2019年初高中数学衔接精品课程专题07 方程与方程组的解法(原卷版)
初升高衔接知识点---函数、方程与不等式解法专题
初升高衔接知识点---函数、方程与不等式解法专题1 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a≠时，方程有唯一解bx a=；②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
2 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
3 不等式与不等式组 （1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
4 一元二次方程：20(0)axbx c a ++=≠①方程有两个实数根⇔ 240bac ∆=-≥ ②方程有两根同号⇔ 1200cx x a ∆>⎧⎪⎨=>⎪⎩③方程有两根异号⇔ 1200cx x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩④韦达定理及应用：1212,b c x x x x a a+=-=222121212()2x x x x x x +=+-,12x x a a-===3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦5 函数（1）变量：因变量，自变量。
方程组和不等式组的解法
方程组和不等式组的解法随着数学的发展，方程组和不等式组的解法成为数学中的重要内容。
解方程组和不等式组可以帮助我们解决各种实际问题，比如平衡化学方程、确定数值范围等。
本文将介绍方程组和不等式组的常见解法方法。
一、方程组的解法方程组是由多个方程组成的集合。
解方程组的方法有多种，其中最常见的是代入法、消元法和判别式法。
1. 代入法代入法是一种简单而直观的解方程组方法。
它的基本思想是将一个方程的解代入到另一个方程中，从而得到新的方程，进而求解出未知数的值。
示例：```方程组：2x + 3y = 7 （方程1）3x + 4y = 10 （方程2）解：由方程1可得：2x = 7 - 3y代入方程2，得到：3(7 - 3y) + 4y = 10化简得：21 - 9y + 4y = 10合并同类项，得到：5y = 11解得：y = 11/5将y的值代入方程1，得到：2x + 3(11/5) = 7化简得：2x = 7 - 33/5合并同类项，得到：2x = 12/5解得：x = 6/5所以，方程组的解为：x = 6/5，y = 11/5```2. 消元法消元法是一种通过消去未知数的系数从而简化方程组的解法方法。
它常用于线性方程组的解法。
示例：```方程组：2x + 3y = 7 （方程1）3x + 4y = 10 （方程2）将方程1乘以4，方程2乘以3，得到：8x + 12y = 28 （方程3）9x + 12y = 30 （方程4）将方程3减去方程4，得到新方程：-x = -2解得：x = 2将得到的x的值代入方程1，得到：2(2) + 3y = 7化简得：4 + 3y = 7解得：y = 1所以，方程组的解为：x = 2，y = 1```3. 判别式法判别式法是通过计算方程组的行列式来判断方程组是否有解，以及解的唯一性。
当判别式不为零时，方程组有唯一解；当判别式为零时，方程组无解或有无穷多解。
示例：方程组：2x + 3y = 7 （方程1）4x + 6y = 14 （方程2）解：由第一个方程乘以2，得到：4x + 6y = 14 （方程3）将方程2和方程3写成矩阵形式，计算行列式：| 2 3 | = 0| 4 6 |判别式为零，说明方程组有无穷多解。
(初升高)高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组
（初升高）高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组一、学习目标：1、了解“代入消元法”的基本思想和一般步骤；掌握用“代入法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；2、通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
3、体会数学知识之间的内在联系，养成深入观察、分析的良好习惯。
二、学习重点：1、会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；2、理解解二元二次方程组的基本思想。
三、课程精讲：新知探秘：什么样的方程组是二元二次方程组？如何解二元二次方程组？ 1、二元二次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程。
例如：xy ＝1，x 2－y ＝0，x －y －2xy ＝－3都是二元二次方程；x －y ＝1，x 2y ＝0都不是二元二次方程。
2、二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组。
知识点一：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解。
其中蕴含着转化的思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。
【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 思路导航：由于方程（1）是二元一次方程，故可由方程（1），得2y x =，代入方程（2）消去y 。
解：由（1）得：2y x = （3）将（3）代入（2）得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入（3）得：12y =；把1x =-代入（3）得：22y =-。
∴原方程组的解是：12121122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或。
点津：（1）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①把由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程（3）； ②把方程（3）代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程（3），求相应的未知数的值； ⑤写出答案。
初升高衔接课数学教案及答案(总共8讲)
初升高衔接课数学教案（总共8讲）初高一衔接课：基本运算问题初高一衔接课：基本运算问题（一）绝对值一、知识梳理：⑴ 数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．⑵ 数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．⑶ 个负数比较大小，绝对值大的反而小．⑷ 个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<； ||(0)x a a x a >>⇔<-或x a >． ⑸ 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、例题讲解：例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．三、强化练习1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．1－1x原式=(+说明：本题若先从方程7∴-x x=⨯364∴+x x13此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．∴+x x5-=15∴-x x2此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符答案：1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3．(2)(1)x x --，(9)(3)x x -+， (5)()m n m n -+4．3(2)(8)ax x x -- ；(3)(2)na ab a b +- ；2(3)(1)(23)x x x x -+-+；(2)(415),x y x y -+(772)(1)a b a b +++-5．2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+；(12)(12),x y x y -++-23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++．6．2837．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++8．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++初高一衔接课：基本运算问题初高一衔接课：基本运算问题（四）根式一、知识梳理：二次根式的性质（1）一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式． （2）二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩（3）二次根式的化简与运算二次根式的乘法：ab b a =),(0≥0≥b a ；二次根式的除法：先把除法写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算； 二次根式的加减法：合并同类二次根式． （4）其性质如下：（五）分式一、知识梳理：当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．二、例题讲解：【例1】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅ 说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法． 【例2】化简222396162279x x x x x x x x++-+-+--=61x -．【解法二】原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 【解】 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 例3 解不等式：13x x -+-＞4．【解法一】由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又3x ≥，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．【解法二】如图1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．∴x ＜0，或x ＞4．例4 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．【解】（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．13A B x4C D xP |x －1||x －3|图1－1－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．例5 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 【解】（1）32933x x x +++＝32(3)(39)x x x +++＝2(3)3(3)x x x +++ ＝2(3)(3)x x ++．