线特殊为过点A ，那么0AD =，有0BE CF +=，那么直线AM 经过BC 的中点判断；对于D ：由2AM AB AC =-，变形为-=-AM AB AB AC 判断. 【详解】对于A 选项，如下图．
作BD AC ⊥于D ，那么||||cos ,||||cos ==CD a C AD c A ， 因为BC CA CA AB ⋅=⋅，
所以||||,=∴CD AD D 为AC 的中点，
||∴=AB BC ．同理可证||||AB AC =，
ABC ∴为等边三角形．故A 正确．
对于B 选项：111111222222
=+⇒-=-AM AB AC AM AB AC AM ， 即：BM MC =，那么点M 是边BC 的中点，故B 正确；
对于C 选项：因为过ABC 内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ， 那么0AD =，有0BE CF +=．
如图：
那么有直线AM 经过BC 的中点，
同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，
所以点M 是ABC 的重心，故C 错误．
对于D 选项：2=-⇒-=-AM AB AC AM AB AB AC ，=BM CB ，
那么点M 在边CB 的延长线上，故D 错误．
应选：AB
【点睛】此题主要考察平面向量在平面几何中的应用，还考察了数形结合的思想方法以及转化求解问题的才能，属于中档题。

三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13.复数z满足1
2
1
z
i
z
+
=
-
，那么||z=_____
【答案】1【解析】【分析】
将1
2
1
z
i
z
+
=
-
整理为
21
12
i
z
i
-
=
+
，利用复数的四那么运算以及模长公式求解即可.
【详解】1
2
1
z
i
z
+
=
-
，12(1)
z i z
∴+=-
即
2
21(21)(12)421234 12(12)(12)555
i i i i i i
z i
i i i
----+-+
====+ ++-
||1
z
∴==
故答案为：1
【点睛】此题主要考察了复数的四那么运算以及求复数的模，属于中档题.
14.某工厂消费甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进展检验，那么应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
【答案】18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取
300
6018
1000
⨯=件，故答案为18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是一样的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．
15.点P为ABC内一点，2350
PA PB PC
++=，那么,,
APB APC BPC的面积
之比为______．
【答案】5:3:2
【解析】
【分析】
先将向量式化为两个向量一共线的形式，再利用平行四边形法那么及向量的数乘运算的几何意义，三角形面积公式，确定面积比.
【详解】因为2350PA PB PC ++=，所以2()3()PA PC PB PC +=-+，
设F 为AC 中点，G 为BC 中点，因为2,2PA PC PF PB PC PG +=+=，
可得23PF PG =-，所以F P G 、、三点一共线，且32PF PG =， GF 为三角形ABC 的中位线
所以11221
3212
2
APC BPC PC h S h PF S h PG PC h ⨯⨯====⨯⨯， 而12
APB ABC S S =△△，所以,,APB APC BPC 的面积之比等于5:3:2 故答案为：5:3:2
【点睛】此题主要考察了向量的运算法那么，向量的加法的平行四边形法，向量的数乘的几何意义等知识点的综合应用，其中解答中充分利用一共线是解答此题的关键，着重考察了推理与运算才能.
16.在三棱锥D ABC -中，6,36,262DA DC AB AC BC =====，那么三棱锥D ABC -的外接球的外表积为______．
【答案】72π
【解析】
【分析】
根据题中所给的数据得出∆ABC 和∆ACD 为直角三角形，取AC 的中点为E ，得到EA EB EC ED ===，根据球的定义找到了三棱锥D ABC -外接球的球心，进而可得外接球的外表积.
【详解】解：如下图，因为6,36,262DA DC AB AC BC =====， 所以222AD CD AC +=，222AB BC AC +=,
所以∆ABC 和∆ACD 为直角三角形，公一共的斜边为AC ，
取AC 的中点为E ，连接DE 、BE .那么，EA EB EC ED ===，
所以点E 为三棱锥D ABC -外接球的球心，
那么三棱锥外接球半径322AC R =
=. 所以()224432
72S R πππ==⨯=.
故答案为：72π
【点睛】此题主要考察三棱锥外接球的外表积的求法，关键是找到外接球的球心，属于中档题.
四、解答题：此题一共6小题，一共70分．解容许写岀文字说明、证明过程或者演算步骤．
17.m 为实数，设复数()()
225623z m m m m i =--+--．
〔1〕当复数z 为纯虚数时，求m 的值；
〔2〕设复数z 在复平面内对应的点为(),x y ，假设满足90x y -+>，求m 的取值范围．
【答案】〔1〕6m =；〔2〕(),2-∞.