或 32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++提 示熟练进行分解因式运算是高中数学的基本要求．＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-＝22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-． 或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．例6 试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； （2）264+和226－. 【解】 （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++，1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．－1 1x y图1．2－5910+⨯(1)n n ++1910+⨯(910-1(1)n n ++(4n n -是正整数，(1)n n ++513．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯．4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14 ．答案 A 组 1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3 2．1 3．（1）23- （2）11a -≤≤ （3）61- B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++．一次函数和反比例函数初高一衔接课：（一）一次函数和反比例函数一、基础知识梳理1、平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点． （2）点的坐标和象限．（3）平面直角坐标系内的对称点：设11(,)M x y ，22(,)M x y '是直角坐标系内的两点．① 若M 和'M 关于y 轴对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=⎩．② 若M 和'M 关于x 轴对称，则有1212x x y y =⎧⎨=-⎩．③ 若M 和'M 关于原点对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=-⎩．所以，22x =-，13y =-，则()2,3A -、()2,3B --． (3)因为A 、B 关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数， 所以22x =-，13y =，则()2,3A 、()2,3B --．例2已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式．【解】∵B 是直线2+=kx y 与y 轴交点，∴B （0，2），∴OB ＝2， 1222AOB S AO BO AO ∆=⋅=∴=又， 2y kx =+又，过第二象限，(20)A ∴-，1120212x y y kx k y x =-==+=∴=+把，代入中得，例3反比例函数xk y 1-=与一次函数)1(+=x k y 只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【解】因直线)1(+=x k y 必过点()0,1-，所以选择（C ）、（D ）一定错误．又直线)1(+=x k y 与y 轴的交点为()k ,0，所以当1>k ，双曲线xk y 1-=必在第一、三象限． 故选（A ）例4 如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【解】（1）(13)A ，在ky x=的图象上， 3k ∴=，3y x∴=又(1)B n -，在3y x =的图象上，3n ∴=-，即(31)B --，，313m bm b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：1m =，2b =，反比例函数的解析式为3y x=，一次函数的解析式为2y x =+，（2）从图象上可知，当3x <-或01x <<时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值．例5 如图，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数xky =)>,>(00x k 的图象交于点A ．过A 作AB ⊥x 轴于B 点．若k 取1，2，3，…，20时，对应的Rt △AOB 的面积分别 为1S ，2S ，3S ，…，20S ，则1S ＋2S ＋3S ＋…＋20S ＝_ ．【解】过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线．x 轴、正比例函数图象及垂线所围成的三角形的面积是k 的 一半．于是 1S ＋2S ＋3S ＋…＋20S ＝22020121×)+(×＝105．例6 已知反比例函数xky 2=和一次函数12-=x y ,其中一次函数的图象经过()b a ,、()k b a ++,1两点. (1)求反比例函数的解析式;(2)若点A 坐标是()1,1,请问，在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在,把符合条件的点P 的坐标都求出来，若不存在，请说明理由． 【解】 (1)根据题意,得()⎩⎨⎧-+=+-=.112,12a k b a by xA OB图（12）ABOxy两式相减,得2=k .所以所求的反比例函数的解析式是xy 1=． (2)由勾股定理,得21122=+=OA ，OA 与x 轴所夹的角为︒45．①当OA 为AOP ∆的腰时，由OP OA =，得()0,21P ,()0,22-P ；由AP OA =,得()0,23P ．②当OA 为AOP ∆的底时，得()0,14P ． 所以,这样的点有4个，分别是()0,2、()0,2-、()0,2、()0,1．例7已知一次函数y ax b =+的图象经过点()3,32A +，()1,3B -，()2,C c -.求222a b c ab bc ca++---的值.【解】 由点点()3,32A +，()1,3B -，()2,C c -在次函数y ax b =+的图象上，于是有233+=+b a ，3=+b a ，c b a =+2，解得31,231,1a b c =-=-=，3,232,23a b b c c a ∴-=--=--=-.222a b c ab bc ca ++---＝()()()2221136 3.2a b b c c a ⎡⎤-+-+-=-⎣⎦例8如图，点A 、C 在反比例函数()30y x x=<的图象上，B 、D 在x 轴上，△OAB ，△BCD 均为正三角形，则点C 的坐标是 ．【解】 作AE ⊥OB 于E ，CF ⊥BD 于F ，易求OE ＝EB ＝1， 设BF ＝m ，则(2,3)C m m ---，代入3y x= 得2222210,2m m m -±+-==．D CB AOyx又0,12m m >∴=-+，∴点C 的坐标为 ()12,36---．四、课后巩固练习 A 组1．函数y kx m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）2．如图，平行四边形ABCD 中，A 在坐标原点，D 在第一象限角平分线上，又知6AB =，22AD =，求,,B C D 点的坐标．3．如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点P 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．B 组1．选择题如图是三个反比例函数y ＝1k x ，y ＝2kx ，y ＝3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1、k 2、k 3∴的大小关 系为（ ）A ．k 1＞k 2＞k 3B ．k 3＞k 2＞k 1C ．k 2＞k 3＞k 1D ．k 3＞k 1＞k 2 2．选择题xyO A ． xyO B ．xyO C ． xyO D ．OxAyByxO第2题 第3题yxCB AO yx图 1 OA B DC P4 9图 2如图，正比例函数kx y =和()0>=a ax y 的图象 与反比例函数()0>=k xky 的图象分别相交于A 点和 C 点.若AOB Rt ∆和COD Rt ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）（A ）1S >2S （B ）1S =2S （C ）1S <2S （D ）不能确定3．如图，已知Rt △ABC 的锐角顶点A 在反比例函数y ＝m x的 图象上，且△AOB 的面积为3，OB ＝3． （1）求点A 的坐标； （2）求函数y ＝mx的解析式； （3）若直线AC 的函数关系式为y ＝27x ＋87， 求△ABC 的面积．4．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发， 沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动 的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的 函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是( )A ．10B ．16C ．18D ．20C 组1．如图，如果x x >，且0<kp ，那么，在自变量x 的取值范围内，正比例函数kx y =和反比例函数xpy =在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2．已知反比例函数xmy 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，有21y y <，则m 的取值范围是___ __．3．已知点()a P ,1在反比例函数()0≠=k xky 的图象上，其中322++=m m a (m 为实数)，则这个函数的图象在第_____象限．4．已知3=b ，且反比例函数x b y +=1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如果点()3,a 在双曲线xby +=1上，则_____=a ．5．如果不等式0<+n mx 的解集是4>x ,点()n ,1在双曲线xy 2=上,那么一次函数 ()m x n y 21+-=的图象不经过第___象限.6．已知直线b kx y +=经过反比例函数xy 8-=的图象上两点()1,2y A 与()2,2x B ，则.______=kb五、参考答案与解析A 组 1． B2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）8k =．（2）点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．B 组 1．B2．B 解析：设()()2211,,,y x C y x A .则根据题意,k y x y x ==2211. 所以k y x AB OB S 212121111==×=， k y x CD OC S 212121222==×=．