【解析】
【分析】
〔1〕根据复数z 为纯虚数可得出其虚部不为零，实部为零，由此可求得实数m 的值； 〔2〕根据题意可得出关于实数m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】〔1〕由题意，得22560230
m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得6m =；
〔2〕复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2256,23m m m m ----，
该点的坐标满足90x y -+>，那么()()
2256239630m m m m m -----+=->，解得2m <，
所以m 的取值范围为(),2-∞．
【点睛】此题考察利用复数的概念求参数，同时也考察了利用复数对应的点的坐标满足条件求参数，考察计算才能，属于根底题.
18.某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如下图．
〔1〕求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000
名学生的数学平均分；
〔2〕样本中，成绩在[140，150]内的有2名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率．
【答案】〔1〕高是，700人，126.2x =；〔2〕
35 【解析】
【分析】
〔1〕由频率分布直方图，利用概率之和为1，求得第四个矩形的高，进而得到成绩不低于120分的频率，从而可估计高三年级不低于120分的人数，然后利用平均数公式求解. 〔2〕由直方图知，成绩在[140150]的人数是6，记女生为,A B ，男生为,,,c d e f ，这是一个古典概型，先得到从这6人中抽取2人的根本领件的总数，再找出至少有一名女生的根本领件数，然后代入公式求解.
【详解】〔1〕设第四个矩形的高是x ，
所以()0.010.020.030.012101++++⨯=x ，
解得0.028=x ，
成绩不低于120分的频率是，可估计高三年级不低于120分的人数为0.71000700⨯=人． 1050.11150.21250.31350.281450.12126.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
〔2〕由直方图知，成绩在[140150]的人数是6，记女生为,A B ，男生为,,,c d e f ，
这6人中抽取2人的情况有,,,,,,,,,,,,,,AB Ac Ad Ae Af Bc Bd Be Bf cd ce cf de df ef ，一共15种．
其中至少有一名女生的有,,,,,,,,AB Ac Ad Ae Af Bc Bd Be Bf ，一共9种， 所以致少有一名女生的概率为93155
=. 【点睛】此题主要考察频率分布直方图的应用以及古典概型的概率求法，还考察了运算求解
的才能，属于中档题.
19.ABC 中，角、、A B C 及所对的边a b c 、、(sin )0b A A +-=． 〔1〕求B ；
〔2〕假设2c a -=，7b =，求ABC 的面积．
【答案】〔1〕23B π=；〔2〕4
【解析】
【分析】
〔1sin sin cos 0C B A B A +=，根据两
sin 0B B +=，从而可求出结果；
〔2〕由题中数据，根据余弦定理，得到15ac =，再由三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】〔1(sin )0b A A +-=可得
sin sin cos 0C B A B A +=，
又,sin sin()sin cos cos sin A B C C A B A B A B π++=∴=+=+
cos sin sin sin cos 0A B A B B A B A ++=，
cos sin sin 0A B B A +=，
又(0,)A π∈，sin 0A ∴≠，sin 0B B +=，23B π=
； 〔2〕由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得249()343c a ac ac =-+=+，
解得15ac =；
11sin 1522ABC S ac B ∴==⨯=. 【点睛】此题主要考察解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.
20.如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
求证：〔1〕//PB 平面EAC ；
〔2〕平面ABE ⊥平面PCD .
【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，可知点O 为BD 的中点，利用中位线的性质可得出//PB OE ，再利用线面平行的断定定理可得出//PB 平面EAC ；
〔2〕利用面面垂直的性质定理推出CD ⊥平面PAD ，可得出CD AE ⊥，再由等腰三角形三线合一的性质得出AE PD ⊥，再利用线面垂直的断定定理得出AE ⊥平面PCD ，再由面面垂直的断定定理可得出结论.
【详解】〔1〕连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，
四边形ABCD 为正方形，O ∴是BD 的中点，
又E 为PD 的中点，//EO PB ∴，
又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，//PB ∴平面EAC ；
〔2〕底面ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥．
平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD
平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ， CD
平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，AE CD ∴⊥， 又PAD 是正三角形，E 为PD 的中点，AE PD ∴⊥，
CD PD D =，AE ∴⊥平面PCD ．
AE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．
【点睛】此题考察线面平行的证明，同时也考察了面面垂直的证明，考察了面面垂直性质定理的应用，考察推理才能，属于中等题.
21.为了配合新冠疫情防控，某组织了以“停课不停学，成长不停歇〞为主题的“空中课堂〞，为了理解一周内学生的线上学习情况，从该中抽取1000名学生进展调査，根据所得信息制作了如下图的频率分布直方图．
〔1〕为了估计从该任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间是在[200,300〕的概率P ，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0,1,2,3，…9的前假设干个数字表示线上学习时间是在[200,300〕的同学，剩余的数字表示线上学习时间是不在[200,300〕的同学；再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况． 假设用上述随机模拟方法已产生了表中的30组随机数，请根据这批随机数估计概率P 的值；
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556 438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231
〔2〕为了进一步进展调查，用分层抽样的方法从这1000名学生中抽出20名同学，在抽取的20人中，再从线上学习时间是[350,450〕〔350分钟至450分钟之间〕的同学中任意选择两名，求这两名同学来自同一组的概率．
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕首先根据频率分布直方图求得线上学习时间是在[)200,300的频率为0.4；按照随机模拟方法产生30组随机数，读取3名同学中恰有2人线上学习时间是在[)200,300的频数为12，最后根据古典概型概率公式求得该3名同学中恰有2人线上学习时间是在[)200,300的概率为0.4.