根据题意，把()4,2-A 、()2,4-B 两点的坐标代入直线b kx y +=中，得 ⎩⎨⎧=+--=+.24,42b k b k 解得⎩⎨⎧-=-=.2,1b k故()2121-=-=-k b ．二次函数初高一衔接课：（二）二次函数一、基础知识梳理1、二次函数的图像与性质（１）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的．其图像为①当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象是开口向上的抛物线，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；②当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba； （2）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质（1）； （2）．【解】 由于函数和的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． （1）因为二次函数中的二次项系数2＞0， 所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是． （2）因为二次函数中的二次项系数－1＜0， 所以抛物线有最高点，即函数有最大值． 因为=， 所以当时，函数有最大值．例3 （1）当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． （2）当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【解】 （1）作出函数21y x x =--+的图像（如右图），当1x =时，=max y －1，当2x =时，=min y －5． （2）作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的 图像（如右图），可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．例4 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．5322--=x x y 432+--=x x y 5322--=x x y 432+--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 849)43(22--x 43=x 5322--=x x y 849-432+--=x x y 432+--=x x y 432+--=x x y 425)23(2++-x 23-=x 432+--=x x y 425Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－＝－12，或a ＝12． 2．∴a所以，所求的函数为y ＝－12(x ＋二次2，或y ＝12(x ＋1)21)2＋－2．（3）设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 228842a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩，解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．故所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．例6二次函数bx ax y +=2和反比例函数by x=在同一坐标系中的图象大致是（ ）。
不等式与方程组一元一次不等式和方程组的解法
不等式与方程组一元一次不等式和方程组的解法随着数学的发展，不等式和方程组是数学中常见的问题类型。
它们在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍一元一次不等式和方程组的解法。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式指的是只有一个变量的一次不等式。
其一般形式为ax + b > c或ax + b < c，其中a、b、c均为已知的实数。
解一元一次不等式的方法有图像法和代数法两种。
图像法是一种直观的解题方法，通过将不等式转化为一个直线的图像来求解。
以ax + b > c为例，我们可以首先考虑等式ax + b = c，然后绘制与该等式对应的直线。
接下来，根据不等式的符号大于号">"，我们在直线上方的某一侧进行标记。
最后，我们找出标记的区域，该区域即为不等式的解集。
代数法是一种通过代数运算求解的方法。
以ax + b > c为例，我们可以首先将不等式转化为等式：ax + b = c，然后移项得到ax = c - b，最后解出x的值，即得到不等式的解集。
二、一元一次方程组的解法一元一次方程组指的是只包含一个变量的一次方程的方程组。
其一般形式为⎧⎨⎩a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知的实数。
解一元一次方程组的方法有代入法和消元法两种。
代入法是一种较为直观的解题方法，通过将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到另一个方程中的变量的值。
以上述方程组为例，我们可以首先解出其中一个变量的值，例如解出x的值，然后将x的值代入另一个方程中求解出y的值，最后得到方程组的解。
消元法是一种通过消去一个变量的方法，从而将方程组转化为一个单变量的方程，再进行解答。
以上述方程组为例，我们可以首先将两个方程中的一个变量消去，例如消去y，然后得到一个关于x的一元一次方程，解得x的值，最后根据x的值求解出y的值，得到方程组的解。
高中数学中的方程组的解法
高中数学中的方程组的解法方程组是高中数学中的重要内容之一，它是由多个方程组成的集合，其中每个方程都包含有未知数。
解方程组意味着找到满足所有方程的未知数的值。
在高中数学中，我们学习了几种常见的解方程组的方法，包括代入法、消元法和矩阵法。
一、代入法代入法是解方程组最直观的方法之一。
它的基本思想是将一个方程的解代入到另一个方程中，从而得到一个只包含一个未知数的方程。
通过逐步代入，我们可以求解出所有的未知数。
例如，考虑以下方程组：2x + y = 7x - 3y = -1我们可以通过代入法来解决这个方程组。
首先，我们可以将第一个方程中的x 表示为y的函数：x = 7 - y。
然后，将这个表达式代入到第二个方程中，得到：7 - y - 3y = -1通过整理，我们可以得到一个只包含y的方程：-4y = -8。
解这个方程可以得到y的值为2。
将y的值代入第一个方程，可以求得x的值为3。
因此，方程组的解为x = 3，y = 2。
二、消元法消元法是解方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过适当的变换，将方程组中的某个未知数的系数或常数项相互抵消，从而简化方程组的形式。
最终，我们可以得到一个只包含一个未知数的方程，从而求解出这个未知数的值。
考虑以下方程组：2x + y = 74x - 2y = 10我们可以通过消元法来解决这个方程组。
首先，我们可以将第一个方程的两边乘以2，得到：4x + 2y = 14然后，我们将这个方程和第二个方程相减，得到：(4x + 2y) - (4x - 2y) = 14 - 104y = 4通过解这个方程，我们可以得到y的值为1。
将y的值代入第一个方程，可以求得x的值为3。
因此，方程组的解为x = 3，y = 1。
三、矩阵法矩阵法是解方程组的一种更为简洁和高效的方法。
它将方程组表示为一个矩阵方程，并通过矩阵的运算来求解未知数的值。
考虑以下方程组：2x + y = 74x - 2y = 10我们可以将这个方程组表示为矩阵方程：⎡ 2 1 ⎤⎡ x ⎤⎡ 7 ⎤⎣ 4 -2 ⎦ * ⎣ y ⎦ = ⎣ 10 ⎦通过矩阵的逆运算，我们可以求解出未知数的值。
初三数学方程和方程组的解法知识精讲 人教版
初三数学方程和方程组的解法知识精讲 人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：方程和方程组的解法方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。
同学们要灵活掌握方程解法的多样性。
【典型例题】例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。
分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。
答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。
例2. ()()求关于的一元一次方程的解。
x k x k x k 211180-+--=- 分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况：（1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2；（2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。
答：x ＝2或x ＝－4例3. 填空：当，时，方程有唯一解。
当，时，方程无解。
当，时，方程有无穷多解。
ab ax x b a bax x b ab ax x b +=-+=-+=-111 分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11此方程分三种情况解：（）当，即时，原方程有唯一解。
（）当，，即，时，原方程无解。
（）当，，即，时，原方程有无穷多解。
110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()()通过此题，总结出一般规律：方程ax ＝b 的解（）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。
10200300a x b aa b a b ≠==≠==例4. ()已知，求的值。
x y x y x y --+++=+233202分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。
所以解方程组求出、，再计算的值。
x y x y x y x y --=++=⎧⎨⎩+230320 解：由已知，得：x y x y --=<>++=<>⎧⎨⎩23013202由得：，<>-<>+=∴=-215501y y()将代入得：y x =-<>---=112130得：x ＝1∴==-⎧⎨⎩∴+=x y x y 110例5. 如果是方程的一个根，求的值，并求出另一个x x kx k k =---=2502根。
2019版中考数学第一部分基础知识过关第二章方程组与不等式组第7讲分式方程课件
B.x=2 D.无解
1 x 1 解方程 -3= . x2 2 x
解析 方程两边同乘(x-2),得1-3(x -2)=-(x-1),即1-3x+6=-x+1 ,整理得-2x=-6,解得x=3, 经检验x=3是原方程的解,则原方程的解为x =3.
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考点二
根据分式方程解的情况求参数的值
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方法技巧
分式方程中含有参数时,首先应解方程得到含有参
数的原方程的解,然后根据方程解的数量关系,求解参数的值或取 值范围.
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考点三
分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用
中考解题指导
题的思路基本相同.但在解决问题时,须进行“双检验”,既要检
验去分母化成的整式方程的解是不是分式方程的解,又要检验分
变式3-1
某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫,甲种款
型共用了7 800元,乙种款型共用了6 400元,甲种款型的件数是乙 种款型件数的1.5倍,甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价
少30元.
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进了多少件? (2)商店按进价提高60%标价销售,销售一段时间后,甲种款型的全 部售完,乙种款型的剩余一半,商店决定对乙种款型的按标价的五 折销售,很快全部售完.求售完这批T恤衫商店共获利多少元.
7 x2
x 2 x
3
.
去括号、移项、合并同类项得5x=15,解得x =3,经检验x =3是原
方程的根,所以原方程的根是x =3.
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变式1-1
A.x=1 C.x=-1 变式1-2
3 x (2018德州)分式方程 -1= 的解为( ( x 1)( x 2) x 1
几何方程与方程组的解法与应用
几何方程与方程组的解法与应用一、几何方程1.定义：几何方程是含有几何图形性质的方程，通常涉及长度、面积、体积等几何量。
2.基本类型：(1)直角三角形中的勾股定理：a² + b² = c²(2)圆的方程：x² + y² = r²(3)相似三角形：若两个三角形对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
(4)直接法：直接根据几何方程的性质，找出未知数的值。
(5)代换法：将几何图形中的某个参数用另一个参数表示，从而简化方程。
(6)转换法：将几何问题转换为代数问题，利用代数方法求解。
3.定义：方程组是由多个方程组成的求解问题，通常涉及多个未知数。
4.基本类型：(1)二元一次方程组：含有两个未知数的一次方程组。
(2)三元一次方程组：含有三个未知数的一次方程组。
(3)二次方程组：未知数的最高次数为二的方程组。
(4)代入法：将一个方程的未知数用另一个方程的未知数表示，从而简化方程组。
(5)消元法：通过加减乘除运算，消去方程组中的一个或多个未知数。
(6)矩阵法：利用矩阵求解方程组，适用于多元方程组。
三、几何方程与方程组的应用1.几何问题求解：利用几何方程与方程组求解实际问题，如计算三角形面积、求解几何图形的边长等。
2.实际生活中的应用：如测量土地面积、计算建筑设计中的各种参数等。
3.数学竞赛与研究：几何方程与方程组在数学竞赛和研究中具有广泛的应用。
四、注意事项1.掌握几何方程与方程组的基本概念和性质。
2.熟悉各种解法，并能灵活运用。
3.培养解决实际问题的能力，将几何方程与方程组应用于实际生活中。
4.注重数学思维的培养，提高逻辑推理和运算能力。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形的两条直角边长分别为3m和4m，求斜边长。
答案：根据勾股定理，斜边长= √(3² + 4²) = 5m解题思路：直接运用勾股定理，求出斜边长。
2.习题：一个圆的半径为r，求该圆的面积。
初中数学方程组的解法及应用
第7讲方程组的解法及应用◆考点链接1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义．2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．3．会解简单的三元一次方程组．＊4．会解简单的二元二次方程组．5．能利用方程组解应用题．注：标有“＊”号的是选讲内容．◆典例精析【例题1】已知的解，求a，b的值．解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组．答案：a=2，b=－3【例题2】解方程组：（1）解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x．答案：（1）【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围．解：由原方程组得，解得<m<7．评析：这是一道方程与不等式的综合试题，需求出方程组的解，才能建立满足条件的不等式组．◆探究实践【问题1】（重庆）某出租车公司有出租车100辆，•平均每天每车消耗的汽油为80元．为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：•已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的．问：（1）公司共改装了多少辆出租车？•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键．解：设公司第一次改装了y辆出租车，•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x．答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%．（2）设公司一次性将全部出租车改装，m天后就可以从节约的燃料费中收回成本．则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125．答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本．【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（kg）不超过20kg20kg以上但不超过40kg40kg以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50kg（第二次多于第一次），共付款264元，•请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？解：设张强第一次购买香蕉x（kg），第二次购买香蕉y（kg），由题意，得0<x<25．由0<x≤20，y≤40时，由题意，得（2）当0<x≤20，y>40时，由题意，得（不合题意，舍去）（3）当20<x<25时，25<y<30，此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5•×50=•250<264（不合题意，舍去）．综合（1）（2）（3）可知，张强第一次购买香蕉14kg，第二次购买香蕉36kg．评析：充分利用表中信息，分段讨论及解答是解此类题的关键．◆中考演练一、选择题1．下列各方程中，是二元一次方程的为（）．A．x2+2y=9 B．x+=2 C．xy－1=0 D．+y=42．若是方程kx－y=3的解，那么k值是（）．A．2 B．－2 C．1 D．－13．（济南）如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y1，y2的图象，设y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，则方程组的解是（）．A．二、填空题1．已知关于x、y的方程xm－2－4yn－3=0是二元一次方程，则2m+n=________．2．已知方程3x+6y=8，则用含x的代数式表示y，则y=_______．3．若一个二元一次方程的解为，则这个方程可以是______（只要求写出一个）．三、解答题1．解方程组：（1）2．（恩施）某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住8人，•小的每间可住5人，该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍，问大、小宿舍各有多少间？◆实战模拟一、选择题1．已知方程组有相同的解，则a、b的值为（）．A．2．若方程组的解x，y满足0<x+y<1，则k的取值范围是（）．A．2<k<3 B．－1<k<0 C．－3<k<1 D．1<k<23．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2•所示的算筹图我们可以表述为（）．(1) (2)A．二、填空题1．已知方程组的解x与y的和是2，则a=_______．2．已知代数式kx+my+z中，当x=－1，y=3，z=4时，它的值等于0；当x=－1，y=－2，z=1时，它的值等于4，则k=_____，m=_____．3．关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k•的值是________．三、解答题:1．解下列各题:（1）在某校举办的足球赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．九年级三班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个球队只输了2场，那么这支足球队胜了几场？平几场？（2）如图，在3×3的方程中，填写了一些代数式和数．①在图3中各行，各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值；②把满足（1）的其他6个数填入图4中的方格内．(3) (4)2．（盐城）某校书法兴趣准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，•超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，•按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B•两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售，现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原销售方法中，•应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．答案:中考演练一、1．D 2．A 3．B二、1．10 2．y= 3．x+2y=0三、1．（1）2．学校大的宿舍有16间，小的宿舍有14间实战模拟一、1．D 2．C 3．A二、1．5 2．－，－3．三、1．（1）胜6场，平4场（2）①x=－1，y=1 ②略2．（1）A型毛笔每支2元，B型毛笔每支3元（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元则m=20×2+（a－20）×（2－0.4）=1.6a+8如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则n=a×2×90%=1.8a，于是n－m=1.8a－（1.6a+8）=0.2a－8，∵a>40，∴0.2a>8，∴n－m>0可见，当a>40时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多，故用原来的方法购买花钱少．。