〔2〕先从20人中抽取5人，利用分层抽样确定出[)350,400中有3人，[]400,450中有2人.列举出所有根本样本领件和“两名同学来自同一组〞这一事件包含的根本领件个数，利用古典概率公式求得概率为0.4.
【详解】解：〔1〕由频率分布直方图可知，线上学习时间是在[200,300〕的频率为(0.0020.006)500.4+⨯=，所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间是在[200,300〕的同学，数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间是不在[200,300〕的同学；观察上述随机数可得，3名同学中恰有2人线上学习时间是在[200,300〕的有
191,271,932,812,431,393,027,730,206,433,138,602，一共有12个．而根本领件一一共有30个，根据古典概型的定义可知该3名同学中恰有2人线上学习时间是在[200,300〕的概率为120.430
P ==．
〔2〕抽取的20人中线上学习时间是在[350,450〕的同学有20(0.0030.002)505⨯+⨯=人，其中线上学习时间是在[350,400〕的同学有三名设为,,A B C ，线上学习时间是在[400,450〕的同学有两名设为,a b ，从5名同学中任取2人的根本领件空间为
{,,,,,,,,,}AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab Ω=，一共有10个样本点；用A 表示“两名同学来自同一组〞这一事件，那么{,,,}A AB AC BC ab =，一共有4个样本点，所以4()0.410
P A ==． 【点睛】此题考察了频率分布直方图、随机模拟方法估计概率、分层抽样及古典概率公式应用，是高考高频考点，属于中档题.
22.0AB AC ⋅=，M 是BC 的中点．
〔1〕假设||2||AB AC =，求向量AB AC -与向量AB AC +的夹角的余弦值； 〔2〕假设O 是线段AM 上任意一点，且||2||2AB AC ==，求⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值；
〔3〕假设点P 是BAC ∠内一点，且||2,2,4AP AP AC AP AB =⋅=⋅=，求
|2|AB AC AP ++的最小值．
【答案】〔1〕
35；〔2〕58-；〔3〕6 【解析】
【分析】
〔1〕根据向量数量积等于0，可得AB AC ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立平面直角坐标系，根据向量加法、减法以及数量积的坐标表示即可求向量的夹角. 〔2〕以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立平面直角坐标系，设,
,[0,1]2x O x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，利用向量数量积的坐标表示即可求解.
〔3〕设CAP α∠=，可得2BAP π
α∠=-，利用向量的数量积可得1||cos AC α=，2||sin AB α=
，再将|2|AB AC AP ++平方，根据向量数量积定义以及根本不等式即可求解. 【详解】〔1〕因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，
以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立平面直角坐标系．
令||AC a =，那么(0,),(2,0)C a B a ，
所以(2,)AB AC a a -=-，(2,)AB AC a a +=
设向量AB AC -，与向量AB AC +的夹角为θ，
22()()43cos 5
||||5AB AC AB AC a AB AC AB AC θ-⋅+∴===-⋅+， 〔2〕因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，
以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立平面直角坐标系．
因为||2||2AB AC ==，那么1(0,1),(2,0),1,2C B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设,,[0,1]2x O x x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
()OA OB OC OA OA OB OC ∴⋅+⋅=⋅+
122,1,222x x OA OM x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ()2
22255152442228x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当12
x =
时，⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值是58-． 〔3〕设2CAP BAP παα∠=⇒∠=-， 2,4,||2AP AC AP AB AP ⋅=⋅==
12||cos 2||cos AC AC αα∴⋅=⇒=
， 同理：22||cos 4||2sin AB AB παα⎛⎫⋅-=⇒= ⎪⎝⎭
， 2222|2|4442AB AC AP AB AC AP AB AC AC AP AB AP ∴++=+++⋅+⋅+⋅
2222222244sin cos sin cos 488420cos sin cos sin αααααααα⎛⎫++=++++=++ ⎪⎝⎭
2222sin cos 4282882836cos sin αααα⎛⎫=++≥=+= ⎪⎝⎭
当且仅当2222sin cos tan 1cos sin ααααα
=⇒=时，所以min |2|6AB AC AP ++=． 【点睛】此题考察了向量数量积的坐标表示、向量数量积的定义、利用向量数量积求向量的夹角，考察了运算求解才能，属于中档题.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。