方程组及其解法
方程组及其解法一、考点讲解：1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．4．二元一次方程组的解法．（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．（2）减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．5．整体思想解方程组．（1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+⎧⎨-=+⎩①②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的 3（x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解．（2）整体加减，如1+3y 19 313x+y 11 3x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、汉中）若x+y+4则 3x+2y ＝_______ 解：－6 点拨：由x+y+4=0, x-2=0,解得x=2, y =－6,故3x+2y ＝3×2+2×(－6)= －6 解方程组：x-y=42x+y=5⎧⎨⎩点拨：此题用加减消元法较容易，也可用代人消元法解．三、针对性训练：( 20分钟) (答案：242 )1、对方程组4x+7y=-19 4x-5y=17 ⎧⎨⎩①②，用加减法消去x ，得到的方程为（ ）A 、2y=－2 B.2y=－36C. 12y=－2D.12y=－362．二元一次方程组x+y=102x-y=-1⎧⎨⎩的解是（ ）A ．11x=x=2x=73 C. D.19y=8y=3y=3x=3 B.y=7⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩⎧⎨⎩4．解方程组：⑴2x +5y =53x +2y =5 3x -5y=102x +5y=7⎧⎧⎨⎨⎩⎩⑵(一)选择题(每题4分，共24分)【备考1】若3a x b y+7和－7a -1-4y b 2x 是同类项，则 x 、y 的值为（ ）A ．x ＝3，y ＝－1B ．x ＝3，y ＝ 3C ．x =1，y=2D ．x ＝4，y ＝2【备考2】当x=1，y =－1时，ax ＋by=3，那么当x =－1，y=l 时，ax+ by + 3的值为（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．1【备考3】若两数之和为25，两数之差为23，这两个数是（ ）A ．24，1B ．－24，1C ．24，－1D ．12，13【备考4】学校买排球、足球共25个，花费732元，足球每个36元，排球每个24元，设买排球x 个，买足球y 个，所列方程为（ ）25.3624732x y A x y +=⎧⎨-=⎩ 25.3624732x y B x y +=⎧⎨+=⎩ C . 253624732y y x y =-⎧⎨+=⎩ 25.3624732x y D y x +=⎧⎨+=⎩【备考6】一次函数y=kx ＋b(b ≠0）的自变量x 的取值每增加1个单位，函数值y 就相应地减少5个单位，则k 的值为（ ）A.5 B .－5 C.15 D. －15(二)填空题（每题4分，共24分）【备考7】用代人法解二元一次方程组2 2 3 y x x y =⎧⎨+=⎩①②时，可把①式代人②式，得_________，从而解得x ＝_______，再把x 的值代入①式，得y=______，所以____________x y =⎧⎨=⎩ 【备考8】次函数y=2x —1和y=2x+3的图象是两条 直线，它们______公共点（填“有”或“没有”）；二元一次方程组2-y=12x-y=-3x ⎧⎨⎩的解的情形是_______. 【备考10】如果12x y =⎧⎨=⎩是方程组a +by 7ax-by=5x =⎧⎨⎩的解，那么a+b=________【备考11】当 2x+ 3y=2时，9y 比 4x 大 1，则x=___ y=______。
专题07 方程与不等式-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)
专题07方程与不等式高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．典型考题【典型例题】已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.【答案】,当时;当时【解析】把②代入①后计算得，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：，当时，解得当时，解得【变式训练】解方程组：【答案】【解析】，由①得（x+y）（x-2y）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得（x+y）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为，所以原方程组的解为．【能力提升】解方程组：【答案】【解析】由②得：所以,.高中必备知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．典型考题【典型例题】解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；【答案】(1)4{x/-2x}3≤≤.(2){x/-2x1,23}x≤<-<≤.【解析】(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.【变式训练】求不等式()()2460xx --≤的解．【答案】{|2x x ≤-或26}x ≤≤【解析】由题意，不等式()()2460x x --≤，可得24060x x ⎧-≤⎨-≥⎩或24060x x ⎧-≥⎨-≤⎩，由不等式组24060x x ⎧-≤⎨-≥⎩，可得解集为ϕ由不等式组24060x x ⎧-≥⎨-≤⎩，可得解集为2x -≤或26x ≤≤，所以不等式的解集为{|2x x ≤-或26}x ≤≤.【能力提升】解下列不等式：（1）0622≥+--x x ；（2）012>++x x ；（3）(31)(1)4x x -+>．【答案】（1）3{|2}2x x -≤≤；（2）R ；（3）5{|3x x <-或1}x >.【解析】（1）由题意，不等式0622≥+--x x ，可化为23262(2)()02x x x x +-=+-≤，所以不不等式的解集为3{|2}2x x -≤≤；（2）由题意，可得22131(024x x x ++=++>，所以不等式的解集为R ；（3）由不等式(31)(1)4x x-+>，可化为23250x x+->，即5(1)(03x x-+>，所以不等式的解集为5{|3x x<-或1}x>.专题验收测试题1．不等式组3413{1xx+≤-<的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B．C．D ．【答案】D【解析】试题分析：解不等式3x＋4≤13，得：x≤3，解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：D．2．20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）A ．B ．C．D ．【答案】D【解析】试题分析：要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：①男女生共20人；②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.据此列出方程组：.故选D．3．解不等式，解题依据错误的是（）解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x﹣1）②去括号，得5x+10＜6x﹣3③移项，得5x﹣6x＜﹣3﹣10④合并同类项，得﹣x＜﹣13⑤系数化1，得x＞13A．②去括号法则B．③不等式的基本性质1C．④合并同类项法则D．⑤不等式的基本性质2【答案】D【解析】由题目中的解答步骤可知，②去括号法则，故选项A正确，③不等式的基本性质1，故选项B正确，④合并同类项法则，故选项C正确，⑤不等式的基本性质3，故选项D错误，故选：D．4．已知温州至杭州铁路长为380千米，从温州到杭州乘“G”列动车比乘“D”列动车少用20分钟，“G”列动车比“D”列动车每小时多行驶30千米，设“G”列动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）A．3803802030x x-=-B．3803802030x x-=-C．3803801303x x-=+D．3803801303x x-=-【答案】D【解析】解：设“G”列动车速度为每小时x千米，则“D”列动车速度为每小时（x﹣30）千米，依题意，得：3803801303 x x-= -．故选：D．5．不等式组3(2)24251x x x x --≥⎧⎨-<+⎩的整数解有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C 【解析】解：解不等式①，得x ≤2，解不等式②，得x ＞﹣3．∴原不等式组的解集为﹣3＜x ≤2．又∵x 为整数，∴x ＝﹣2，﹣1，0，1，2．故选：C ．6．方程组的实数解的个数是（）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】由①得原方程组可以转化为解得或无解．故方程组的实数解的个数是2个．故选：B ．7．以下说法：①关于x 的方程的解是x =c （c ≠0）；②方程组正整数的解有2组；③已知关于x ，y的方程组，其中﹣3≤a ≤1，当a =1时，方程组的解也是方程x +y =4﹣a 的解；其中正确的有（）A ．②③B ．①②C ．①③D ．①②③【解析】①于x的方程x+==c+的解是x=c或x=（c≠0），此项错误；②方程组的正整数解有2组，方程组，因x、y、z是正整数，可得x+y≥2，又因23只能分解为23×1方程②变为（x+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23将z=1代入原方程转化为，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），此项正确；③关于x，y的方程组，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解，此项正确．故选A．点睛：此题主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程组的解法等知识，正确将原式变形是解题关键．8．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=01=5，2=-2∴方程的解为：，故选C9．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≥4C．k≤4D．k≤4且k≠0【解析】根据题意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，解得k≤4且k≠0．故选：D．10．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（）A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根是1、﹣5和【答案】C【解析】解：∵原方程可化为x2+x﹣7＝0，∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．11．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____．【答案】2＜m≤3【解析】根据不等式组有3个整数解,可得:.故答案为:.12．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为_____．【答案】﹣1⩽x＜2．【解析】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是实心圆，表示x⩾﹣1；从2出发向左画出的线且2处是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．所以这个不等式组的解集是﹣1⩽x＜2．13．不等式组的解集是_____．【答案】【解析】解：解不等式2x＋4＞0，得：x＞−2，解不等式x−3（x−2）＞4，得：x＜1，则不等式组的解集为−2＜x＜1，故答案为：−2＜x＜1．14．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是_____．【答案】m≤2【解析】解：由题意知，△＝4﹣4（m﹣1）≥0，∴m≤2，故答案为：m≤2．15．方程x2+2x＝0的解为_____．【答案】0，﹣2．【解析】x2+2x＝0,x（x+2）＝0,∴x＝0或x+2＝0,∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2．16．设是方程的两个实数根，则的值为_____．【答案】2019【解析】解：根据题意得：α＋β＝1，α3−2021α−β+1＝α（α2−2020）−（α＋β）+1＝α（α2−2020）−1+1=α（α2−2020），∵α2−α−2019＝0，∴α2−2020＝α−1，把α2−2020＝α−1代入原式得：原式＝α（α−1）＝α2−α＝2019.故答案为：2019.17．已知关于的一元二次方程，其中为常数.（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若抛物线轴交于两点，且，求的值；【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵，，∴原方程总有两个不相等实数根（2）解：∵∴∴由题意：方程的两根为∴，代入上式，得，∴，∴，∴.18．（1）用配方法解方程：x2-2x-2=0；（2）已知关于x的方程（m-2）x2+（m-2）x-1=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）m的值为-2．【解析】解：（1）∵x2-2x-2=0，∴x2-2x=2，则x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3，∴x-1=，则x1=1+，x2=1-；（2）由题意，△=0即（m-2）2+4（m-2）=0，解得m1=2，m2=-2，又由m-2≠0，得m≠2，∴m的值为-2．19．已知关于x一元二次方程，(1)当时，试解这个方程；(2)若方程的两个实数根为，且，求的值.【答案】（1）（2）c=4【解析】解：(1)当时，原方程为，.∴(2)∵，∴∴∴解得：c=4∴c=420．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.（1）求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？（2）学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2元，陶艺素材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺素材和陶艺素材的数量在原计划基础上分别增加了2.5%和，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求的值.【答案】（1）购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元；（2）的值为95.【解析】（1）设购买一套茶艺耗材需要元，则购买一套陶艺耗材需要元，根据题意，得.解方程，得.经检验，是原方程的解，且符合题意.答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元.（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为，由题意得：整理，得解方程，得（舍去）.的值为95.21．某市举行“行动起来，对抗雾霾”为主题的植树活动，某街道积极响应，决定对该街道进行绿化改造，共购进甲、乙两种树共50棵，已知甲树每棵800元，乙树每棵1200元．（1）若购买两种树的总金额为56000元，求甲、乙两种树各购买了多少棵？（2）若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额，至少应购买甲树多少棵？【答案】（1）购买了甲树10棵、乙树40棵；（2）至少应购买甲树30棵．【解析】解：（1）设购买了甲树x棵、乙树y棵，根据题意得50 800120056000 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：1040 xy=⎧⎨=⎩答：购买了甲树10棵、乙树40棵；（2）设应购买甲树a棵，根据题意得：800a≥1200（50﹣a）解得：a≥30答：至少应购买甲树30棵．22．解不等式213132x x---≥1，并把它的解集表示在数轴上．【答案】x≤﹣1【解析】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（3x﹣1）≥6，去括号，得：4x﹣2﹣9x+3≥6，移项，得：4x﹣9x≥6+2﹣3，合并同类项，得：﹣5x≥5，系数化为1，得：x≤﹣1，将不等式的解集表示在数轴上如下：。
初高中数学衔接之解方程和方程组精讲
..第一课时 解方程和方程组一、方程和方程组的解法 1、知识网络：2．解一元二次方程的步骤：〔1〕配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式： 〔2〕分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法〔这里指的是分解因式中的公式法〕或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式；〔3〕公式法一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)，当b 2－4ac≥0时的根为aacb b x 242-±-=，该式称为一元二次方程的求根公式。
二．例题讲解 例1：解方程 (1)0342=--x x(2)x x 7322=+(3)x x x 22)1)(1(=-+,解：〔1)移项得342=-x x 配方得x 2－4x ＋(－2)2=7解这个方程得x －2=±，即；(2)移项得2x 2－7x=－3 ，把方程两边都除以2得配方得．即解这个方程得 3,2121==x x 法二：〔用分解因式法〕0)3)(12(=--x x 得方程得 3,2121==x x 。
(3)原方程可化为∴∴；∴．例2 假设关于x 方程01222=++bx x 有一根为3=x ，求b 的值。
例3 关于x 的方程：022=++m x x ，〔1〕当x 取何值时，方程有两个不相等的实根？ 〔2〕当x 取何值时，方程的有两个正数根？〔3〕当x 邓何值时，方程有一根小于1，另一根大于3？例题1：当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25-∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。
初高中数学衔接教材：第7课 方程与方程组及答案
一、一元高次方程解方程的思想：降次，方法：换元、因式分解等． 例1 解方程： (1)x 4－13x 2＋36＝0； (2)x 6－9x 3＋8＝0.例2 解方程：(1)x 3＋3x 2－4x ＝0； (2)x 3－2x ＋1＝0. 二、解方程组解方程组的思想：消元，方法：代入消元、加减消元、整体消元等． 例3 解方程组： (1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4z ＝7， ①2x ＋3y ＋z ＝9， ②5x －9y ＋7z ＝8； ③(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3， ①y ＋z ＝4， ②z ＋x ＝5. ③例4 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，xy ＝10；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，xy ＝2. 例5 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0， ①x 2－4y 2＋x ＋3y －1＝0. ② 例6 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧xy －x －y ＋1＝0， ①3x 2＋4y 2＝1； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－xy －4y 2－3x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＝25. ② 例7 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋xy ＋y 2＝15， ①3x 2－31xy ＋5y 2＝－45； ② (2)⎩⎨⎧4a 2＋4b 2＝1， ①16a 2＋1b 2＝1. ②(a >0，b >0)例8 已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (1,3)，B (2,7)，C (3,13)三点，求二次函数的表达式．1．解方程：(1)x 3－5x －2＝0； (2)x 3＋3x 2－4x －6＝0.2．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝15， ①2x ＋3y －z ＝9， ②5x －4y －z ＝0； ③ (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝y 4＝z 5， ①x ＋y ＋z ＝24. ②3．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1， ①y ＝x 2＋2x －1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1， ①x 24＋y 22＝1. ②4．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＋3x ＋y ＋3＝0， ①x 24＋y 23＝1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＋x ＋y ＝0， ①x 22－y 22＝1. ②5．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1且经过A (1,2)，B (2,4)，求二次函数的表达式．6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝b ， ①a ＋b ＋c ＝1， ②ca 2＋b 2＝1. ③答案解析例1 解 (1)令t ＝x 2，t 2－13t ＋36＝0，t ＝4或t ＝9，∴x ＝±2或x ＝±3. (2)令t ＝x 3，t 2－9t ＋8＝0，t ＝1或t ＝8，∴x ＝1或x ＝2.例2 解 (1)x (x 2＋3x －4)＝0，x (x ＋4)(x －1)＝0，x ＝－4或x ＝0或x ＝1. (2)x 3－x －(x －1)＝0，(x －1)(x 2＋x －1)＝0，x ＝1或x ＝－1±52. 例3 解 (1)由②③得：11x ＋10z ＝35，④ 由①④得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝13z ＝－2.(2)3式相加得：x ＋y ＋z ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1z ＝3.例4 解 (1)设x ，y 为方程t 2－7t ＋10＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5 ①xy ＝2 ②将y ＝2x代入①得：x 4－5x 2＋4＝0，x 2＝1或x 2＝4，∴x ＝±1或x ＝±2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1. 例5 解 由①得：y ＝2x －1 ③将③代入②得：15x 2－23x ＋8＝0，x ＝815或x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝815y ＝115.例6 解 (1)由①得：(x －1)(y －1)＝0，即x ＝1或y ＝1.1°当x ＝1时，4y 2＝－2无解．2°当y ＝1时，3x 2＝－3无解．∴原方程无解．(2)由①得：(3x －4y )(x ＋y )－(3x －4y )＝0，(3x －4y )(x ＋y －1)＝0，即3x －4y ＝0或x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4.例7 解方程组：解 (1)①×3＋②得：3x 2－7xy ＋2y 2＝0，(3x －y )·(x －2y )＝0,3x －y ＝0或x －2y ＝0，将y ＝3x 代入①得：x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3，将x ＝2y 代入①得：y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－1∴原方程的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.(2)令x ＝1a 2，y ＝1b2∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝116x ＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝120y ＝15⇒⎩⎨⎧1a 2＝1201b 2＝15∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25b ＝5(∵a >0，b >0)．例8 解 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝34a ＋2b ＋c ＝79a ＋3b ＋c ＝13得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1c ＝1∴y ＝x 2＋x ＋1. 强化训练1．解 (1)x 3－4x －(x ＋2)＝0，x (x －2)(x ＋2)－(x ＋2)＝0，(x ＋2)(x 2－2x －1)＝0，x ＝－2或x ＝1±2.(2)x 3＋x 2＋(2x 2－4x －6)＝0，x 2(x ＋1)＋2(x ＋1)·(x －3)＝0，(x ＋1)(x 2＋2x －6)＝0，x ＝－1或x ＝－1±7.2．解 (1)①＋②得：3x ＋4y ＝24 ④，①＋③得：2x －y ＝5⑤，由④⑤③得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3z ＝8.(2)设x 3＝y 4＝z5＝k ，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3k y ＝4kz ＝5k (*)时将(*)代入②得：12k ＝24，k ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝8z ＝10.3．解 (1)消y 得：x －1＝x 2＋2x －1，x ＝0或x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2. (2)将①代入②得：3x 2＋4x －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋103y ＝1＋103或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－103y ＝1－103.4．解 (1)由①得：(x ＋1)(y ＋3)＝0即x ＝－1或y ＝－3. 将x ＝－1代入②得：y 23＝34，y ＝±32，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32. 将y ＝－3代入②得：x 24＝－2无解．∴原方程组解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32.(2)由①得(x ＋y )(x －y ＋1)＝0，x ＋y ＝0或x －y ＋1＝0，将y ＝－x 代入②得：x 22－x 22＝1方程无解，将y ＝x ＋1代入②得：x 2－(x ＋1)2＝2得：x ＝－32，y ＝－12.∴原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－32y ＝－12.5．解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a＝12＝a ＋b ＋c4＝4a ＋2b ＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4c ＝4∴表达式为y ＝2x 2－4x ＋4.6．解 由题意知b ≥0，则由①得：b ＝a 或b ＝－a .1°b ＝a 时⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1c2a＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－22c ＝2－1b ＝1－222°b ＝－a 时⎩⎪⎨⎪⎧c ＝112|a |＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－22b ＝22c ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22b ＝－22(舍去)c ＝1.。
【优质文档】【2019届新高一数学衔接课程】0.4二元方程(组)的解法(苏教版)
三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数．
说明 ：（ 1） “未知项 ”与 “未知数 ”不同；（ 2） 每个方程不一定都含有三个未知数 . 2．基本思想方法：
考点 2 二元二次方程组 含有两个未知数、 且含有未知数的项的最高次数是
2 的整式方程， 叫做二元二次方程． 由
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组， 组，叫做二元二次方程组．y2 a
x2 y2
、
xyb
xy b
a
都可以通过变形转化为
xym xy n
的形式，通过构造一元二次方程求解． 四、自主归纳
五、巩固训练
A组
4
1．解下列三元一次方程组
（ 1）
（ 2）
（3）
xyz
2．已知
，且 x+y+z＝ 24，求 x、 y、 z 的值．
345
3．代数式 ax2+bx+c 在 x 为 1， -1， 2 时，它的值分别是 -6， -8， -11，求： （ 1） a， b， c 的值； （ 2）当 x＝— 4 时，求代数的值．
x2 0, y2 1.
8y2＋ 8y＝ 0，
2．根据一元二次方程的根与系数的关系，把
x 、 y 看成是方程
2
z
9z 18
0 的两根，解
方程得： z 3 或 z 6 ． ∴ 原方程组的解是：
x1
3 或
x1
6
．
y1 6 y1 3
3
说明： 对于这种对称性的方程组
xy a
，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方
则原方程组可转化为两个方
程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．
初升高衔接之方程
③
xy x y 17 2 2 x y 29
题型三：分式方程 例 3、解方程
1 2x 3
2
8 x 2 12 0
练习 解方程
1 1 1 1 4 2 2 2 x x x 3 x 2 x 5 x 6 x 7 x 12 21
2
题型四：无理方程 例 7、解方程
3x 3 5x 19 2x 8 0
练习 解方程 4x +2x 3x x +x-9=0
2
2
题型五：高次方程 4 3 2 例 8、解下列方程 12x -56x +89x -56x+12=0
练习 解下列方程 3 2 ①x -2x -4x+8=0
2
b b 2 4ac 2 ③因式分解法；④公式法：x= （b -4ac≥0） 2a d1 x e1 y f1 0 （2） 二元二次方程组常见解法： ①形如 的思路是将二元一次方 2 2 a 2 x b2 xy c2 y d 2 x e2 y f 2 0
| x | | y | 7 2 | x | 3 | y | 1
练习 解下列方程及方程组 ①mx-1=nx ②
xa xb (a>0,b>0) b a
③
2008x 2010y 6028 2010x 2008y 6026
题型二：二次方程 例 2、解方程 3a x - 3 abx-2b =0
2 2 2
练习 1、解下列方程 2 ①（2x-1） -9=0 ③ x +x-1=0
2
②3x -16x+5=0 ④ x +2mx=n -m
2 2 2
初高中知识衔接 ----第2讲方程与方程组
y2 2y 3 0
Q 原方程可能的增根是0
y1 3, y2 1 当y 3时 x2 2 3 x
x2 3x 2 0
原方程的解是 x1 1, x2 2
例1.若方程 x 3 m 无解，求m的值. x2 2 x
例析：由原方程得 x 3 m Q 原方程无解 3 m是原方程的增根
x解1 得2，yx12 y22， x53 6，x4 6
x2 5x 5 0
x பைடு நூலகம் 5
即x1
5
2 2
5
，x2
5
2
5
例析：令x2 y,则
y2 10 y 24 0 解得 y1 4, y2 6
当 y 4时，x2 4 x1 2，x2 2 当 y 6时，x2 6 x3 6，x4 6 x1 2，x2 2，x3 6，x4 6
=2m n2m n
Q m, n是一个等腰三角形的腰和底的长
m 0,n 0,2m n 0 0 关于x的方程x2 2mx 1 n2 0有两个不相等的实数根.
4
例.已知方程x2 x 1 0的两根为x1、x2，且x1 x2 ,求下列各式的值.
1 x1 1 x2 1；
2 1 + 1 ；
2
3
4
73x 11 x 2 2； 8 x x 1 5x 0 93x x 3 2 x 1 x 1
3.一元二次方程根与系数的关系
1一元一次方程ax2 bx c 0a 0根的判别式=b2 4ac.
2 判别式定理
=b2 4ac 0 有两个不相等的实根.
=b2 4ac=0 有两个相等的实根.
夯实基础，掌握方法， 领会思想，学会应用.
第二讲 方程与方程组
第二讲 方程与方程组
初高中数学衔接方程与方程组
★☆★【知识梳理】☆★☆一、基本概念：1、方程：含有未知数的等式叫方程。
2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
只有一个未知数的方程的解又叫方程的根。
3、解方程：求方程解的过程或判断方程无解的过程叫解方程。
4、同解方程：在两个方程中，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，我们就说这两个方程的解相同，这两个方程叫做同解方程。
5、方程的同解原理：①方程的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程和原方程是同解方程。
②方程的两边都乘以或除以同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
二、方程的解法： 1、一元一次方程：（1）定义：含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。
（2）标准形式：0=+b ax （0≠a ）（3）解法：去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 （4）性质：①一元一次方程必有唯一解； ②方程0=+b ax （0≠a ）的解abx -=是直线b ax y +=与x 轴交点的横坐标。
2、一元二次方程：思路：方程是一元二次方程？→方程有根？→求方程的根？→方程根与系数的关系？→方程的应用 （1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）标准形式：02=++c bx ax （0≠a ）（3）解法：配方法 求根公式法 因式分解法 （4）根的判别式：①定义：方程02=++c bx ax （0≠a ），式子ac b 4-2=∆叫做一元二次方程根的判别式。
②性质：⇔>∆0方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个不相等的实数根； ⇔=∆0方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根； ⇔<∆0方程02=++c bx ax （0≠a ）没有实数根。
（5）根与系数关系：（韦达定理）①定理：若方程02=++c bx ax （0≠a ）的两根为1x 、2x ，则a b x x -21=+，ac x x =⋅21。
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专题07方程与方程组的解法
一、知识点精讲一元一次方程
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论①当0a ≠时，方程有唯一解b
x a
=；②当0a =，0b ≠时，方程无解
③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
二元一次方程
在一个方程中，含有两个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫二元一次方程。
二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法③整体消元法，。
二、典例精析
①一元高次方程的解法思想：降次
方法：换元、因式分解等【典例1】解方程.（1）4213360x x -+=（2）63980x x -+=【典例2】解方程.（1）32+340x x x -=（2）3210x x -+=②方程组的解法解方程组的思想：消元
解方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法，③整体消元法等。
【典例3】解方程组.
347(1)295978x z x y z x y z +=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
3(2)45x y y z z x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
【典例4】解方程组2
2
210
4310
x y x y x y --=⎧⎨-++-=⎩【典例5】解方程组.7(1)10x y xy +=⎧⎨
=⎩225(2)2
x y xy ⎧+=⎨
=⎩【典例6】解方程组.2
2
10(1)341
xy x y x y --+=⎧⎨+=⎩222
2
34340(2)25
x xy y x y x y ⎧---+=⎪⎨+=⎪⎩【典例7】解方程组.
222
2
315(1)331545
x xy y x xy y ⎧++=⎪⎨-+=-⎪⎩22
22
4
41(2),(0,0)
1611a b a b a b ⎧+=⎪⎪>>⎨⎪+=⎪⎩【典例8】已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过(1,3),(2,7),(3,13)A B C 三点，求该二次函数的表达式.三、对点精练
1.已知二次函数的图像的对称轴为1x =且过(1,2),(2,4)A B ，求该二次函数的表达式.
2.解方程
（1）3520x x --=（2）323460x x x +--=3.解方程组.
15(1)239540x y z x y z x y z ++=⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
(2)34524
x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩4.解方程组.2
1
(1)21
x y y x x -=⎧⎨=+-⎩22
1(2)142
y x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩5.解方程组.22
330
(1)143xy x y x y +++=⎧⎪
⎨+=⎪⎩2222
(2)122
x y x y x y ⎧-++=⎪
⎨-
=⎪⎩6.解方程组
.1
1
a b a b c ⎧
⎪=⎪⎪
+==⎨⎪=。